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河北衡水中学2014届高三上学期期中考试 数学文试题 Word版含答案


衡水中学 2013-2014 学年度第一学期高三年级期中考试

数学(文科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共4 页。 共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的选 项填涂在答题卡上) 1.设 A ? ? x |

? ?

1 ? 若 则实数 a 的取值范围是 ( ? x ? 5, x ? Z ? , B ? ?x | x ? a? , A ? B , 2 ?
B. a ? 1 C. a ?



A. a ? 1

1 2

D.

a?

1 2


2. 已知条件 p : k ? A.充要条件

2 2 3; 条件 q : 直线 y ? kx ? 2 与圆 x ? y ? 1 相切, p 是 q 的 则 (

B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

3.已知数列 {an }满足an ?1 ? an ? 1(n ? N ? ), 且a2 ? a4 ? a6 ? 18, 则 log3 (a5 ? a7 ? a9 ) 等于 ( ) A.2 B.—2 C.—3
f ?( x )

D.3 的图象如图所示,

4. 定义在 R 上的可导函数 f ( x) , 已知 y ? e 则 y ? f ( x) 的增区间是( ) A. (??,1) B. (??, 2) C. (0,1)

D. (1, 2)

5.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin??x ?

? ?

??

4? ? ? 2 图像向右平移 3? 3
) D.3
主 视 图

个单位与原图像重合,则 ? 最小值是( A

2 . 3

4 B. 3

3 C. 2

1

左视图

1

6.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长 为 1 的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是 ( A. 1 B. )
俯视图

1 2

C.

3 2

D. 2

7. 点 O, A, B, C 共面, OA ? OB ? 2OC ? 0 , ?AOC 的面积与 ?ABC 的面积之比为( 若 则 A.

??? ??? ? ?
C.

??? ?

?

)

1 3

B.

2 3

1 2

D.

1 4

8. 已知三条不重合的直线 m, n, l 和两个不重合的平面α 、β ,下列命题中正确命题个数为 ( ) ② 若l ? ? , m ? ?且l ? m则? ? ? ④ 若? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? m, 则n ? ? C.3
2

①若 m / / n, n ? ? , 则m / /? ; ③ 若l ? n, m ? n, 则l // m A.1 B.2

D.4 ( )

9.若直线 y ? k ( x ? 2) 与曲线 y ? 1 ? x 有交点,则 A. k 有最大值

3 3 ,最小值 ? 3 3 3 3

B. k 有最大值

1 1 ,最小值 ? 2 2 1 2

C. k 有最大值 0,最小值 ?

D. k 有最大值 0,最小值 ?

x2 y 2 1 10. 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 右焦点为 F (c, , 0) 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 a b 2
的两个实根分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) A.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2


2 2



B.必在圆 x ? y ? 2 上 D.以上三种情形都有可能

C.必在圆 x ? y ? 2 外
2 2

11. 如果函数 f ( x) ?

1 3 x ? a 2 x 满足:对于任意的 x1 , x2 ? ? 0,1? ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 恒成 3
( B . ) .

立,则 a 的取值范围是 A .

? 2 3 2 3? , ?? ? 3 ? ? 3 ? 2 3? 2 3 , 0) ? ? 0, ? ? 3 3 ? ? ?

? 2 3 2 3? , ?? ? ? 3 3 ? ? ?

C

? 2 3 ? ? 2 3? , 0 ? ? ? 0, ?? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ?

D. ( ?

12.若定义在 R 上的函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 1) ?

1 ,且当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? x ,函数 f ( x)

? ?log x ( x ? 0) g ( x) ? ? 3 ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?4,4] 内的零点个数为( ?2 x ?1 ( x ? 0) ?
A 9. B.7 C.5 D.4



卷Ⅱ(非选择题 共 90 分)

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸的相应位置上)

? x ? y ?1 ? 0 ? 13. 已知实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则 x ? 2 y 的最小值为_________. ?x ? 2y ? 5 ? 0 ?
14. 三棱锥 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= 2,则三棱锥外接球 O 的表面 积等于________. 15. 设点 A 为圆 x ? y ? 8 上动点,点 B(2,0) ,点 O 为原点,那么 ?OAB 的最大值
2 2



