当前位置:首页 >> 数学 >>

千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第15炼 求函数的单调区间 Word版含解析


第 15 炼 函数的单调区间
单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调 区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领,在求解的过程 中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识: 1、函数的单调性:设 f ? x ? 的定义域为 D ,区间 I ? D ,若对于 ?x1, x2 ? I , x1 ? x2 ,有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 f ? x ? 在 I 上单调递增, I 称为单调递增区间。若对于
?x1, x2 ? I , x1 ? x2 ,有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 f ? x ? 在 I 上单调递减, I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系 (1)函数 f ? x ? 在 ? a, b? 可导,那么 f ? x ? 在 ? a, b? 上单调递增 ??x ? ? a, b?,f ( x) ? 0
'

此结论可以这样理解:对于递增的函数,其图像有三种类型: 无论是哪种图形,其上面任意一点的切线斜率均大于零。



等号成立的情况:一是单调区间分界点导数有可能为零,例如: f ? x ? ? x 的单调递增区间为
2

+?? ,而 f ' ?0? ? 0 ,另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点,典型的一个例子为 ?0, f ? x ? ? x3 在 x ? 0 处的导数为 0,但是 ? 0,0? 位于单调区间内。
(2)函数 f ? x ? 在 ? a, b? 可导,则 f ? x ? 在 ? a, b? 上单调递减 ??x ? ? a, b?,f ( x) ? 0
'

(3)前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号,那么由 ?x ? ? a, b?,f ( x) 的符
'

号能否推出 f ? x ? 在 ? a, b? 的单调性呢?如果 f ? x ? 不是常值函数,那么便可由导数的符号对 应推出函数的单调性。 (这也是求函数单调区间的理论基础) 3、利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求出 f ? x ? 的导函数 f ( x)
'

(3)令 f ( x) ? 0 (或 ? 0 ) ,求出 x 的解集,即为 f ? x ? 的单调增(或减)区间
'

(4)列出表格 4、求单调区间的一些技巧

-1-

(1)强调先求定义域,一方面定义域对单调区间有限制作用(单调区间为定义域的子集) 。 另一方面通过定义域对 x 取值的限制, 对解不等式有时会起到简化的作用, 方便单调区间的求 解 (2)在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式,以简化不等式 (3)一般可令 f ' ( x) ? 0 ,这样解出的解集就是单调增区间(方便记忆) ,若 f ? x ? 不存在常 值函数部分,那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤) (4)若 f ' ( x) ? 0 的解集为定义域,那么说明 f ? x ? 是定义域上的增函数,若 f ' ( x) ? 0 的解 集为 ? ,那么说明没有一个点切线斜率大于零,那么 f ? x ? 是定义域上的减函数 (5)导数只是求单调区间的一个有力工具,并不是唯一方法,以前学过的一些单调性判断方 法也依然好用,例如:增+增→增,减+减→减, ? ?1? ? 增→减,复合函数单调性同增异减等。 如果能够通过结论直接判断,那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项 (1)单调区间可以用开区间来进行表示,如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例 如函数 y ?

1 的单调减区间为 ? 0, ??? , ? ??,0? ,若写成 ?0, ??? 就出错了(0 不在定义域内) x

(2)如果增(或减)区间有多个,那么在书写时用逗号隔开,一定不要用并集 ? 的符号。有 些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“ ? ”连接,那么区间也一样,这个观点是错误的。 并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合,用在单调区间上会出现问题。依然以

1 为例,如果写成 ? 0, ??? ? ? ??,0? ,那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变 x 1 量,满足单调减的条件。由 y ? 性质可知,如果在 ? 0, ??? , ? ??,0? 两个区间里各取一个, x y?
是不满足单调减的性质的。 6、二阶导函数的作用: ①几何意义:导数的符号决定原函数的单调性,对于 f 当f
'' "

? x ? 而言,决定的是 f ' ? x ? 的单调性。

? x ? ? 0 时, f ' ? x ? 单调递增,意味着 f ' ? x ? 随 x 的增大而增大,由于导数的几何意义为
''

切线斜率,故切线斜率 k 随 x 的增大而增大;同理,当 f

? x ? ? 0 时, f ' ? x ? 单调递减,则切

线斜率 k 随 x 的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢? 单调增有三种: 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不

