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平顶山市2009-2010学年高二上学期期末调研考试--理科数学

平顶山市 2009~2010 学年第一学期期末调研考试

高二理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.试卷满分 150 分.考试时间 100 分 钟.

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效.

.........

3.第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 一.选择题 (1)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 (A)1 (B)

5 3

(C)-2

(D)3

(2)在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为 (A)

2π 3

(B)

5π 6

(C)

3π 4

(D)

π 3

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 (3)双曲线 4 9
(A) y ? ?

3 x 2

(B) y ? ?

2 x 3

(C) y ? ?

9 x 4

(D) y ? ?

4 x 9

(4)对任意实数 a , b , c ,在下列命题中,真命题是 (A) " ac ? bc " 是 " a ? b " 的必要条件 (C) " ac ? bc " 是 " a ? b " 的充分条件 (B) " ac ? bc " 是 " a ? b " 的必要条件 (D) " ac ? bc " 是 " a ? b " 的充分条件

(5)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? (A)64 (B)81 (C)128 (D)243

-1-

(6)已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 a ? b ? 2 ,则 (A) ab ?

1 2

(B) ab ?

1 2

(C) a2 ? b2 ? 2

(D) a 2 ? b 2 ? 3

(7)不等式 | x2 ? x |? 2 的解集为 (A) (?1 2) , (B) (?11) , (C) (?2, 1) (D) (?2, 2)

(8) 设 a、b 是异面直线,a 与 b 所成角为 60°.二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? . 如果 a ? ? , b ? ? ,那么 ? ? (A)60° (B)120° (C)60°或 120° (D) ? 不能确定

(9)设 a,b,c 都是实数.已知命题 p : 若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ;命题 q : 若 a ? b ? 0 , 则 ac ? bc .则下列命题中为真命题的是 (A) (?p) ? q (B) p ? q (C) (?p) ? (?q) (D) (?p) ? (?q)

(10)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上, a 2 b2

且 BF⊥x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P,若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是 (A)

3 2

(B)

2 2

(C)

1 3

(D)

1 2

(11)在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两互相垂直,且 OA=OB=OC, M 是 AB 边的中点,则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是 (A) 2 (B)

2 2
2

(C)

3 3

(D) 3

(12)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 (A) y ? ? 4 x
2

(B)y ? ? 8x
2

(C)y ? 4 x
2

(D) y ? 8x
2

-2-

第Ⅱ卷
注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证 号填写清楚. 2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答,在试题卷上作答无效.

.........

3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (13)设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 则 ?an ? 的前 n 项和 Sn =_________. (14)设椭圆

x2 y 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点相同, 2 m n
1 ,则此椭圆的方程为__________. 2

离心率为

(15)在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点, 那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是__________. (16)已知函数 f ( x) ? mx ? 2 x ? 1, g ( x) ? mx ,若对任意实数 x , f ( x ) 与 g ( x) 的值
2

至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分) 在△ABC 中, cos B ? ?

5 4 , cos C ? ,AB=13,求 BC. 13 5

(18)(本小题满分 12 分) 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13 .
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?
-3-

(19)(本小题满分 12 分)

设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (Ⅰ)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (Ⅱ)如果 ?x ? R , f ( x) ? 2 ,求 a 的取值范围.

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为 正方形,短轴长为 2. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 过 P ( ?

1 1 , ) 且与椭圆相交于 A,B 两点,当 P 是 AB 的中点时, 2 2

求直线 l 的方程.

(21)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, SD 垂直于底面 ABCD,SB= 3 . (Ⅰ)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小; (Ⅱ)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 SBC 的距离.

(22)(本小题满分 12 分) 设 F 是抛物线 G: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,过 F 且与抛物线 G 的对称轴垂直的直线被抛
2

物线 G 截得的线段长为 4. (Ⅰ)求抛物线 G 的方程; (Ⅱ)设 A、B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA⊥FB,延长 AF、BF 分别交抛物 线 G 于点 C、D,求四边形 ABCD 面积的最小值.

-4-

高二数学(上) (理科)期末试题答案
一.选择题:
(1)C (2)A (3)A (4)B (5)A (6)C (7)A (8)C (9)D (10)D (11)A (12)B

二.填空题:
n2 7n x2 y 2 2 ? ? ? 1 ,(15) , (16) m >0. (13) ,(14) 5 4 4 16 12

三.解答题:
(17)(本小题满分 10 分) 解:由 cos B ? ?

5 ? 0 ,得 B 为钝角,A,C 为锐角, 13 12 且 sin B ? , 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5
∴ sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?

33 . 65

BC AB ? , sin A sin C AB ? sin A 33 5 ? 13 ? ? ? 11 . ∴ BC ? sin C 65 3
∵AB=13,由正弦定理得 (18)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q , 则由题意有 q ? 0 且 ?

?1 ? 2d ? q 4 ? 21, ? 2 ?1 ? 4d ? q ? 13, ?

解得 d ? 2 , q ? 2 . ∴ an ? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 , bn ? q (Ⅱ)∵
n?1

? 2n?1 .

3 5 2n ? 3 2n ? 1 an 2n ? 1 ? n?1 ,∴ Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,① 2 2 2 2 bn 2

5 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? n ?3 ? n ? 2 , ② 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2
∴ 2Sn ? 2 ? 3 ?
-5-

1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 2 ? 2 ? 2 2

1 n ?1 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2 1?
(19)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| , 由 f ( x ) ≥3 得 | x ? 1| ? | x ? 1| ≥3. (ⅰ) x ? ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ? 3 ,即 x ? ?

3 ; 2

(ⅱ) ?1 ? x ? 1 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,无解; (ⅲ) x ? 1 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即 x ?

3 ; 2

综上可得, f ( x) ? 3 的解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??) . (Ⅱ)若 a ? 1 , f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件;

3 2

3 2

??2 x ? a ? 1, x ? a, ? 若 a ? 1 , f ( x ) ? ?1 ? a, a ? x ? 1 , f ( x ) 的最小值为 1 ? a ; ?2 x ? (a ? 1), x ? 1 ? ??2 x ? a ? 1, x ? 1, ? a ? 1 , f ( x) ? ?a ? 1,1 ? x ? a , f ( x ) 的最小值为 a ? 1 ; ?2 x ? (a ? 1), x ? a ?
所以 ?x ? R , f ( x) ? 2 的充要条件是 | a ? 1|? 2 , 从而 a 的取值范围为 (??, ?1] ? [3, ??) . (20)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b

-6-

?a 2 ? 2 ?b ? c ? ? (Ⅰ)由已知可得 ? 2b ? 2 ? ?b2 ? 1 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?c 2 ? 1 ? ?
x2 ? y 2 ? 1. ∴所求椭圆方程为 2
(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ) ?

1 2

1 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 2



x12 x2 y ?y 1 x ?x 2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 ? 1,两式相减得: 1 2 ? ? ? 1 2 . 2 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2
x1 ? x2 1 y ? y2 1 ?? , 1 ? , 2 2 2 2

∵P 是 AB 的中点,∴

代入上式可得直线 AB 的斜率为 k ? ∴直线 l 的方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . 当直线 l 的斜率不存在时,将 x ? ?

y1 ? y2 1 ? , x1 ? x2 2

1 代入椭圆方程并解得 2

1 14 1 14 ), A(? , ) , B(? , ? 2 4 2 4
这时 AB 的中点为 (?

1 1 , 0) ,∴ x ? ? 不符合题设要求. 2 2

综上,直线 l 的方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . (特别说明:没说明斜率不存在这种情况扣 2 分) (21)(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)∵SD⊥底面 ABCD,ABCD 是正方形,∴CD⊥平面 SAD,AD⊥平面 SDC, 又在 Rt△SDB 中, SD ? SB2 ? BD2 ? 3 ? 2 ? 1 . 以 D 为坐标原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DS 为 z 轴,建立空间直角坐标系 (如图) , 则 A(1, 0, 0) , B(1,1, 0) , C (0,1, 0) , S (0, 0,1) .

-7-

设平面 SBC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 n1 ? CB , n1 ? CS , ∵ CB ? (1,0,0) , CS ? (0, ?1,1) ,

?

?

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ??? ? n1 ? CB ? x ? 0 ? ? ∴ ? ? ??? ,∴可取 n1 ? (0,1,1) . ? ?n1 ? CS ? ? y ? z ? 0 ?
∵CD⊥平面 SAD,∴平面 SAD 的法向量 n2 ? (0,1,0) . ∴ cos n1 , n2 ?

?

? ?

0 ? 0 ? 1?1 ? 1? 0 02 ? 12 ? 12 ? 02 ? 12 ? 02

?

2 , 2

∴面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小为 45°. (Ⅱ)∵ M ( , 0, ) ,∴ DM ? ( , 0, ) , SB ? (1,1, ?1) ,

???? ? 1 1 ??? 1 1 2 2 2 2 ???? ??? 1 ? 1 又∵ DM ? SB ? ? 1 ? 0 ? 1 ? ? (?1) ? 0 ,∴DM⊥SB, 2 2
∴异面直线 DM 与 SB 所成角的大小为 90°.

(Ⅲ)由(Ⅰ)平面 SBC 的法向量为 n ? (0,1,1) ,∵ DB ? (1,1,0) ,

?

??? ?

? ? ??? ??? ? ? n ? DB 0 ?1 ? 1?1 ? 1? 0 2 ∴ DB 在 n 上的射影为 d ? , ? ? ? 2 2 2 n 2 0 ?1 ?1
∴点 D 到平面 SBC 的距离为

2 . 2

(特别说明:用传统解法每问应同步给分) (22)(本小题满分 12 分) 解: (I)∵抛物线 G 的焦点为 F (

p , 0) , 2 p p p ∵直线 x ? 与 G 的交点为 ( , p ) , ( , ? p ) , 2 2 2
∴依题意可得 2 p ? 4 ,∴ p ? 2 , ∴抛物线 G 的方程为 y ? 4 x .
2

(II)设 A( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) ,由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,且 k ? 0 ,

-8-

∵直线 AC 过焦点 F (1, 0) ,所以直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 1) . ∵点 A,C 的坐标满足方程组 ?

? y ? k ( x ? 1),
2 ? y ? 4 x,

∴消去 y 得: k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ,

4 ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 2 , 由根与系数的关系得: ? k ? x1 x2 ? 1. ?
∴ AC ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4(1 ?

1 ). k2

因为 AC ? BD ,所以 BD 的斜率为 ? 同理,可以求得: BD ? 4(1 ? k 2 ) . ∴ S ABCD ?

1 1 ,从而 BD 的方程为 y ? ? ( x ? 1) . k k

1 1 AC ? BD ? 8(2 ? k 2 ? 2 ) ? 32 ,当且仅当 k 2 ? 1 时,等号成立, 2 k

所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32.

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