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2015-2016学年高中数学 第3章 2.1-2.2古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型课件 北师大版必修3


第三章
§2
2.1 2.2

古典概型

古典概型的特征和概率计算公式 建立概率模型

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课时作业

课前自主预习

齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于 齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的 中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现各出上等、中 等、下等三匹马分别进行一场比赛,胜两场以上(含两场)即为

获胜.如齐王知道田忌的马的出场顺序,他获胜的概率是多
大?如田忌知道齐王的马的出场顺序,他能获胜吗?如双方均 不知对方马的出场顺序,你能探求田忌获胜的概率吗?

1.古典概型 (1)定义:如果一个试验满足如下两个特征: 有限 个,每次试 ①有限性:试验的所有可能结果只有 ________ 其中的一个结果 ; 验只出现________________ ②等可能性:每一个试验结果出现的____________ 可能性相同 .

我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典
概型(古典的概率模型).

(2)计算公式 对于古典概型,通常试验中的某一事件A是由几个 基本事件 ________组成.如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n,随 机事件 A 包含的基本事件数为 m ,那么事件 A 的概率规定为: m P(A)=________. n (3)求古典概型概率的步骤

①反复阅读题目,收集题目中的各种信息,理解题意.
②判断试验是否为等可能事件,并用字母表示所求事件. ③利用列举法或其他知识计算基本事件的总数 n及事件A包 含的基本事件的个数m.
m ④计算事件 A 的概率 P(A)= n .

2.建立概率模型 (1)一般来说,在建立概率模型时,把什么看成一个基本事

件(即一个试验结果 )是人为规定的.我们只要求:每次试验有
一个并且只有一个基本事件出现 . 只要基本事件的个数是 ________ 有限的 ,并且它们的发生是________ 等可能 的,那么这种概率模型

就是古典概型.
(2)对于同一个随机试验,可以根据需要,建立满足我们要 概率模型. 求的________ (3)我们从不同的角度去考虑一个实际问题,可以将问题转 化为不同的古典概型来解决,而所得到的古典概型的所有可能 越少 ,问题的解决就变得越简单. 结果数________

1.下列试验是古典概型的是(

)

A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件 B.为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将 取出的正整数作为基本事件 C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的 概率 D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止 [答案] C

[解析]

A、D不是等可能的;B正整数平方的个位数字为1

的数有无限个.

2.抛掷一枚骰子,出现偶数字的基本事件个数为( A.1 C.3 [答案] C B.2 D.4

)

[ 解析 ]

因为抛一枚骰子基本事件有 6 个,它们分别是

1,2,3,4,5,6,故出现偶数字的基本事件是3个.

3. 从数字 1、 2、 3 中任取两个不同的数字构成一个两位数, 则这个两位数大于 23 的概率是( 1 A.3 1 C.8 1 B.6 1 D.4 )

[答案] A
[解析] 基本事件共有 6 个,大于 23 的基本事件有 31,32 2 1 两个,所以其概率为6=3.

4.将一粒骰子抛掷一次,得到奇数的概率是________.
[答案] 1 2

3 1 [解析] P=6=2.

5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个 数是另一个数的两倍的概率是________.
[答案] 1 3

[解析]

从 1,2,3,4 这四个数中随机取两数的所有情况有

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),其中满足一个数是另一 2 1 个数的两倍的组合为(1,2),(2,4),故 P=6=3.

课堂典例讲练

基本事件的个数判断

一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号
码的3个黑球,从中摸出2个球. (1)共有多少种不同的结果(基本事件)? (2)摸出2个黑球有多少种不同结果? [思路分析] 由题目可获取以下主要信息:口袋内4个球是 有区别的,摸出其中任意两个球都是一种结果,然后把各种情 况一一列举出来.

[ 规范解答 ] 3}.

(1) 共有 6 种不同结果,分别为 { 黑 1 ,黑 2} 、

{ 黑 1 ,黑 3} 、 { 黑 2 ,黑 3} 、 { 白,黑 1} 、 { 白,黑 2} 、 { 白,黑 (2)从上面所有结果可看出摸出2个黑球的结果有3种.

[规律总结]

基本事件数的探求方法:①列举法,此法适

合于较简单的试验.②树形图法:树形图是进行列举的一种常 用方法,适合较复杂问题中基本事件数的探求.

袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现依次有放 回地随机摸取3次,每次摸取一个球. (1)写出该试验的基本事件及基本事件总数; (2)写出“取出的三球是二红一黑”这一事件包含的基本事 件.

[ 解析 ]

(1) 由题意所有可能的基本事件有: ( 红、红、

红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(红、黑、黑)、(黑、红、 红)、(黑、红、黑)、(黑、黑、红)、(黑、黑、黑).共有8个基 本事件.

(2)“ 取出的三球是二红一黑 ” 这一事件包括 ( 红、红、
黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)共3个基本事件.

