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等差数列习题课教师教学案

课题 三维目标

等差数列习题课
1、掌握等差等比数列的性质的应用 2、掌握数列中的一些特殊的解题技巧 3、能够熟练的应用数列的性质解题

重难点

重点是数列性质的灵活应用,做到熟能生巧,融 会贯通 难点是数列的综合应用,求和以及证明

课件名称 等差数列习题课

上课时间

教学过程

一、知识梳理 数列概念 1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列
中的每个数称为该数列的项.
2.通项公式:如果数列 ?an ?的第 n 项与序号之间可以用一个
式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即 an ? f (n) . 4.数列的前 n 项和与通项的公式

① Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ;

② an

?

???SS1n(?n

? 1) Sn?1 (n

?

2)

.

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列, 摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 an?1 ? an .

②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 an?1 ? an .

③摆动数列:例如: ?1,1,?1,1,?1,? . ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个 常数 d ,这个数列叫做等差数列,常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d 为公差.

⑵前 n 项和公式 Sn

?

n(a1 ? an ) 2

或 Sn

?

na1

?

1 n(n 2

? 1)d

.

3.等差中项 如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.

即:A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2A ? a ? b ? a ,A ,b 成等差数列.

4.等差数列的判定方法
⑴定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ?是等差

数列;
⑵中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ?是等差数列.

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5.等差数列的常用性质
⑴数列?an ?是等差数列,则数列?an ? p?、?pan ?( p 是常数)
都是等差数列;
⑵在等差数列 ?an ?中,等距离取出若干项也构成一个等差数
列,即 an , an?k , an?2k , an?3k ,? 为等差数列,公差为 kd . ⑶ an ? am ? (n ? m)d ; an ? an ? b ( a , b 是 常 数 ) ;
Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数)
⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;

⑸若等差数列

?an

?的前

n

项和

S

n

,则

? ? ?

Sn n

? ? ?

是等差数列;

二、典型例题

热点考向一:等差数列的基本量

例1. 在等差数列{ an }中,

(1) 已知 S8 ? 48, S12 ? 168 ,求 a1, 和 d

(2) 已知 a6 ? 10, S5 ? 5 ,求 a8 和 S8

变式训练:

1、已知 Sn 为等差数列?an ?的前 n 项和, a6 ? 100 ,则 S11 ? ;

2、设

Sn



Tn

分别是等差数列

?an

?、

?an

?的前

n

项和,

Sn Tn

?

7n ? 2 n?3



则 a5 ? . b5

3、设

S

n

是等差数列

?a

n

?

的前

n

项和,若

a5 a3

?

5 ,则 S9 9 S5

?(



4、等差数列

{an }

,

{bn }

的前

n

项和分别为

S

n

,

Tn

,若

Sn Tn

?

2n ,则 an 3n ?1 bn

=

()

热点考向二:等差数列的判定与证明.



2.已知 Sn 为等差数列 ?an ?的前 n

项和,bn

?

Sn n

(n ? N? ) .求证:

数列?bn ?是等差数列.

变式训练:在等差数列 ?an ?中,若 S4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20

的值为( )

热点考向三:等差数列前 n 项和

例 3 在等差数列{an}的前 n 项和为 Sn . (1)若 a1 ? 20 ,并且 S10 ? S15 ,求当 n 取何值时, Sn 最大,并求 出最大值;

(2)若 a1 ? 0 , S9 ? S12 ,则该数列前多少项的和最小?

跟踪训练:设等差数列{an} 的前 n项和为 Sn ,已知

a3 ? 12, S12 ? 0, S13 ? 0. (I)求公差 d 的取值范围;

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(II)指出 S1, S2 , S3 ,? , S12 中哪一个最大,并说明理由。 热点考向四:数列单调性最值问题
例 4、数列 ?an ?中, an ? 2n ? 49 ,当数列?an ?的前 n 项和 Sn 取得 最小值时,求 n的值。
跟踪训练: .
1.已知 Sn 为等差数列 ?an ?的前 n 项和,a1 ? 25, a4 ? 16. 当 n 为何值

时, Sn 取得最大值;

2.数列 ?an ?中, an ? 3n2 ? 28n ? 1,求 an 取最小值时 n 的值.

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前 n 项

和 Tn.

热点考向五:求数列通项公式

例 5 给出前 n 项和求通项公式

⑴ Sn ? 2n2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1.(3)Sn=12n-n2

跟踪训练:设数列?an? 满足

a1

?

3a2

?

32 a3

? …+3n-1an

?

n 3

(n ?

N*)



求数列?an? 的通项公式

三。随堂训练

1、等差数列{an}中,a1=60,an+1=an+3 则 a10 为()

A、-600B、-120 C、60

D、-60

2、若等差数列中,a1=4,a3=3,则此数列的第一个负数项是()

A、aB、a10

C、a11D、a12

3.若数列?an? 的通项公式为 an ? 2n ? 5 ,则此数列是 ()

A.公差为 2 的等差数列 B. 公差为 5 的等差数列 C.首项为 5 的等差数列 D. 公差为 n 的等差数列 4.已知{an}是等差数列,a7+a13=20,则 a9+a10+a11= A、36B、30C、24D、18

()

5.等差数列 ?3, ?7, ?11,L , 的一个通项公式为

() A. 4n ? 7 B. ?4n ? 7 C. 4n ?1D. ?4n ?1
6.已知等差数列?an? 中,a2与a6 的等差中项为 5 ,a3与a7 的等差中
项为 7 ,则 an ? .
7.判断数 52 ,2k ? 7(k ? N? ) 是否是等差数列?an? : ?5, ?3, ?1,1,L ,
中的项,若是,是第几项?

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反思
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