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2015高考数学排列组合典型例题详解点评


2015 年高考数学排列组合典型难题详解点评
一.选择题--共 30 小题) 1. (2015?长江一模)某单位有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需停放,如果要求剩余的 4 个车位连 在一起,则不同的停放方法的种数为( ) A.16 B.18 C.24 D.32 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 本题是一个分类计数问题,首先安排三辆车的位置,假设车位是从左到右一共 7 个,当三辆车都在最左边 时,当左边两辆,最右边一辆时,当左边一辆,最右边两辆时,当最右边三辆时,每一种情况都有车之间
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的一个排列 A3 ,得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个分类计数问题, 首先安排三辆车的位置,假设车位是从左到右一共 7 个, 当三辆车都在最左边时,有车之间的一个排列 A3 , 3 当左边两辆,最右边一辆时,有车之间的一个排列 A3 , 3 当左边一辆,最右边两辆时,有车之间的一个排列 A3 , 3 当最右边三辆时,有车之间的一个排列 A3 , 3 总上可知共有不同的排列法 4×A3 =24 种结果, 故选 C. 点评: 本题考查排列组合及简单的计数问题,在分类计数时,注意分类要做到不重不漏,在每一类中的方法数要 分析清楚,本题还考查列举法,是一个基础题. 2. (2015?延县一模)现有 12 件商品摆放在货架上,摆成上层 4 件下层 8 件,现要从下层 8 件中取 2 件调整到上层, 若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( ) A.420 B.560 C.840 D.20160 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 2 分析: 首先从下层中抽取两个, 共有 C8 =28 种结果, 把抽出点两件商品放到上层有两种情况, 一是两件商品相邻, 2 2 放在四件商品形成的 5 个空中,有 5A2 ,把抽出点两种插入四件商品形成的 5 个空中,有 A5 种结果,根 据计数原理得到结果. 解答: 解:本题是一个排列组合及简单的计数问题, 2 首先从下层中抽取两个,共有 C8 =28 种结果, 2 把抽出点两件商品放到上层有两种情况,一是两件商品相邻,放在四件商品形成的 5 个空中,有 5A2 =10, 2 把抽出点两种插入四件商品形成的 5 个空中,有 A5 =20 种结果, ∴ 根据计数原理知共有 28(20+10)=840 种结果, 故选 C. 点评: 本题考查排列组合及简单的计数问题,本题解题的关键是看清题目是既有分类又有分步,在比较复杂的题 目中,这两种原理可以同时出现,注意要做到不重不漏.
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3

3

3. (2013?浙江模拟)假如北京大学给中山市某三所重点中学 7 个自主招生的推荐名额,则每所中学至少分到一个 名额的方法数为( ) A.10 B.15 C.21 D.30 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析可得,原问题可以转化为将 7 个名额排成一排,在排除两端的 6 个空位中,插入挡板,将
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其分为 3 组,对应 3 个学校的组合问题,由组合数公式计算可得答案. 解答: 解:根据题意,要求将 7 个名额分给 3 给学校,且每个学校至少分到一个名额, 可以转化为将 7 个名额排成一排,在排除两端的 6 个空位中,插入挡板,将其分为 3 组,对应 3 个学校的 组合问题; 则不同的分法有 C6 =15 种; 故选 B. 点评: 本题考查组合数公式的应用,关键是将原问题转化为组合问题,用插空法解题. 4. (2014?深圳一模)我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2013 是“六合数”) ,则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有( ) A.18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 新定义. 分析: 先设满足题意的“六合数”为 , 根据“六合数”的含义得 a+b+c=4, 于是满足条件的 a, b, c 可分四种情形, 再对每一种情形求出种数,即可得出“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有多少种. 解答: 解:设满足题意的“六合数”为 ,则 a+b+c=4,于是满足条件的 a,b,c 可分以下四种情形: (1)一个为 4,两个为 0,共有 3 种;
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2

(2)一个为 3,一个为 1,一个为 0,共有 A

=6 种;

