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2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量专题跟踪训练9 文


专题跟踪训练(九)
一、选择题 1.(2015·四川卷)设向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,则实数 x=( A.2 B.3 C.4 D.6 [解析] 由向量 a=(2,4)与向量 b=(x,6)共线,可得 4x=2×6,解得 x=3. [答案] B 2.(2015·新课标全国卷Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( A.-1 B.0 C.1 D.2 [解析] a=(1,-1),b=(-1,2),∴(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. [答案] C 3.设 e1,e2 为单位向量,且夹角为 30°,若 a=e1+3e2,b=2e1,则 a 在 b 方向上的 投影为( ) B. D.
2

)

)

A.3 3+2 C.5

3 3 +1 2 5 2

[解析] 依题意得 a·b=2e1+6e1·e2=2+3 3,|b|=2,向量 a 在 b 方向上的投影等 于

a·b 3 3 =1+ ,故选 B. |b| 2
[答案] B 4.已知两平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=1,且 a⊥b,则|a-2b|=( A. 3 B.3 C. 5
2 2

)

D.5
2

[解析] |a-2b| =a +4b -4a·b=5,所以|a-2b|= 5,故选 C. [答案] C → A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 → → → → → [答案] C
1

→ →





→ )

5. (2015·江西八校联考)在△ABC 中, “AB·AC=BA·BC”是“|AC|=|BC|”的(

[解析] AB·AC=BA·BC?bccos A=accos B?bcos A=acos B?sin Bcos A=sin Acos → → → → →

B?tan A=tan B?A=B?a=b,故AB·AC=BA·BC是|AC|=|BC|的充要条件,故选 C.

6. (2015·福建卷)设 a=(1,2), b=(1,1), c=a+kb.若 b⊥c, 则实数 k 的值等于( 3 5 A.- B.- 2 3 5 3 C. D. 3 2

)

3 [解析] 因为 c=(1+k,2+k),b·c=0,所以 1+k+2+k=0,解得 k=- ,故选 A. 2 [答案] A 7.(2015·北京卷)设 a,b 是非零向量.“a·b=|a||b|”是“a∥b”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

[解析] 若 a·b=|a||b|, 则 a 与 b 的方向相同, 所以 a∥b.若 a∥b, 则 a·b=|a||b|, 或 a·b=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,选 A. [答案] A π 8.已知向量 a,b,且|a|= 3,a 与 b 的夹角为 ,a⊥(2a-b),则|b|=( 6 A.2 C. 3 [ 解析 ] B.4 D.3 解法一:由 a ⊥ (2a - b) 知, a·(2a - b) = 2a - a·b = 0 ,故 a·b = 2a =
2 2

)

π 2 2×( 3) =6,a·b=|a|×|b|cos?a,b?= 3×|b|×cos =6,解得|b|=4.故选 B. 6

→ → π 解法二:如图,作OA=a,OB=b,? a,b ?= ,作OC=2a,则BC=2a-b.由 a⊥(2a 6





OC 2 3 3 -b)可知,OC⊥BC.在 Rt△OCB 中,OC=2|a|=2 3,cos ? a,b ?= = = ,解得 OB |b| 2
|b|=4.故选 B. [答案] B → → 9. (2015·贵阳七校联盟)在△ABC 中, AB=4, ∠ABC=30°, D 是边 BC 上的一点, 且AD·AB

2

→ →

→ → )

=AD·AC,则AD·AB的值为( A.0 B.-4 C.8 D.4 → → → →











→ → → →

[解析] 由AD·AB=AD·AC,得AD·(AB-AC)=0,即AD·CB=0,所以AD⊥CB,即 AD ⊥ CB.又 AB = 4,∠ABC=30°,所以 AD= ABsin 30°=2 ,∠ BAD=60°,所以AD ·AB =

AD·AB·cos∠BAD=2×4× =4,故选 D.
[答案] D → 10.(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是平行四边形,AB= → → → ) (1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=( A.5 B.4 C.3 D.2 → [解析] =5,故选 A. [答案] A π 11.等腰直角三角形 ABC 中,A= ,AB=AC=2,M 是 BC 的中点,P 点在△ABC 内部或 2 → A.[-1,0] C.[-2,-1] → ) B.[1,2] D.[-2,0] 其边界上运动,则BP·AM的取值范围是( → → → → 由AC=AB+AD=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),得AD·AC=(2,1)·(3,-1)

1 2

[解析] 以点 A 为坐标原点,射线 AB,AC 分别为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐 标系,如右图,则 B(2,0),M(1,1).设 P(x,y),由于点 P 在△ABC 内部或其边界上运动, → → → → 故 x≥0,y≥0 且 x+y≤2,BP·AM=(x-2,y)·(1,1)=x-2+y,所以BP·AM的取值范围
3

是[-2,0],故选 D. [答案] D 12.(2015·湖南卷)已知点 A,B,C 在圆 x +y =1 上运动,且 AB⊥BC,若点 P 的坐标 → → → ) 为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为( A.6 B.7 C.8 D.9 [解析] 因为点 A,B,C 均在单位圆上,A,C 为单位圆直径的两个端点,故可令 A(cos
2 2

x, sin x), B(cos(x+α ), sin(x+α ), C(-cos x, -sin x), 其中 α ∈(0,2π ), 且 α ≠π ,
→ → → → → → ∴ PA + PB + PC = (cos(x + α ) - 6 , sin(x + α )) , ∴ | PA + PB + PC | = [cos?x+α ?-6] +sin ?x+α ?= 37-12cos?x+α ?≤7,选 B. [答案] B 二、填空题 → 数 t 的值为________. → =5. [答案] 5 → → [解析] =3 =9. [答案] 9 15.(2015·北京朝阳一模)已知平面向量 a,b 满足|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)= -2,则 a 与 b 的夹角为____________. 解析: 设向量 a, b 的夹角为 θ , 则(a+2b)·(a-b)=a +a·b-2b =4+2×2×cos θ 1 π -8=-2,解得 cos θ = ,故 θ = . 2 3 [答案] π 3
2 2 2 2 2



13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知OA=(-1,t),OB=(2,2).若∠ABO=90°,则实

→ →

→ →

[解析] AB=OB-OA=(3,2-t),由题意知OB·AB=0,即 2×3+2(2-t)=0,解得 t



→ → → →

→ → → → →
2

14.(2015·湖北卷)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=________. → → → → →
2

因为OA⊥AB,|OA|=3,所以OA·OB=OA·(OA+AB)=|OA| +OA·AB=|OA|

16.(2015·河南郑州第二次质量预测)已知点 A(-1,1)、 → →

B(0,3)、C(3,4),则向量AB在AC方向上的投影为________.
4

→ → → 则 cos θ =







[解析] 由题意知向量AB=(1,2),向量AC=(4,3),设向量AB与向量AC的夹角为 θ ,

AB·AC
→ →






2 2

,又AB·AC=1×4+2×3=10,|AB|= 1 +2 = 5,

|AB||AC| → → → 2 5 |AC|= 4 +3 =5, 所以 cos θ = , 所以向量AB在向量AC方向上的投影为|AB|cos θ 5
2 2



=2. [答案] 2

5


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