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抛物线经典性质总结


抛物线的定义及性质
一、抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点 F 叫 做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 标准方程 y 2 ? 2 px ( p ? 0 ) y 2 ? ?2 px ( p ? 0 ) x2 ? 2 py ( p ? 0 ) x2 ? ?2 py ( p ? 0 )

y
图形

y

y

O

F

?

x
F

?

F?

F?

y O

x

O

x
? p? ? 0, ? ? 2? p y?? 2

O

x
p? ? ? 0, ? ? 2? ? p y? 2
y轴

焦点

准线

?p ? ? ,0? ?2 ? p x?? 2

? p ? ? ? ,0? ? 2 ? p x? 2

对称轴 顶点 离心率

x轴

? 0, 0?
e ?1

抛物线焦点弦性质总结 30 条

A'

A(X1,Y1)

C'

C(X3,Y3)

a O B' F

B(X2,Y2)

基础回顾
1

1. 以 AB 为直径的圆与准线 L 相切;

p2 ; 4 3. y1?y 2 ? ? p2 ; ? 4. ?AC ' B ? 90 ; ? 5. ?A ' FB ' ? 90 ;
2. x1?x 2 ? 6. 7.

AB ? x1 ? x2 ? p ? 2( x3 ?

p 2p )? ; 2 sin 2 ?

1 1 2 ? ? ; AF BF P
' '

8. A、O、 B 三点共线; 9. B、O、 A 三点共线; 10. S ? AOB ?

P2 ; 2sin ?

S ? 2 AOB P ? ( )3 (定值) 11. ; AB 2
12. AF ? 13. 14. 15. 16.

P P ; BF ? ; 1 ? cos ? 1 ? cos ? BC ' 垂直平分 B ' F ; AC' 垂直平分 A ' F ; C ' F ? AB ; AB ? 2P ;

17. CC ' ? 18. KAB=

1 1 AB ? ( AA ' ? BB ' ) ; 2 2

P ; y3 y 19. tan ? = 2 p ; x2 - 2
20. A'B' ? 4 AF ? BF ;
2

21. C'F ?

1 A'B' . 2

22. 切线方程 y0 y ? m?x0 ? x ? 性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有 何特殊之处? 结论 1:交点在准线上 先猜后证: 当弦 AB ? x 轴时, 则点 P 的坐标为 ? ?

? ?

p ? ,0 ? 在准线上. 2 ?
2

证明: 从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时, 切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立? 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点 先猜后证:过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线,则过两切点 AB 的弦必过焦点. 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径. 3、AB 是抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)焦点弦,Q 是 AB 的中点,l 是抛物线的准线, AA ? l , 1

BB1 ? l ,过 A,B 的切线相交于 P,PQ 与抛物线交于点 M.则有
结论 6PA⊥PB. 结论 7PF⊥AB. 结论 8 M 平分 PQ. 结论 9 PA 平分∠A1AB,PB 平分∠B1BA. 结论 10 FA ? FB ? PF 结论 11 S ?PAB
2

min

? p2

二)非焦点弦与切线 思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论 12 ① xp ?

y ? y2 y1 y2 , yp ? 1 2 2p

结论 13 PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分∠B1BA. 结论 14 ?PFA ? ?PFB 结论 15 点 M 平分 PQ 结论 16

FA ? FB ? PF

2

相关考题 1、已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F,A,B 是抛物线上的两动点,且 AF ? ? FB ( ? >0) ,过 A,
2

B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M, (1)证明: FM ? AB 的值;
3

(2)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f ?? ?的表达式,并求 S 的最小值. 2、已知抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ,焦点为 F,准线为 l,直线 m 交抛物线于两点 A,B; (1)过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D,求证: AF ? DF ; (2)若直线 m 过焦点 F,分别过点 A,B 的两条切线相交于点 M,求证:AM⊥BM,且点 M 在直 线 l 上. 3、对每个正整数 n, An ?xn , yn ? 是抛物线 x2 ? 4 y 上的点,过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点

Bn ?sn , tn ? , (1)试证: xn ? sn ? ?4 (n≥1)
(2)取 xn ? 2n ,并 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点,求证:

FC1 ? FC2 ? ?? FCn ? 2n ? 2?n?1 ? 1 (n≥1)

4


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