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高中数学必修5不等式试题


高中数学专题——一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨 论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ; 例 1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次 项 系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? ?x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ? 1? 当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? ?x | x ? ? 2? ? ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?x? 当 a ? 0 时, 解集为 ? ?x | ? 2a 2a ? ? ? ?

解得方程

ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

例 2 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ? a( x 2 ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0 ? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3? 二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x 2 ? ax ? 4 ? 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。 解:∵ ? ? a 2 ? 16 ∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;当 a ? ?4 即Δ =0 时,
a? 解集为 ? ? x x ? R且x ? ? ; ? 2?

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根分别为 x1 ? ? a ?
x1 ? x 2 ,

2 a 2 ? 16 ,x2 ? ? a ? a ? 16 ,显然 2 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴不等式的解集为 ?x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ?

例 4 解不等式 ?m2 ? 1?x 2 ? 4x ? 1 ? 0?m ? R? 解 因 m 2 ? 1 ? 0, ? ? (?4) 2 ? 4?m2 ? 1? ? 4?3 ? m2 ?,所以当 m ? ?
2?

3 ,即 ? ? 0 时,解集

1? 为? ?x | x ? ? ; ?

? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? 当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ?x x ? 或x〈 m2 ? 1 m2 ? 1 ? ?

? ? ?; ? ?

当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。 三、按方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ; 例5 解不等式 x 2 ? (a ? 1 ) x ? 1 ? 0
a (a ? 0)
a

分析:此不等式可以分解为: ?x ? a ?( x ? 1 ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。 本题只需讨论两根的大小即可。 解:原不等式可化为: ?x ? a ?( x ? 1 ) ? 0 ,令 a ? 1 ,可得: a ? ?1 ,∴当 a ? ?1
a a 1 a? 或 0 ? a ? 1 时, a 1 1? a? , , 故原不等式的解集为 ? 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, ?x | a ? x ? ? ;

?

a?

a

可得其解集为 ? ; 当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时,
a? 1 1 ? ,解集为 ? ?x | ? x ? a? 。 a ? a ?

例 6 解不等式 x 2 ? 5ax ? 6a 2 ? 0 , a ? 0 分析 此不等式 ? ? ?? 5a?2 ? 24a 2 ? a 2 ? 0 ,又不等式可分解为 ?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 ,故 只需比较两根 2a 与 3a 的大小. 解 原不等式可化为: ?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 的两根为 当 a 0 时, 即 2a 3a , 解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?; 当 a ? 0 时, 即 2a 3a , x1 ? 2a, x2 ? 3a , 解集为 ?x | x ? 2a或x ? 3a? 一元二次不等式 参考例题(2) x ?1 1.(1)解不等式 ? 1 ( {x | x ? ?1, 或x ? 0} )
2x

(2)不等式

ax ? 1 的解集为 {x | x ? 1,或x ? 2} ,求 a 的值. x ?1

(a ? 1 )
2

2.解下列关于 x 的不等式: (1 ) x 2 ? ( a ? 1 ) x ? 1 ? 0
a

?a ? 0 ( a ? 3,且a ? ?2) (2) ( x ? x 2)( x ? 3)

1 (1)当a ? ?1, 或0 ? a ? 1时, {x | a ? x ? } a (2)当a ? ?1时,? (3)当a ? 1, 或 ? 1 ? a ? 0时, {x | 1 ? x ? a} a

(1)当a ? ?2时, {x | x ? a, 或 ? 2 ? x ? 3} (2)当 ? 2 ? a ? 3时, {x | x ? ?2, 或a ? x ? 3} (3)当a ? 3时, {x | x ? ?2, 或3 ? x ? a}

(3) ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0

(4) ( x ? 2)(ax ? 2) ? 0

1 , 或x ? 1} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 1} 1 (3)当0 ? a ? 1时, {x | 1 ? x ? } a (4)当a ? 1时,? (1)当a ? 0时, {x | x ? (5)当a ? 1时, {x | 1 ? x ? 1} a

2 ? x ? 2} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 2} (1)当a ? 0时, {x | 2 (3)当0 ? a ? 1时, {x | x ? 2, 或x ? } a (4)当a ? 1时, {x | x ? 2} (5)当a ? 1时, {x | x ? 2 , 或x ? 2} a x ? 1 ? a (a ? R) x ?1

(5) ax

2

? x ?1 ? 0

(6 )

? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a , 或x ? } 2a 2a (2)当a ? 0时, {x | x ? ?1} (1)当a ? 0时, {x | x ? (3)当0 ? a ? (4)当a ? 1 ? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 时, {x | ?x? } 4 2a 2a

1 时,? 4

a ?1 ? x ? 1} a (2)当a ? 0时, {x | x ? 1} a ?1 (3)当a ? 0时, {x | x ? 1, 或x ? } a (1)当a ? 0时, {x |

3. (1 ) 若不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立, 求实数 a 的取值范围. ( ?2 ? a ? 2 )

(2)若不等式 2x

2

? 2mx ? m
2

4x ? 6x ? 3

? 1 的解集为 R ,求实数 m 的取值范围.( 1 ? m ? 3 )

4. (1)已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x | x 2 ? (a ?1) x ? a ? 0} , ①若 A B ,求实数 a 的取值范围.; (a?2)

②若 B ? A ,求实数 a 的取值范围.; (1? a ? 2 )

③若 A ? B 为仅含有一个元素的集合,求 a 的值.( a ? 1 )

(2)已知 A ? {x | x ?1 ? 0} , B ? {x | x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0}, 且A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.
x ?3

( 1 ? a ? 3)

(3) 关于 x 的不等式 | x ? (a ? 1)
2

2

|?

(a ? 1) 2 2

与 x 2 ? 3(a ?1) x ? 2(3a ?1) ? 0 的解集依次为 A 与 B , ( a ? ?1, 或1 ? a ? 3 )

若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

(4)设全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? a ? 0}, B ? {x || 2x ? 1 |? 3} ,若 A ? B ? R ,
x ?1

求实数 a 的取值范围. ( ?2 ? a ? 1)

(5)已知全集 U ? R , A ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0}, C ? {x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0} , 若 ( A ? B) ? C ,求实数 a 的取值范围.( 1 ? a ? 2 ) 一元二次不等式及其解法 1 .二次函数的图象及性质 : 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是
x??

? b 4ac ? b 2 ? b ,顶点坐标是 ? ? ? 2a , 4a ? ?. 2a ? ?

2.二次函数的解析式的三种形式: ; f ( x) ? ax2 ? bx ? c (一般式) ; f ( x) ? a( x ? x1 ) ? ( x ? x2 ) (零点式) . f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n (顶点式) 3.一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 或ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的解集: 设相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b 2 ? 4ac ,则 不等式的解的各种情况如下表:
??0 ??0 ??0

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

二次函数
y ? ax2 ? bx ? c

( a ? 0 )的图象 一元二次方程 有两相等实根
x1 ? x 2 ? ? b 2a

有两相异实根
x1 , x2 ( x1 ? x2 )

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R
?

?x x

1

? x ?x 2 ?

4.解一元二次不等式的步骤:

(1)将二次项系数化为“+” :A= ax2 ? bx ? c >0(或<0)(a>0); (2)计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况; (3)写出解集. 5.讨论二次函数 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 在指定区间 ? p, q ?上的最值问题: (1)注意对称轴 x ? ? ①对称轴 ?
b 与区间 ? p, q ? 的相对位置.一般分为三种情况讨论,即: 2a

b 在区间左边,函数在此区间上具有单调性;②对称轴 ? b 在区间 2a 2a b 在区间右边. 2a

之内;③对称轴 ?

(2)函数 y ? ax2 ? bx ? c?a ? 0? 在区间 ? p, q ? 上的单调性.要注意系数 a 的符号对抛 物线开口的影响. 6.二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端 点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置. 三、典型例题选讲 题型 1:考查一元二次函数的性质 例1 函数 y ? x2 ? bx ? c B. b ? 0
( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件是(



A. b ? 0

C. b ? 0

D. b ? 0
b , 2

解:∵函数 y ? x2 ? bx ? c

( x ?[0, ??)) 的对称轴为 x ? ?

∴函数 y ? x2 ? bx ? c(x ?[0, ??) )是单调函数 ?

b b - ? (0, ??) ? ? ? 0 , ? b ? 0 .故选 2 2

A.