.
3 2 /

16.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义: f(x) 是函数 f (x) 的导 函数, f ( x) 是 f(x) 的导函数,若方程 f ( x) ? 0 有实数解 x 0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为
// / //

函数 y ? f (x) 的“拐点”。某同学经研究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三 次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心。 若 f ( x) ? 据这一发现,求: (1)函数 f ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? ,请你根 3 2 12

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? 的对称中心为__________; 3 2 12 1 2 2013 (2) f ( )? f( ) ??? f ( ) =________ 2014 2014 2014

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. (本题满分 12 分) ?ABC 的外接圆半径 R ? 3 ,角 A, B, C 的对 边分别是 a, b, c ,且
2 sin A ? sin C cos C ? sin B cos B

(1)求角 B 和边长 b ; (2)求 S ?ABC 的最大值及取得最大值时的 a, c 的值,并判断此时三角 形的形状.

18. ( 本 题 满 分

12

分 ) 已 知

?

为 锐 角 , 且 tan ? ?

2 ?1 , 函 数

f ( x) ? 2 x tan 2? ? sin(2? ?

?
4

) ,数列{ a n }的首项 a1 ? 1 , a n ?1 ? f (a n ) .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的表达式;

{ (Ⅱ)求数列 nan} 的前 n 项和 S n .

19. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 E ? ABCD 中,面 ABE ? 面 ABCD , 底面 ABCD 是直角梯形,侧面 ABE 是等腰直角三角形.且 AB ∥ CD , AB ? BC ,

AB ? 2CD ? 2BC ? 2 , EA ? EB .
(1)判断 AB 与 DE 的位置关系; (2)求三棱锥 C ? BDE 的体积; (3)若点 F 是线段 EA 上一点,当 EC // 平面 FBD 时,求 EF 的长。

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? 3)e , x ? ? ?2, t ? , (t ? -2).
2 x

(1)当 t ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的保值 区间。设 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e ,试问函数 g ( x) 在 (1, ??) 上是否存在保值区间?若
x

存在,请求出一个保值区间;若不存在,请说明理由。

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x x
2 2

(1)若函数 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与圆 x ? y ? 2 y ? 0 相切,求 a 的值; (2)当 x ? (1,??) 时,函数 f (x) 的图像恒在坐标轴 x 轴的上方,试求出 a 的取值范围。

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用

2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.(本题满分 10 分) 如图,已知四边形 ABCD 内接于 ?O , 且 AB 是的 ?O 直径,过点 D 的 ?O 的切线与 BA 的延长线 交于点 M. (1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; (2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小.

23. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3| . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

衡水中学 2013—2014 学年度上学期期中考试 高三年级数学试卷(文科) 参考答案 13. ?4 14. 4? 1 ,1)(2)2013 2

ACDBC

BDBCA

AC

15. 45°16. (1)(

(a 2 ? b 2 ? c 2 )2ac 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C ? 17. 分析: (1)由 ,得: 2 , ? b (a ? c 2 ? b 2 )2ab cos B sin B
即 ac ? a ? c ? b ,所以 cos B ? ... ?
2 2 2

b , R ? 3 ,所以 b ? 3 3 sin B 1 2 2 2 (2)由 b ? a ? c ? 2ac cos B , b ? 3 , cos B ? 2
又 B ? (0, ? ) ,所以 B ? ,又 2 R ? 得 ac ? 9 ? a ? c ? 2ac,? ac ? 9
2 2

?

1 , 2

………………………4 分 ………6 分

(当且仅当 a ? c 时取等号)……………8 分

所以, S ?ABC ?

1 1 3 9 3 ac sin B ? ? 9 ? ? (当且仅当 a ? c ? 3 时取等号) 2 2 2 4
………………10 分

此时 a ? b ? c ? 3 综上, S ?ABC 的最大值 18. 解:⑴ tan 2? ?

9 3 ,取得最大值时,此时三角形是等边三角形.…………12 分 4

2 tan ? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

又∵ ? 为锐角

∴ 2? ?

?
4

∴ sin(2? ?

