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2011届高三数学下册高考冲刺检测试题10

高考数学最后冲刺必读题解析(10) 17. (本小题满分 15 分) 设等比数列 ?an ? 的首项为 a1,公比为 q,且 q>0,q≠1. (1) 若 a1=qm, m∈Z, 且 m≥-1, 求证: 数列 ?an ? 中任意不同的两项之积仍为数列 ?an ? 中的项; (2)若数列 ?an ? 中任意不同的两项之积仍为数列 ?an ? 中的项,求证:存在整数 m,且 m≥-1,使得 a1=qm. 证明: (1)设 ar , at 为等比数列 ?an ? 中不同的两项,由 a1 ? q m , 得 ar ? at ? a1qr ?1 ? a1qt ?1 ? a1 ? q( r ?t ? m?1)?1 .………………………………………2 分 又 r ? t ≥ 3 ,且 m ≥ ?1 ,所以 r ? m ? t ? 1≥ 1 . 所以 ar , at 是数列 ?an ? 的第 r ? m ? t ? 1 项. …………………………………6 分 (2)等比数列 ?an ? 中任意不同两项之积仍为数列 ?an ? 中的项, 令 as ? at ? al (l , t , s ? N* , t ? s) ,由 as ? a1 ? q s ?1 , at ? a1 ? qt ?1 , al ? a1 ? ql ?1 , 得 a1 ? q s ?1 ? ?a1 ? qt ?1 ? a1 ? ql ?1 , a1 ? ql ? s ?t ?1 . 令整数 m ? l ? s ? t ? 1 ,则 a1 ? q m .…………………………………………9 分 下证整数 m ≥ ?1 . 若设整数 m ? ?1 ,则 ? m ≥ 2 .令 k ? ? m , 由题设,取 a1 , ak ,使 a1 ? ak ? ar (r ? N* ) , 即 a1 ? a1 ? q k ?1 ? a1 ? q r ?1 ,所以 qm ? q? m?1 ? qr ?1 ,即 q?1 ? qr ?1 .…………… 12 分 所以 q>0,q≠1, ?1 ? r ?1, r ? 0 与 r ? N * 矛盾! 所以 m ≥ ?1 .…………………………………………………………………15 分 18. (本小题满分 15 分) 平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙M 经过点 F1(0,-c) ,F2(0,c) ,A( 3 c,0)三 点,其中 c>0. (1)求⊙M 的标准方程(用含 c 的式子表示) ; (2)已知椭圆 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) (其中 a 2 ? b2 ? c 2 )的左、右顶点分别为 D、B, a 2 b2 ⊙M 与 x 轴的两个交点分别为 A、C,且 A 点在 B 点右侧,C 点在 D 点右侧. ①求椭圆离心率的取值范围; ②若 A、B、M、O、C、D(O 为坐标原点)依次均匀分布在 x 轴上,问直线 MF1 与直线 DF2 的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若 不是,请说明理由. 18 解: (1)设⊙M 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ? 2 3 c, ?D ? ? ? c 2 ? Ec ? F ? 0, 3 ? ? ? 则由题设,得 ? c 2 ? Ec ? F ? 0, 解得 ? E ? 0, ? 2 ? F ? ?c 2 . ?3c ? 3Dc ? F ? 0. ? ? ? ………………………3 分 ⊙M 的方程为 x 2 ? y 2 ? ⊙M 的标准方程为 ( x ? 分 (2)⊙M 与 x 轴的两个交点 A( 3c,0) , C ( ? 3 c,0) ,又 B(b,0) , D(?b,0) , 3 2 3 cx ? c 2 ? 0 , 3 3 2 4 c) ? y 2 ? c 2 . …………………………………5 3 3 ? 3c ? b, ? 3c ? b, ? 3c 2 ? a 2 ? c 2 , ? ? ? 由题设 ? 3 即? 3 所以 ? 1 2 ………………………7 2 2 c ? ?b , ? c ?a ?c . ?? ? c ? b. ?3 ? 3 ? 3 分 解得 1 c 3 1 3 ? ? ?e? ,即 . 2 a 2 2 2 1 3 ) .………………………………………10 所以椭圆离心率的取值范围为 ( , 2 2 分 (3)由(1) ,得 M ( ∴b ? 3 3 3 c,0) .由题设,得 3c ? b ? b ? c? c. 3 3 3 2 3 2 3 c , D (? c, 0) . 3 3 ∴直线 MF1 的方程为 x 3 c 3 ? y ?1, c ① 直线 DF2 的方程为 ? x 2 3 c 3 ? y ?1. c ②…………………………………13 分 由①②, 得直线 MF1 与直线 DF2 的交点 Q( 4 3 3 3 c,3c) , 易知 k OQ ? 为定值, 3 4 ∴直线 MF1 与直线 DF2 的交点 Q 在定直线 y ? 分 19. (本小题满分 16 分) 3 3 x 上.…………………15 4 如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰梯形,其中 AB=1 米, 高 0.5 米, 1 )米.上部 CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的中点.△EMN 是由电脑 2 控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑动 且始终保持和 CD 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平方米) CD=2a(a> 表示成关于 x 的函数 S ? f ? x ? ; (2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?并求出 这个最大面积. m m M N D M A E N B C

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