归纳小结:二次函数的单调区间是 (??, ?

b b ] 和 [ ? , ?? ) ,结合开口方向就可得 2a 2a

出所需的条件,从而求出 b 的范围. 例 2 已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) , 求函数的解析. 解: ∵二次函数的对称轴为 x ? ? 2 , 可设所求函数为 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? b , ∵ f ( x) 截 x 轴上的弦长为 4 , ∴ ∴
1 ? ? 4a ? b ? 0 ?a ? f ( x) 过点 (? 2 ? 2,0) 和 (? 2 ? 2,0) ,f ( x) 又过点 (0, ?1) , ∴? , 解之得 ? 2 , ?2a ? b ? ?1 ? ?b ? ?2 1 f ( x) ? ( x ? 2) 2 ? 2 . 2

归纳小结:求二次函数的解析式一般采用待定系数法,但要注意根据已知条

件选择恰当的解析式形式:一般式、零点式和顶点式,正确的选择会使解题 过程得到简化. 题型 2:简单不等式的求解问题 例 3 求下列不等式的解集. (1) 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ; (2 ) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 解法一:因为 ? ? 0 , 方程 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ? 1 .所以,原不等式的解集是
2

? ?x x ? ?

1? ?. 2?

解法二:整理,得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . 因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解,所以不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是 ? .从而, 原不等式的解集是 ? . 归纳小结:解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系,按照解一元二次 不等式的步骤求解,必要时要画出二次函数的图象进行观察. 例 4 不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x ? 1 ? x ? 2 ?,求 a 与 b 的值. 解法一:设 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的两根为 x1 、 x2 ,由韦达定理得:
b ? x1 ? x 2 ? ? ? ? a ? ?x ? x ? ? 2 1 2 ? a ? ? b ? ? ?1 ? 2 ? ? a 由题意得 ? ∴ a ? 1 ,b ? ?1 , 此时满足 a ? 0 ,? ? b2 ? 4a ? (?2) ? 0 . 2 ?? ? ?1 ? 2 ? ? a

解法二:构造解集为 ? x ? 1 ? x ? 2 ?的一元二次不等式: ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,即 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,此不等式与原不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 应为同解不等式, 故 a ? 1 , b ? ?1 . 归纳小结:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为 ? x ? 1 ? x ? 2 ?,不等 式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 需满足条件 a ? 0 , ? ? 0 , ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的两根为 x1 ? ?1 , x2 ? 2 .在解题 时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系. 题型 3:含参不等式的求解问题 例 5 解关于 x 的不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 . 证:分以下情况讨论 (1)当 a ? 0 时,原不等式变为: ? x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 ,即不等式的解集为 {x | x ? 1} (2) 当 a ? 0 时,原不等式变为: (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 ① ①当 a ? 0 时,①式变为
1 1 1 ( x ? )( x ? 1) ? 0 ,∴不等式的解为 x ? 1 或 x ? .即不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? } ;② a a a 1 1 1? a 当 a ? 0 时,①式变为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 .②,∵ ? 1 ? , a a a ∴当 0 ? a ? 1 时,1 ? 1 , 此时②的解为 1 ? x ? 1 . 即不等式的解集为 {x |1 ? x ? 1 } ; 当a ?1 a a a

时, 1 ? 1 ,此时②的解为 ? .
a

当 a ? 1 时, 1 ? 1 ,即不等式的解集为 {x | 1 ? x ? 1} .
a a

归纳小结:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准, 就本题来说有三级分类:
?a ? 0 ? ?a ? 0 ? ? ? a ? R? ?0 ? a ? 1 ? ?a ? 0?a ? 0?a ? 1 ? ? ? ?a ? 1 ? ? ? ? ?

分类应做到使所给参数 a 的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不 漏.另外,解本题还要注意在讨论 a ? 0 时,解一元二次不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 应 首选做到将二次项系数变为正数再求解. 题型 4:一元二次不等式的应用 例 6 (1) ( 2008 天 津 卷 理 ) 已 知 函 数 f ?x? ? ? ? ) B. ?x | x ? 1? D. ?x | ?
? x ?1 ? x ?1 x?0 x?0

,则不等式

A. ?x | ?1 ? x ? 2 ? 1? C. ?x | x ? 2 ? 1? 解:依题意得 ? ? 所以 ? ?

x ? ?x ? 1? f ?x ? 1? ? 1的解集是(

2 ?1 ? x ? 2 ?1

?
C.

x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 或? ? x ? ( x ? 1)(? x) ? 1 ? x ? ( x ? 1) x ? 1

? x ? ?1 x ? ?1 ? 或? ? x ? ?1或 ?1 ? x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?1 ,选 ? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1 ? ?x ? R ?
2

