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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-3


基础巩固强化 一、选择题 1.(文)(2012· 安徽文,7)要得到函数 y=cos(2x+1)的图象,只要 将函数 y=cos2x 的图象( A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移2个单位 [答案] C [解析] 本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题. 1 ∵y=cos(2x+1)=cos2(x+2),所以只需将 y=cos2x 图象向左平 1 移2个单位即可得到 y=cos(2x+1)的图象. (理)(2013· 东营模拟)将函数 y=sin2x 的图象向左平移 φ(φ>0)个单 位,所得图象对应的函数为偶函数,则 φ 的最小值为( π A.6 π C.4 [答案] C [解析] 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 φ 个单位,得到函数 y π =sin2(x+φ)=sin(2x+2φ)的图象,由题意得 2φ=2+kπ(k∈Z),故正 π 数 φ 的最小值为4. π 2.(文)(2013· 辽宁六校联考)已知 ω>0,函数 f(x)=cos(ωx+3)的 π B.3 π D.12 ) ) B.向右平移 1 个单位 1 D.向右平移2个单位

π π 一条对称轴为 x=3,一个对称中心为点(12,0),则 ω 有( A.最小值 2 C.最小值 1 [答案] A B.最大值 2 D.最大值 1

)

π π T 2π [解析] 由题意知3-12≥ 4,∴T= ω ≤π,∴ω≥2,故选 A. π (理)(2013· 武汉质检)将函数 y=sin(6x+4)的图象上各点的横坐标 π 伸长到原来的 3 倍,再向右平移8个单位,得到的函数的一个对称中 心是( ) π B.(4,0) π D.(16,0)

π A.(2,0) π C.(9,0) [答案] A [解析]

π 橫 坐标伸长 y = sin(2x + π ) 错误! y = y = sin(6x + 4 ) 各点 ――→ 到原来的3倍 4

kπ sin2x,其对称中心为( 2 ,0),取 k=1,选 A. 3.(文)(2013· 郑州模拟)已知 ω 是正实数,且函数 f(x)=2sinωx 在 π π [-3,4]上是增函数,那么( 3 A.0<ω≤2 24 C.0<ω≤ 7 [答案] A π π [解析] 由题意知 f(x)在[-3,3]上为增函数, ) B.0<ω≤2 D.ω≥2

1 2π 2π 3 ∴2· ≥ ,∴ 0< ω ≤ ω 3 2. (理)为了使函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现 50 次最大 值,则 ω 的最小值是( A.98π 199 C. 2 π [答案] B 1 [解析] 由题意至少出现 50 次最大值即至少需用 494个周期, ∴ 1 197 2π 197 494· T= 4 · ≤ 1 ,∴ ω ≥ ω 2 π,故选 B. 4.(文)(2014· 温州检测)函数 f(x)=2cos2x- 3sin2x(x∈R)的最小 正周期和最大值分别为 ( A.2π,3 C.π,3 [答案] C [解析] 由题可知,f(x)=2cos2x- 3sin2x= cos2x- 3sin2x+1 ) B.2π,1 D.π,1 ) 197 B. 2 π D.100π

π =2sin(6-2x)+1,所以函数 f(x)的最小正周期为 T=π,最大值为 3, 故选 C. π (理)(2014· 金丰中学质检)若函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx,0≤x<2, 则 f(x)的最大值为( A.1 C. 3+1 [答案] B ) B.2 D. 3+2

[解析] f(x)=(1+ 3tanx)cosx π? ? =cosx+ 3sinx=2sin?x+6?,
? ?

π π π 2π ∵0≤x<2,∴6≤x+6< 3 , π? ? 1 ∴2≤sin?x+6?≤1,∴f(x)的最大值为 2.
? ?

3π 5.(2013· 银川联考)已知函数 f(x)=sin(2x+ 2 )(x∈R),下面结论 错误的是( )

A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称 π D.函数 f(x)在区间[0,2]上是增函数 [答案] C 3π [解析] ∵f(x)=sin(2x+ 2 )=-cos2x,∴其最小正周期为 π,故 A 正确;易知函数 f(x)是偶函数,B 正确;由函数 f(x)=-cos2x 的图 π 象可知,函数 f(x)的图象不关于直线 x=4对称,C 错误;由函数 f(x) π 的图象易知,函数 f(x)在[0,2]上是增函数,D 正确,故选 C. π? ? 6. (文)函数 f(x)=sin?ωx-3?(ω>0)的最小正周期为 π, 则函数 f(x)
? ?

的单调递增区间为(
? ?

)

π 5π? ? A.?kπ-6,kπ+ 6 ?(k∈Z) 5π 11π? ? B.?kπ+ 6 ,kπ+ 6 ?(k∈Z)
? ?

π 5π? ? C.?kπ-12,kπ+12?(k∈Z)
? ?

5π 11π? ? D.?kπ+12,kπ+ 12 ?(k∈Z)
? ?

[答案] C 2π [解析] 由条件知,T= ω =π,∴ω=2, π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z 得, π 5π kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z,故选 C. (理)(2012· 河北郑口中学模拟)已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,- π 5π < φ <0) 在 x = 2 6 处取得最大值,则 f(x)在[-π,0]上的单调增区间是 ( ) 5π A.[-π,- 6 ] π C.[-3,0] [答案] D [ 解析 ] 5π π ∵ f(x) = Asin(x + φ) 在 x = 6 处取得最大值, A>0 ,- 2 5π π B.[- 6 ,-6] π D.[-6,0]

π π π π π <φ<0,∴φ=-3,∴f(x)=Asin(x-3),由 2kπ-2≤x-3≤2kπ+2(k π 5π π ∈Z)得 2kπ-6≤x≤2kπ+ 6 ,令 k=0 得-6≤x≤0,故选 D. 二、填空题 7.(2013· 新课标Ⅰ理,15)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,则 cosθ=________. 2 5 [答案] - 5

[解析] f(x)=sinx-2cosx= 5( 令

1 2 sinx- cosx), 5 5

1 2 =cosα, =sinα,则 f(x)= 5sin(x-α), 5 5

∵x∈R,∴f(x)max= 5, π 且当 x-α=2kπ+2时取到最大值,k∈Z. π ∵x=θ 时,f(x)取得最大值,∴θ=2kπ+2+α. π 2 5 ∴cosθ=cos(2kπ+2+α)=-sinα=- 5 . 8.(2013· 江西九江质检)函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π]的图象 与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围是________. [答案] (1,3)
? ?3sinx, 0≤x≤π, [解析] f(x)=sinx+2|sinx|=? ?-sinx,π<x≤2π. ?

在同一坐标系中,作出函数 f(x)与 y=k 的图象可知 1<k<3.

9.(2012· 衡阳六校联考)给出下列命题: 3 ①存在实数 x,使得 sinx+cosx=2;②若 α、β 为第一象限角, π 2x 且 α>β,则 tanα>tanβ;③函数 y=sin(3- 5 )的最小正周期为 5π;④ 2x 7π π 函数 y=cos( 3 + 2 )是奇函数;⑤函数 y=sin2x 的图象向左平移4个

π 单位,得到 y=sin(2x+4)的图象. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上) [答案] ③④ π [解析] 对于①,因为 sinx+cosx= 2sin(x+4)∈[- 2, 2], 3 3 而2> 2,因此不存在实数 x,使得 sinx+cosx=2,故①不正确;对于 ②,取 α=30° +360° ,β=30° ,则 tanα=tanβ,因此②不正确;对于 π 2x 2π ③,函数 y=sin(3- 5 )的最小正周期是 T= 2 =5π,因此③正确;对 5 2x 7π 2x 于④,令 f(x)=cos( 3 + 2 ),则 f(x)=sin 3 ,f(-x)=-f(x),因此④正 π 确;对于⑤,函数 y=sin2x 的图象向左平移4个单位,得到 y=sin2(x π π +4)=sin(2x+2)的图象,因此⑤不正确.综上所述,其中正确命题的 序号是③④. 三、解答题 10.(2013· 江西省七校联考)已知 m =(asinx,cosx),n=(sinx, π bsinx),其中 a,b,x∈R.若 f(x)=m· n 满足 f(6)=2,且 f(x)的导函数 π f ′(x)的图象关于直线 x=12对称. (1)求 a,b 的值; π (2)若关于 x 的方程 f(x)+log2k=0 在区间[0,2]上总有实数解, 求实数 k 的取值范围. a b [解析] (1)f(x)=m· n=asin2x+bsinxcosx=2(1-cos2x)+2sin2x.