?
4

) ?1

f ( x) ? 2 x ? 1

…………5 分

(2) ∵ a n ?1 ? 2a n ? 1, ∵ a1 ? 1

∴ a n ?1 ? 1 ? 2(a n ? 1)

∴数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列。
n n

可得 a n ? 1 ? 2 ,∴ a n ? 2 ? 1 , 所以, nan ? n ? 2 ? n
n

…………9 分

下面先求 {n ? 2 } 的前 n 项和 Tn
n

Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ... ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n 2Tn ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? .......... .......... ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1

两式相减,得

? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ... ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ? ? Tn ? 2 ? (n ? 1)2 n ?1 ? S n ? 2 ? (n ? 1)2 n ?1 ? (1 ? n)n 2

2 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 ? 2 ? n ? 2 n ?1 1? 2

…………12 分 19. 解析: (1)证明:取 AB 中点 O ,连结 EO , DO . 因为 EB ? EA ,所以 EO ? AB . 因为四边形 ABCD 为直角梯形, AB ? 2CD ? 2BC , AB ? BC , 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB ? OD . 所以 AB ? 平面 EOD . 所以 AB ? ED . ………………4 分

(2)由 EO ? AB ,面 ABE ? 面 ABCD 易得 EO ? ABCD 所以, VC ? BDE ? VE ?CBD ?

1 1 ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 3 6

………………8 分

(3)解:连接 AC、BD 交于点,面 ACE ? 面 FBD ? FM . 因为 EC // 平面 FBD ,所以 EC // FM .

在梯形 ABCD 中,有 ?DMC 与 ?BMA 相似, 可得 MA ? 2MC,? AF ? 2FE 所以, EF ?

1 2 EA ? 3 3
x

……………12 分
2

20.解(1)当 ?2 ? t ? 0 时, f ?( x) ? e ( x ? x) ? 0 ,此时 f ( x) 的单调增区间为 ? ?2,t ? ; 当 0 ? t ? 1 时 , x ? (?2,0), f ?( x) ? 0; x ? (0, t ), f ?( x) ? 0 , 此 时 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为

? ?2, 0? ,减区间为 ? 0, t ?
(2)函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在保值区间。 证明如下:

……4 分 ……5 分

假设函数 g ( x) 存在保值区间[a,b]. g ( x) ? ( x ? 1) e , g ( x) ? ( x ? 1)e
2 x ' 2

x

因 x ? 1 时,所以 g ( x) ? 0, g ( x) 为增函数,
'

? g ( a ) ? ( a ? 1) 2 e a ? a ? ? 所以 ? g (b) ?? (b ? 1) 2 eb ? b ?

即方程 ( x ? 1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根。
2 x 2 x ' 2 x ''

……7 分
2 x

设 ? ( x) ? ( x ? 1) e ? x( x ? 1), ? ( x) ? ( x ? 1)e ? 1 , ? ( x) ? ( x ? 2 x ? 1)e 因 x ? 1 ,?
''

( x) ? 0 ,所以 ? ' ( x) 在 (1, ??) 上单增,又 ? ' (1) ? ?1 ? 0, ? ' (2) ? 3e2 ? 1 ? 0 ,
'

即存在唯一的 x0 ? 1 使得 ? ( x0 ) ? 0
'

……9 分
'

当 x ? (1, x0 ) 时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 为减函数,当 x ? ( x0 , ??) 时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 为增函数, 所以函数 ? ( x) 在 x0 处取得极小值。又因 ? (1) ? ?1 ? 0, ? (2) ? e ? 2 ? 0 ,
2

所以 ? ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上只有一个零点, 这与方程 ( x ? 1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根矛盾。
2 x

……11 分

所以假设不成立,即函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在保值区间。 ……12 分

由题意,只需当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0 恒成立. (5 分)

综上所述, a 的取值范围是 (??,2] .
22.解:(1)因为 MD 为 ? O 的切线,由切割线定理知, MD =MAMB,又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB , 所以 MA=3, AB=12-3=9. ……5 分
2

(2)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,连接 DB,又 MD 为 ? O 的切线, 由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD, ……… 7 分

又因为 AB 是 ? O 的直径,所以∠ADB 为直角,即∠BAD=90°-∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,于是 90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°, 所以∠BAD=60°. ……8 分

又四边形 ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°, 所以∠DCB=120°………10 分 23.解: (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? …………3 分 或? 2 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ? ?
解,得

3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2
………………5 分 ………………8 分 ………………10 分

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} (Ⅱ)? 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) |? 4 |

?| a ? 1 |? 4

? a ? ?3或a ? 5 。


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