(3)两个为 2,一个为 0,共有 3 种; (4)一个为 2,两个为 1,共有 3 种. 则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 15 种. 故选 B. 点评: 本小题主要考查排列、组合及简单计数问题等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想.属于基 础题. 5. (2013?济南二模)某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课,要求体育不排在第一节课, 数学不排在第四节课,则这天课程表的不同排法种数为( ) A.600 B.288 C.480 D.504 考点: 排列、组合及简单计数问题. 分析: 该题这种学校安排课表是有条件限制排列问题,可看做是 6 个不同的元素填 6 个空的问题,条件限制是体 育不排第一节,数学不排第四节,所以解答时分体育在第四节和体育不在第四节两类,体育在第四节既满 足了体育不在第一节的条件,也满足了数学不在第四节的条件,当体育不在第四节时,数学也不能在第四 节,则先安排第四节课,然后安排第一节课,最后安排剩余的四节课,安排完后利用分布乘法计数原理求 第二类的方法种数,最后两类的方法种数作和即可. 解答: 解:学校安排六节课程可看做是用 6 个不同的元素填 6 个空的问题,要求体育不排在第一节课,数学不排 在第四节课的排法可分两类.一类是体育课排在第四节,则满足了体育课不在第一节,同时满足了数学课
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不在第四节,排法种数是

=120 种;一类是体育课不排第四节,数学课也不排在第四节,则第四节课只能

从语文、英语、物理、化学课中任取 1 节来安排,有 4 种安排方法,然后安排第一节课,第一节课可从语 文、英语、物理、化学课中剩下的 3 各科目及数学科目 4 个科目中任选 1 节,有 4 种安排方法,最后剩余 的 4 各科目和 4 节课可全排列有 =24 种排法,由分步计数原理,第二类安排方法共有 4×4×24=384 种.

所以这天课表的不同排法种数为 120+384=504 种. 故选 D. 点评: 本题考查了排列、组合既简单的计数问题,解答的关键是正确分类,求解时做到不重不漏,是基础题.

6. (2013?天河区三模)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间,每个车间至少分配一名员工, 若甲、乙两名员工必须分到同一个车间,则不同分法的种数为( ) A.24 B.36 C.48 D.60 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 把甲、乙两名员工看做一个整体,再把这 4 个人分成 3 部分,每部分至少一人,共有
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种方法,再把这 3

部分人分到 3 个为车间,有

种方法,根据分步计数原理,求得不同分法的种数

解答: 解:把甲、乙两名员工看做一个整体,5 个人变成了 4 个,再把这 4 个人分成 3 部分,每部分至少一人,共 有 C 种方法, 种方法, ? =36,

再把这 3 部分人分到 3 个为车间,有

根据分步计数原理,不同分法的种数为 C

故选 B. 点评: 本题考查的是分类计数问题问题,把计数问题包含在实际问题中,解题的关键是看清题目的实质,把实际 问题转化为数学问题,解出结果以后再还原为实际问题. 7. (2013?淄博二模)市内某公共汽车站 6 个候车位(成一排) ,现有 3 名乘客随便坐在某个座位上候车,则恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数是( ) A.48 B.54 C.72 D.84 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是 6 个候车位,有 3 名乘客,故有三个空座位,而要求的是恰好有 2 个连续空座位的候车方式的种数, 则空座位分为 2 个连续空座位和一个空座位,故此题是空座位不相邻的问题,需选择插空法. 解答: 解:根据题意,先把三名乘客全排列,有 种排法,产生四个空,
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再将 2 个连续空座位和一个空座位插入四个空中,有

种排法,则共有

=72 种候车方式.

故答案为 C. 点评: 本题考查的知识点是排列问题,属于基础题.注意相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法. 8. (2013?大连一模) 三位男同学和三位女同学站成一排, 要求任何两位男同学都不相邻, 则不同的排法总数为 ( A.720 B.144 C.36 D.12 考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 概率与统计. 对于排列中不相邻的问题,我们经常用插空法来处理. 解:由于要求任何两位男同学都不相邻,
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故需先排三位女同学,则不同的排法有

种, 种,

则此三位男同学需从女同学产生的四个空中选三个依此拍好,共有 故不同的排法共有 种.

