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2014高考数学 (知识整合+方法技巧+例题分析)分类讨论思想在解题中的应用拿分题训练


2014 高考数学“拿分题”训练:分类讨论思想在解题中的应用
一、知识整合 1.分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对 象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位 置。 2.所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某 个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题 的 解答。实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略。 3.分类原则:分类对象确定 ,标准统一,不重复,不遗漏,分层次,不越级讨论。 4.分类方法:明确讨论对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确进行分类;逐类进 行讨论,获取阶段性成果;归纳小结,综合出结论。 5.含参数问题的分类讨论是常见题型。 6.注意简化或避免分类讨论。 二、例题分析 例 1.一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( A. x ? y ? 7 ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0或 2 x ? 5 y ? 0 分析:设该直线在 x 轴,y 轴上的截距均为 a, 当 a=0 时,直线过原点,此时直线方程为 y ? 当 a ? 0 时,设直线方程为 B. 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? y ? 7 ? 0或 2 y ? 5x ? 0 )

2 x,即 2 x ? 5 y ? 0 ; 5

x y ? ? 1,则求得a ? 7 ,方程为 x ? y ? 7 ? 0 。 a a 1 5 例 2. ?ABC中,已知 sin A ? , cos B ? ,求 cos C 2 13
分析: 由于C ? ? ? ( A ? B ) ? cos C ? ? cos( A ? B ) ? ??cos A cos B ? sin A ? sin B ? 因此,只要根据已知条件,求出 cosA,sinB 即可得 cosC 的值。但是由 sinA 求 cosA 时, 是一解还是两解?这一点 需经过讨论才能确定,故解本题时要分类讨论。对角 A 进行分类。 解 :

? 0 ? cos B ?

5 2 12 ? ,且B为?ABC的一个内角 ? 45? ? B ? 90 ? ,且 sin B ? 13 2 13 1 3 ,得A ? 30 ? ,此时 cos A ? 2 2
1 ,得A ? 150 ? ,此时A ? B ? 180 ? 2
-1-

若A为锐角,由 sin A ?
若A为钝角,由 sin A ?

这与三角形的内角和为 180°相矛盾。 可见A ? 150

?

? cos C ? cos?? ? ( A ? B)? ? ? cos( A ? B)
? 3 5 1 12 ? 12 ? 5 3 ? ? ? ?? ? ??cos A ? cos B ? sin A ? sin B? ? ? ? 26 ? 2 13 2 13 ?
例 3.已知圆 x +y =4,求经过点 P(2,4) ,且与圆相切的直线方程。 分析:容易想到设出直线的点斜式方程 y-4 =k(x-2)再利用直线与圆相切的充要条件: “圆 心到切线的距离等于圆的半径” ,待定斜率 k,从而得到所求直线方程,但要注意到:过点 P 的直线中,有斜率不存在的情形,这种情形的直线是否也满足题意呢?因此本题对过点 P 的 直线分两种情形: (1)斜率存在时,?(2)斜率不存在? 解(略) :所求直线方程为 3x-4y+10=0 或 x=2 例 4. 解关于x的不等式: log a (1 ?
2 2

1 ) ?1 x

分析:解对数不等式时,需要利用对数函数的单调性,把不等式转化为不含对数符号的 不等式。而对数函数的单调性因底数 a 的取值不同而不同,故需对 a 进行分类讨论。 解: 若a > 1,则原不等式等价于1 ?

1 1 ?a? ?x?0 x 1? a

? ?1 ? ? 若 0 ? a ? 1,则原不等式等价于 ? ?1 ? ? ?

1 ?0 1 x ?1? x ? 1 1? a ?a x

? 1 ? 综上所述,当a ? 1时,原不等式的解集为 ? x ? x ? 0?; ? 1? a ? 1 ? ? 当 0 ? a ? 1时,原不等式的解集为 ? x 1 ? x ? ? 1? a? ?
例 5. 解不等式 5 ? 4 x ? x ? x
2

分析:解无理不等式,需要将两边平方后去根号,以化为有理不等式,而根据不等式的 性质可知,只有在不等式两边同时为正时,才不改变不等号方向,因此应根据运算需求分类 讨论,对 x 分类。

?x ? 0 ?x ? 0 ? 解: 原不等式等价于 ?5 ? 4 x ? x 2 ? 0 或 ? 2 ?5 ? 4 x ? x 2 ? x 2 ?5 ? 4 x ? x ? 0 ?

