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惠州市2013届高三第一次调研数学试题理科

惠州市 2013 届高三第一次调研考试
数学 (理科)
2012 年 12 月 26 日星期三

参考公式:如果在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率记为 P( B | A) , 那么 P( AB) ? P( A) P( B | A) . 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. 1. 已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? ,集合 B ? ?2, 4? ,则 A ? B ? ( A. ?2, 4? B. ?1,3? C. ?1, 2,3, 4? ) C. ? p 是真命题 ) D.48 D. ? q 是真命题 ) D. ?

2.若 p 是真命题, q 是假命题,则( A. p ? q 是真命题 3. (2x ? A.6

B. p ? q 是假命题

x ) 4 的展开式中 x 3 的系数是(
B.12 C.24

B C b c 4.在 ?ABC 中, a, , 分别为角 A, , 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是
( ) B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

A.等腰直角三角形

5.已知实数 4, m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线

x2 ? y 2 ? 1的离心率为( m
5 D. 或7 6
开始



A.

30 6

B. 7

C.

30 或 7 6

6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是 ( A. 3 ) . B. 11 C. 38 D. 123

a ?1

7.已知 x 、 y 的取值如下表所示:若 y 与 x 线性相关,

a ? a2 ? 2
a ? 10?
否 是

? 且 y ? 0.95 x ? a ,则 a ? (

) 3 4

x

0

1

输出 a 结束

y
A、 2.2

2.2 B、 2.9

4.3 C、 2.8

4.8

6.7 D、 2.6

8 . 对 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “ ? ”: a ? b ? ?

?a, a ?b ? 1, . 设 函 数 ?b, a ? b ?1.

f ? x ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? 1? ,x ? R .若函数 y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,
则实数 c 的取值范围是( A. ? ?1,1? ? ? 2, ??? ). B. ? ?2, ?1? ? ?1,2? C. ? ??, ?2? ? ?1, 2? D. ? ?2, ?1?

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分) 9.复数Z=

(1 ? i ) 2 (i 是虚数单位)则复数Z的虚部等于 1? i



10.若向量 a ? ?1,1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 a 与 b 夹角余弦值等于_____________. 11.已知函数 f ( x ) ? ? 12. 计

?

?

?

?

?e x , x ? 0, ?ln x, x ? 0,


则 f [ f ( )] = : 多面体

1 e



?

1

?1

1 ? x 2 dx ?

面数(F) 4 5 … …

顶点数(V) 4 6 … …

棱数(E) 6 … … …

. 三棱锥 三棱柱 正方体 …

13.18 世纪的时候,欧拉通过研究, 发现凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E 满足一个等式关系. 请你 研究你熟悉的一些几何体 (如三棱

锥、三棱柱、正方体……) ,归纳出 F、V、E 之间的关系等式: . 14. (坐标系与参数方程选做题)设点 A 的极坐标为 ? 2 2, 直,则直线 l 的极坐标方程为 ... .

? ?

??

? ,直线 l 过点 A 且与极轴垂 4?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最高点 之间的距离为 2? .

(1)求 f ( x ) 的解析式 ; (2)若 ? ? (?

? ?

? 1 5? , ), f (? ? ) ? ,求 sin(2? ? ) 的值. 3 2 3 3 3

17. (本小题满分 12 分) 某班从 6 名干部中(其中男生 4 人,女生 2 人)选 3 人参加学校的义务劳动. (1)设所选 3 人中女生人数为 ? ,求 ? 的分布列及 E? ; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如 图 , 已 知 AB ? 平 面 A C D , DE//AB , △ A C D 是 正 三 角 形 ,

AD=DE=2AB ,且 F 是 CD 的中点.
(1)求证: AF// 平面 BCE ; (2)求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; (3)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。

19. (本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 各项均为正数, b1 ? 2 ,且

s2 ? b2 ? 7 , s4 ? b3 ? 2 .
(1)求 an 与 bn ; (2)设 cn ?

a2 n?1 , Tn ? c1 ? c2 ? c3 ??? cn a2 n

求证: Tn ?

1 2 n

(n ? N ? ) .

x2 y 2 3 20.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的离心率 e ? , 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的 a b 2
面积为 4。 (1)求椭圆的方程: (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B 。已知点 A 的坐标为(- a ,0),点 Q (0, y0 )在 线段 AB 的垂直平分线上,且 QA? =4。求 y0 的值。 QB

??? ??? ? ?

21. (本小题满分 14 分) 已知三次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? a, b, c ? R ? .
3 2

(1)若函数 f ( x ) 过点 (?1, 2) 且在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 2 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的 解析式; (2)当 a ? 1 时,若 ?2 ? f (?1) ? 1, ?1 ? f (1) ? 3 ,试求 f (2) 的取值范围; (3)对 ?x? ? 1 ? ,都有 f ?( x) ? 1 ,试求实数 a 的最大值,并求 a 取得最大值时 f ? x ? 的 ? ,1 表达式.

?

?