当前位置:首页 >> 数学 >>

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 ,运算的坐标表示


3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示

?? ?? ? 如果e1, e 2是同一平面内的两个不共线向量, ? 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有 ? ? ?? ? 一对实数?1,?2,使a=?1 e1+?2 e 2。 ?? ?? ? (e1、 e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。)

平面向量基本定理:

【温故知新】

平面向量的正交分解及坐标表示

y

? ? ? i ? (0,1), j ? (1, 0), 0 ? (0, 0).

? ? ? a ? xi ? y j

? a
x

? i

? o j

?? p 都可以用 我们知道,平面内的任意一个向量 ? ? 两个不共线的向量 a , b 来表示(平面向量基本定 理)。对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?

问题:

? ? ??? ? ???? ? ???? OP ? OQ ? zk . OQ ? xi ? y j.

z

??? ? ???? ? ? ? ? OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk . ?? ? 由此可知,如果 i, j , k 是空间两
?? 为向量 p 在

两垂直的向量,那么,对空间任一 ?? 向量 p ,存在一个有序实数组 ? ? ? ? ? {x,y,z}使得 p ? xi ? y j ? zk .

? ? ? 我们称 xi, y j , zk ?? ?

? ? k ? j i O
x

?? p

P

y Q

i, j , k 上的分向量。

? ? ? 探究:在空间中,如果用任意三个不共面向量 a, b, c ?? ? 代替两两垂直的向量 i, j , k ,你能得出类似的
结论吗?

? ? ? a, b, c 不共面,那么对空间任一 如果三个向量 ??
? ? ? {a, b, c}叫做空间的一个基底。 不共面的三个向量 ? ? ? a, b, c 都叫做基向量
向量 ,存在一个唯一的有序实数组 {x,y,z} , p ? ? ? ? ? 使 p ? xa ? yb ? zc.

一、空间向量基本定理:

特别提示:对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面,
还应明确: (1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

? (2) 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线,与任 意两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含着 ? 它们都不是 0 。
(3)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。 推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一 点P,都存在唯一的有序实数组{x,y,z},使

??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC.

当且仅当x+y+z=1时,P、A、B、C四点共面。

练习
1、已知向量{a,b,c}是空间的一个基底. 求证:向量a+b,a-b,c能构成空间的一个基底.

二、空间直角坐标系 单位正交基底:如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直,且长都为1,则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系:在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点,分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴,它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 z 空间直角坐标系O--xyz
e3 e1 O x e2 y

点O叫做原点,向量e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过每两个坐 标轴的平面叫做坐标平面。

三、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量, 由空间向量基本定理,存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标, 记作.P=(x,y,z)
x e3 e1 O e2

z

p
y

例1 平行六面体中,点MC=2AM,A1N=2ND,
设AB=a,AD=b,AA1=c,试用a,b,c表示 MN.
A1
B1

D1 N C1

A B

D

分析:要用a,b,c表示 MN,只要结合图形,充 分运用空间向量加法 和数乘的运算律即可.

M

C

练习
已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC, M,N,分别是对边OA,BC的中点,点P,Q是 线段MN三等分点,用基向量OA,OB,OC表 示向量OP,OQ.
O M A Q P C

N
B

练习: ??? ? ?? ?? ? ?? e2、 e3 分 1、在空间坐标系o-xyz中, OB ? e1 ? 2e2 ? 3e3( e1、 别是与 ??? ? x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量),则 OB的坐标为 ,点B的坐标为 。 2、点M(2,3,4)在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投 影的坐标分别为 ,关于原点的对称点 为 ,关于轴x的对称点为 ,

3.1.5 空间向量运算的 坐标表示

平面向量运算的坐标表示: ? ? 设a ? ( a , a ), b ? ( b , b ) 则 1 2 1 2 ? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; ? ? a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ) ; ? ?a ? (?a1 , ?a2 ) ; ? ? a ?b ? ; a1b1 ? a2b2 ? ? ? 2 2 a ? ? ; a ? a a ?a ? 1 2 ? a1b1 ? a2 b2 a ?b ? ? ? ? 2 2 2 2 a1 ? a2 b1 ? b2 cos a , b ? a b ? ; ? ? ? ? a // b ? a ? ? b (? ? R) ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R); ? ? ? ? a ?b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? 0

【温故知新】

【新知探究】
? ? 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则
平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示:

? ? a ?b ? ? ? a ?b ? ? ?a ? ? ? a ?b ?

? ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); 类 a ? b ?(a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; 比 ? ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; 推 ? (?a1 , ?a2 ) ; 广 ? a ? (? a1 , ? a2 , ? a3 ) ; ? ? a1b1 ? a2b2 ; a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 ;

? ? 设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

? 设 ?a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

空间向量运算的坐标表示: 平面向量运算的坐标表示: ? ? ?