-2-

同,所以如果说 f ' ? x ? 是决定函数单调性的,那么 f '' ? x ? 在已知单调性的前提下,能够告诉 我们是怎样增,怎样减的,进而对作图的精细化提供帮助。 (1)当 f " ? x ? ? 0 ,其图像特点为: (2)当 f " ? x ? ? 0 ,其图像特点为: 我们称这样的函数为下凸函数 我们称这样的函数为上凸函数

②代数意义:当通过 f ' ? x ? 无法直接判断符号时,可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单 调性,再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题: 例 1:下列函数中,在 ? 0, ??? 上为增函数的是( A. f ? x ? ? sin2 x B. f ? x ? ? xe
x


3

C. f ? x ? ? x ? x

D. f ? x ? ? ? x ? ln x

思路: 本题只需分析各个函数在 ? 0, ??? 上的单调性即可。 A 选项 f ? x ? ? sin2 x 通过其图像可 知显然在 ? 0, ??? 不单调; B 选项 f
' ' 当 x ??0, ??? 时,f ? x ? ? 0 , ? x ? ? ex ? xex ? ? x ? 1? ex ,

所以 f ? x ? 在 ? 0, ??? 单调递增;C 选项 f



? x ? ? 3x 2 ? 1=3 ? x ?
?

?

3 ?? 3? ?? x ? ? 可得 f ? x ? 在 3 ?? 3 ?

? ? 3 ? 1 1? x 3? , ?? ? 单调递增;D 选项 f ' ? x ? ? ?1 ? ? ,可得 f ? x ? 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? x x ? 3 ? ? 3 ?

? 0,1? 单调递增,在 ?1, ?? ? 单调递减。综上,B 符合条件
答案:B 例 2:函数 f ? x ? ? log 1 x 2 ? 4 的单调递增区间是(
2

?

?



A.

?0, ???

B.

? ??,0?
2

C.

?2, ???

D.

? ??, ?2?

思路:先分析 f ? x ? 的定义域: x ? 4 ? 0 ? x ? ? ??, ?2? ? ? 2, ??? ,再观察解析式可得

f ? x ? 可视为函数 y ? log 1 t, t ? x 2 ? 4 的复合函数,根据复合函数单调性同增异减的特点,
2

可分别分析两个函数的单调性,对于 y ? log 1 t 而言, y 对 t 是减函数。所以如要求得增区间,
2

则 t ? x ? 4 中 t 对 x 也应为减函数。结合定义域可得 f ? x ? 的单调增区间为 ? ??, ?2 ?
2

答案:D

-3-

3 2 ?x 例 3:求函数 f ? x ? ? x ? 3x ? 3x ? 3 e 的单调区间(2009 宁夏,21 题(1) )

?

?

思路:第一步:先确定定义域, f ? x ? 定义域为 R ,
' 2 ?x 3 2 ?x 第二步:求导: f ( x ) ? 3x ? 6 x ? 3 e ? x ? 3x ? 3x ? 3 e

?

?

?

?

? ? ? x 3 ? 9 x ? e ? x ? ? x ? x ? 3?? x ? 3? e ? x ,
第三步:令 f ' ( x) ? 0 ,即 ? x ? x ? 3?? x ? 3? e? x ? 0 第四步:处理恒正恒负的因式,可得 x ? x ? 3?? x ? 3? ? 0 第五步:求解 x ? ? ?3,0? ? ?3, ??? ,列出表格

x
f ' ( x)

? ??, ?3?
?
?

? ?3,0?
?
?

? 0,3?
?
?

?3, ???
?
?

f ? x?

例 4:求函数 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ? x 的单调区间 解:定义域 x ? ?0,2?

x? 2 x? 2 x ? 2 ? x ? x ? x ? 2? 1 1 x2 ? 2 f ? x? ? ? ?1 ? ? = x x?2 x ? x ? 2? x ? x ? 2? x ? x ? 2?
'

?

??

?

? x ? ?0,2?

? x ? 2 ? 0, x ? 2 ? 0

?令导数 f ' ? x ? ? 0 解得: x ? 2 ? 0 ? x ? 2 (通过定义域大大化简解不等式的过程) ?

x
f ' ( x)

? 0, 2 ?
?
?

?

2, 2

?