故答案为 B. 点评: 本题考查排列问题,属于简单题.注意相邻问题捆绑处理,不相邻问题插空处理. 9. (2013?绵阳二模)现有 1 位老师、2 位男学生、3 位女学生共 6 人站成一排照相,若男学生站两端,3 位女学生 中有且只有两位相邻,则不同排法的种数是( ) A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.72 种 考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 概率与统计. 知道解决相邻问题用“捆绑法”,不相邻问题用“插空法”,特殊元素优先安排的原则方法即可得出.
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解:两名男生排在两头可有

方法,把老师安排在两位男生之间只有一种方法,从 3 位女生中任选 2 位有 种方法, 把选出的两位女生捆绑看成一个元素与剩下的一位女生 插法,如图所示:

方法而这两位女生又可以交换顺序有

共两个元素插入已经排好的位置的两个空隙中并且可以交换顺序共有 利用分步乘法原理可得不同排法的种数= 故选 B. =24.

点评: 熟练掌握解决相邻问题用“捆绑法”,不相邻问题用“插空法”,特殊元素优先安排的原则方法是解题的关键. 10. (2013?宝山区一模)现有 8 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为( A. B. C. D. )

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 因为要求不相邻,采用插空法来解,先排列另外五人,有 A55 种结果,再在排列好的五人的 6 个空里,排 列甲、乙、丙,有 A63 种结果,根据分步计数原理相乘得到结果. 解答: 解:∵ 8 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙三人两两不相邻排成一排, ∴ 采用插空法来解, 另外五人,有 A55 种结果,再在排列好的五人的 6 个空里,排列甲、乙、丙, 有 A63 种结果, 根据分步计数原理知共有 A63?A55, 故选 C. 点评: 本题考查排列组合及简单计数问题,在题目中要求元素不相邻,这种问题一般采用插空法,先排一种元素, 再在前面元素形成的空间,排列不相邻的元素.
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11. (2013?门头沟区一模)有 4 名优秀学生 A、B、C、D 全部被保送到甲、乙、丙 3 所学校,每所学校至少去一名, 且 A 生不去甲校,则不同的保送方案有( ) A.24 种 B.30 种 C.36 种 D.48 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 通过对甲校去一名学生还是去 2 名学生讨论解答即可. 解答: 解:当甲去 1 名学生时,分配方法有: =18.
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当甲去 2 名学生时,分配方法有:

=6.

所以不同的保送方案有:24 种. 故选 A. 点评: 本题考查排列、组合知识的应用,考查分类计数原理,分组求解的方法. 12. (2013?海淀区二模)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个位 和万位,则这样的五位数个数为( ) A.32 B.36 C.42 D.48 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 2 和 4 需要排在十位、百位和千位,分 2 排在百位,4 排在百位,2 和 4 分别排在十位和千位来考虑,综合 可得答案. 解答: 解:由题意可知:2 和 4 需要排在十位、百位和千位. 若 2 排在百位,则 4 可以排在十位或千位,剩余的 1、3、5 可以随意排,
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因此有 2

=12 种情况, =12 种情况.

同理当 4 排在百位时,2 可以排在十位或千位,同样有 2

再考虑 2 和 4 分别排在十位和千位的情况,不同的排列有两种情况, 而此时由于 5 不能排在百位,因此只能从个位和万位中选一个,有两种情况, 最后剩余的 1 和 3 可以随意排列,因此共有 2×2× =8 种情况.

因此所有的排法总数为 12+12+8=32 种. 故选 A 点评: 本题考查排列组合及简单的计数原理,分类考虑是解决问题的额关键,属中档题. 13. (2013?聊城一模)某学校星期一每班都排 9 节课,上午 5 节、下午 4 节,若该校李老师在星期一这天要上 3 个 班的课,每班 l 节,且不能连上 3 节课(第 5 和第 6 节不算连上) ,那么李老师星期一这天课的排法共有( ) A.474 种 B.77 种 C.462 种 D.79 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节排法数目,再求出其中上午连排 3 节和下午连排 3 节的排 法数目,进而计算可得答案. 解答: 解:使用间接法, 3 首先求得不受限制时,从 9 节课中任意安排 3 节,有 A9 =504 种排法, 3 其中上午连排 3 节的有 3A3 =18 种, 3 下午连排 3 节的有 2A3 =12 种,
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则这位教师一天的课表的所有排法有 504﹣18﹣12=474 种, 故选 A. 点评: 本题考查排列知识的应用,使用间接法求解,考查学生的计算能力,属于中档题. 14. (2013?绍兴二模)将 7 个红球,6 个白球(小球只有颜色的区别)放入 5 个不同盒子,要求每个盒子中至少红 球、白球各一个,则不同的放法共有( ) A.20 种 B.25 种 C.45 种 D.75 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 应用题;排列组合. 1 分析: 根据题意,依次分析红球、白球:易得白球有 C5 =5 种情况,7 个红球放入到 5 个不同的盒子里,先将 7 个球分为 5 组,有 2、2、1、1、1 与 3、1、1、1、1 两种分法,故分两种情况讨论,可得黑球有 15 种放法, 由分步计数原理,计算可得答案. 解答: 解:6 个白球,放入到 5 个不同的盒子里,需要其中一个盒子放两个,有 C51=5 种情况, 7 个红球放入到 5 个不同的盒子里,先将 7 个球分为 5 组,有 2、2、1、1、1 与 3、1、1、1、1 两种分法,
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若按 2、2、1、1、1 放入,有 C5 =10 种放法,若按 3、1、1、1、1 放入,有 C5 =5 种放法,共有 15 种, 则三种颜色的球有 5×15=75 种放法; 故选:D. 点评: 本题考查排列、组合的运用,注意本题中同色的球是相同的. 15. (2013?潍坊一模)某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运输工作,并按出发顺序前后排成 一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时不能相邻,那么不同排法种数为( ) 720 600 520 360 A. B. C. D. 考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 概率与统计. 利用分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法”即可得出. 解:由题意可分为以下 3 类:
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2

1

① 只有甲汽车被选中,则可有 ② 只有乙汽车被选中,则可有

=240 种方法; =240 种方法; =120 种方法.

③ 若甲乙两辆汽车都被选中,且它们出发时不能相邻,则不同排法种数= 综上由分类加法计数原理可知:所要求的不同排法种数=240+240+120=600. 故选 B. 点评: 熟练掌握分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法”是解题的关键.

16. (2013?肇庆二模)已知集合 A={1,2},B={6},C={2,4,7},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐 标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( ) A.33 B.34 C.35 D.36 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 根据题意,先求得若从三个集合中选出的是不同的三个数,确定的不同点的个数,进而考虑若 A、C 选取 的元素相同都是 2,则可以确定 3 个不同的点,进而计算可得答案. 解答: 解:若从三个集合中选出的是不同的三个数,则可以组成 5 =30 个不同的点,
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若 A、C 选取的元素相同都是 2,则可以确定 3 个不同的点,

故共有 33 个不同的点. 故选 A. 点评: 本题考查排列、组合的综合运用,注意从反面分析,并且注意到集合 A、C 中有相同元素 2 而导致出现的 重复情况. 17. (2013?朝阳区二模)某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一天, 至多安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有( ) A.10 种 B.12 种 C.18 种 D.36 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 依题意,3 名职工中只有一人值班一天,且只有在周一或周三或周五值,另外四天可相邻值,利用分步乘法 计数原理即可求得答案. 解答: 解:由题意可知,3 名职工中只有一人(有 种分法)值班一天,且只有在周一或周三或周五值,有三种
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选法, 譬如甲周一值班,则周二与周三一人值班,周四与周五另一人值班,有 由分步乘法计数原理得:不同的安排方法共有 ? ? =18 种. 种方法,

故选 C. 点评: 本题考查排列及简单计数问题,着重考查分步乘法计数原理,属于中档题. 18. (2013?昌平区一模)在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生.如果 2 位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为( ) A.24 B.36 C.48 D.60 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 若第一个出场的是男生,方法有
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?

?

=36 种.若第一个出场的是女生(不是女生甲) ,用插空法求

得方法有

?

?

=24 种,把这两种情况的方法数相加,即得所求. ? ? ? =36 种. ? =24

解答: 解:① 若第一个出场的是男生,则第二个出场的是女生,以后的顺序任意排,方法有

② 若第一个出场的是女生 (不是女生甲) , 则将剩余的 2 个女生排列好, 2 个男生插空, 方法有

种. 故所有的出场顺序的排法种数为 36+24=60, 故选 D. 点评: 本题主要考查排列组合、两个基本原理的应用,注意特殊位置优先排,不相邻问题用插空法,体现了分类 讨论的数学思想,属于中档题. 19. (2013?西城区一模)从甲、乙等 5 名志愿者中选出 4 名,分别从事 A,B,C,D 四项不同的工作,每人承担一 项.若甲、乙二人均不能从事 A 工作,则不同的工作分配方案共有( ) A.60 种 B.72 种 C.84 种 D.96 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计.

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分析: 根据题意中“甲、乙只能从事后三项工作,其余三人均能从事这四项工作”这一条件,分两种情况讨论: ① 甲、乙中只有 1 人被选中,② 、甲、乙两人都被选中,由分步计数原理可得每种情况的选派方案的数目, 进而由分类计数原理,即可得答案. 解答: 解:根据题意,分两种情况讨论: ① 、甲、乙中只有 1 人被选中,需要从甲、乙中选出 1 人,担任后三项工作中的 1 种,由其他三人担任剩余 的 1 1 3 三项工作,有 C2 ?C3 ?A3 =36 种选派方案. ② 、甲、乙两人都被选中,则在后三项工作中选出 2 项,由甲、乙担任,从其他三人中选出 2 人,担任剩余 的 两项工作,有 C3 ?A2 ?C3 ?A2 =36 种选派方案, 综上可得,共有 36+36=72 中不同的选派方案, 故选 B. 点评: 本题考查排列、组合的应用,涉及分类加法原理的应用,注意根据题意中“甲、乙只能从事前三项工作, 其余三人均能从事这四项工作”这一条件,进行分类讨论,属于中档题. 20. (2013?四川)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lga﹣lgb 的不同 值的个数是( ) A .9 B.10 C.18 D.20 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 因为 lga﹣lgb= ,所以从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到
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2

2

2

2

lga﹣lgb 的不同值的个数可看作共可得到多少个不同的数 ,从 1,3,5,7,9 这五个数中任取 2 个数排列 后(两数在分子和分母不同) ,减去相同的数字即可得到答案. 解答: 解:首先从 1,3,5,7,9 这五个数中任取两个不同的数排列,共有 因为 , , 种排法,

所以从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b, 共可得到 lga﹣lgb 的不同值的个数是:20﹣2=18. 故选 C. 点评: 本题考查了排列、组合及简单的计数问题,解答的关键是想到把相等的数字去掉,属基础题. 21. (2013?许昌三模)2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士.不同的 分配方法共( ) A .6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 分析法. 分析: 首先要分析 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士.考虑到先 把一所学校分好,剩下的一所学校的人就确定了,然后求出结果即可. 解答: 解:2 所学校,每校分配 1 名医生和 2 名护士,考虑先把一所分好,剩下的一所学校的人就确定了, 2 所以有 2×C4 =12 种分法. 故选 B. 点评: 此题主要考查排列,组合简单计数问题的求法,在做此类题目要注意分析题中要求,再作答,属于中档题 目.
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22. (2013?滨州一模)2013 年第 12 届全国运动会将在沈阳举行,某校 4 名大学生申请当 A,B,C 三个比赛项目的 志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务 A 比赛项目,则不同的安排方案共有( ) A.20 种 B.24 种 C.30 种 D.36 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 分析: 先安排甲,再安排其余 3 人,利用分布计算原理可得结论. 解答: 解:甲在 B、C 中任选一个,在这个前提下,剩下三个人可以在三个比赛中各服务一个,就是
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,也可以

在除了甲之外的两个项目中服务,就是 ∴ 不同的安排方案共有 =24



故选 B. 点评: 本题考查分布计算原理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 23. (2013?辽宁一模)如图,用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色(4 种颜色全部使用) ,要求每个区域涂一种颜 色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有( )

A.72 种

B.96 种

C.108 种

D.120 种

考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个分步计数问题,首先给最左边一块涂色,有 24 种结果,再给左边第二块涂色,最后涂第三块, 根据分步计数原理得到结果 解答: 解:由题意知本题是一个分步计数问题,第一步:涂区域 1,有 4 种方法;第二步:涂区域 2,有 3 种方法; 第三步:涂区域 4,有 2 种方法(此前三步已经用去三种颜色) ;第四步:涂区域 3,分两类:第一类,3 与 1 同色,则区域 5 涂第四种颜色;第二类,区域 3 与 1 不同色,则涂第四种颜色,此时区域 5 就可以涂 区域 1 或区域 2 或区域 3 中的任意一种颜色,有 3 种方法.所以,不同的涂色种数有 4×3×2×(1×1+1×3) =96 种. 故选 B. 点评: 本题考查计数原理的应用,本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色,因此在涂 第二块时,要不和第一块同色.
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24. (2013?汕头一模)给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、绿、兰) ,要求相邻两个面涂不同的颜 色,则共有涂色方法(涂色后,任意翻转正方体,能使正方体各面颜色一致,我们认为是同一种涂色方法( ) A .6 种 B.12 种 C.24 种 D.48 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 方案型;探究型. 分析: 用四种不同的颜色给正方体的六个面涂色,相邻的两个面涂不同颜色,且涂色后,任意翻转正方体,能使 正方体各面颜色一致,我们认为是同一种涂色方法,则该问题实质为从四种不同颜色中任选两种颜色把这 两种花颜色涂在正方体的两对对面上,有几种选法的问题. 解答: 解:由于涂色过程中,要保证满足用四种颜色,且相邻的面不同色,对于正方体的三对面来说,必然有两 对同色, 一对不同色, 而且三对面具有“地位对等性”, 因此, 只需从四种颜色中选择 2 种涂在其中两对面上,
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剩下的两种颜色涂在另外两个面即可.因此共有

=6 种不同的涂法.

故选 A. 点评: 本题考查了排列,组合和简单的计数问题,解答该题的关键是对题目中注明的涂色后,任意翻转正方体, 能使正方体各面颜色一致, 我们认为是同一种涂色方法的理解, 这样使看似复杂的问题变为简单的选色 (即 组合)问题,属中档题. 25. (2013?成都模拟)将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部 放入 3 个不同的盒子中,每个盒子既要有白球, 又要有黑球,且每个盒子中都不能同时只 放入 2 个白球和 2 个黑球,则所有不同的放法种数为( ) A .3 B.6 C.12 D.18 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,用间接法,首先用挡板法计算全部的每个盒子既有白球,又有黑球的情况,再计算不合题意的 即一个盒子中只放入 2 个白球和 2 个黑球的情况数目,由事件之间的关系计算可得答案. 2 解答: 解:首先把四个白球排列,用 2 块挡板隔开分成 3 份,共有 C3 =3 种结果,
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再把五个黑球用 2 块挡板分开,共有 C4 =6 种结果, 根据分步计数原理知共有 3×6=18 种结果, 其中同时一个盒子中只放入 2 个白球和 2 个黑球的情况有 3×2=6 种情况; 则满足题意的有 18﹣6=12 种; 故选 C. 点评: 本题考查排列组合的运用,解题的关键是明确同色的小球都相同,在计算全部情况时只要用挡板法分成三 份就可以,这里有两种颜色的小球要分开两次. 26. (2013?揭阳二模)某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校 任教, 每所学校至少安排一名, 其中甲、 乙因属同一学科, 不能安排在同一所学校, 则不同的安排方法种数为 ( ) A.18 B.24 C.30 D.36 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题. 分析: 间接法:先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数共有
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2

?

种,去掉甲乙被分在同一所学校的情况

共有

种即可.

解答: 解:先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数, 可从 4 个中选 2 个,和其余的 2 个看作 3 个元素的全拍列共有 再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有 所以不同的安排方法种数是 ? ﹣ 种, ? 种,

=36﹣6=30

故选 C. 点评: 本题考查排列组合及简单的计数问题,属中档题. 27. (2013?红桥区二模)一个班有 6 名战士,其中正副班长各一名,现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成 一种任务,正副班长中有且仅有一人参加,另一人要留下值班,则不同的分配方法有( ) A.240 种 B.192 种 C.2880 种 D.8 种 考点: 排列、组合及简单计数问题.

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专题: 计算题. 分析: 先选后排,利用乘法原理,即可求得不同分配方法. 解答: 解:先在正副班长里选一名,有 =2 种方法;再在 4 名战士里选 3 名,有 最后 4 个人随机分配任务,有 =24 种方法

=4 种方法;

故选法有 2×4×24=192 种 故选 B. 点评: 本题考查乘法原理,考查排列组合知识,考查学生的计算能力,属于基础题. 28. (2013?成都一模)为继续实施区域发展总体战略,加大对革命老区、民族地区、边疆地区、贫困地区扶持 力 度,某市教育局再次号召本市重点中学教师和领导自愿到观阁、广兴、天池、龙滩四个边远 山区中学支教,得到 了积极响应,统计得知各边区学校教师需求情况如下表: 边区学校 教师需求情况 观阁中学 3 名(其中需 1 名数学教师) 广兴中学 2名 天池中学 3 名(其中需 2 名英语教师) 龙滩中学 3 名(均为物理教师) 现从大量报名者中选出语文教师 2 名(包含 1 名干部) ,数学教师 3 名,英语教师 3 名 (包含 2 名干部) 、物理教 师 3 名(包含 1 名干部) ,要求向每个学校各派一名干部任组长.则 不同派遣方案的种数有( ) A.24 种 B.28 种 C.36 种 D.48 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 先把 3 名物理老师派给龙滩中学,然后从 3 名英语老师中选出 2 名,其中 1 名干部分给天池中学,再把 1 名英语干部、1 名语文干部分别派给观阁中学及光兴中学,最后再把 3 名数学老师中选 1 人分给观阁中学, 余下的语文老师只能去观阁,而另 2 名数学老师分别到广兴和天池,由分步计数原理可求 解答: 解:先把 3 名物理老师派给龙滩中学,有 1 种方法,然后从 3 名英语老师中选出 2 名,其中 1 名干部分给
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天池中学,有

种方法,再把 1 名英语干部、1 名语文干部分别派给观阁中学及光兴中学有

种方法,最

后再把 3 名数学老师中选 1 人分给观阁中学,有 别到广兴和天池有 =24

种,余下的语文老师只能去观阁,而另 2 名数学老师分

种,由分步计数原理可得,共有

故选 A 点评: 排列与组合问题要区分开,若题目要求元素的顺序则是排列问题,排列问题要做到不重不漏,有些题目带 有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素 29. (2014?岳阳二模) 四面体的一个顶点为 A, 从其它顶点与各棱的中点中取 3 个点, 使它们和点 A 在同一平面上, 不同的取法有( ) A.30 种 B.33 种 C.36 种 D.39 种 考点: 专题: 分析: 解答: 排列、组合及简单计数问题. 常规题型;压轴题. 根据题意,如图,分 2 种情况讨论,① 所取的 3 点在 3 个侧面上与② 所取的 3 点不在侧面上,分析可得答案. 解:根据题意,如图,分析可得, ① 所取的 3 点在 3 个侧面上时,
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每个侧面有 C5 种取法, 3 共 3C5 =30 种情况; ② 所取的 3 点不在侧面上时, 含顶点 A 的三条棱上各有三个点,它们与所对的棱的中点共面, 共有 3 种取法; 综合可得,共 30+3=33 种, 故选 B.

3

点评: 本题考查组合的运用,注意结合立体几何知识,准确分析四点共面的情况数目. 30. (2012?四川)方程 ay=b x +c 中的 a,b,c∈{﹣2,0,1,2,3},且 a,b,c 互不相同,在所有这些方程所表 示的曲线中,不同的抛物线共有( ) A.28 条 B.32 条 C.36 条 D.48 条 考点: 排列、组合及简单计数问题;抛物线的标准方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 方程变形得 ,若表示抛物线,则 a≠0,b≠0,所以分 b=﹣2,1,2,3 四种情况,利用列举法可
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2 2

解. 解答: 解:方程变形得 ,若表示抛物线,则 a≠0,b≠0,所以分 b=﹣2,1,2,3 四种情况:

(1)若 b=﹣2 时,a=1,c=0,2,3 或 a=2,c=0,1,3 或 a=3,c=0,1,2; (2)若 b=2 时,a=﹣2,c=0,1,3 或 a=1,c=0,2,3 或 a=3,c=0,1,﹣2; 以上两种情况下有 4 条重复,故共有 9+5=14 条; 同理 若 b=1,共有 9 条; 若 b=3 时,共有 9 条. 综上,共有 14+9+9=32 种 故选 B. 点评: 此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 9 条抛物线.列举法是解决排列、组合、概 率等非常有效的办法,要能熟练运用. ~~~~~~~ 2015.3.12


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