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2012届高考考前一个月理数解答题训练(十六)


解答题训练(十六)限时 60 分钟
小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答题: 18. 本小题满分 14 分) . 本小题满分 (本小题 ( 在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c .已知 c = 2, C = (1)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a 、 b ; ) 的面积. (2)若 sin C + sin( B ? A) = 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. )

π


3

19. 本小题满分 14 分) . 本小题满分 (本小题 ( 已知各项均为正数的数列{a 前 已知各项均为正数的数列 n}前 n 项和为 Sn,(p – 1)Sn = p2 – an,n ∈N*,p > 0 且 p≠1, , 数列{b 满足 数列 n}满足 bn = 2logpan. (1)若 p = )
?b ? 1 求证: ,设数列 ? n ? 的前 n 项和为 Tn,求证:0 < Tn≤4; ; 2 ? an ?

恒成立?若存在, (2)是否存在自然数 M,使得当 n > M 时,an > 1 恒成立?若存在,求出相应的 M; ) , ; 若不存在,请说明理由. 若不存在,请说明理由.

20. 本小题满分 15 分) . 本小题满分 (本小题 ( 是直角梯形, AD∥ , AB⊥ , AB=AD=1, 已知如图四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, ∥BC, ⊥BC, , BC=2,又 PB⊥平面 ABCD,且 PB=1,点 E 在棱 PD 上,且 DE=2PE. , ⊥ , , . P 所成的角的大小; (1)求异面直线 PA 与 CD 所成的角的大小; ) (2)求证:BE⊥平面 PCD; )求证: ⊥ ; (3)求二面角 A—PD—B 的大小. ) 的大小. C D A B E

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21. 本小题满分 15 分) . 本小题满分 (本小题 ( 如图, ABCD 是边长为 2 的 正方形纸片, 正方形纸片, 如图, 沿某动直线 l 为折痕将正方形在其下方的部分 向上翻折, 向上翻折,使得每次翻折后点 B 都 落在边 AD 上,记为 B ′ ;折痕与 AB 交于点 E,以 , EB 和 EB′为邻边作平行四边形 EB′MB.若以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立直角 为原点, 为邻边作平行四边形 . 坐标系. 如下图) ( : 坐标系. 如下图)
[来源 来源:Zxxk.Com] 来源 来源

y 的轨迹方程; (1)求点 M 的轨迹方程; ) (2) ) 若曲线 S 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称 的曲线组成的, 的曲线组成的,等腰梯形 A1 B1C1 D1 的三边 E A

B′

D

C′
l

A1 B1 , B1C1 , C1 D1 分别与曲线 S 切于点 P, Q, R .
面积的最小值. 求梯形 A1 B1C1 D1 面积的最小值. B O C x

22. 本小题满分 14 分) . 本小题满分 (本小题 ( 已知函数 f ( x ) = x + x ln x . 处的切线方程; (1)求函数 f ( x ) 的图像在点 (1,1) 处的切线方程; ) 恒成立, 的最大值; (2)若 k ∈ Z ,且 k ( x ? 1) < f ( x ) 对任意 x > 1 恒成立,求 k 的最大值; )
n (3)当 n > m ≥ 4 时,证明 mn )

(

) > ( nm ) .
m m n

第 -2- 页 共 9 页

解答题训练(十六)参答
18. 本小题满分 (本小题 18. 本小题满分 14 分) ( (1)由余弦定理及已知条件得, 解: )由余弦定理及已知条件得, a + b ? ab = 4 , (
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C = 3 ,得 ab = 4 . 2

?a 2 + b 2 ? ab = 4, 联立方程组 ? 解得 a = 2 , b = 2 .……………………..6 分 ?ab = 4,
(2)由题意得 sin( B + A) + sin( B ? A) = 4sin A cos A , ) 即 sin B cos A = 2sin A cos A , 当 cos A = 0 时, A =

π π 4 3 2 3 , B = ,a = ,b = , 2 6 3 3

当 cos A ≠ 0 时,得 sin B = 2sin A ,由正弦定理得 b = 2a ,

?a 2 + b 2 ? ab = 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a = ,b = . 3 3 ?b = 2a,
所以 △ ABC 的面积 S =

1 2 3 ab sin C = .………………………….14 分 2 3

19. 本小题满分 (本小题 19. 本小题满分 14 分) (
2 * (1)解:由(p – 1)Sn = p – an (n∈N ). ) ∈ .