-2-

? ?x ? 0 ? ?x ? 0 ? ? ? ?5 ? x ? 1 或? ? ?5 ? x ? 1 ? 14 14 ? ?1 ? ? x ? ?1 ? ? 2 2 ?
? 0 ? x ? ?1 ? 14 或 ?5? x ? 0 2 ? ?5 ? x ? ?1 ? 14 2

? 14 ? ? ? ? 原不等式的解集为 ? x ?5 ? x ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ?
例 6. 解关于x的不等式:ax ? (a ? 1) x ? 1 ? 0
2

分析:这是一个含参数 a 的不等式,一定是二次不等式吗?不一定,故首先对二次项系 数 a 分类: (1)a≠0(2)a=0,对于(2) ,不等式易解;对于(1) ,又需再次分类:a>0 或 a< 0,因为这两种情形下,不等式解集形式是不同的;不等式的解是在两根之外,还是在两根 之间。而确定这一点之后,又会遇到 1 与 而解题时,需要作三级分类。 解: (1)当a ? 0时,原不等式化为 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1

1 谁大谁小的问题,因而又需作一次分类讨论。故 a

1 ( 2 )当a ? 0时,原不等式化为a ( x ? 1)( x ? ) ? 0 a 1 ①若a ? 0,则原不等式化为 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 a 1 1 1 ? ?0 ? ?1 ? 不等式解为x ? 或x ? 1 a a a 1 ②若a ? 0,则原不等式化为 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 a 1 1 (i)当a ? 1时, ? 1,不等式解为 ? x ? 1 a a 1 (ii ) 当a ? 1时, ? 1,不等式解为x ?? a 1 1 (iii ) 当 0 ? a ? 1时, ? 1,不等式解为1 ? x ? a a
综上所述,得原不等式的解集为

1 ? ? 当a ? 0时,解集为 ? x x ? 或x ? 1? ; 当a ? 0时,解集为?x| x ? 1? ; a ? ? ? 当 0 ? a ? 1时,解集为 ? x 1 ? x ? ? 1? ? ; 当a ? 1时,解集为? ; a?
-3-

? 1 ? 当a ? 1时,解集为 ? x ? x ? 1? 。 ? a ?
例 7. 已 知 等 比 数 列 的 前 n 项 之 和 为 S n , 前 n+1 项 之 和 为 S n ?1 , 公 比 q>0 , 令

Tn ?

Sn ,求 lim Tn 。 n?? S n ?1

分析:对于等比数列的前 n 项和 Sn 的计算,需根据 q 是否为 1 分为两种情形:

当q = 1时,S n ? na1 ;当q ? 1时,S n ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

另外,由于当| q| ? 1时, lim q n ? 0,而已知条件中q ? 0 n??
故还需对 q 再次分类讨论。 解: 当q ? 1时,S n ? na1 ,S n ?1 ? (n ? 1)a1 ? lim Tn ? lim

n??

n ?1 n?? n ? 1

当q ? 1时,S n ?

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q n ?1 ) ,S n ?1 ? 1 1? q 1? q

? Tn ?

Sn 1? qn ? S n ?1 1 ? q n ?1

当0 ? q ? 1时,lim Tn ? 1; n??

1 ?1 1 qn 当q ? 1时,lim Tn ? lim ? n?? n?? 1 ?q q n q

?1, (0 ? q ? 1) ? 综上所述,知 lim Tn ? ? 1 n?? ? q , (q ? 1) ?
例 8. 设k ? R,问方程 (8 ? k ) x ? ( k ? 4) y ? (8 ? k )( k ? 4) 表示什么曲线?
2 2

分析: 容易想到把方程变形为

x2 y2 ? ? 1,但这种变形需要k ? 4 ,且 k ?4 8? k

k ? 8,而且k ? 4 与8 ? k的正负会引起曲线类型的不同,因此对k ? ( ??, ? ?) 要进行分类:k ? ( ??, 4) ,k ? 4 ,k ? (4 ,8) ,k ? 8,k ? (8, ? ?) ,又注意到 k ? 4 ? 8 ? k ? 0与k ? 4 ? 8 ? k ( k ? 4 ? 0且8 ? k ? 0) 表示的曲线是不一样的,因此 还应有一个“分界点”,即k ? 6,故恰当的分类为 ( ??, 4) , 4 , (4 , 6) , 6,
-4-

( 6,8),8,(8, ? ?)
解: (1)当 k=4 时,方程变为 4x =0,即 x=0,表示直线; (2)当 k=8 时,方程变为 4y =0,即 y=0,表示直线;
2 2