(2) (2007 重庆理)若函数 f(x) = 2 x ?2ax?a ? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围 为_______. 解: 函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ax?a ? 1 的定义域为 R,? 对一切 x ? R 都有 2x ?2ax?a ? 1 恒成立, 即 x2 ? 2ax ? a ? 0 恒成立, ?? ? 0 成立,即 4a 2 ? 4a ? 0 ,??1 ? a ? 0 ,故选 A. 归纳小结:解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进 行综合考查, 一般是借助于函数的性质和图象进行转化,再求解一元二次不等式,利用一 元二次不等式分析相应一元二次函数的性质,体现“三个二次”之间的紧密 联系,这也是一元二次不等式的重要考点之一. 例 7 已知函数 y ? ? sin 2 x ? a sin x ? a ? 1 的最大值为 2 ,求 a 的值.
2

2

2 a 2 1 2 解:令 t ? sin x , t ? [?1,1] ,∴ y ? ?(t ? ) ? (a ? a ? 2) ,对称轴为 t ? a ,当 ?1 ? a ? 1 , 2 2 2 4

4

即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? 1 (a 2 ? a ? 2) ? 2 ,得 a ? ?2 或 a ? 3 (舍去) .当 a ? 1 ,即 a ? 2 时,
4
2

函数 y ? ?(t ? a )2 ? 1 (a 2 ? a ? 2) 在 [?1,1] 上单调递增,由 ymax ? ?1 ? a ? 1 a ? 1 ? 2 ,得 a ? 10 ;
2 4 4 2
3
a a 1 ? ?1 , 即 a ? ?2 时 , 函 数 y ? ?(t ? ) 2 ? ( a 2 ? a ? 2) 2 2 4 1 1 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去) . 4 2 综上可得, a 的值为 a ? ?2 或 a ? 10 . 3



在 [?1,1] 上 单 调 递 减 , 由

归纳小结:令 t ? sin x ,问题就转化为二次函数的区间最值问题,再由对称轴与 区间 [?1,1] 的三种位置关系的讨论就可求得 a 的值.此题中要注意 a ? 0 的条件. 例 8 设不等式 x2 ? 2ax ? a ? 2 ? 0 的解集为 M ,如果 M ? [1, 4] ,求实数 a 的取值范 围? 解: M ? [1, 4] 有两种情况:其一是 M = ? ,此时 ? <0;其二是 M≠ ? ,此时 ? =0 或 ? > 0 , 分 三 种 情 况 计 算 a 的 取 值 范 围 . 设 f ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? 2 , 有 ? = (?2a)2 ? 4(a ? 2) = 4(a 2 ? a ? 2) ,当 ? <0 时,-1< a <2, M = ? ? [1, 4] ;当 ? =0 时, a =-1 或 2;当 a =-1 时 M = {?1} ? [1, 4] ;当 a =2 时, m = {2} ? [1, 4] 当 ? >0 时,a<-1 或 a>2.设方程 f ( x) ? 0 的两根 x1 , x2 ,且 x1 < x2 ,那么 M=
??a ? 3 ? 0 , ?18 ? 7 a ?0 , ? ? f (1) ? 0, 且f (4) ? 0 [ x1 , x2 ] ,M ? [1, 4] ? 1≤x1<x2≤4 ? ? ,即 ? 解得 2< a a ? 0 , ?1 ? a ? 4, 且? ? 0 ? ? ?a ? ?1或a ? 2,

< 18 ,∴M ? [1,4]时, a 的取值范围是(-1, 18 ).
7 7

一元二次不等式解法应试能力测试 1.不等式 6 ? x ? 2x 2 ? 0 的解集是( ) A. {x | ? 3 ? x ? 2} B. {x | ?2 ? x ? 3} C. {x | x ? ? 3 或x ? 2} D. {x | x ? ?2或x ? 3}
2 2 2 2

2.设集合 M={x|0≤x<2}, N ? {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0} ,则有 M∩N=( ) A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x ≤2} 3.对于任意实数 x,不等式 ax 2 ? 2ax ? (a ? 2) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.-1≤a≤0 B.-1≤a<0 C.-1<a≤0 D.-1<a<0 4.不等式 (x 2 ? 4)(x ? 6) 2 ? 0 的解集为( ) A.{x|-2≤x≤2} B.{x|x≤-2 或 x≥2} C.{x|-2≤x≤2 或 x =6} D.{x|x≥2} 5.已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 4 ? 0,x ? Z} , B ? {x | 2x 2 ? x ? 6 ? 0,x ? Z} ,则 A∩B 的非空真子集