① ②

由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an ?1 . ① – ②得
an 1 = (n≥2) . ≥ a n?1 p

∵an > 0 (n∈N*). ∈ . 又(p – 1)S1 = p2 – a1,∴a1 = p. . {an}是以 p 为首项, 是以 为首项,
?1? an = p ? ? ? p? ? ?
n ?1

1 为公比的等比数列. 为公比的等比数列. p

= p 2?n .

bn = 2logpan = 2logpp2 – n. ∴bn = 4 – 2n . ………… 4 分

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证明: 证明:由条件 p = ∴T n =

1 n–2 得 an = 2 . 2

2 0 ?2 ?4 ?6 4 ? 2n + 0 + + 2 + 3 + L + n? 2 . ?1 2 2 2 2 2 2



1 2 0 ?2 ?4 ?6 4 ? 2n Tn = 0 + + 2 + 3 + 4 + L + n?1 . 2 2 2 2 2 2 2



① – ②得:
1 ?2 ?2 ?2 ?2 ?2 4 ? 2 n Tn = 4 + 0 + 1 + 2 + 3 + L + n ?2 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2

1 ? 4 ? 2n ? 1 1 = 4 – 2 × ?1 + + 2 + L + n ?2 ? ? n ?1 2 ? 2 ? 2 2

?1? 1? ? ? 2 =4–2× ? ? 1 1? 2

n ?1

?

4 ? 2n . 2 n?1

∴T n =

n 4n = n?3 > 0 . n ?1 2 2 n n ?1 2 ? n ? = n ?3 . 2 n?3 2 n? 4 2

………… 8 分

Tn – Tn – 1 =

当 n > 2 时,Tn – Tn – 1< 0. . 所以, 所以,当 n > 2 时,0 < Tn≤T3 = 3. . 又 T1 = T2 = 4,∴0 < Tn≤4. , . …………10 ………… 分

恒成立, 两种情况讨论. (2)解:若要使 an > 1 恒成立,则需分 p > 1 和 0 < p < 1 两种情况讨论. ) 当 p > 1 时,2 – n > 0,n < 2. , . 当 0 < p < 1 时,2 – n < 0,n > 2. , . ∴当 0 < p < 1 时,存在 M = 2. . 恒成立. 当 n > M 时,an > 1 恒成立. ………… 14 分

20. 本小题满分 (本小题 20. 本小题满分 15 分) (

解法一:如图, 为原点, 解法一:如图,以 B 为原点,分别以 BC、BA、BP 为 x,y、z 轴,建立空间直角坐标 、 、 , 、 系,则 B(0,0,0), C (2, 0, 0), A(0,1, 0), D(1,1, 0), P(0, 0,1), 又DE = 2 PE

1 1 2 ∴ E( , , ) 3 3 3 uuu r uuu r (1)Q PA = (0,1, ?1), CD = ( ?1,1, 0) )

uuu uuu r r uuu uuu r r PA?CD 1 1 r r ∴ cos < PA, CD >= uuu uuu = = . | PA |? CD | | 2? 2 2
第 -4- 页 共 9 页

∴ 异面直线PA与CD所成的角为60° .………………….5 分
(2)Q BE = ( , , ), PD = (1,1, ?1), PC = (2, 0, ?1). )
z P E

r uuu r 1 1 2 uuu 3 3 3 uuu uuu 1 r r 1 2 ∴ BE ?PD = ×1 + × 1 + × (?1) = 0. 3 3 3 uuu uuu 1 r r 1 2 BE ?PC = × 2 + × 0 + × (?1) = 0. 3 3 3

uuu r

∴ BE ⊥ PD, BE ⊥ PC , 又PD I PC = P .
∴ AB ⊥ 平面PCD.
………. 10 分
D

x C r (3)设平面 PAD 的一个法向量为 n 0 = ( x, y, z ) , )

B A y

r uuu r ? ?n 0 ?PA = 0 ? y ? z = 0 则由 ? r uuu 得? . r ?n 0 ?PD = 0 ? x + y + z = 0 ? r 令 z = 1, 则n 0 = ( ?2,1,1).