古典概型的判断

袋中有大小相同的 5 个白球, 3 个黑球和 3 个红
球,每球有一个区别于其它球的编号,从中摸出一个球. (1)有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作是一个 基本事件概率模型,该模型是不是古典概型? (2)若按球的颜色为基本事件,有多少个基本事件?以这些

基本事件建立概率模型,该模型是不是古典概型?

[思路分析]

由题目可获取以下主要信息:①袋中有大小

相同的5 个白球,3个黑球和 3个红球.②每球有一个区别于其 他球的编号,现从中摸一球.解答本题可先确立概率模型以及 它是由哪些基本事件所构成,然后再判断该模型是否满足古典 概型的特点,进而确定是否为古典概型.

[ 规范解答 ]

(1) 由于共有 11 个球,且每个球有不同的编

号.故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小相同,因此每 个球被摸中的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模 型为古典概型.

(2)由于 11 个球共有 3 种颜色,因此共有 3 个基本事件, 分别记为 A:“摸到白球”,B:“摸到黑球”,C:“摸到红 球”,又因为所有球大小相同,所以一次摸球每个球被摸中的 1 可能性均为11,而白球有 5 个,故一次摸球摸中白球的可能性 5 3 为11,同理可知摸中黑球、红球的可能性均为 11,显然这三个 基本事件出现的可能性不相等,所以以颜色为基本事件的概率 模型不是古典概型.

[规律总结]

针对这个类型的题目,首先看这个概率模型

是由哪些基本事件所构成的,然后再研究这些基本事件的个数 是否有限,出现的可能性是否相等.另外需注意的是基本事件 的选择不同,结果可能有所不同.

判断下列两个试验是否为古典概型,并说明原因.

(1)在数轴上任取一点,求该点坐标小于1的概率;
(2) 从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数,求两数之一是 2 的概 率.

[解析]

(1)在数轴上任取一点,此点可以在数轴上的任一

位置,且在每个位置的可能性是相同的,具备等可能性.但试 验结果有无限多个,不满足古典概型的特征(1),即不满足试验 结果的有限性,因此不属于古典概型.

(2) 此问题是古典概型,因为此试验的所有基本事件共 6
个: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) ,且每个事件的出 现是等可能的,因此属于古典概型.

古典概型的概率求法
(1)列举法 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可 能的结果,并求选出的 2 名教师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名, 写出所有可能的结果, 并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率.

[规范解答]

(1)甲校两男教师分别用 A、 B 表示, 女教师用

C 表示;乙校男教师用 D 表示,两女教师分别用 E、F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果 为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C, D),(C,E),(C,F)共 9 种. 从中选出两名教师性别相同的结果有:(A,D),(B,D), (C,E),(C,F)共 4 种. 4 选出的两名教师性别相同的概率为 P=9.

(2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果 为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B, D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D, F),(E,F)共 15 种. 从中选出两名教师来自同一学校的结果有:(A,B),(A, C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)共 6 种.选出的两名教 6 2 师来自同一学校的概率为 P=15=5.

[规律总结]

(1)列举法可以使我们明确基本事件的构成,

该法适合于基本事件的个数比较少的情况. (2)列举时要按规律进行,通常采用分类方法列举,这样可 以避免重复或遗漏.

把一粒骰子抛6次,设正面出现的点数为x.
(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件). (2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答). ①x的取值为2的倍数(记为事件A); ②x的取值大于3(记为事件B); ③x的取值不超过2(记为事件C); ④x的取值是质数(记为事件D). (3)判断上述事件是否为古典概型,并求出其概率.

[解析] (1)1,2,3,4,5,6. (2)①事件 A 为 2,4,6;②事件 B 为 4,5,6;③事件 C 为 1,2; ④事件 D 为 2,3,5. 3 1 3 1 2 (3)是古典概型,其中:P(A)=6=2,P(B)=6=2,P(C)=6 1 3 1 =3,P(D)=6=2.

(2)图表法 先后抛掷两枚骰子,求: (1)点数之和为 5 的倍数的概率; (2)点数之和大于 3 且小于 8 的概率; (3)至少有一个 4 点或 5 点的概率.
[思路分析] 可以用列表法列出所有可能的结果,再用古

典概型概率计算公式求解.

[规范解答]

把两枚骰子分别记为A,B,则点数和的可能

的情况如下表所示:
A B 1点 2点 3点 4点 5点 6点 1点 2点 3点 4点 5点 6点 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

(1)记事件 A={点数之和为 5 的倍数},则由上表可知,A 7 包含的基本事件共 7 个,因此 P(A)=36. (2)记事件 B={点数之和大于 3 且小于 8},则由上表可知, 18 1 B 包含的基本事件共 18 个,因此 P(B)=36=2.

(3)先后抛掷两枚骰子的点数情况如下表所示:
A B 1点 2点 3点 4点 5点 6点 1点 (1,1) (2,1) (3,1) 2点 (1,2) (2,2) (3,2) 3点 (1,3) (2,3) (3,3) 4点 (1,4) (2,4)


5点 (1,5) (2,5)


6点 (1,6) (2,6) (3,6)





(3,4)● (3,5)●

(4,1)● (4,2)● (4,3)● (4,4)● (4,5)● (4,6)● (5,1)


(5,2)



(5,3)



(5,4)



(5,5)



(5,6)



(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)● (6,5)●

(6,6)

共有 36 种不同的结果, 其中至少有一个 4 点或 5 点的事件 包括 20 个基本事件,见表中标●的部分,所以至少有一个 4 20 5 点或 5 点的概率为 P=36=9.

[规律总结]

在求概率时,通常把全体基本事件用列表或

直角坐标系中的点表示,以方便我们更直接、更准确地找出某 个事件所包含的基本事件的个数,然后再根据古典概型的概率 公式求相应的概率.

甲、乙两人用如图所示的两个转盘做游戏,转动两个转盘
各一次.

(1) 若两次数字之差的绝对值为 0,1 或 2 ,则甲胜,否则乙

胜;
(2)若两次数字之和是 2的倍数,则甲胜,而若两次数字之 和是3的倍数或5的倍数,则乙胜.分别求出两个游戏中甲、乙 获胜的概率.

[解析] (1)用列表的方法可以看出所有可能的结果为: 1 3 4 5 6 8 1 0 2 3 4 5 7 2 1 1 2 3 4 6 4 3 1 0 1 2 4 5 4 2 1 0 1 3 6 5 3 2 1 0 2 从表可以看出两个数字之差的绝对值为 0 的有 4 种可能结 果,为 1 的有 7 种可能结果,为 2 的有 6 种可能结果,所以甲 17 13 胜的概率为30,而乙胜的概率为30.

(2)通过列表可知 1 3 1 2 4 2 3 5 4 5 7 5 6 8 4 5 6 8 9 5 6 7 9 6 7 8 8 9 10

10 12

10 11 13

6 7 9 10 11 12 14 出现的两个数字之和是 2 的倍数的有 15 种, 出现的两个数 字之和是 3 的倍数的有 10 种,5 的倍数的有 7 种,所以甲胜的 15 1 17 概率为30=2,而乙胜的概率为30.

(3)树状图法 甲、乙两同学下棋,胜一盘得 2 分,和一盘各得 1 分,负一盘得 0 分.连下三盘,得分多者为胜,求甲获胜的 概率.
[思路分析] 可能情况. 读懂题意,研究是否为古典概型,列出所有

[规范解答]

甲同学的胜负情况画树状图如下:

每盘棋都有胜、和、负三种情况,三盘棋共有 3×3×3= 27 种情况.设“甲获胜”为事件 A,甲获胜的情况有:三盘都 胜,得 6 分有 1 种情况,两胜一和得 5 分有 3 种情况,两胜一 负得 4 分有 3 种情况, 一胜两和得 4 分有 3 种情况, 共 10 种情 10 况.故甲获胜的概率为 P(A)=27.

[规律总结]

画出树状图,用列举法表示等可能的有限个

试验结果,可以直观地理解题意,寻找解题思路.

甲口袋中装有两个相同的小球,它们的标号分别为2和7,
乙口袋中装有两个相同的小球,它们的标号分别为4和5,丙口 袋中装有三个相同的小球,它们的标号分别为3,8,9.从这3个口 袋中各随机地取出1个小球. (1)求取出的3个小球的标号全是奇数的概率; (2)以取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长度,求 这些线段能构成三角形的概率.

[解析] (1)画树状图如图,

由图形可知共有 12 种等可能的结果. 取出的 3 个小球的标号全是奇数的有 2 种情况, 2 1 所以取出的 3 个小球的标号全是奇数的概率是12=6.

(2) 由 (1) 中 的 树 状 图 可 知 这 些 线 段 能 构 成 三 角 形 的 有 (2,4,3),(7,4,8),(7,4,9),(7,5,3),(7,5,8),(7,5,9),共 6 种情况, 6 1 所以这些线段能构成三角形的概率为12=2.

易错疑难辨析

一对年轻夫妇喜得双胞胎,请问双胞胎中一男一 女的概率是多少?
[错解] 双胞胎有双男、双女、一男一女共 3 个基本事件, 设事件“一男一女”为 A,因为 n=3,k=1,故一男一女的概 k 1 率 P(A)=n=3.

[辨析] 以上 3 个基本事件不是等可能的,按出生前后, 双男有(男,男)一种,双女有(女,女)一种,而一男一女有(男, 女)、(女、男)共 2 种. 等可能事件要抓住“等可能”这个实质,“等可能”重在 结果,而不是事件本身.
[正解] 双胞胎的性别按出生前后有(男, 男) 、 (男, 女) 、 (女, 男)、(女,女)共 4 个基本事件,设事件“一男一女”为 A,则 2 1 n=4,k=2,所以一男一女的概率 P(A)=4=2.

[规律总结]

求古典概型概率应注意的问题:(1)判断是否

具备有限性和等可能性两个特征,特别是等可能性.(2)由于观 察的角度不同,基本事件的个数就不同,因为基本事件总数和 事件 A 包含的基本事件数的计算必须站在同一角度,否则就会 混淆并导致错误.


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