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线线、线面、面面平行练习题(含答案)

直线、平面平行的判定及其性质 测试题

A

一、选择题

1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2.E,F,G 分别是四面体 ABCD 的棱 BC,CD,DA 的中点,则此四面体中与过 E,F,

G 的截面平行的棱的条数是

A.0

B.1

C.2

D.3

3. 直线 a,b,c 及平面?,? ,使 a // b 成立的条件是( )

A. a //?,b ? ?

B. a //?,b //? C. a // c,b // c D. a //?,? ? ? b

4.若直线 m 不平行于平面? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的是( )

A.? 内的所有直线与 m 异面

B.? 内不存在与 m 平行的直线

C.? 内存在唯一的直线与 m 平行

D.? 内的直线与 m 都相交

5.下列命题中,假命题的个数是( )

① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交;②

过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行;③ 过直线外一点有且只有一个平

面和这条直线平行;④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行;⑤ a 和 b

异面,则经过 b 存在唯一一个平面与? 平行

A.4

B.3

C.2

D.1

6.已知空间四边形 ABCD中,M , N 分别是 AB,CD 的中点,则下列判断正确的是( )









9.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD 1 中点,则 BD1 和平面 ACE 位置关系是



三、解答题

10.如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长是 2,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点.求

证: B1C // 平面 A1BD .

C1

A1

B1

C

D

A

B

11.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,M,N,G 分别是 AA1,CD,CB, CC1 的中点, 求证:(1)MN//B1D1 ;(2)AC1//平面 EB1D1 ;(3)平面 EB1D1//平面 BDG.

A. MN ? 1 ? AC ? BD?
2

B. MN ? 1 ? AC ? BD?
2

C. MN ? 1 ? AC ? BD?
2

D. MN ? 1 ? AC ? BD?
2

二、填空题

7.在四面体 ABCD 中,M,N 分别是面△ ACD,△ BCD 的重心,则

四面体的四个面中与 MN 平行的是________.

8.如下图所示,四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P

分别为其所在棱的中点,能得到 AB//面 MNP 的图形的序号的是

1

B

一、选择题

1.? ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定? ∥β

的是( )

A.? ,β 都平行于直线 a,b

B.? 内有三个不共线点到 β 的距离相等

C.a,b 是? 内两条直线,且 a∥β,b∥β

D.a,b 是两条异面直线且 a∥? ,b∥? ,a∥β,b∥β

2.两条直线 a,b 满足 a∥b,b ? ,则 a 与平面? 的关系是( )

A.a∥ ?

B.a 与? 相交 C.a 与? 不相交 D.a ?

3.设 a, b 表示直线,?, ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题中正确的是( )

A. a ?? ,则 a //?

B. a //? , b ? ? ,则 a // b

C.? // ?, a ? ?,b ? ? ,则 a // b D. P ? a, P ? ? , a //?,? // ? ,则 a ? ?

4.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关

系是( )

A.异面

B.相交

C.平行

D.不能确定

5.下列四个命题中,正确的是( ) ①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行线间的相等线段平行;③

如果一条直线和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等;④如

果一条直线和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行

A.①③ B.①② C.②③

D.③④

6.a,b 是两条异面直线,A 是不在 a,b 上的点,则下列结论成立的是

A.过 A 有且只有一个平面平行于 a,b

B.过 A 至少有一个平面平行于 a,b

C.过 A 有无数个平面平行于 a,b

D.过 A 且平行 a,b 的平面可能不存在

二、填空题

7.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的平面,直线均不在平面

内,给出六个命题:

①ba∥∥cc???

?

a

∥b;

②a ∥? b∥?

? ? ?

?

a

∥b;

③? ?

∥c? ∥c??

?

?



?

;

④?a ∥∥cc???

?

a ∥? ;

⑤? ?

∥? ∥?

? ? ?

?

?



?

?

⑥? ∥? a ∥?

? ? ?

?

a

∥?

?

其中正确的命题是________________.(将正确的序号都填上)

8.设平面? ∥β,A,C∈? ,B,D∈β,直线 AB 与 CD 交于 S,若 AS=18,BS=9,

CD=34,则 CS=_____________.

9.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分

别是棱 CC1,C1D1,DD1,DC 中点,N 是 BC 中点,点 M

在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足

时,

有 MN∥平面 B1BD D1. 三、解答题

10.如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? AB ? a ,点 E

在棱 PC 上. 问点 E 在何处时, PA// 平面EBD ,并加以证明.

P

E

D

C

A

B

11.如下图,设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分别为 AB,PD 上的点, 且 AM = DN ,求证:直线 MN∥平面 PBC.
MB NP

2

参考答案
A
一、选择题 1.D
【提示】当? ? ? ? l 时,? 内有无数多条直线与交线 l 平行,同时这些直线也与平
面 ? 平行.故 A,B,C 均是错误的
2.C 【提示】棱 AC,BD 与平面 EFG 平行,共 2 条. 3.C
【提示】a //?,b ? ?, 则 a // b 或 a, b 异面;所以 A 错误;a //?,b //?, 则 a // b 或 a, b
异面或 a, b 相交,所以 B 错误;a // ?,? ? ? b, 则 a // b 或 a, b 异面,所以 D 错误;
a // c,b // c ,则 a // b ,这是公理 4,所以 C 正确.
4.B
【提示】若直线 m 不平行于平面? ,且 m ? ? ,则直线 m 于平面? 相交,? 内不
存在与 m 平行的直线. 5.B 【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行,有无数多 条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线 的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D 【提示】本题可利用空间中的平行关系,构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题 7.平面 ABC,平面 ABD 【提示】连接 AM 并延长,交 CD 于 E,连结 BN 并延长交 CD 于 F,由重心性质可 知,E、F 重合为一点,且该点为 CD 的中点 E,由 EM = EN = 1 得 MN∥AB.因此,
MA NB 2 MN∥平面 ABC 且 MN∥平面 ABD. 8. ①③
3

【提示】对于①,面 MNP//面 AB,故 AB//面 MNP.对于③,MP//AB,故 AB//面 MNP, 对于②④,过 AB 找一个平面与平面 MNP 相交,AB 与交线显然不平行,故②④不 能推证 AB//面 MNP. 9.平行
【提示】连接 BD 交 AC 于 O,连 OE,∴OE∥B D 1 ,OEC 平面 ACE,∴B D 1 ∥平 面 ACE. 三、解答题
10.证明:设 AB1与 A1B 相交于点 P,连接 PD,则 P 为 AB1 中点,
?D 为 AC 中点,?PD// B1C .

又?PD ? 平面 A1B D,? B1C //平面 A1B D
11.证明:(1)? M、N 分别是 CD、CB 的中点,?MN//BD
又?BB1 // DD1,?四边形 BB1D1D 是平行四边形.
所以 BD//B1D1.又 MN//BD,从而 MN//B1D1 (2)(法 1)连 A1C1,A1C1 交 B1D1 与 O 点
?四边形 A1B1C1D1 为平行四边形,则 O 点是 A1C1 的中点 E 是 AA1 的中点,?EO 是 ? AA1C1 的中位线,EO//AC1. AC1 ? 面 EB1D1 ,EO ? 面 EB1D1,所以 AC1//面 EB1D1
(法 2)作 BB1 中点为 H 点,连接 AH、C1H,E、H 点为 AA1、BB1 中点,
所以 EH // C1D1,则四边形 EHC1D1 是平行四边形,所以 ED1//HC1

又因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH

?

AH ? HC1=H,?面 AHC1//面 EB1D1.而 AC1 ? 面 AHC1,所以 AC1//面 EB1D1

(3)因为 EA // B1H,则四边形 EAHB1 是平行四边形,所以 EB1//AH

因为 AD // HG,则四边形 ADGH 是平行四边形,所以 DG//AH,所以 EB1//DG

又?BB1 // DD1,?四边形 BB1D1D 是平行四边形. 所以 BD//B1D1.

?BD ? DG=G,?面 EB1D1//面 BDG
B
一、选择题 1.D
【提示】A 错,若 a∥b,则不能断定? ∥β;B 错,若 A,B,C 三点不在 β 的同一 侧,则不能断定? ∥β;C 错,若 a∥b,则不能断定? ∥β;D 正确.
2.C
【提示】若直线 a,b 满足 a∥b,b ? ,则 a∥? 或 a ?
3.D 【提示】根据面面平行的性质定理可推证之. 4.C
【提示】设? ∩β=l,a∥? ,a∥β,过直线 a 作与 α、β 都相交的平面 γ,记? ∩γ=b, β∩γ=c,则 a∥b 且 a∥c,∴b∥c.又 b ? ? ,? ∩β=l,∴b∥l.∴a∥l.
5.A 【提示】 6. D 【提示】过点 A 可作直线 a′∥a,b′∥b,则 a′∩b′=A,∴a′,b′可确定一个平面,记为
? .如果 a ? ? ,b ? ? ,则 a∥? ,b∥? .由于平面? 可能过直线 a、b 之一,因此,
过 A 且平行于 a、b 的平面可能不存在. 二、填空题 7.①④⑤⑥
8.68 或 68 3
【提示】如图(1),由? ∥β 可知 BD∥AC,∴ SB = SD ,即 9 = SC ? 34 ,∴SC=68.
SA SC 18 SC
S

如图(2),由? ∥β 知 AC∥BD,

∴ SA = SC = SC ,即 18 = SC .

SB SD CD ? SC

9 34 ? SC

∴SC= 68 . 3

9.M? HF

【提示】易证平面 NHF∥平面 BD D1 B1,M 为两平面的公共点,应在交线 HF 上.

三、解答题

P

10.解:当 E 为 PC 中点时, PA// 平面EBD .

证明:连接 AC,且 AC BD ?O ,由于四边形 ABCD 为正

E

方形,

F

∴O 为 AC 的中点,又 E 为中点,∴OE 为△ACP 的中位线,

D

C

∴ PA// EO ,又 PA ? 平面EBD ,∴ PA// 平面EBD .

O

A

B

11.证法一:过 N 作 NR∥DC 交 PC 于点 R,连接 RB,依题

意得

DC

?

NR

=

DN

=

AM

=

AB ?

MB =

DC

? MB

?

NR=MB.∵NR∥DC∥AB,∴

NR NP MB MB

MB

四边形 MNRB 是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB 平面 PBC,∴直线 MN∥平面 PBC.

证法二:过 N 作 NQ∥AD 交 PA 于点 Q,连接 QM,∵ AM = DN = AQ ,∴QM∥PB. MB NP QP

又 NQ∥AD∥BC,∴平面 MQN∥平面 PBC.∴直线 MN∥平面 PBC.

D

B

?

?

B

D

S

? ?C

A ??C

A

(1)

(2)

4


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