r uuu r 又 BP = (0, 0,1) ,设平面 PBD 的法向量为 n 1 = ( x1 , y1 , z1 ), 设平面
r uuu r ? ?n 1 ?BP = 0 ? z1 = 0 则由 ? r uuu 得? . r ?n 1 ?PD = 0 ? x1 + y1 ? z1 = 0 ? r 令 x1 = 1, 则n 1 = (1, ?1, 0) .

r r r r n 0 ?n 1 ?2 ×1 + 1× (?1) 3 r = ∴ cos < n 0 , n 1 >= r =? . 2 | n 0 |? n 1 | | 6? 2 r r ∴< n 0 , n 1 >= 120° .
……………………….15 分

为锐二面角, 又二面角 A—PD—B 为锐二面角,故二面角 A—PD—B 的大小为 60° . 解法二: (1) 解法二: )取 BC 中点 F,连结 AF,则 CF=AD,且 CF∥AD, ( , , , ∥ , 是平行四边形, ∴四边形 ADCF 是平行四边形,∴AF∥CD. ∥ ∴∠PAF(或其补角)为异面直线 PA 与 CD 所成的角. (或其补角) ∴∠ ∵PB⊥平面 ABCD, ∴PB⊥BA,PB⊥BF. ⊥ , ⊥ , ⊥ ∵PB=AB=BF=1, ∴ AB ⊥ BC , ∴PA=PF=AF= 2 . ,

∴?PAF 是正三角形, ∠PAF = 60°
即异面直线 PA 与 CD 所成的角等于 60° .…………5 分

第 -5- 页 共 9 页

(2) 在Rt ?PBD中, PB = 1, BD = 2,∴ PD = 3 . )

Q DE = 2 PE ,∴ PE =

3 , 3
E

P



PE PB 1 = = . PB PD 3
C F D

H B O A

∴?PBE ~ ?PDB . ∴ BE ⊥ PD .

由(1)知, CF = BF = DF ,∴∠CDB = 90° . )

∴ CD ⊥ BD, 又PB ⊥ 平面BCD,∴ PB ⊥ CD. Q PB I BD = B,∴ CD ⊥ 平面PBD,∴ CD ⊥ BE , Q CD I PD = D,∴ BE ⊥ 平面PCD. ………………………..10 分
(3)设 AF 与 BD 的交点为 O,则 AO ⊥ BD . ) ,

Q PB ⊥ 平面ABCD,∴ 平面PBD ⊥ 平面ABD,∴ AO ⊥ 平面PBD.
过点 O 作 OH ⊥ PD 于点 H,连结 AH,则 AH ⊥ PD . , ,

∴∠AHO为二面角A ? PD ? B 的平面角.
在 Rt ?ABD中, AO =

2 . 2
PA?AD = PD

在 Rt ?PAD中, AH =

2 ×1 6 = . 3 3

2 AO 3 = 2 = 在 Rt ?AOH中,sin ∠AHO = . AH 2 6 3 ∴∠AHO = 60°,即二面角A ? PD ? B的大小为60° .……………..15 分

第 -6- 页 共 9 页

21. 本小题满分 (本小题 21. 本小题满分 15 分) ( (1)如图, 解: )如图,设 M(x,y) B ( x 0 , 2) , 又 E(0,b) ( ( ) , ( , ) 的斜率存在, 显然直线 l 的斜率存在, 故不妨设直线 l 的方程为 y=kx+b,则 k BB / = ,
/ 而 BB 的中点 (
/

x 2 1 =? ?k =? 0 . x0 k 2

x0 ,1) 在直线 l 上, 2

故 (?

x0 x0 x2 ) ? + b = 1 ? b = 1 + 0 ,① 2 2 4

由于 EM = EB + EB ′ ? ( x, y ? b) = (0, ?b) + ( x0 , 2 ? b) ? ?

? x = x0 . ?y = 2?b

代入①即得: 代入①即得: y = ? 又 0 ≤ x0 ≤ 2 ,

x2 +1 , 4

∴点 M 的轨迹方程 y = ?

x2 + 1 ( 0 ≤ x ≤ 2 ) -------------6 分 . 4
x2 + 1 (?2 ≤ x ≤ 2) . 4

(2)易知曲线 S 的方程为 y = ? )

设梯形 A1 B1C1 D1 的面积为 s ,点 P 的坐标为 (t , ?