( 3)当k ? 4 且k ? 8时,原方程变为

x2 y2 ? ?1 k ?4 8? k

(i)当 k<4 时,方程表示双曲线; (ii)当 4<k<6 时,方程表示椭圆; (iii)当 k=6 时,方程表示圆; (iv)当 6<k<8 时,方程表示椭圆; (v)当 k>8 时,方程表示双曲线。 例 9. 某车间有 10 名工人,其中 4 人仅会车工,3 人仅会钳工,另外三人车工钳工都会, 现需选出 6 人完成一件工作,需要车工,钳工各 3 人,问有多少种选派方案? 分析:如果先考虑钳工,因有 6 人会钳工,故有 C6 种选法,但此时不清楚选出的钳工中 有几个是车钳工都会的,因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工,因此在选车工时,就 无法确定是从 7 人中选,还是从六人、五人或四人中选。同样,如果先考虑车工也会遇到同 样的问题。因此需对全能工人进行分类: (1)选出的 6 人中不含全能工人; (2)选出的 6 人中含有一名全能工人; (3)选出的 6 人中含 2 名全能工人; (4)选出的 6 人中含有 3 名全能工人。 解: C4 ? C3 ? C4 ? C3 ? C3 ? C4 ? C3 ? C3 ? C3 ? C3 ? C4 ? C3 ? C4 ? C3 ? C3 ? C4 ? P3
3 3 3 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1 ? C33 ? C43 ? C32 ? C4 ? C32 ? C32 ? C3 ?2 ? 309 4 1 1 或:C33 ? C73 ? C3 ? C32 ? C63 ? C32 ? C3 ? C53 ? C33 ? C43 ? 309 2
3

三、总结提炼 分类讨论是一种重要的数学思想方法,是一种数学解题策略,对于何时需要分类讨论, 则要视具体问题而定,并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象,若不对其分类就不能说清楚,则应分类讨论,另外,数学中的 一些结论,公式、方法对于一般情形是正确的,但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别” 情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因,因此在解题时,应注意挖掘这些个别情形进行 分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例: (1) “方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 有实数解”转化为 ? ? b 2 ? 4ac ? 0” 时忽略了了个别情形: “ 当 a=0 时,方程有解不能转化为△≥0; (2)等比数列 a1q n ?1 的前 n 项和公式 S n ? 再成立,而是 Sn=na1。

?

?

a1 (1 ? q n ) 中有个别情形: q ? 1 时,公式不 1? q

-5-

(3) 设直线方程时,一般可设直线的斜率为 k,但有个别情形:当直线与 x 轴垂直时,直
线无斜率,应另行考虑。 (4)若直线在两轴上的截距相等,常常设直线方程为 再不能如此设,应另行考虑。 四、强化练习:见优化设计。

x y ,但有个别情形:a=0 时, ? ? 1, a a

【模拟试题】 一. 选择题: 1. 若 a ? 0,且a ? 1,p ? log a (a ? a ? 1) ,q ? log a (a ? a ? 1) ,则p、q 的大小关
3 2

系为(


-6-

A. p ? q C. p ? q

B. p ? q D. a ? 1时,p ? q ; 0 ? a ? 1时,p ? q

2. 若 A ? x| x 2 ? ( p ? 2) x ? 1 ? 0,x ? R ,且 A ? R ? ? ,则实数中的取值范围是 ( ) A. p ? ?2 C. p ? 2 B. p ? ?2 D. p ? ?4 )

?

?

?

3. 设 A= ?x| x ? a ? 0?,B ? ?x| ax ? 1 ? 0?,且A ? B ? B,则实数a的值为 ( A. 1 B. ?1 C. 1或 ? 1
2 3

D. 1, ? 1或 0
6

4. 设 ?是?的 ?次方根,则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的值为( A. 1 B. 0 C. 7 D. 0 或 7



5. 一条直线过点(5,2) ,且在 x 轴,y 轴上截距相等,则这直线方程为( A. x ? y ? 7 ? 0 B. 2 x ? 5 y ? 0 C. x ? y ? 7 ? 0或 2 x ? 5 y ? 0 D. x ? y ? 7 ? 0或 2 y ? 5x ? 0 6. 若 sin x ? cos x ? 1,则 sin x ? cos x (n ? N ) 的值为 (
n n





A. 1

B. ?1

C. 1或 ? 1

D. 不能确定 )

7. 已知圆锥的母线为 l, 轴截面顶角为 ? , 则过此圆锥的顶点的截面面积的最大值为 ( A.

1 2 l ? sin ? 2

B.

1 2 l 2

C. l 2 sin ?
2

D. 以上均不对

8. 函数 f ( x ) ? mx ? (m ? 3) x ? 1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧, 则实数 m 的取值范围为( A. 0, ? ? C. ) B.

?

?

???,1?

?0,1?

D. ( 0,1)

二. 填空题 9. 若圆柱的侧面展开图是边长为 4 和 2 的矩形,则圆柱的体积是______________。
-7-

10. 若 log a
2

2 ? 1 ,则 a 的取值范围为________________。 3
2

11. 与圆 x ? ( y ? 2) ? 1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________。 12. 在 50 件产品中有 4 件是次品,从中任抽取 5 件,至少有 3 件次品的抽法共有 ______________种(用数字作答) 13. 不等式 3 log a x ? 2 ? 2 log a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 的解集为_____________。

三. 解答题: 14. 已知椭圆的中心在原点,集点在坐标轴上,焦距为 2 3 ,另一双曲线与此椭圆有公 共 焦点,且其实轴比椭圆的长轴小 8,两曲线的离心率之比为 3:7,求此椭圆、双曲线的方程。 15. 设 a>0 且 a ? 1 ,试求使方程 log a ( x ? ak ) ? log a 2 ( x ? a ) 有解的 k 的取值范围。
2 2

-8-

【试题答案】 一. 选择题 1. C 8. B 提示:1. 欲比较 p、q 的大小,只需先比较 a ? a ? 1与a ? a ? 1 的大小,再利用对数
3 2

2. D

3. D

4. D

5. C

6. A

7. D

函数的单调性。而决定 a ? a ? 1与a ? a ? 1 的大小的 a 值的分界点为使 (a ? a ? 1) ?
3 2 3

(a 2 ? a ? 1) ? a 2 (a ? 1) ? 0 的 a 值:a=1,
当 a>1 时, a ? a ? 1 ? a ? a ? 1, 此时 log a (a ? a ? 1) ? log a (a ? a ? 1) ,
3 2 3 2

即p ? q.
当 0 ? a ? 1时,a ? a ? 1 ? a ? a ? 1,此时 log a (a ? a ? 1) ? log a (a ? a ? 1) 即
3 2 3 2

p ? q。
可见,不论 a>1 还是 0<a<1,都有 p>q。 2. 若 A ? ? ,即 ? ? ( p ? 2) ? 4 ? 0, ? 4 ? p ? 0时,A ? R ? ?;
2 ?

?? ? 0 ? ? p ? 0时,A ? R ? ? ? 若 A ? ?,则 ? p ? 2 ? ?0 ? 2 ?
可见当 ?4 ? p ? 0或p ? 0时, 都有 A ? R ? ? ,故选(D) 3. 若 B ? ?,则A ? B ? B,此时a ? 0 若 B ? ? ,则 a ? 0 ,? B ? ? ?,由A ? B ? B知B ? A
?

?1? ?a ?

?

1 1 ? A, ? ? a ? 0,解得a ? 1或 ? 1,故a ? 0,1或 ? 1 a a
7

4. 由 ? 是 1 的 7 次方根,可得 ? ? 1; 显然,1 是 1 的 7 次方根,故可能 ? ? 1 ;若

? ? 1,则1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 6 ?

1? ? 7 ? 0,若? ? 1 ,则 1? ?

1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 6 ? 1?1?1? ? ?1 ? 7
故选(D) 5. 设该直线在 x 轴,y 轴上的截距均为 a,

-9-

当 a=0 时,直线过原点,此时直线方程为 y ? 当 a ? 0 时,设直线方程为

2 x,即 2 x ? 5 y ? 0 ; 5

x y ? ? 1,则求得a ? 7 ,方程为 x ? y ? 7 ? 0 a a
2

6. 由 sin x ? cos x ? 1,得 (sin x ? cos x ) ? 1,即 sin x ? cos x ? 0

当 sin x ? 0时, cos x ? 1;当 cos x ? 0时, sin x ? 1,
于是总有 sin x ? cos x ? 1 ,故选(A)
n n

7. 当 ? ? 90 ? 时,最大截面就是轴截面,其面积为
?

1 2 l sin ? ; 2 1 2 l 2

当 ? ? 90 ? 时,最大截面是两母线夹角为 90 的截面,其面积为 可见,最大截面积为

1 2 1 2 l 或 l sin ? ,故选(D) 2 2 1 , 0) 满足题意 3

8. 当 m ? 0 时, f ( x ) ? ?3x ? 1,其图象与x轴交点为(

当m ? 0时,再分m ? 0,m ? 0两种情形,由题意得
? ?m ? 0 ?m ? 0 ? ? 或? 解得 0 ? m ? 1或m ? 0 1 ?? ? 0 x1 x 2 ? ? 0 ? m?3 ? m ? ?? ?0 ? 2m
综上可知, m ? 0或m ? 0或 0 ? m ? 1, m ? 1 故选(B)

二. 填空题 9.

8

?



4

?
2 8

(提示:若长为 4 的边作为圆柱底面圆周的展开图, V柱 ? ? ? ) 2 ? 2 ? ,则

?

?

;若长为 2

的边作为圆柱底面圆周的展开图,则 V柱 ? ? ? ) 2 ? 4 ?

1

4

?

?



10. 0 ? a ?

2 或a ? 1 3

(提示:对 a 分: 0 ? a ? 1与a ? 1 两种情况讨论) 11. y ?

3x或y ? ? 3x或x ? y ? (2 ? 2 ) ? 0或x ? y ? (2 ? 2 ) ? 0

- 10 -

(提示:分截距相等均不为 0 与截距相等均为 0 两种情形) 12. 4186 种 (提示: 对抽取 5 件产品中的次品分类讨论: 1)抽取的 5 件产品中恰好有 3 件次品; (
3 2 4 1 (2)抽取的 5 件产品中恰好有 4 件次品,于是列式如下: C4 ? C46 ? C4 ? C46 =4140+46

=4186)
3 ? 2 ? ? 3 ? 4 13. 若 a ? 1 ,则解集为 ? x a ? x ? a 或x ? a ? ? ? ? ?

若 0 ? a ? 1 ,则解集为 ? x a 4 ? x ? a 3 或 0 ? x ? a ? (提示:设 log a x ? t,则原不等式可简化为 3t ? 2 ? 2t ? 1 解之得

? ? ? ?

3

2

? ? ? ?

2 3 2 3 ? t ? 或t ? 1,即 ? log a x ? 或 log a x ? 1 3 4 3 4
2 3 3 4

对 a 分类: a ? 1 时, a ? x ? a 或x ? a;

0 ? a ? 1时,a ? x ? a 或 0 ? x ? a )
三. 解答题 14. 解: (1)若椭圆与双曲线的焦点在 x 轴上,可设它们方程分别为

2 3

3 4

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 2 ? 2 ? 1(a ' ? 0,b' ? 0) ,依题意 a2 b a' b'

? ?c ? c' ? 13 ?a ? 7 ? 2 2 2 ?b ? 6 ?a ? b ? c ? 2 ? 2 2 ?? ?a ' ? c' ?b' ?2a '?8 ? 2a ?a ' ? 3 ? ?b' ? 2 ? c' ?c ? a : a ' ? 3: 7 ? x2 y2 x2 y2 ? 两曲线方程分别为 ? ? 1, ? ?1 49 36 9 4
y2 x2 (2)若焦点在 y 轴上,则可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
双曲线方程为

y2 x2 ? ? 1(a ' ? 0,b' ? 0) ,依题意有 a ' 2 b' 2

- 11 -

? ?c ? c' ? 13 ?a ? 7 ? 2 2 2 ?b ? 6 ?c ? a ? b ? 2 ? 2 2 ?? ?c' ? a ? b ?2a '?8 ? 2a ?a ' ? 3 ? ?b' ? 2 ? c' ?c : ? 3: 7 ?a a' ?
y2 x2 y2 x2 ? 椭圆方程为 ? ? 1,双曲线方程为 ? ?1 49 36 9 4
15. 解:原方程可化为 log a ( x ? ak ) ? log a 令 f ( x ) ? x ? ak,g ( x ) ?

x 2 ? a 2 ? x ? ak ?

x2 ? a2

x 2 ? a 2 ( x ? ak ? 0且x 2 ? a 2 ? 0)

则对原方程的解的研究,可转化为对函数 f ( x ) 、g ( x ) 图象的交点的研究 下图画出了 g ( x ) 的图象,由图象可看出
y g(x) a A1 -a A2 O -a a x f(x) g(x)

(1)当直线 f ( x ) ? x ? ak过点A1 ( ? a, 0) ,A2 (a, 0) 时,与双曲线无交点,此时

k ? ?1 即当 k ? ?1 时,原方程无解;
(2)当直线 f ( x ) ? x ? ak过原点O( 0, 0)时,f ( x ) 图象与双曲线渐近线重合,显 然直线与双曲线无交点,即当 k=0 时,原方程无解; (3)当直线 f ( x ) ? x ? ak 的纵截距满足 ? a ? ? ak ? 0或 ? ak ? a ,即 0 ? k ? 1

或k ? 3 ? 1 时,直线与双曲线总有交点,原方程有解。
综上所述,当 k ? ( ??, ? 1) ? ( 0,1)时,原方程有解。

- 12 -


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