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《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教A版选修2-2定积分在几何中的应用_图文

本 课 时 栏 目 开 关

1.7.1

1.7.1 定积分在几何中的应用

【学习要求】



会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.

课 时

【学法指导】

栏 目

本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决

开 关

的平面图形面积问题.在这部分的学习中,应特别注意

利用定积分的几何意义,借助图形直观,把平面图形进

行适当的分割,从而把求平面图形面积的问题转化为求

曲边梯形面积的问题.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.7.1

1.当x∈[a,b]时,若f(x)>0,由直线x=a,x=b(a≠b),y



=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积S=__? ba_f_(x_)_d_x_.

课 时

2.当x∈[a,b]时,若f(x)<0,由直线x=a,x=b(a≠b),y

栏 目

=0和曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积S=__-_?_ba_f(_x_)_d_x_.

开 关

3.当x∈[a,b]时,若f(x)>g(x)>0时,由直线

x=a,x=b(a≠b)和曲线y=f(x),y=g(x)

围成的平面图形的面积S=_? ba_[_f(_x_)-__g_(_x_)_]d_x_.

(如图)

研一研·问题探究、课堂更高效

1.7.1

探究点一 求不分割型图形的面积

问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积?



课 时

答 求由曲线围成的面积,要根据图形,确定积分上下

栏 目

限,用定积分来表示面积,然后计算定积分即可.





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例1 计算由曲线y2=x,y=x2所围图形的面积S.

解 由?????yy2==xx2, 得交点的横坐标为x=0及x=1.

本 因此,所求图形的面积为





S=S曲边梯形OABC—S曲边梯形OABD



目 开

=?

1 0

xdx-? 10x2dx





2 3

x

3 2

|10-13x3|10

=23-13=13.

1.7.1

研一研·问题探究、课堂更高效

1.7.1

小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤:

(1)根据题意画出图形;

本 课

(2)找出范围,确定积分上、下限;

时 栏

(3)确定被积函数;

目 开

(4)将面积用定积分表示;

关 (5)用微积分基本定理计算定积分,求出结果.

研一研·问题探究、课堂更高效

1.7.1

跟踪训练1 求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图

形的面积.

解 由?????yy= =x-2-x+4 2

本 课 时



??x=-3 ???y=5



?? x=2 ???y=0

,所以直线y=-x+2与抛物线y=x2-

栏 目

4的交点为(-3,5)和(2,0),

开 关

设所求图形面积为S,根据图形可得

S=? 2-3(-x+2)dx-? -2 3(x2-4)dx

=(2x-12x2)|2-3-(13x3-4x)|2-3

=225-(-235)=1265.

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1.7.1

探究点二 分割型图形面积的求解

问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在

不同的区间位于上方和下方的曲线不同时,这种图形的面

本 课

积如何求呢?

时 栏

答 求出曲线的不同的交点横坐标,将积分区间细化,分

目 开

别求出相应区间曲边梯形的面积再求和,注意在每个区间

关 上被积函数均是由上减下.

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1.7.1

例2 计算由直线y=x-4,曲线y= 2x 以及x轴所围图形的 面积S. 解 方法一 作出直线y=x-4,曲线y= 2x的草图.

本 课 时 栏 目 开 关
解方程组?????yy= =x-2x4, 得直线y=x-4与曲线y= 2x交点的坐标为(8,4).
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0).

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因此,所求图形的面积为

S=S1+S2

=?

4 0

2xdx+????

8 4

2xdx-? 84?x-4?dx???

本 课 时 栏

=2

3

2x

3 2

|04+2

3

2

x

23|84-12(x-4)2|48

目 开 关

=430.

方法二 把y看成积分变量,则

S=? 40(y+4-12y2)dy=(12y2+4y-16y3)|04=430.

1.7.1

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1.7.1

小结 两条或两条以上的曲线围成的图形,一定要确定图形

范围,通过解方程组求出交点的坐标,定出积分上、下限,

本 课

若积分变量选x运算较繁锁,则积分变量可选y,同时要更换

时 栏

积分上、下限.







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1.7.1

跟踪训练2

求由曲线y=

x

,y=2-x,y=-

1 3

x所围成图

形的面积.

解 画出图形,如图所示.

本 课 时 栏 目

解方程组?????yx= +y=x,2,

??y= x, ???y=-13x,

开 关

??x+y=2,

及???y=-13x,

得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1),

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所以S=?10[ x-(-13x)]dx+?31[(2-x)-(-13x)]dx

=? 10( x+13x)dx+? 31(2-x+13x)dx

本 课

=(23 x 23+16x2)|01+(2x-12x2+16x2)|31



栏 目 开

=23+16+(2x-13x2)|31

关 =56+6-13×9-2+13=163.

1.7.1

研一研·问题探究、课堂更高效

1.7.1

探究点三 定积分的综合应用

例3 在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线

以及x轴所围成的面积为112,试求:

本 课

切点A的坐标以及在切点A的切线方程.

时 栏

解 如图,设切点A(x0,y0),

目 开

由y′=2x,过点A的切线方程为

关 y-y0=2x0(x-x0),

即y=2x0x-x20, 令y=0,得x=x20,即C(x20,0),

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1.7.1

设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S,

则S=S曲边△AOB-S△ABC,

? ∵S = x0 曲边△AOB 0

x2

d

x=13x3|0x0=13x30,

本 课

S△ABC=12|BC|·|AB|

时 栏 目

=12(x0-x20)·x02=14x30.

开 关

∴S=13x03-14x30=112x30=112.

所以x0=1,

从而切点为A(1,1),

切线方程为2x-y-1=0.

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1.7.1

小结 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识,运用

本 待定系数法,先设出切点的坐标,利用导数的几何意义,建

课 时

立了切线方程,然后利用定积分以及平面几何的性质求出所

栏 围成的平面图形的面积,根据条件建立方程求解,从而使问



开 题得以解决.



研一研·问题探究、课堂更高效

1.7.1

跟踪训练3 如图所示,直线y=kx分抛物线y =x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部 分,求k的值.

本 解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,

课 时

所以,抛物线与x轴所围图形的面积

栏 目 开

S=? 10(x-x2)dx=???x22-13x3???|10=16.



又?????yy==xk-x,x2,

由此可得,抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,

x4=1-k,

研一研·问题探究、课堂更高效

所以,S2=?10-k(x-x2-kx)dx

本 课

=????1-2 kx2-13x3????|10-k=16(1-k)3.



栏 目

又知S=16,所以(1-k)3=12,





于是k=1-

3

3

12=1-

4 2.

1.7.1

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.7.1

1.在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中,正确的有( )
本 课 时 栏 目 开 关

S=?ab[f(x)-g(x)]dx ①

S=?80(2 2x-2x+8)dx ②

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.7.1











S=?41f(x)dx-?74f(x)dx







S

?

a
?0

?g

(

x)

?

f

(x)?d

x

?

b
?a

?

f

(

x)

?

g

(

x)?d

x



A.①③ B.②③ C.①④ D.③④

练一练·当堂检测、目标达成落实处

解析 ①应是 S=?ab[f(x)-g(x)]dx,

本 ②应是 S=? 802 2xdx-? 84(2x-8)dx,



时 栏

③和④正确,故选 D.



开 关

答案 D

1.7.1

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.7.1

2.曲线 y=cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )

A.2

B.3

5 C.2

D.4

π



本 课

解析

? ? S=

2 cos x d x ?
0

2 π

cos

xd

x

π

3π 2

时 栏 目 开 关

?

sin

x

|02

? sin

x

|

2 π

2

=sin

π2-sin 0-sin

32π+sin

π 2

=1-0+1+1=3.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.7.1

4.由曲线 y=x2+4 与直线 y=5x,x=0,x=4 所围成平面
19 图形的面积是____3____.

解析 由图形可得



课 时

S=? 10(x2+4-5x)dx+? 41(5x-x2-4)dx



目 开 关

=(13x3+4x-52x2)|01+(52x2-13x3-4x)|41

=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52

+13+4=139.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.7.1

对于简单图形的面积求解,我们可直接运用定积分的几何意

义,此时

本 课

(1)确定积分上、下限,一般为两交点的横坐标.

时 栏

(2)确定被积函数,一般是上曲线与下曲线对应函数的差.

目 开

这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积

关 分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面

积:定积分可正、可负或为零;而平面图形的面积总是非负

的.