【新知探究】
a ? ; 类 ?

a ? a2 ? ? a ? b ? ? ? ? cos a , b ? a b a1b1 ? a2 b2
2 1 2
2 1 2 2 1

a ? ?

? ? a ?a

设 ?a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

? ? a ?a

a ? a2 ? ? a3 ; 比 ? a ?b ? ? ? ? 推 cos a , b ? a b 广 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3
2 1 2 2

? a ? a2 b ? b2 ; ? a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32; ? ? ? ? ? ? ? ? a // b ? a ? ? b (? ? R) a // b ? a ? ? b (? ? R) ; ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R) ; ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0
2

【新知探究】
空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ),则

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

???? ???? ???? 2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) ?| AB |? AB ? AB ? 2 1 2 1 2 1

d AB

???? 2 2 2 ?| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )

【应用举例】
练习 ⑴已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为 ______________; ? ⑵ Rt △ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , 2 C ( x,0,1) ,则 x ? ____;

? 3 ? ? 1 ? B(1,1, 0), E1 ? 1, ,1 ? , D(0, 0, 0), F1 ? 0, , 1? 4 ? 4 ? ???? ? ? 3? ? ? 1 ? ? D BE1 ? ? 1 , , 1 ? ? (1 , 1 , 0) ? ? 0 , ? , 1 ? , C O y 4 ? ? 4 ? ? ???? ? ? 1 ? ? 1 ? A B DF1 ?? 0 , ,1 ? ? (0 , 0 , 0)? ? 0 , ,1 ? . x 4 对向量计算或证明。 ?(3) ? ? 4 ???? ?? ? ???? ? ???? ? 17 ???? 17 15 ? 1? 1 , | DF1 |? . BE1 ? DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? , | BE1 |? 4 ?? 4 16 15 4 4 ? ???? ???? ? 15 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? BE1 ? DF1 15 ? 16 ? ???? ? ? ? cos ? BE1 , DF1 ?? ???? ? . cos ? E B , DF ?? ______ 17 1 1 17 17 17 | BE1 | ? | DF1 | ? 4 15 4 因此,BE1与DF1所成角的余弦值是 .

??? ? 解:设正方体的棱长为 1,分别以 DA 、DC 、 DD1 为单位正交基底建立空间直角坐标系 (2)把点、向量坐标化, Oxyz ,则 A
1

例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点,求: BE1与 DF 所成角的余弦值 . (1) 建立直角坐标系, ? z ???? 1 ????
D1 F1 E1 B1

【应用举例】

C1

??? ? ? 1 ? ? 1 ? 证明:A(1, 0, 0), E ? 1, ,1 ? ,所以 AE ? ? 0, , 1 ? 4 ? 4 ? ? ? ???? ? ???? ? ? 1 ? 所以???? AE ? DF1 , 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ? , F ? 4 ? 又A, E , D, F1不共线,所以AE∥DF1.

例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点, z 变式1: E是A1B1的一个四等分点, D F C 求证:AE∥DF1. A E B E
1 1 1 1 1

【应用举例】

1

D

O
B

C

y

??? ? ? 1? 1? ? 证明:B(1,1, 0), F ? 1, 0, ? , 所以 BF ? ? 0,1 ,? ? 4? 4? ? ? ???? ? ? 1 ???? ???? ? ? ? 1? ? 1 ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ? , 所以BF ? DF1 ? ? 0, 1, - ? ? ? 0, , 1? ? 0 4 ? 4? ? 4 ? ? ???? ???? ? ? 因此 BF ? DF1 , 即BF⊥DF1.

变式2: F是AA1的一个四等分点, 求证:BF⊥DF1.

A

x

例2.正方体ABCD—A1B1C1D1中,E1、F1分别是A1B1、 C1D1的一个四等分点, z D F C 变式3: G是BB1的一个四等分点, E B H为AA1上的一点,若GH⊥DF1, A 试确定H点的位置. 1? ? H 解:设H点坐标为(1, 0, a ),又G ? 1,1, ? , D 4 ? ? G Cy O ???? ? 1? 所以 GH ? ? 0, ?1 ,a ? ? A B 4? ? ???? ? ? 1 ???? ???? ? x ? 又 DF1 ? ? 0 , ,1 ? , 且GH ? DF1 ? 4 ? ???? ???? ? 1 1 所以GH ? DF1 ? 0 - ? a ? ? 0 4 4 1 解得a ? , 2 即当H为AA1 的中点时,能使GH⊥DF1.
1 1 1 1 1 1

【应用举例】

G1 (0, 0,1), F ? 0,1, 2 ? , E1 (0, 2,1), E ?1, 2,1 ? ???? ? ??? ? ? ???? FG? ? 1? , FE ? ? 1 ,1, ? 1? , 1 ? ? 0 , ?1, x FE1 ? ? 0 ,1, ? 1? , ???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? FG1 ? FE ? 0 ? 1 ? 1 ? 0, FG1 ? FE1 ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 ? FG1 ? FE ,FG1 ? FE1 又FE ? FE1 ? F ? FG1 ? 面FEE1