个数为( ) A.2 B .3 C .7 D .8 6.已知 A ? {x | x 2 ? px ? q ? 0} , B ? {x | x ? 3 ? 0} ,且 A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},
x ?1

则 p、q 的值为( ) A. p=-3, q=-4 B. p=-3, q=4 C. p=3, q=-4 D. p =3,q=4 7.若关于 x 的二次不等式 mx2 ? 8mx ? 21 ? 0 的解集是{x|-7<x<-1},则实数 m 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.不等式 ax<b 与 x 2 ? x ? 1 ? 0 同解,则( ) A.a=0 且 b≤0 B.b=0 且 a>0 C.a=0 且 b>0 D.b= 0 且 a<0 1.不等式 2x 2 ? 3 | x | ?35 ? 0 的解为_______________. 2.使函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 ? 1 有意义的 x 的取值范围是_______________.
3? | x |

3.已知 A ? {x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x 2 ? (a ? 1)x ? a ? 0} ,若 A ? ? B ,则 a 的取值范围是 _______________; 若 A ? B ,则 a 的取值范围是_______________. 4.关于 x 的不等式 a ? x ? 0 (a+b>0)的解集是_______________.
x?b

1.为使周长为 20cm 的长方形面积大于 15cm 2 ,不大于 20cm 2 ,它的短边要取多 长?

2.解不等式 | x 2 ? 2x |? 1 x .
2

3.解关于 x 的不等式 ax 2 ? 2(a ? 1)x ? 4 ? 0 (a>0).

4.k 为何值时,关于 x 的不等式 2x 2 ? 2kx ? k ? 1 对一切实数 x 恒成立.
2

4x ? 6x ? 3

参考答案 一、 1.D 2.B 3.C 4.C 5.A 提示:因为 A∩B={3,4} 6.A 提示:因 B={x|x<-1 或 x>3},由已知得 A={x|-1≤x≤4}∴-1,4 是 x 2 ? px ? q ? 0 的两根,∴p=-3,q=-4. 7.C 8.A,提示:因 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解为 ? ,只有 a=0 且 b≤0 时,ax<b 解 为? 二、 1.x<-5 或 x>5 提示:原不等式化为 2 | x |2 ?3 | x | ?35 ? 0 ,∴|x|>5 2.{x|-3<x≤-1} 3.a>2,1≤a≤2 ,提示:∵A={x|1≤x≤2},B={x|(x -1)(x-a)≤0},∵ A ? ? B ,∴a>2 4. {x|x<-b 或 x>a}, 提示: 原不等式可化为(a-x)(x+b)<0, 即(x-a)(x+b)>0, ∵a+b>0,∴a>-b,∴x>a 或 x<-b. 三、 1.设长方形较短边长为 x cm,则其邻边长(10-x)cm,显然 0<x<5,由已知
?5 ? 10 ? x ? 5 ? 10 ?x (10 ? x ) ? 15 ,∴ ? ? ? ? ?x (10 ? x ) ? 20 ?x ? 5 ? 5或x ? 5 ? 5

∴5?

10 ? x ? 5 ? 5 . 2.当 x≤0 时,不等式无解,当 x>0 时,不等式化为 1 1 x | x ? 2 |? x ,即 | x ? 2 |? 2 2 3 5 解得: ? x ? 3.原不等式化为(ax-2)(x-2)>0 ,∵ a>0,∴(x ? 2 )(x ? 2) ? 0 , 2 2 a 2 当 a=1 时, ? 2 , ∴(x ? 2) 2 ? 0 , ∴ {x|x∈ R 且 x≠2}, 当 a≠1 时: 若 a>1, 则 2 ? 2, a a ∴{x | x ? 2 或x ? 2} ,若 0<a<1,则 2 ? 2 ,∴{x | x ? 2或x ? 2 } . a a a

4. ∵ 4x 2 ? 6x ? 3 恒正,∴不等式化为 2x 2 ? 2kx ? k ? 4x 2 ? 6x ? 3 , 即 2x 2 ? (6 ? 2k)x ? (3 ? k) ? 0 恒成立

∴⊿ ? (6 ? 2k) 2 ? 8(3 ? k) ? 0 ,∴ k 2 ? 4k ? 3 ? 0 ,∴1<k<3.


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