π 由 f(6)=2,得 a+ 3b=8.① ∵f ′(x)=asin2x+bcos2x, π 又 f ′(x)的图象关于直线 x=12对称, π ∴f ′(0)=f ′(6), 3 1 ∴b= 2 a+2b,即 b= 3a.② 由①②得,a=2,b=2 3. π (2)由(1)得 f(x)=1-cos2x+ 3sin2x=2sin(2x-6)+1. π π π 5π ∵x∈[0,2],∴-6≤2x-6≤ 6 , π ∴-1≤2sin(2x-6)≤2,f(x)∈[0,3]. π 又 f(x)+log2k=0 在[0,2]上有解, π 即 f(x)=-log2k 在[0,2]上有解, ∴-3≤log2k≤0, 1 1 解得8≤k≤1,即 k∈[8,1]. 能力拓展提升 一、选择题 11 . (2013· 乌 鲁 木 齐 第 一 次 诊 断 ) 函 数 f(x) = 2sin(ωx + φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中 A,B 两点之间的距离为 5,则 f(x)的单调递增区间是( )

A.[6k-1,6k+2](k∈Z) C.[3k-1,3k+2](k∈Z) [答案] B

B.[6k-4,6k-1](k∈Z) D.[3k-4,3k-1](k∈Z)

T [解析] 由题意知 AB=5, |yA-yB|=4, 所以|xA-xB|=3, 即2=3, 2π π π 2π 所以 T= ω =6,ω=3.由 f(x)=2sin(3x+φ)过点(2,-2),得 2sin( 3 + 5π π 5π π π φ)=-2,0≤φ≤π, 解得 φ= 6 , 所以 f(x)=2sin(3x+ 6 ), 由 2kπ-2≤3 5π π x+ 6 ≤2kπ+2(k∈Z),解得 6k-4≤x≤6k-1(k∈Z),故函数 f(x)的 单调递增区间为[6k-4,6k-1](k∈Z). 12.已知函数 f(x)= 3sinx-cosx,x∈R.若 f(x)≥1,则 x 的取值 范围为( )

π A.{x|2kπ+3≤x≤2kπ+π,k∈Z} π B.{x|kπ+3≤x≤kπ+π,k∈Z} π 5π C.{x|2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z} π 5π D.{x|kπ+6≤x≤kπ+ 6 ,k∈Z} [答案] A

π [解析] f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x-6)≥1, π 1 π π 5π 即 sin(x-6)≥2,∴2kπ+6≤x-6≤2kπ+ 6 ≤x≤2kπ+π(k∈Z). πx 13.(文)已知函数 f(x)= 3sin R 图象上相邻的一个最大值点与一 个最小值点恰好都在圆 x2+y2=R2 上,则 f(x)的最小正周期为( A.1 [答案] D 2π [解析] f(x)的周期 T= π =2R,f(x)的最大值是 3,结合图形分 R 析知 R> 3,则 2R>2 3>3,只有 2R=4 这一种可能,故选 D. R R2 [点评] 题中最大值点应为( 2 , 3), 由 4 +3=R2 得 R2=4, ∴|R| 2π =2,∴T= π =4. |R| (理)函数 y=sin(πx+φ)(φ>0)的部分图象如图所示, 设 P 是图象的 最高点,A、B 是图象与 x 轴的交点,则 tan∠APB=( ) B.2 C.3 D.4 ) π k∈Z,∴2kπ+3

A.10 8 C.7

B.8 4 D.7

[答案] B [分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解. [解析]

如图,过 P 作 PC⊥x 轴,垂足为 C,设∠APC=α,∠BPC=β, 1 2π AC 2 1 ∴∠APB=α+β,y=sin(πx+φ),T= π =2,tanα=PC=1=2,tanβ 3 1 3 2+2 tanα+tanβ BC 2 3 =PC=1=2,则 tan(α+β)= = 1 3=8, 1-tanα· tanβ 1-2×2 ∴选 B. 二、填空题 π 14.已知关于 x 的方程 2sin2x- 3sin2x+m-1=0 在 x∈(2,π) 上有两个不同的实数根,则 m 的取值范围是________. [答案] -2<m<-1 [解析] m=1-2sin2x+ 3sin2x=cos2x+ 3sin2x π =2sin(2x+6), π ∵x∈(2,π)时,原方程有两个不同的实数根,

π π ∴直线 y=m 与曲线 y=2sin(2x+6),x∈(2,π)有两个不同的交 点,∴-2<m<-1. 15.(文)(2013· 荆州市质检)函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最 3π 小正周期为 π,且函数图象关于点(- 8 ,0)对称,则函数的解析式为 ________. 3π [答案] y=sin(2x+ 4 ) 2π [解析] 由题意知最小正周期 T=π= ω , 3π 3π ∵函数图象关于点 (- 8 ,0)对称,∴ω=2,2×(- 8 )+φ=kπ(k 3π ∈Z),∴φ=kπ+ 4 (k∈Z), 3π 3π 又 0<φ<π,∴φ= 4 ,∴y=sin(2x+ 4 ). (理)某同学利用描点法画函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,0<ω<2, π π -2<φ<2)的图象,列出的部分数据如下表: x y 0 1 1 0 2 1 3 -1 4 -2

经检查,发现表格中恰有一组数据计算错误,请你根据上述信息 推断函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式应是________. π? ?π [答案] y=2sin?3x+6?
? ?

[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线 x=1 对称,故 x=1 与函数图象 的交点应是最高点或最低点,故数据(1,0)错误,从而由(4,-2)在图 象上知 A=2,由过(0,1)点知 2sinφ=1,

π π π ∵-2<φ<2,∴φ=6, π? ? ∴y=2sin?ωx+6?,再将点(2,1)代入得,
? ?

π? ? 2sin?2ω+6?=1,
? ?

π π π 5π ∴2ω+6=6+2kπ 或 2ω+6= 6 +2kπ,k∈Z, π? ?π π ∵0<ω<2,∴ω=3,∴解析式为 y=2sin?3x+6?.
? ?

三、解答题 16.(文)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,向量 m=(b,2a-c),n=(cosB,cosC),且 m∥n. (1)求角 B 的大小; B? ? (2)设 f(x)=cos?ωx- 2 ?+sinωx(ω>0),且 f(x)的最小正周期为 π,
? ?

π 求 f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值. [解析] (1)由 m∥n 得,bcosC=(2a-c)cosB, ∴bcosC+ccosB=2acosB. 由正弦定理得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, 即 sin(B+C)=2sinAcosB. 又 B+C=π-A,∴sinA=2sinAcosB. 1 又 sinA≠0,∴cosB=2. π 又 B∈(0,π),∴B=3. π (2)由题知 f(x)=cos(ωx-6)+sinωx

3 3 π = 2 cosωx+2sinωx= 3sin(ωx+6), 2π π 由已知得 ω =π,∴ω=2,f(x)= 3sin(2x+6), π π π 7π π 1 当 x∈[0,2]时,(2x+6)∈[6, 6 ],sin(2x+6)∈[-2,1]. π π 因此,当 2x+6=2, π 即 x=6时,f(x)取得最大值 3. π 7π π 3 当 2x+6= 6 ,即 x=2时,f(x)取得最小值- 2 . 3 (理)已知 a=( 3,cosx),b=(cos2x,sinx),函数 f(x)=a· b- 2 . (1)求函数 f(x)的单调递增区间; π? ? (2)若 x∈?0,4?,求函数 f(x)的取值范围;
? ?

(3)函数 f(x)的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函 数. 3 [解析] (1)函数 f(x)= 3cos2x+sinxcosx- 2 = 3?
?1+cos2x? 1 3 ?+ sin2x- 2 2 ? ? 2

π? ? 3 1 = 2 cos2x+2sin2x=sin?2x+3?, ? ? π π π 由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ,k∈Z 得, 5π π -12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z, π ? 5π ? 所以 f(x)的单调递增区间为?-12+kπ,12+kπ?,(k∈Z).
? ?

π? ? π ?π 5π? (2)∵x∈?0,4?,∴2x+3∈?3, 6 ?,
? ? ? ?

π π π ∴当 2x+3=2即 x=12时,f(x)max=1, π 5π π 1 1 当 2x+3= 6 即 x=4时,f(x)min=2,∴2≤f(x)≤1. π (3)将 f(x)的图象上所有的点向右平移6个单位长度得到 y=sin2x 的图象,则其对应的函数即为奇函数.(答案不唯一)

考纲要求 了解参数 A, ω, φ 对函数图象变化的影响, 能画出函数 y=Asin(ωx +φ)的图象,能通过变换法研究不同函数图象间的关系. 能根据所给的三角函数的图象和性质确定参数 A,ω,φ 的值. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型, 会用三角函 数解决一些简单实际问题. 补充说明 1.掌握讨论正弦型(余弦型)函数的图象与性质的基本方法:转 化与化归为基本函数;熟练进行两类变换(平移、伸缩);清楚三角函 数作图的五点. 2.三角函数的图象变换技巧 (1)平移变换 与坐标轴同向为正、反向为负(向右 x 取正,向左 x 取负,向上 y 取正,向下 y 取负). 如 y=f(x)图象上各点向左平移 3 个单位后再向上平移 2 个单位, 则只需用 x-(-3)代替 x,y-2 代替 y 即可得,∴y-2=f(x+3),即 y=f(x+3)+2. (2)伸缩变换 将 y=f(x)图象上各点的横(或纵)坐标伸长(或缩短)

x y 到原来的 m 倍,则用m代替 x(或m代替 y)即可.(推证从略) 3.直线 y=a 与函数 y=tanx 的图象交点中任两点距离的最小值 为周期. 函数 y=sinx(y=cosx)相邻两个最大(小)值点之间距离为周期,与 x 轴相邻两交点之间距离为半周期. 4.五点法求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 [例] 若函数 f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如下图所示,则 ω 和 φ 的取值是( )

π A.ω=1,φ=3 1 π C.ω=2,φ=6 [答案] C

π B.ω=1,φ=-3 1 π D.ω=2,φ=-6

[解析] 方法 1:由五点法及图象知:

?-3ω+φ=0, ?2 π π ω + φ = 2. ② ?3
1 ? ω = ? 2, 解①,②组成的方程组得? π ? φ = ? 6.

π



T 2 π 方法 2:由图可知4=3π-(-3)=π. 2π 1 ∴T=4π,∴ω= T =2. 1 2 π ∴f(x)=sin(2x+φ),将(3π,1)代入可求 φ=6+2kπ(k∈Z).故选 C. 备选习题 1+sinx1 1+sinx2 π? ? 1.对任意 x1,x2∈?0,2?,x2>x1,y1= x ,y2= x ,
? ?
1 2

则(

) A.y1=y2 B.y1>y2 C.y1<y2 D.y1,y2 的大小关系不能确定 [答案] B 1+sinx1 [解析] 取函数 y=1+sinx, 则 x 的几何意义为过原点及点 1

1+sinx2 (x1,1+sinx1)的直线斜率, x 的几何意义为过原点及点(x2,1+sinx2) 2 的直线斜率,由 x1<x2,观察函数 y=1+sinx 的图象可得 y1>y2.选 B. 2.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )

π A.y=sin(2x+6) π B.y=sin(2x-6) π C.y=cos(2x+3) π D.y=cos(2x-6) [答案] D [解析] π π 将(-6,0)代入选项逐一验证,对 A 项,y=sin(-3+

π π ) ≠ 0 , A 错;对 B 项, y = sin( - 6 2)=-1≠0,B 错;对 C 项 y=cos0 π π π =1≠0,C 错;对 D 项,y=cos(-3-6)=cos2=0 符合,故选 D. π π 3. 函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx 在区间[4, 2]上的最大值是( A.1 C.1+ 3 [答案] D 1-cos2x π? 1 ? 3 ?2x- ?+ , [解析] f(x)= + sin2 x = sin 6? 2 2 2 ? π π π π 5 由 x∈[4,2]知3≤2x-6≤6π, π π π 3 ∴当 2x-6=2即 x=3时,f(x)max=2,故选 D. 4.(2013· 山东理,5)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 π 8个单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( ) 1+ 3 B. 2 3 D.2 )

3π A. 4 C.0 [答案] B

π B.4 π D.-4

π [解析] y=sin(2x+φ)的图象向左平移8个单位,得到 y=sin[2(x π π π π +8)+φ]=sin(2x+4+φ),由于它是一个偶函数,∴4+φ=kπ+2,k ∈Z. π π ∴φ=kπ+4,取 k=0 得,φ=4,故选 B. 5.(2013· 陕西师大附中质检)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0, π |φ|<2)的图象如图所示,为了得到 g(x)=cos2x 的图象,则只要将 f(x) 的图象( )

π A.向右平移6个单位长度 π B.向右平移12个单位长度 π C.向左平移6个单位长度 π D.向左平移12个单位长度 [答案] D

T 7π π π [解析] 由图象知4=12-3=4,T=π,ω=2,A=1. 7π 3π 当 x=12时,2x+φ= 2 +2kπ(k∈Z), π π π 得 φ=3+2kπ(k∈Z),∵|φ|<2,∴φ=3.

π 6.(2013· 天津理,15)已知函数 f(x)=- 2sin(2x+4)+6sinxcosx -2cos2x+1,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值. π π [解析] (1)f(x)=- 2sin2x· cos4- 2cos2x· sin4+3sin2x-cos2x π =2sin2x-2cos2x=2 2sin(2x-4). 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π. 3π 3π π (2)因为 f(x)在区间[0,8 ]上是增函数, 在区间[ 8 , 2]上是减函数. 3π π π 又 f(0)=-2,f( 8 )=2 2,f(2)=2,故函数 f(x)在区间[0,2]上的 最大值为 2 2,最小值为-2.


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