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2014届高三数学一轮复习巩固与练习:三角函数的图象与性质


巩固 π 1.函数 f(x)=tan(x+ )的单调增区间为( ) 4 π π A.(kπ - ,kπ + ),k∈Z B.(kπ ,(k+1)π ),k∈Z 2 2 3π π π 3π C.(kπ - ,kπ + ),k∈Z D.(kπ - ,kπ + ),k∈Z 4 4 4 4 π π π 解析:选 C.由 kπ - <x+ <kπ + (k∈Z), 2 4 2 3π π? ? 得单调增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 4 4? ? π 2. (2009 年高考四川卷)已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R), 下面结论错误的是( 2
源:学科网]

)

[来

A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π B.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π 解析:选 D.∵y=sin(x- )=-cosx,∴T=2π ,A 正确; 2 π π y=cosx 在[0, ]上是减函数,y=-cosx 在[0, ]上是增函数,B 正确; 2 2 由图象知 y=-cosx 关于直线 x=0 对称,C 正确. y=-cosx 是偶函数,D 错误. π 3. 若函数 y=2cos(2x+φ )是偶函数, 且在(0, )上是增函数, 则实数 φ 可能是( 4
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)

[来

π A.- B.0 2 π C. D.π 2 解析:选 D.依次代入检验知,当 φ =π 时,函数 y=2cos(2x+π )=-2cos2x,此时 π 函数是偶函数且在(0, )上是增函数. 4 1 π 2 4.函数 y= sin( - x)的单调递增区间为________. 2 4 3 1 π 2 1 2 π 解析:由 y= sin( - x)得 y=- sin( x- ), 2 4 3 2 3 4 π 2 π 3 由 +2kπ ≤ x- ≤ π +2kπ ,k∈Z,得 2 3 4 2 9 21π π +3kπ ≤x≤ +3kπ ,k∈Z, 8 8 9 21π 故函数的单调增区间为[ π +3kπ , +3kπ ](k∈Z). 8 8 9 21π 答案:[ π +3kπ , +3kπ ](k∈Z) 8 8 1 5.(原创题)若 f(x)是以 5 为周期的函数,f(3)=4,且 cosα = ,则 f(4cos2α )= 2 ________.

解析:4 cos2α =4(2cos α -1)=-2. ∴f(4cos2α )=f(-2)=f( -2+5)=f(3)=4. 答案:4 2 6.已知函数 f(x)=sin2x-2cos x(x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期; π (2)当 x∈[0, ]时,求函数 f(x)的最大值及相应的 x 值. 2 2 解:(1)f(x)=sin2x-2cos x=sin2x-cos2x-1, π 则 f(x)= 2sin(2x- )-1, 4 所以,函数 f(x)的最小正周期为 π . π π π 3π (2)由 x∈[0, ],得 3x- ∈[- , ], 2 4 4 4 π π 3 当 2x- = ,即 x= π 时,f(x)有最大值 2-1. 4 2 8 练习
[来源:Zxxk.Com]

2

1.函数 y=|sinx|-2sinx 的值域是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[0,3] D.[-3,0] 解析:选 B.当 0≤sinx≤1 时,y=sinx-2sinx=-sinx,此时 y∈[-1,0];当- 1≤sinx<0 时,y=-sinx-2sinx=-3sinx,此时 y∈(0,3],求其并集得 y∈[-1,3]. π π π 2.函数 f(x)=tanω x(ω >0)图象的相邻两支 截直线 y= 所得线段长为 ,则 f( ) 4 4 4 的值是( ) A.0 B.1 π C.-1 D. 4 π π π 解析:选 A.由题意知 T= ,由 = 得 ω =4, 4 ω 4 π ∴f(x)=tan4x,∴f( )=tanπ =0. 4 3.(2009 年高考重庆卷)下列关系式中正确的是( ) A.sin11°<cos10°<sin168° B.sin168 °<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11° 解析:选 C.∵sin168°=sin(180°-12°)=sin12°, cos10°=sin(90°-10°)=sin80°. π 又∵g(x)=sinx 在 x∈[0, ]上是增函数, 2 ∴sin11°<sin12°<sin80°,即 sin11°<sin168°<cos10°. 4. 设点 P 是函数 f(x)=sinω x 的图象 C 的一个对称中心, 若点 P 到图象 C 的对称轴的 π 距离的最小值是 ,则 f(x)的最小正周期是( ) 8 π A. B.π 2 π C.2π D. 4 T π π 解析:选 A.依题意得 = ,所以最小正周期为 T= . 4 8 2

π 2 5. 已知函数 y=2sin ( x+ )-cos2x, 则它的周期 T 和图象的一条对称轴方程是( ) 4 π 3π A.T=2π ,x= B.T=2π ,x= 8 8 π 3π C.T=π ,x= D.T=π ,x= 8 8 π π 2 解析:选 D.∵y=2sin (x+ )-cos2x=1-cos(2x+ )-cos2x=1+sin2x-cos2x 4 2 π π π =1+ 2sin(2x- ), 所以其周期 T=π , 对称轴方程的表达式可由 2x- =kπ + (k∈Z) 4 4 2 kπ 3π 3π 得 x= + (k∈Z),故当 k=0 时的一条对称轴方程为 x= ,故答案为 D. 2 8 8 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数.令 a= 2π 5π 5π f(sin ),b=f(cos ), c=f(tan ),则( ) 7 7 7 A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c 2 5 5 解析:选 A.sin π =sin(π - π )=sin π . 7 7 7 π 5 3 又 < π< π. 2 7 4 5 5 5 5 由三角函数线 tan π <cos π <sin π 且 cos π <0, 7 7 7 7 5 sin π >0.如图. 7 ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ∴?cos π ?<?sin π ?<?tan π ?. ? 7 ? ? 7 ? ? 7 ? 又 f(x)在[0,+∞)上递增且为偶函数, ? 5 ? ? 5 ? ? 5 ? ∴f(?cos π ?)<f(?sin π ?)<f(?tan π ?), ? 7 ? ? 7 ? ? 7 ? 即 b<a<c,故选 A. 1 7 . 函 数 y = lgsinx + cosx- 的 定 义 域 为 2 ________.

?sinx>0 ? 解析:(1)要使函数有意义必须有? 1 ?cosx-2≥0 ? ?sinx>0 ? 即? 1 ?cosx≥2 ?




?2kπ <x<π +2kπ ? 解得? π π ?- 3 +2kπ ≤x≤ 3 +2kπ ?
π ∴2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z, 3

(k∈Z),

π ∴函数的定义域为{x|2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z}. 3

π 答案:{x|2kπ <x≤ +2kπ ,k∈Z} 3 π π 8.已知函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在区间[- , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小 3 4 值等于________. T π 2π 3 解析:由题意知 ≤ ,T= ,∴2ω ≥3,ω ≥ , 4 3 ω 2 3 ∴ω 的最小值等于 . 2 3 答案: 2
?sinx,sinx≤cosx ? 9.对于函数 f(x)=? ? ?cosx,sinx>cosx

,给出下列四个命题:

①该函数是以 π 为最小正周期 的周期函数; ②当且仅当 x=π +kπ (k∈Z)时,该函数取得最小值-1; 5π ③该函数的图象关于 x= +2kπ (k∈Z)对称; 4 π 2 ④当且仅当 2kπ <x< +2kπ (k∈Z)时,0<f(x)≤ . 2 2 其中正确命题的序号是________. (请将所有正确命题的 序号都填上) 解析:画出 f(x)在一个周期[0,2π ]上的图象.

答案:③④ π 10.已知函数 f(x)=log2[ 2sin(2x- )]. 3 (1)求函数的定义域; (2)求满足 f(x)=0 的 x 的取值范围. π π π π 解: (1)令 2sin(2x- )>0?sin(2x- )>0?2kπ <2x- <2 kπ +π , ∈Z?kπ + k 3 3 3 6 2 π 2 <x<kπ + π ,k∈Z.故函数的定义域为(kπ + ,kπ + π ),k∈Z. 3 6 3

π 2 π π 3 (2)∵f(x)=0,∴sin(2x- )= ?2x- =2kπ + 或 2kπ + π ,k∈Z?x=kπ 3 2 3 4 4 7 13 7 13 + π 或 x=kπ + π ,∈Z, x 的取值范围是{x|x=kπ + π 或 x=kπ + π ,∈Z}. k 故 k 24 24 24 24 π 2 11.已知函数 f(x)=sin ω x+ 3sinω xsin(ω x+ )(ω >0)的最小正周期为 π . 2 (1)求 ω 的值; 2π (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围. 3
[来源:Zxxk.Com]

1-cos2ω x 3 解:(1)f(x)= + sin2ω x 2 2 3 1 1 sin2ω x- cos2ω x+ 2 2 2 π 1 =sin(2ω x- )+ . 6 2 因为函数 f(x)的最小正周期为 π ,且 ω >0, 2π 所以 =π ,解得 ω =1. 2ω π 1 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x- )+ . 6 2 2π π π 7π 因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ , 3 6 6 6 1 π 所以- ≤sin(2x- )≤1, 2 6 π 1 3 所以 0≤sin(2x- )+ ≤ , 6 2 2 3 即 f(x)的取值范围为[0, ]. 2 π π 12. 已知 a>0, 函数 f(x) =-2asin(2x+ )+2a+b, x∈[0, ]时, 当 -5≤f(x)≤1. 6 2 (1)求常数 a,b 的值; π (2)设 g(x)=f(x+ )且 lgg(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2 π 解:(1)∵x∈[0, ], 2 π π 7π ∴2x+ ∈[ , ], 6 6 6 π 1 ∴sin(2x+ )∈[- ,1], 6 2 π ∴-2asin(2x+ )∈[-2a, a], 6 ∴f(x)∈[b,3a+b], 又-5≤f(x)≤1. ? ? ?b=-5 ?a=2 ∴? ,解得? . ? ? ?3a+b=1 ?b=-5 π (2)f(x)=-4sin(2x+ )-1, 6 π 7π g(x)=f(x+ )=-4sin(2x+ )-1 2 6 =
[来源:学科网 ZXXK]

π =4sin(2x+ )-1, 6 又由 lgg(x)>0,得 g(x)>1, π ∴4sin(2x+ )-1>1, 6 π 1 ∴sin(2x+ )> , 6 2 π π 5 ∴ +2kπ <2x+ < π +2kπ ,k∈Z, 6 6 6 π π π 由 +2kπ <2x+ ≤ 2kπ + ,得 6 6 2 π kπ <x≤kπ + ,k∈Z. 6 π π 5 由 +2kπ ≤2x+ < π +2kπ 得 2 6 6 π π +kπ ≤x< +kπ ,k∈Z. 6 3 π ∴函数 g(x)的单调递增区间为(kπ , +kπ ](k∈Z), 6 π π 单调递减区间为[ +kπ , +kπ )(k∈Z) 6 3


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