? ??? ? ???? ???? (2)证明:分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位 正交基底建立空间直角坐标系 Oxyz ,则

(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点E 是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中 点.设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 z F (2)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.
G1
G
O

【尝试高考】

E

E1

y

(09广东理)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,点E 是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱 C1D1, AA1的中 点.设点E1,G1分别是点 E,G在平面DCC1D1内的正投影 z F (2)证明:直线FG1⊥平面 FEE1 ; (3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值. ??? ? ????? EA ? ? 1 , ?2, ? 1? , (3)解: E1G1 ? ? 0 , ?2, 0 ?, E1 G1
????? ??? ? ? E1G1 ? EA ? 0 ? 1 ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? 0 ? ? ?1? ? 4 , G ????? ??? ? | E1G1 |? 2 , | EA |? ????? 6 . ??? ? ????? ??? ? E1G1 ? EA 4 6 ? ? ? cos ? E1G1 , EA ?? ????? ??? ? .x | E1G1 | ? | EA | 2 ? 6 3
????? ??? ? 6 2 3 ? sin ? E1G1 , EA ?? 1 ? ( ) ? 3 3
E
O

【尝试高考】

y

3 因此,E1G1与EA所成角的正弦值是 . 3

【课堂小结】
今天你学到了什么呢? 1.基本知识: (1)向量的加减、数乘和数量积运算的坐标 表示; (2)两个向量的夹角公式和垂直、平行判定 的坐标表示。 用向量坐标法计算或证明几何问题 2.思想方法: (1) 建立直角坐标系, (2)把点、向量坐标化, (3)对向量计算或证明。
作业:1.课本 P98 A 组第 8、 10 题 2.素能综合检测(二十四)

练习 2: ⑴已知 A( 0, 2, 3)、B(? 2,1,6), C (1, ?1,5) , 7 3 则 △ABC 的面积 S=_____.
2

? ? ? ? 2 ⑵ a ? ( x , 2,1) , b ? ( ?3, x , ?5) 且 a 与 b 的夹角为 5 钝角,则 x 的取值范围为 ( ?1, ) . 2

⑶正方体 A1 B1C1 D1 ─ABCD 的棱长为 2, E 、F D1 A1 的中点 , 求点 A 到直线 EF 的 分别是 C1C 、 距离.

? ? 4,2,?4? ?1?与a ? ?2,?1,2?共线, 且满足a ? z ? ?18的z ?
? 1 8 ? ?2?A?1,2,1?, B?? 1,3,4?, AP ? 2 PB, 则OP ?? ? , ,3 ? ? 3 3 ? ?3?三点A?1,5,?2?, B?2,4,1?, C ? p,3, q ?共线,则

练习1、

p? 3 q?

4

BB1 , D1 B1 E F 例 3 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C 1 D1 中, , 分别是 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 ???? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1 , 0 , 1) ???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ???? ???? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1


相关文章:
第三章 3.1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示...
第三章 3.1 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 - [课时作业] [A 组 1.下列说法中正确的是( ) 基础巩固] A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的...
3.1.4(5) 空间向量的正交分解及其坐标表示
数乘数量积运算的坐标表示;4.学会空间向量平行、垂直条 件的坐标表示,能够应用坐标运算证明空间两个向量的平行和垂直,记住两个向量的夹角与向量长 度的坐标计算...
高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教...
3. 1.4 教学目标 空间向量的正交分解及其坐标表示 1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量 的坐标运算。 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量 平行。 重、难点 1...
《3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案...
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示》教学案 2 【学情分析】 : 本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理 这种推广对学生学习已 王新敞 ...
《3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》课时提升...
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示》课时提升作业 - 课时提升作业(二十三) 空间向量的正交分解及其坐标表示 (30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,...
3.1.4 (5)空间向量的正交分解及其坐标表示试渔
3.1.4 (5)空间向量的正交分解及其坐标表示试渔_化学_自然科学_专业资料。§ ...第4页 § 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 1.已知空间四点 A(4,1,3),B(...
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
教学设计 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 整体设计 教材分析 空间向量的正交分解及其坐标表示是在学生学习了空间向量几何形式及其线性运算和 数量积运算的基础...
空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计_图文
空间向量的运算解 决立体集合中的问题 空间向量运算的坐标表示 (加减法、 数乘、 数量积) 《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第 ...
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计一、教学任务及对象 1、教学内容...向量及其 加减和数乘运算推广到空间,本节内容从空间向量的正交分解出发,学习空间...
《空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示_高三数学_数学_高中教育_教育专区。自我检测 基础达标 1.与点 P(1,3,5)关于原点成中心对称的点 P′的坐标是( )? A. (...
更多相关标签: