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双曲线.板块二.双曲线的离心率.学生版


板块二.双曲线的离心率

典例分析
【例1】 下列曲线中离心率为
6 的是( 2



x2 y 2 ? ?1 2 4 x2 y 2 C. ? ?1 4 6
A. 【例2】 若双曲线 A.2

x2 y 2 ? ?1 4 2 x2 y 2 D. ? ?1 4 10
B.

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0? 的离心率为 2,则 a 等于( ) a2 32 3 B. 3 C. D.1 2


【例3】 若双曲线的实轴长为 2,焦距为 6,则该双曲线的离心率为 ( 1 2 3 A. B. C. D. 3 3 2 3
F 【例4】 设 F1 , 2 分 别 是双曲 线

x2 y 2 ? ? 1 的 左、右 焦点 ,若双 曲线 上存在 点 A , 使 a 2 b2 ?F1 AF2 ? 90° 且 | AF1 |? 3 | AF2 | ,则双曲线的离心率等于( )
5 2

A.

B.

10 2

C.

15 2

D. 5

【例5】 下列曲线中离心率为

6 的是( 2



x2 y 2 ? ?1 2 4 x2 y 2 C. ? ?1 4 6
A. 【例6】 设 a ? 1 ,则双曲线 A.

x2 y 2 ? ?1 4 2 x2 y 2 D. ? ?1 4 10
B.
x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是( 2 a (a ? 1) 2



?

2 ,2

?

B.

?

2, 5

?

5 C. ? 2 , ?

D. 2 , 5

?

?

【例7】 双曲线

x2 y 2 ) ? ? 1 的离心率 e ? (1 , 2) ,则 k 的取值范围是( 4 k A. (?? , 0) B. (?3 , 0) C. (?12 , 0) D. (?60 , ? 12)
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【例8】 设 ?ABC 是等腰三角形,?ABC ? 120? ,则以 A , B 为焦点且过点 C 的双曲线的离 心率为( ) 1? 2 1? 3 A. B. C. 1 ? 2 D. 1 ? 3 2 2 【例9】 双曲线

A. ?1, ? 3

x2 y 2 b ? ? 1 ? a ? 0 , ? 0 ? 的两个焦点为 F1 、 F2 ,若 P 为其上一点,且 a 2 b2 ) PF1 ? 2 PF2 ,则双曲线离心率的取值范围为(
B. ?1 ,3? C. ? 3 , ? ? ? D. ?3 , ? ? ?

【例10】 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0 ? 的中心在原点,右焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点重 2 a 9 合,则该双曲线的离心率等于( ) 8 55 4 7 4 5 A. B. C. D. 55 7 5 4 x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线 a 2 b2 与双曲线交于 A 、 B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值 范围是( ) A. (1, ? ?) B. (1, 3) C. (1 , 2) D. (1, 1 ? 2)
x2 y 2 F ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1 , 2 ,过 F1 作倾斜角为 a 2 b2 30? 的直线交双曲线右支于 M 点, MF2 垂直于 x 轴, 若 则双曲线的离心率为 ( )
B. 3 C. 2 D.
3 3

【例11】 已知点 F1 、 F2 分别是双曲线

【例12】 双曲线

A. 6

【例13】 设双曲线的—个焦点为 F ;虚轴的—个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条 渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) 3 ?1 5 ?1 A. 2 B. 3 C. D. 2 2

【例14】 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在双曲线上, a 2 b2 AF1 5 ? ,则双曲线的离心率等于( 且 AF2 ? x 轴,若 ) AF2 3
B. 3 C. 2 D. 3

A. 2

【例15】 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , ? 0) 的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 60? 的直 b a 2 b2 线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) ? 2] 2) ? A. (1 , B. (1 , C. [2 , ?) D. (2 , ?)
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0) 【例16】 若点 P(2 , 到双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的离心率 a 2 b2
C. 2 2 D. 2 3

为( A. 2

) B. 3

【例17】 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲 b a 2 b2 ?? ?? ? ? ? ? 1 线的两条渐近线的交点分别为 B ,C . A ? B , 若 B 则双曲线的离心率是 ( ) C 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 10

【例18】 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 只有一个公共点,则双曲线 a 2 b2 的离心率为( ) 5 5 A. B. 5 C. D. 5 2 4

【例19】 过双曲线

x2 y 2 该直线与双曲线 ? ? 1(a ? 0 , ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线, b a 2 b2 ??? 1 ??? ? ? C 的两条渐近线的交点分别为 B , .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是( ) 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
π? ? ? . ?DB ? ? , ? ? 0 , ? , 设 A 2? ? 以 A , B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C , D 为焦点且过点 A 的椭 圆的离心率为 e2 ,则( )
D θ A B C

【例20】 如图, 在等腰梯形 ABCD 中,AB ∥ CD , A ? A 且 B 2 D

A.随着角度 ? 的增大, e1 增大, e1e2 为定值 B.随着角度 ? 的增大, e1 减小, e1e2 为定值 C.随着角度 ? 的增大, e1 增大, e1e2 也增大 D.随着角度 ? 的增大, e1 减小, e1e2 也减小

【例21】 已知双曲线 x2 ?

y2 ? 1 的离心率 e ? 2 ,则 m ? m



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【例22】 两个正数 a 、 b 的等差中项是 5 ,等比中项是 4 .若 a ? b ,则双曲线 离心率 e 等于 .

x2 y 2 ? ? 1的 a b

【例23】 直线 x ? t 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点且与双曲线的两条渐近线分 a 2 b2 别交于 A , B 两点,若原点在以 AB 为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围 是 .

【例24】 已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角 为 60? ,则双曲线 C 的离心率为_________.

【例25】 以双曲线两焦点为直径端点的圆与双曲线的四个交点连同双曲线的焦点恰好构成 一个正六边形,则该双曲线的离心率为 .

【例26】 斜率为 2 的直线 l 过双曲线

x2 y 2 b ? ? 1 (a ? 0 , ? 0) 的右焦点,且与双曲线的左、 a 2 b2 右两支分别相交,则双曲线的离心率的取值范围是_______.

F 【例27】 双曲线虚轴的一个端点为 M ,两个焦点为 F1 , 2 , ?F1MF2 ? 120? ,则双曲线的离 心率为_____.

【例28】 椭 圆

3 x2 y 2 x2 y 2 , 则 双 曲 线 2 ? 2 ?1 的 离 心 率 为 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 2 2 a b a b _______.

【例29】 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 a 2 b2 30? 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 _______ ;

【例30】 过双曲线 C :

x2 y 2 切 ? ? 1(a ? 0 , ? 0) 的一个焦点作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线, b a2 b2 点分别为 A , B .若 ?AOB ? 120? ( O 是坐标原点) ,则双曲线 C 的离心率 为 . x2 y 2 F ? ? 1(a ? 0 , ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , 2 ,点 P 在双曲线的 b a 2 b2 右支上,且 | PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为 .

【例31】 已知双曲线

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