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高中数学第一章导数及其应用第5节定积分的概念课件新人教A版选修2


[核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲, 预习教材 P38~P47 的内容, 回答下列问题. 观察教材图 1.5-2,阴影部分是由抛物线 y=x2 与直线 x =1,y=0 所围成的平面图形. (1)通常称这样的平面图形为什么图形? 提示:曲边梯形. (2)如何求出所给平面图形的面积近似值? 提示: 把平面图形分成多个小曲边梯形, 求这些小曲边梯形的 面积和. (3)如何更精确地求出阴影部分的面积 S? 提示:分割的曲边梯形数目越多,所求得面积越精确. 2.归纳总结,核心必记 (1)连续函数 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图象是一条连续不断的曲 线,那么我们就把它称为区间 I 上的 连续 函数. (2)曲边梯形的面积 ①曲边梯形:由直线 x=a,x=b(a≠b), y=0 和曲线 y=f(x) 所围成的图形称为曲边梯形(如图①). ②求曲边梯形面积的方法与步骤: (ⅰ)分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆 分为一些 小曲边梯形 (如图②); (ⅱ)近似代替:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即 用 矩形 的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个 小曲边梯形面积的 近似值 (如图②); (ⅲ)求和: 把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积 的 近似值 求和; (ⅳ)取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小 曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面 积. (3)求变速直线运动的位移(路程) 如果物体做变速直线运动,速度函数为 v=v(t),那么 近似代替 、 求和 、取极限 的方 我们也可以采用分割 、 法,求出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s. (4)定积分 ①定积分的概念 如果函数 f(x)在某个区间[a,b]上连续,用分点 a= 当 n→∞时,上述和式无 限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定 积分,记作 f(x)dx, ?b ? ? ?a 积分下限 与 积分上限 ,区间[a,b]叫 其中 a 与 b 分别叫做 被积函数 ,x 叫做 积分变量 ,f(x)dx 做积分区间 ,函数 f(x)叫做 叫做被积式 . ②定积分的几何意义 如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0 ,那么定积分 ?b ? ? ? a f(x)dx 表示由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x) 所 ?b ? ? ?a 围成的曲边梯形的面积.这就是定积分 f(x)dx 的几何意义. ③定积分的基本性质 (ⅰ) kf(x)dx= k af(x)dx(k 为常数) ; (ⅱ) [f1(x)± f2(x)]dx= (ⅲ) f(x)dx= a ?b ? ? ? ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ? ?b ? ? ?a f1(x)dx± f2(x)dx ?b ? ? ?a ; ?c ? ? ?a b f(x)dx+? ? f(x)dx(其中 a<c<b) . ? ? c [问题思考] (1)曲边梯形与“直边图形”的主要区别 是什么? 提示: 前者有一边是曲线段, 而“直边图形” 的所有边都是直线段. (2)求曲边梯形面积时, 能否直接对整个 曲边梯形进行“以直代曲”呢?怎样才能 减小误差? 提示:不能直接对整个曲边梯形进行 “以直 代曲”,否则误差太大,为了减小近似代替的误 差,需要先分割再分别对每个小曲边梯形 “以直 代曲”,而且分割的曲边梯形数目越多,得到面 积的误差越小.

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