?
?

f ? x?
例 5:求函数 f ? x ? ?

ln 2 x 的单调区间 x

-4-

1 1 ?1 2ln x ? ? x ? x 2 ln 2 x 1 ln x ? 4 ? ln x ? x 2 解: f ' ? x ? ? ? ? 3 x 2 x2
令 f ' ? x ? ? 0 ,即解不等式 ln x ? ln x ? 4? ? 0 ,解得 0 ? ln x ? 4 ? 1 ? x ? e
4

? f ? x ? 的单调区间为

x
f ' ? x?

? 0,1?
?


?1, e ?
4

? e , ?? ?
4

?


?


f ? x?

例 6:求函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x 的单调区间 思路:函数还有绝对值,从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值,在求导进行单调性分析 解: f ? x ? ? ?

? x ? 1 ? ln x, x ? 1 ,当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? 1 ? x ? ln x 为减函数 ?1 ? x ? ln x,0 ? x ? 1
'

当 x ? ?1, ??? 时, f

? x? ? 1 ?

1 x ?1 ? x ? 1 ? f ' ? x? ? 0 ? x x

? f ? x ? 在 ?1, ??? 单调递增
综上所述: f ? x ? 在 ? 0,1? 单调递减,在 ?1, ?? ? 单调递增 小炼有话说: (1)对于含绝对值的函数,可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去 掉绝对值,从而将函数转变为一个分段函数。 (2)本题在 x ? ? 0,1? 时,利用之前所学知识可直接判断出 f ? x ? 单调递减,从而简化步骤。 导数只是分析函数单调性的一个工具,若能运用以前所学知识判断单调性,则直接判断更为 简便 例 7: (1)若函数 f ? x ? ? ln ? ax ? 1? ? 值集合是__________ (2)若函数 f ? x ? ? ln ? ax ? 1? ? 是___________ 解: (1)思路: f ' ? x ? ?

1? x ? x ? 0, a ? 0? 在区间 ?1,+?? 单调递增,则 a 的取 1? x

1? x ? x ? 0, a ? 0? 的递增区间是 ?1,+?? ,则 a 的取值集合 1? x

a 2 ax 2 ? a ? 2 ,由 f ? x ? 在 ?1,+?? 单调递增 ? ? ax ? 1 ? x ? 1?2 ? ax ? 1?? x ? 1?2
-5-

可得: ?x ? 1 , f ' ? x ? ?

? 2 ? ? 0 ? a ? x 2 ? 1? ? 2 。? a ? ? 2 ? ?1 ? x ? 1 ?max ? ax ? 1?? x ? 1?
2

ax 2 ? a ? 2

?a ? 1
(2)思路: f ? x ? 的递增区间为 ?1,+?? ,即 f ? x ? 仅在 ?1,+?? 单调递增。 令f
'

? x ? ? 0 ? ax 2 ? a ? 2 ? 0 ? x 2 ?

2?a , 若 a ? 1, 则 f ? x ? 单调递增区间为 ? 0, ??? 不 a

符题意,若 0 ? a ? 1 ,则 x ? 答案: (1) a ? 1 , (2) a ? 1

2?a 2?a 时, f ' ? x ? ? 0 。所以 ?1? a ?1 a a

小炼有话说:注意两问的不同之处,在(1)中,只是说明 f ? x ? 在区间 ?1,+?? 单调递增,那 么 f ? x ? 也可以在其他区间单调递增,即 ?1,+?? 是增区间的子集。而(2)明确提出单调增区 间为 ?1,+?? ,意味着 f ? x ? 不再含有其他增区间, x ? 1 为单调区间的分界点,从而满足条件 的 a 只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。 例 8: f ? x ? ? ? 围是_______ 思路: f
'

1 3 1 2 ?2 ? x ? x ? 2ax ,若 f ? x ? 在 ? , ?? ? 上存在单调递增区间,则 a 的取值范 3 2 ?3 ?

? x ? ? ? x2 ? x ? 2a , 有 已 知 条 件 可 得 : ?x ? ? ?

2 ? , +? ? , 使 得 f ' ? x ? ? 0 , 即 ?3 ?
2? 1 ? ? ? ,所以 3? 9 ?

a?

2 1 2 1 2 1 ?? 2 ? ?1 2 ? x ? x y ? x ? x ? ,只需 ,而 a ? x ? x ? ? ? ? 2 ?? ? ?? ? ? ? 2 2 3 ? ?2 ? min ? ? ?

a??

1 9 1 9

答案: a ? ?

