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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 大题专项练6 高考中的概率 文 北师大版


高考大题专项练 6

高考中的概率、统计与统计案例

高考大题专项练第 12 页 1.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下 一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需 求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率. 解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X) =800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T= (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7, 所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7.?导学号 32470892 ? 2.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验 的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

解:(1)设 A 药观测数据的平均数为,B 药观测数据的平均数为. 由观测结果可得 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5) =2.3, (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上计算结果可得,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:

1

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试验结果有的叶 集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好.?导学号 32470893? 3.某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如表所示: 年 收 入 x 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10

/
万 元 年 饮 食 支 0. 1. 1. 2. 2. 1. 1. 2. 2. 2. 出 9 4 6 0 1 9 8 1 2 3

y /

万 元 (1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出. 解:(1)由题意,知年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变量,作散点图如图.

从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系,因此可以 用线性回归方程刻画它们之间的关系. 因为=6,=1.83,=406,=35.13. xiyi=117.7,所以 b=≈0.172, a=-b≈1.83-0.172×6=0.798. 从而得到线性回归方程为 y=0.172x+0.798. (2)y=0.172×9+0.798=2.346(万元). 所以家庭年收入为 9 万元时,可以预测年饮食支出为 2.346 万元.?导学号 32470894? 4.某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级.若 S≤4,则该产品 为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品作为样本,其质量指标列表如下: 产品 A1 A2 A3 A4 A5 编号 质量 (1,1 (2,1 (2,2 (1,1 (1,2 指标 ,2) ,1) ,2) ,1) ,1) (x,y 2

,z) 产品 A6 A7 A8 A9 A10 编号 质量 指标 (1,2 (2,1 (2,2 (1,1 (2,1 (x,y ,2) ,1) ,1) ,1) ,2) ,z)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 B 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”,求事件 B 发生的概率. 解:(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表: 产 品 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 编 号 S 4463454535

其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该样本的一等品率为=0.6,从而可估计该批产品的一等 品率为 0.6. (2)①在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 {A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4,A9},{ A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种. ②在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有 可能结果为{A1,A2},{A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共 6 种.所以 P(B)=.?导学号 32470895? 5.某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产 品的结果如下: (a,b),(a,),(a,b),(,b),(),(a,b),(a,b),(a,),(,b),(a,),(),(a,b),(a,),(,b),(a,b) 其中 a,分别表示甲组研发成功和失败;b,分别表示乙组研发成功和失败. (1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记 1 分,否则记 0 分.试计算甲、乙两组研发新产品的成 绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平; (2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率. 解:(1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1, 其平均数为; 方差为. 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1, 其平均数为; 方差为. 因为, 所以甲组的研发水平优于乙组. (2)记 E={恰有一组研发成功}. 在所抽得的 15 个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a,),(,b),(a,),(,b),(a,),(a,),(,b), 共 7 个.故事件 E 发生的频率为. 将频率视为概率,即得所求概率为 P(E)=.?导学号 32470896? 6.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表 所示: 3

喜欢 不喜欢 合 甜品 甜品 计 南方 60 学生 北方 10 学生 合计 70 20 10 30 80 20 100

(1)根据表中数据,问是否有 95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差 异”; (2)已知在被调查的北方学生中有 5 名数学系的学生,其中 2 名喜欢甜品,现在从这 5 名学生中随机 抽取 3 人,求至多有 1 人喜欢甜品的概率. 2 附:χ =,其中 n=a+b+c+d.

P(χ 2> 0.1 0.0 0.0 k0) 00 50 10 2.7 3.8 6.6 k0
06 41 35

解:(1)将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 χ =≈4.762. 由于 4.762>3.841, 所以有 95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异. (2)从 5 名数学系学生中任取 3 人的一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω ={(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1 ,b3),(b1,b2,b3)}. 其中 ai 表示喜欢甜品的学生,i=1,2,bj 表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.Ω 由 10 个基本事件组 成,且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“3 人中至多有 1 人喜欢甜品”这一事件,则 A={(a1,b1,b2),(a1,b2,b3),(a1,b1,b3),(a2,b1,b2),(a2,b2,b3),(a2,b1,b3),(b1,b2,b3)}. 事件 A 是由 7 个基本事件组成,因而 P(A)=.?导学号 32470897?

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