1 2 t + 1)(0 < t ≤ 2) . 4
学科网 ZXXK] 学科网

由题意得, 由题意得,点 Q 的坐标为 (0,1) ,直线 B1C1 的方程为 y = 1 . ∵y=?

x2 +1 , 4

∴ y′ = ?

x , 2

t ∴ y ′ | x =t = ? . 2

1 t ∴ 直线 A1 B1 的方程为 y ? (? t 2 + 1) = ? ( x ? t ), 4 2
即: y = ?

t 1 t2 + 4 t2 + 4 x + t 2 + 1 , 令 y = 0 得, x = , 0) . ,∴ A1 ( 2 4 2t 2t 1 1 t ,∴ B1 ( t ,1) . 2 2

令 y = 1 得, x = ∴s =

1 1 t2 + 4 2 ×( t + ) × 1× 2 = t + ≥ 2 2 . 2 2 2t t

第 -7- 页 共 9 页

当且仅当 当且仅当 t = 当t =

2 ,即 t = 2 时,取“=”且 2 ∈ ( 0, 2] , ” t

2 时, s 有最小值为 2 2 .
----------15 分

故梯形 A1 B1C1 D1 的面积的最小值为 2 2 .

22. 本小题满分 (本小题 22. 本小题满分 14 分) ( ( ) 解: 1)因为 f ′ ( x ) = ln x + 2 ,所以 f ′ (1) = 2 , …………3 函数 f ( x ) 的图像在点 (1,1) 处的切线方程 y = 2 x ? 1 ;………… 分 恒成立, (2)由(1)知, f ( x ) = x + x ln x ,所以 k ( x ? 1) < f ( x ) 对任意 x > 1 恒成立, ) ) 即k <

x + x ln x 恒成立.…………4 对任意 x > 1 恒成立.………… 分 x ?1 x + x ln x x ? ln x ? 2 ……………………4 ,则 g ′ ( x ) = ,…………………… 分 2 x ?1 ( x ? 1)
1 x ?1 = >0, x x

令 g ( x) =

令 h ( x ) = x ? ln x ? 2 ( x > 1) ,则 h′ ( x ) = 1 ?

所以函数 上单调递增.………………………5 所以函数 h ( x ) 在 (1, +∞ ) 上单调递增.……………………… 分 因为 h ( 3 ) = 1 ? ln 3 < 0, h ( 4 ) = 2 ? 2 ln 2 > 0 , 所以方程 h ( x ) = 0 在 (1, +∞ ) 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ∈ ( 3, 4 ) . 当 1 < x < x0时,h( x) < 0 ,即 g ′( x) < 0 , 当 x > x0时,h( x) > 0 ,即 g ′( x) > 0 , 所以函数 g ( x ) = 所以 ? g ( x ) ? ? ? …6 分

x + x ln x 上单调递减, 在 (1, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 , +∞ ) 上单调递 增. x ?1
x0 (1 + ln x0 ) x0 (1 + x0 ? 2 ) ……7 = = x0 ∈ ( 3, 4 ) . …… 分 x0 ? 1 x0 ? 1

min

= g ( x0 ) =

所以 k < ? g ( x ) ? = x0 ∈ ( 3, 4 ) .故整数 k 的最大值是 3. ……… 分 . ………8 ? ? min (3)由(2)知, g ( x ) = ) )

x + x ln x 上的增函数,……………9 是 [ 4, +∞ ) 上的增函数,…………… 分 x ?1 n + n ln n m + m ln m > …………………10 所以当 n > m ≥ 4 时, .………………… 分 n ?1 m ?1

即 n ( m ? 1)(1 + ln n ) > m ( n ? 1)(1 + ln m ) .
第 -8- 页 共 9 页

整理, ………………11 整理,得 mn ln n + m ln m > mn ln m + n ln n + ( n ? m ) .……………… 分 …………………12 因为 n > m , 所以 mn ln n + m ln m > mn ln m + n ln n .………………… 分 即 ln n
mn

+ ln m m > ln m mn + ln n n .即 ln ( n mn m m ) > ln ( mmn n n ) .……………… 分 ………………13
n m

所以 mn

(

………………………14 ) > ( nm ) .……………………… 分
m n

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