小炼有话说: (1)已知在某区间的单调性求参数范围问题,其思路为通过导数将问题转化成 为不等式恒成立或不等式能成立问题,进而求解,要注意已知函数 f ? x ? 单调递增(减)时, 其导函数 f
'

,勿忘等号。 ? x? ? 0 ( ? 0 )

(2)在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别,例如:若把例 6 的条 件改为“在

?2 ? ,则在求解的过程中,靠不等式能成立问题的解法 , ?? ? 上存在单调递增区间” ? ?3 ?
-6-

1 1 2 ,但当 a ? ? 时,满足不等式的 x 的解仅有 x ? ,不能成为单 9 9 3 1 1 调区间,故 a ? ? 舍去,答案依然为 a ? ? 9 9 p 例 9:设函数 f ? x ? ? px ? ? 2 ln x (其中 e 是自然对数的底数) ,若 f ? x ? 在其定义域内为 x 单调函数,求实数 p 的取值范围
解出的 a 的范围时 a ? ? 思路:条件中只是提到 f ? x ? 为单调函数,所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是

f ' ? x ? ? 0 恒成立或 f ' ? x ? ? 0 恒成立,进而求出 p 的范围即可
解: f
'

? x? ? p ?

p 2 ? x2 x
'

若 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递增,则 f

? x? ? p ?

p 2 ? ? 0 恒成立 x2 x

1? 2 2 x2 2x ? 即 p ?1 ? 2 ? ? ? p ? ? ? 2 x ? x x 1? x 1 ? x2 ?
2x ? 2x ? ,设 h ? x ? ? ?p ?? 2 ? 1 ? x2 ? 1 ? x ? max
则 h ? x? ?

2x 2 2 ? ? ?1 2 1 1? x 1 x? 2 x? x x

?p ?1
若 f ? x ? 在 ?0, ??? 单调递减,则 f 即 p ?1 ?
'

? x? ? p ?

p 2 ? ? 0 恒成立 x2 x

? ?

1 ? 2 2x ? ? p? 2 ? x ? x 1 ? x2

2x ? 2x ? ,设 h ? x ? ? ?p ?? 2 ? 1 ? x2 ? 1 ? x ? min
则 h ? x? ?

2x 2 ? ? 0 ,且当 x ? 0 或 x ? ?? 时, h ? x ? ? 0 2 1 1? x x? x

?p ?0
综上所述: p ? 1 或 p ? 0

-7-

3 例 10:若函数 f ? x ? ? log a x ? ax

?

1 ? ? ? a ? 0, a ? 1? 在区间 ? ? ? , 0 ? 内单调递增,则 a 取值范 2 ? ?

围是( A. ? ,1?

) B. ? ,1?

?1 ? ?4 ?

?3 ? ?4 ?

C. ? , ?? ?

?9 ?4

? ?

D. ?1, ?

? 9? ? 4?

思路:先看函数 f ? x ? 的定义域,则 x ? ax ? 0 在 ? ?
3

1 ? 1 ? , 0 ? 恒成立, a ? x 2 ? a ? 4 ? 2 ?

f ? x ? 可看成是由 y ? loga u, u ? x3 ? ax 的复合函数,故对 a 进行分类讨论。当 a ? 1 时,
y ? loga u 单调递增,所以 u ? x3 ? ax 需单调递增,? u ' ? 3x 2 ? a ? 0 ? a ? ? 3x 2 ?min ? 0 ,
3 与 a ?1 矛盾;当 0 ? a ?1 时, y ? log 需单调递减, a u 单调递减,所以 u ? x ? ax

? u ' ? 3x 2 ? a ? 0 ? a ? ? 3x 2 ?
答案:B 小炼有话说:

min

?

3 ?3 ? ? a ? ? ,1? 4 ?4 ?

(1)在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集,所以在求参数范围时 要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点 (2)对于指数结构与对数结构的函数(如本题中的 f ? x ? ) ,可分别分析底数与 1 的大小(对 数的增减性)与真数的单调性,然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性 特点(同增异减) ,故本题对底数 a 以 1 为分界点分类讨论,并依此分析真数的情况。

-8-


赞助商链接
相关文章:
千题百炼——高中数学100个热点问题(三):第68炼 离心率...
千题百炼——高中数学100个热点问题():第68 ...第九章 第 68 圆锥曲线的离心率问题 解析几何 ...为某个变量的函数,从而求该函数 的值域即可 (3)...
更多相关标签: