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高三数学专项训练:圆锥曲线小题练习题(二)


高三数学专项训练:圆锥曲线小题练习题(二)
1 . 已 知 动 点 P( x, y) 在 椭 圆

???? ? x2 y 2 ? ? 1 上 , 若 A 点 坐 标 为 (3,0) , | AM |? 1 , 且 25 16
) C. 2 D. 3

???? ? ???? ???? ? ? PM ? AM ? 0 ,则 | PM | 的最小值是(
A. 2 B. 3

2.存在两条直线 x ? ?m 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 ABCD 四点,若四边 a 2 b2
) D. ( 3, ??)

形 ABCD 是正方形,则双曲线的离心率的取值范围为( A. (1, 2)
2

B. (1, 3)
2

C. ( 2, ??)

3.双曲线 x ? my ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 rn= A.

1 4

B.

2 2 4.直线 l : y ? k x ? 2 与双曲线 x ? y ? 1仅有一个公共点,则实数 k 的值为

?

1 2

C.2

D.4

?

A.1
2

B.-1

C.1 或-1

D . 1 或-1 或 0

5.在抛物线 y ? 4 x 上有点 M ,它到直线 y ? x 的距离为 4 2 ,如果点 M 的坐标为 ( m, n ),且 m, n ? R ,则 A、
?

m 的值为( n
C、 2

) D、2

1 2

B、1
2

6.点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值 是( A.1 ) B.

2

C. 2

D. 2 2

7.若双曲线 ( ) A.3

x2 y2 ? ? 1 的左焦点与抛物线 y 2 ? ?8 x 的焦点重合,则 m 的值为 m m?2
B.4 C.5 D.6
2 2

8.若 a, b, c 是直角三角形的三边( c 为斜边) ,则圆 x ? y ? 2 截直线 ax ? by ? c ? 0 所得的弦长等于 A、 1 B、 2 C、 3 D、 2 3

9.已知点 M (?3,0) , N (3,0) , B(1,0) ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B ,过 M 、 N 与 圆 C 相切的两直线相交于点 P ,则 P 点的轨迹方程为 ( )

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y2 A. x ? ? 1 ( x ? 1) 8
2

y2 B. x ? ? 1 ( x ? ?1) 8
2

C. x ?
2

y2 ? 1 ?x ? 0? 8
2

D. x ?
2

y2 ? 1 ( x ? 1) 10
)

10.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( A.1 B.

1 2
4

C. ?

1 2

D. ?1

11.过点 P(1,1) 且与曲线 y ? x 相切的切线与直线 4 x ? y ? 1 ? 0 的位置关系是 A.平行 B.重合 C.垂直 D. 斜交 2 12.抛物线 y=x -x 与 x 轴围成的图形的面积为 A.

1 8

B.1

C.

1 6

D.

1 2

13.椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值是 4 a a 2
B.1 或-2
2 2

A.

1 2

C.1 或

1 2

D.1

14.当点 P 在圆 x ? y ? 1 上运动时,它与定点 Q(3,0)所连线段 PQ 的中点 M 的轨 迹方程是: A、 ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

B、 ( x ? 3) ? y ? 1
2 2

C、 (2 x ? 3) ? 4 y ? 1
2 2

D、 (2 x ? 3) ? 4 y ? 1
2 2

15.直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x
2 2 2 2

(k ? R, 且k ? 0) 的公共点的个数为

( ) A.1 B.2
2

C.3

D.4

16.已知抛物线 y ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 相交于 A、B 两点,其中 A 点的坐标是(1, 2)。如果抛物线的焦点为 F,那么 FA ? FB 等于 ( A. 5 B. 6 C. 3 5 ) D.7

17. 已知点 A (?1,0 ), B (1,0 ) , C 为平面内一动点,且满足 AC ? 迹方程为(
2 2

2 BC , 那么点 C 的轨

) B、 x ? y ? 6 x ? 1 ? 0
2 2

A、 x ? y ? 6 x ? 1 ? 0 C、 x 2 ? y 2 ?

10 x ?1 ? 0 3

D、 x 2 ? y 2 ?

10 x ?1 ? 0 3
2 2

18.已知集合 P ? x 1 ? x ? 8, x ? Z ,直线 y ? 2 x ? 1 与双曲线 mx ? ny ? 1 有且只有

?

?

试卷第 2 页,总 7 页

一个公共点,其中 m, n ? P ,则满足上述条件的双曲线共有( ▲

)

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

19. 已知双曲线与椭圆 曲线的虚轴长为 A、 5

x2 y2 ? ? 1 的焦点相同,且它们一个交点的纵坐标为 4,则双 27 36

B、 2 5

C、 13

D、 2 13

20. F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) , F1 F2 是 PF1 与 PF2 的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是 ( )
16 9
2 2 B. x ? y ? 1

2 2 A. x ? y ? 1

16

12

2 2 C. x ? y ? 1 4 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4


21.如果曲线 C 上的点满足 F ( x, y) ? 0, 则下列说法正确的是( A 曲线 C 的方程是 F ( x, y ) ? 0 B 方程 F ( x, y ) ? 0 的曲线是 C C 坐标满足方程 F ( x, y ) ? 0 的点在曲线 C 上 D 坐标不满足方程 F ( x, y ) ? 0 的点不在曲线 C 上

22.已知椭圆 A.1

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值是 4 a a 2
C.3 D. 4

B.2

23 . “ ?3 ? m ? 5 ” 是 “ 方 程

x2 y2 ? ?1 表 示 双 曲 线 ” 的 5?m m ?3

( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 2 2 24 . 方 程 mx+ny =0 与 mx +ny =1(mn ≠ 0) 在 同 一 坐 标 系 中 的 图 象 大 致 是 ( )

A B C D 25 . 经 过 一 定 圆 外 一 定 点 , 并 且 与 该 圆 外 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 是 ( ) A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 双曲线的一支
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26.设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26 ,若曲线 C2 上的点到椭圆 13

C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为
A.

x2 y2 ? ?1 4 2 32 x2 y2 ? ?1 32 4 2

B.

x2 y2 ? 2 ?1 13 2 5 x2 y2 ? 2 ?1 13 2 12
) D 、

C.

D.

27.过点 F(0,3) ,且和直线 y ? 3 ? 0 相切的动圆圆心轨迹方程是( A、 y ? 12 x
2

B、 y ? ?12 x
2

C、 x ? 12 y
2

x 2 ? ?12 y
28.已知曲线 C: y ? 2x ,点 A(0,?2) 及点 B(3, a) ,从 A 点观察点 B,要使视线不被
2

曲线 C 挡住,则实数 a 的取值范围是( A. (4,??) B. (??,4)

) D. (??,10)

C. (10,??)

29.若 (

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? | x ? y ? 3 |? 0 ,则点 M ( x, y) 的轨迹是


( A) 圆

( B) 椭圆
2 2

(C ) 双曲线

( D) 抛物线

30.动圆与定圆: A : ( x ? 2) ? y ? 1外切,且和直线 x=l 相切,则动圆圆心的轨迹是 A.直线 31.若椭圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 与曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ? b2 无公共点,则椭圆的离心 2 a b

率 e 的取值范围是 A. (

3 , 1) 2

B. (0,

3 2 ) C. ( , 1) 2 2

D. (0,

2 ) 2


32.在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是 (

33.如图所示,下列三图中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边的中点,双曲线均以 图中的 F1,F2 为焦点,设图中的双曲线的离心率分别为 e1,e2,e3,则 ( )

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A.e1>e2>e3 B.e1<e2<e3 C.e1=e3<e2 D.e1=e3>e2 34.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 的左焦点重合,则 p 的值为 9 5

A.-2 B.2

C.-4 D.4 )

x2 y2 35.以 =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ? 4 12
A.

x2 y2 ? =1 16 12 x2 y2 ? =1 12 16

B.

x2 y2 ? C. =1 16 4
D.

x2 y2 ? =1 4 16
x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 的离心率为 e1 ,双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 e 2 ,则 e1 + e 2 a2 b b a

36.双曲线

的最小值为( ) A. 4 2 B.2 C. 2 2 D.4 )

37.已知点 F1 (?5, 0) , F2 (5, 0) 且有 PF1 ? PF2 ? 10 ,则 P 点的轨迹是( A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.两射线
2 2

38.给出下列曲线:① 4 x ? 2 y ? 1 ;② x ? y ? 3 ;③ 其中与直线 y ? ?2 x ? 3 有交点的所有曲线是( A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④

x2 x2 ? y 2 ? 1 ;④ ? y 2 ? 1 。 2 2



x2 y 2 39.椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左准线为 l,左右焦点分别为 F1、F2,抛物线 C2 a b
的准线为 l,一个焦点为 F2,C1 与 C2 的一个交点为 P,则

| F1 F2 | | PF1 | 等于( ? | PF1 | | PF2 |



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A.-1 B.1

C. ?

1 1 D. 2 2


40.设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是( a 2 (a ? 1) 2
C. (2, 5) D. (2,5)

A. ( 2, 2)

B. ( 2,5)

41.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( ) 6 2

A. ?2

B.2
2

C. ?4

D.4

x2 y 2 42.若抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点与双曲线 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 12 4
为C

A. 2
2

B. 4

C. 8

D .4 2

y P x y2 43.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P (x1, 1 ),2 ( 2 , ) ,P ( x3,y3 ) 1 3
在抛物线上,且 2x2 ? x1 ? x3 , 则有 A. FP ? FP2 ? FP3 1 C. 2 FP2 ? FP ? FP3 1
2



) B. FP ? FP2 1
2 2

? FP3

2

D. FP2

2

? FP· FP3 1

44.设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则 | FA | ? | FB | ? | FC | = A.9 B.6

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?



) D.3

C.4

45.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A, B ,它们横坐标之和为 5,则 这样的直线( ) A、有且只有一条 B、有且只有两条 C、有无穷多条 D、不存在 2 46.过抛物线 y =8x 的焦点作直线 L 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标 为 4,则|AB|等于 ( ) A.14 B.12 C.10 D.8 47.过抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 P、Q 两点,若点 P 关于 x 轴对称的点为 M,则直线 QM 的方程可能为 A. 3 x ? 2 y ? 3 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 4 ? 0
2

B. 3 x ? 5 y ? 6 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0

48.若点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,则该点到点 Q(2, 1) 的距离与到抛物线焦点距离之和 ?
试卷第 6 页,总 7 页

取得最小值时的坐标为( A、 ( , ?1)

) C、 (1,2) D、 (1,-2)

1 4

B、 ( 4 ,1)

1

49.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P ? x1 , y1 ? , Q? x2 , y2? 两点,如果

x1 ? x2 ? 6 ,则 PQ
A.9 B.8

(

) C.7 D.6

50. 过抛物线 y ? 2 px ? p ? 0 ? 的焦点作倾斜角为 45? 的直线交抛物线于 A, B 两点, 若
2

线段 AB 的中点坐标为 ? 3, 2 ? ,则 p 的值为( A、

) D、 4

1 2

B、 1

C、 2

试卷第 7 页,总 7 页

高三数学专项训练:圆锥曲线小题练习题(二)参考答案
1.B 【解析】

???? ? 试题分析:由 | AM |? 1 可知点 M 的轨迹为以点 A 为圆心,1 为半径的圆,过点 P 作该圆的切

??? ? ???? ? 2 2 2 2 2 线 PM,则|PA| =|PM| +|AM| ,得|PM| =|PA| -1,∴要使得 | PM | 的值最小,则要 PA 的值最
??? ? ???? ? 小,而 PA 的最小值为 a-c=2,此时 | PM | = 3 ,故选 B.
考点:本题考查了圆与圆锥曲线的关系 点评: 求最值过程中利用三角形两边之差小于等于第三边来取得最值, 又要结合椭圆的定义, 很关键 2.C 【解析】 试题分析:四边形 ABCD 是正方形? x A ? y A ? m ? m ? 0 ? 代入得

m2 m2 ? ?1 a 2 b2

a 2b 2 ?m ? 2 ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a 2 ? e ? 2 2 b ?a
2

考点:求双曲线离心率 点评:求离心率的值或范围关键是找到关于 a, b.c 的齐次方程或不等式 3.D 【解析】 试题分析:把双曲线 x ? my ? 1 化为标准形式 x ?
2 2

2

y2 1 ? 1 ,所以 a 2 =1,b 2 = ,因为实轴 1 m m

长是虚轴长的 2 倍,所以 1=4 ? 考点:双曲线的标准方程。

1 ,即m=4 。 m

点评:熟练判断双曲线方程中的 a 2和b2 的值,一般情况下,谁正谁就是 a 2 ,谁正焦点就在 谁轴上。 4.C 【解析】 试题分析:由 ?

?y ? k x ? 2 ? ? ? x -y =1
2 2

?

? 得: ?1-k ? x +2
2 2

2k 2 x-2k 2 -1=0 ,

2 2 2 2 当 1-k =0时,即k= ? 1 , 此时方程 1-k x +2 2k x-2k -1=0 只有一根, 所以直线与双曲

2

?

?

线仅有一个公共点;

答案第 1 页,总 8 页

当 1-k 2 ? 0 时,要满足题意需 ? = 2 2k 2

?

? -4 ?1-k ??-2k -1? =0 ,此时无解。
2 2 2

2 2 所以直线 l : y ? k x ? 2 与双曲线 x ? y ? 1仅有一个公共点,则实数 k 的值为 1 或-1。

?

?

考点:直线与双曲线的位置关系。 点评:在判断直线与双曲线的位置关系时,一般的方法是联立,组成方程组,消元,判断方 程解的个数。一定要注意讨论二次项系数是否为 0 的情况。 5.D 【解析】 试题分析:因为 M ? x, y ? 到直线 y ? x 的距离为 4 2 ,所以

m?n 2

? 4 2 ,又因为

m2 ? 4n ,两式联立可得 m ? 16, n ? 8 ,所以

m 的值为 2. n

考点: 本小题主要考查点到直线的距离公式的应用及抛物线上点的性质的应用, 考查学生的 运算求解能力. 点评:本题中 m, n ? R ,所以答案唯一,否则还有一解,做题时要注意看清题目要求. 6.B 2 【解析】解:点 P 是曲线 y=x -lnx 上任意一点,当过点 P 的切线和直线 y=x-2 平行时,点 P 到直线 y=x-2 的距离最小.直线 y=x-2 的斜率等于 1,令 y=x -lnx 的导数 y′=2xx=1,或 x=2

?

1 =1, x

1 2 (舍去) ,故曲线 y=x -lnx 上和直线 y=x-2 平行的切线经过的切点坐标(1, 2

1) ,点(1,1)到直线 y=x-2 的距离等于 2 故点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 2 故答案 选B 7. A 【 解 析 】 因 为 抛 物 线 的 焦 点 F(-2,0),所 以 m ? m ?2 ? 4 , ?m ?3 . 8. B 【解析】弦长 ? 2 2?( 9. A 【 解 析 】 为 | PM | ? | PN |?| MB | ? | BN |? 4 ? 2 ? 2 ?| MN |? 6 ,所 以 点 P 的 轨 迹 是 因 以 M 、 N 为 焦 点 的 双 曲 线 右 支 .因 为 a=1 ,c= 3,所 以 P 点 的 轨 迹 方 程 为

c a 2 ? b2

)2 ? 2 2 ?

c2 ?2 a 2 ? b2

y2 x ? ? 1( x ? 1) 8
2

10.A 【解析】∵曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线的斜率为 f ?(1) ? 2a ?1 =2a,且与直线
2

答案第 2 页,总 8 页

2 x ? y ? 6 ? 0 平行,∴2a=2,解得 a=1,故选 A
11.A 【解析】解:设切点为 ( x0 , y0 ) ,则

y ' |x ? x0 ? 4 x03 , 且y0 =x0 4 则切线方程为y ? x0 4 ? 4 x03 ( x ? x0 ) 因为过点(1,1),这样求解得到x0
x0 =1,故切线斜率为 4.答案为 A
12.C 【解析】解:利用定积分的几何意义,可得 面积为 S ? ? ( x 2 ? x)dx ?
0

?

1

1 6

13. D

x2 y2 x2 y 2 【解析】椭圆 ? ? 1 与双曲线 ? ?1 a?0 4 a a 2 都是标准方程。有相同焦点,则

4 ? a ? a ? 2 ? a ?1
焦点在 x 轴上,且 故选 D 14.C 【解析】设 P 点坐标为(m,n),M 点坐标为(x,y);则有条件得:m+3=2x,n+0=2y,所以 m=2x-3,n=2y.又点 P 在圆 x ? y ? 1 上运动,所以 m2 ? n2 ? 1,于是有
2 2

(2 x ? 3) 2 ? (2 y) 2 ? 1, ? (2 x ? 3) 2 ? 4 y 2 ? 1 。故选 C
15.D 【解析】把 y=2k 代入 9k x ? y ? 18k x
2 2 2 2

得:

9k 2 x 2 ? 4k 2 ? 18k 2 | x |,? k ? 0 ? 9 x 2 ? 18 | x | ?4 ? 0
故选 D 16.D

, 解得:

| x |? 1 ?

5 5 , 或|x|=1+ 3 3

【解析】把 A 点的坐标是(1,2)分别代入抛物线 y ? 2 px 与直线 ax ? y ? 4 ? 0 方程得:
2

? y2 ? 4x 2 p=2,a=2,由 ? 2 x ? y ? 4 ? 0 消去 y 得: x ? 5 x ? 4 ? 0, 则 x A ? xB ? 5 ?
由抛物线定义得: | FA | ? | FB | ? x A ? xB ? p ? 7 。故选 D 17.B 【解析】设 C ( x, y ) ,由 | AC |?

2 | BC | 可得 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ,化简
答案第 3 页,总 8 页

可得 x ? y ? 6 x ? 1 ? 0 ,故选 B
2 2

18.D 【 解 析 】 将 y ? 2 x ? 1 代 入 mx ? ny ? 1 得 mx 2 ? n?2 x ? 1? ? 1 , 整 理 得 ,
2 2
2

?m ? 4n?x 2 ? 4nx ? n ? 1 ? 0 ,当 m ? 4n 时,由 m, n ? P 得 ?
点为 ? ?

?m ? 4 ?m ? 8 , ? 对应的公共 ?n ? 1 ?n ? 2

4n ? 1 ? ? 3 1? 当 , ,0 ? ,? ? , ? 无; m ? 4n 时,? ? 16 n 2 ? 4?m ? 4n ??n ? 1? ? 0 ,m ? n ?1 ? 2 ? ? 8 4?
?m ? 2 ?n ? 1 ?m=3 ;综合得共有 4 条;选 D ? n=3 ?

将 n ? 1,2,3,4,5,6,7,8 代入检验得 ? 19.B 【解析】椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的 焦 点 坐 标 为 (0, ?3) , 因 为 同 焦 点 所 以 设 双 曲 线 方 程 为 27 36

y2 x2 ? ? 1(b ? 0) 。 因 为 双 曲 线 和 椭 圆 的 交 点 纵 坐 标 为 4 , 代 入 椭 圆 方 程 可 得 9 ? b2 b2
x ? ? 15 。将点 (? 15, 4) 代入双曲线方程可得
16 15 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? ?27 (舍)或 2 9?b b

b2 ? 5 ,则 b ? 5 ,所以双曲线的虚轴长为 2 5 ,故选 B
20.C 【解析】由条件得:| F1 F2 |? 2,| PF1 | ? | P2 F |? 2 | F1F2 |? 4 ? |F1F2 | ;根据椭圆定义知动点

x2 y 2 的轨迹以 F1 (?1,0), F2 (1,0) 为焦点,长轴长为 4 的椭圆;所以轨迹方程是 ? ? 1. 4 3
故选 C 21.D 【解析】曲线 C 的方程是 F ( x, y ) ? 0 或方程 F ( x, y ) ? 0 的曲线是 C 需满足两个条件:①是 曲线 C 上的点都满足 F ( x, y ) ? 0 ,②是满足方程 F ( x, y ) ? 0 的点都在曲线 C 上,则 A,B, C 不正确。故选 D 22.A 【解析】双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1 与双曲线 0 ? a ? 2; 椭圆 a 2 4 a2 焦点在 x 轴上,所以 又

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,所以 4 ? a2 ? a ? 2 ,即 a2 ? a ? 2 ? 0 解得 a ? 1, a ? ?2 (舍 a 2
答案第 4 页,总 8 页

去) 。故选 A 23.C 【解析】若方程

x2 y2 ? ? 1 表 示 双 曲 线 , 则 ( 5? m ) ( ? m 5?m m ?3

? ) ,0所 以 3

(m ? 5)(m ? 3) ? 0 ,即 3 ? m ? 5 ;而当 ?3 ? m ? 5 时, 0 ? m ? 3 ? 8 且 0 ? 5 ? m ? 8 ,所
以选 C。 24.A 【解析】略 25.D 【解析】略 26.A 【解析】 27.C 【解析】 28.D 【解析】 29.C 【解析】 30.B 【解析】 31.D 【 解 析 】 易 知 以 半 焦 距 c 为 半 径 的 圆 在 椭 圆 内 部 , 故 b ? c ? b2 ? c 2 , 即

a 2 ? 2c 2 ?
32.D;

c 2 ,选 D; ? a 2

x2 y2 a 【解析】将方程 a x +b y =1 与 ax+by =0 转化为标准方程: ? ? 1, y 2 ? ? x .因为 1 1 b 2 2 a b
2 2 2 2 2

a>b>0,因此, 33.D

1 1 ? >0,所以有:椭圆的焦点在 y 轴,抛物线的开口向左,得 D 选项. b a

【解析】在图(1)中令|F1F2|=2c,因为 M 为中点,所以|F1M|=c 且|MF2|= 3c . ∴ e1 ?

2c | F1F2 | 2 ? ? ? 3 ?1 2a | MF2 | ? | MF |1 3 ?1

在图(2)中,令|F1M|=m,则|F1F2|=2 2m ,|MF2|= 5m .

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∴ e2 ?

| F1F2 | 2 2 10 ? 2 ? ? ? 3 ? 1 ? e1 . | MF2 | ? | MF |1 2 5 ?1

在图(3)中, 令|F1F2|=2c,则|F1P|=c,|F2P|= 3c .∴e3= 3 ? 1 .故 e1=e3 >e2.故选 D. 34.C 【解析】依据题目的意思有 35.D

p ? ?2 ? p ? ?4 ,选 C 2

y2 x2 【解析】双曲线 ? =1 的焦点坐标为(0,±4),顶点坐标为(0,± 12 ).∴椭圆的 12 4
顶点坐标为(0,±4),焦点坐标为(0,±

12 ).∴在椭圆中 a=4,c= 12 ,∴b2=4.∴

椭圆的方程为

x2 y2 ? =1 4 16

36.C 【解析】提示:用基本不等式 37.C 【解析】∵ PF1 ? PF2 ? 10 = F1 F2 ,∴ P 点在线段 F1 F2 上,所以选 C 38.D 【解析】 x ? 2 y ? 1 ? 0 ? y ? ?2 x ? 1 与 y ? ?2 x ? 3 平行, ∴①与 l 没有公共点, 排除 A, C 4

? y ? ?2 x ? 3 ? 项,观察 B, D 项,发现只要验证③即可。由 ? x 2 ,消 y 得 9 x 2 ? 24 x ? 16 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
? ? 242 ? 4 ? 9 ?16 ? 0 ,∴③与 l 有一个公共点,∴选 D 。
39.B. 【解析】因为 C 为抛线上的点,所以 P 到其焦点 F2 的距离 | PF2 | 与其到准线 l 的距离 d 相 等, 因为 P 也是椭圆上的点, 到其准线 l 的距离也是 d , P 由椭圆第二定义, 得 ① 再 由 椭 圆 第 一 定 义 , 得 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ② , 由 ① ② 两 式 解 得

| PF1 | | PF1 | c ? ? | PF2 | d a

| PF1 |?

2ac 2a 2 , | PF2 |? , a?c a?c

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| F1 F2 | | PF1 | 2c c a?c c ? ? ? ? ? ?1 2ac a | PF1 | | PF2 | a a a?c

40.B 【解析】 e ? ( ) ?
2 2

c a

a 2 ? (a ? 1) 2 1 1 ? 1 ? (1 ? ) 2 ,因为 是减函数,所以当 a ? 1 时 2 a a a

0?
41.D

1 ? 1 ,所以 2 ? e 2 ? 5 ,即 2 ? e ? 5 a p ? 2,? p ? 4 2

【解析】因椭圆的焦点为 ? 2, 0 ? , 42.C 【解析】 43.C

p ? 4 ? p ? 8 ,选 C。 2 p p p , | F2 P |? x2 ? , | F3 P |? x3 ? , 2 2 2

【解析】由抛物线定义可知 | F1 P |? x1 ?

由 2x2 ? x1 ? x3 得: 2 FP2 ? FP ? FP ,故选 C。 1 3 44.B 【 解 析 】抛 物 线 y ? 4 x 的 焦 点 F (1, 0), 准 线 方程 为 x ? ?1 。 设 A, B, C 坐 标 分 别 为
2

( x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ( 3 ,y3 ) x







? ? F ? A

?

? ? ?F 0 B , ?

? ? ? F 所 C以

?

?

?

x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 1 ? 0, y1 ? y2 ? y3 ? 0 ,从而有 x1 ? x2 ? x3 ? 3 。由抛物线几何性质可
得 | FA | ? | FB | ? | FC |?| FA | ? | FB | ? | FC |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x3 ? x1 ? x2 ? x3 ? 3 ? 6 , 故 选B 45.B 【解析】抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标为 (1, 0) ,则当过焦点 (1, 0) 的直线斜率不存在即直线方
2

??? ?

??? ?

??? ?

程为 x ? 1 时,此时 A, B 两点横坐标之和为 2,不符合。当直线斜率存在时,设直线方程为

? y ? k( x? 1) 2 2 2 2 可 得 k x ? ( 2 k ? 4) x ? k ? 0。 设 A, B 坐 标 分 别 为 y ? k ( x ? 1) , 联 立 ? 2 ? y ? 4x
( x1 , y1 ), (x2 ,y2 ,则 x1 ? x2 ? )

2k 2 ? 4 2k 2 ? 4 2 3 ? 5 ,解得 k ? ? ,从而有 x1 ? x2 ? 。 2 2 3 k k

所以符合条件的直线有两条,故选 B 46.B 【解析】抛物线 y ? 8 x 的焦点为 F (2,0) ,设 A、B 横坐标为 x A , xB ;A、B 中点到抛物线准
2

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线距离为 4 ?

p B 根据抛物线定义及梯形性质得: ? 4 ? 2 ? 6; A、 在准线上的射影为 A?、B? ; 2

| AB |?| AF | ? | BF |?| AA? | ? | BB? |? 2 ? 6 ? 12. 故选 B
47.D 【解析】
解:由题意可得,y 2 ? 4x的焦点F91, 0),准线x ? ?1,由题意可设直线PQ的方程为x ? ky ? 1 联立方程 ? y2 ? 4x 可得y 2 ? 4ky ? 4 ? 0 x ? ky ? 1

设P(x1,y1),Q(x 2,y 2),则M(x1, y1),y1 ? y 2 ? 4k,y1y 2 ? ?4 ? 过P,M,Q三点向准线作垂线,垂足分别为A,C,D,准线与x轴交点B( ? 1, 0), 则BM ? ? x1 ? 1, y1?,BQ ? ? x2 ? 1,y2 ? ? 而(1 ? x1)y 2 ? 1 ? x 2)y1 ? x1 y 2 ? x 2 y1 ? y1 ? y 2 ( ?

? y1 ? y2 ? y1y2 ? 4k ? 0 y12y2 ? y22y1 ? 4 ? ? 1)k ? ( 4 4 ???? ??? ? ? ? BM ? BQ ???? ??? ? ? ? BM, 有公共点B BQ
? B,M,Q三点共线,即直线PQ一定过点B( ? 1, 0) 结合选项可知只有选项D符合条件 故选D

48.A 【解析】抛物线 y ? 4 x 焦点为 F(1,0),准线为 x=-1,作 PQ 垂直于准线,垂足为 M , 根据抛
2

物线定义: PQ ? PF ? PQ ? PM ,根据三角形两边距离之和大于第三边,直角三角形斜边 大于直角边知: PQ ? PM 的最小值是点 Q 到抛物线准线 x=-1 的距离;所以点 P 纵坐标为

1
-1,则横坐标为 4 。故选 A 49.B 【解析】抛物线 y ? 4 x 的焦点 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 。根据抛物线第二定义可得,
2

| PQ |?| PF | ? | QF |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 2 ? 8 ,故选 B
50.C 【解析】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则k AB ?

y2 ? y1 ? 1; x1 ? x2 ? 6, y1 ? y2 ? 4 ; y12 ? 2 px1 , x2 ? x1 y2 ? y1 2p 2p ,则 1 ? ,所以 ? x2 ? x1 y2 ? y1 4

2 2 y2 ? 2 px2 ; 两式相减得 y2 ? y12 ? 2 p( x2 ? x1 ), 所以

p ? 2. 故选 C

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