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立体几何复习专题(空间角)

. 专题:空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 (1)异面直线所成的角的范围: (0, ? ] 。 2 (2)异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直。两条异面直 线 a, b 垂直,记作 a ? b 。 (3)求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上(或空间)找一点,过该点作另一(或两条)直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有:平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 1:三棱柱 OAB ? O1 A1B1 ,平面 OBB1O1 ⊥平面 OAB, ?O1OB ? 60 ? , ?AOB ? 90 ? ,且 OB ? OO1 ? 2, O1 B1 OA ? 3 ,求异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦。 A1 O B A 2.直线和平面所成的角(简称“线面角”) (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面,所成的角是直角;一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0?角。 直线和平面所成角范围:?0, ? ?。 2 (2)最小角定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 (3)公式:已知平面?的斜线 a 与?内一直线 b 相交成θ 角, 且 a 与?相交成?1 角,a 在?上的射影 c 与 b 相交成?2 角, 则有 cos?1 cos?2 ? cos? 。 A 由(3)中的公式同样可以得到:平面的斜线和它在平面 内的射影所成角,是这条斜线和这个平面内的任一条直 ? 线所成角中最小的角。 精选 word 范本! P a ?1 ? c ?2 O Bb 考点二:直线和平面所成的角 例 2. 如图,在三棱柱 ABC ? A?B?C? 中,四 边形 A?ABB? 是菱形,四边形 BCC?B? 是矩形, C?B? ? AB , C?B? ? 2, AB ? 4, ?ABB? ? 600 , A? 求 AC? 与平面 BCC?B? 所成角的正切。 C? B? A . C B 3:(1)在1200 的二面角 P ? a ? Q 的两个面 P 与 Q 内分别有两点 A、B ,已知点 A 和点 B 到棱 的距离分别为 2cm, 4cm ,且线段 AB ?10cm。求: ①直线 AB 和棱 a 所成角的正弦值;②直线 AB 和平面 Q 所成角的正弦值。 (2)(08 全国Ⅰ11)已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的 射影为 △ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 3 (3)如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 3, BC ? 3,沿对角线 BD 将 ?BCD 折起,使点 C 移到 C? 点,且 C? 点在平面 ABD 上的射影 O 恰在 AB 上。求直线 AB 与平面 BC?D 所成角的大小。 33 B 3 C A C?(C) ? O A B D D 精选 word 范本! . (4)① AB 为平面 ? 的斜线,则平面 ? 内过 A 点的直线 l 与 AB 所成的最小角为_____________, 最大角为__________________。平面内过 A 点的 直线 l 与 AB 所成角? 的范围为_______________。 ② AB 与平面 ? 内不过 A 点的直线所成的角的范围 ? 为_______________________。 B ? ?? ?? A B? l ③直线 l1 与平面? 所成的角为 300 ,直线 l2 与 l1 所成角为 600 ,则 l2 与平面? 所成角的取值范围 是______________________。 ④设直线 l ? 平面? ,过平面? 外一点 A 与 l,? 都成 300 角的直线有且只有 () (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 ⑤过正方体的顶点 A 作截面,使正方体的 12 条棱所在直线与截面所成的角皆相等。试写出满足 条件的一个截面________________________(注:只须任意写出一个),并证明。 3.二面角 (1)二面角的概念:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面 叫做二面角的面。若棱为 l ,两个面分别为?, ? 的二面角记为? ? l ? ? 。 (2)二面角的平面角: l ? 过二面角的棱上的一点 O 分别在两.个.半.平.面.内. 作棱的两条垂线 OA,OB ,则 ?AOB 叫做二面角 O ? ? l ? ? 的平面角。 O' 说明:①二面角的平面角范围是?0,? ?,因此二面 角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 A B A' B' ②二面角的平面角为直角时,则称为直二面角, ? 组成直二面角的两个平面互相垂直。 (3)二面角的求法: (4)(一)直接法:作二面角的平面角的作法:①定义法;②棱的垂面法;③三垂线定理或逆 定理法;(注意一些常见模型的二面角的平面角的作法) 精选 word 范本! . (二)间接法:面积射影定理的方法。 (4)面积射影定理: 面积射影定理:已知 ?ABC 的边 BC 在平面? 内,顶点 A?? 。设 ?ABC 的面积为 S ,它在平 面? 内的射影面积为 S1 ,且平面? 与 ?ABC 所在平面所成的二面角为? (00 ? ? ? 900 ) ,则 cos? ? S1 。 A S 注:①面积射影定理反映了斜面面积、射