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15三角函数图像与性质复习课


三角函数的图象与性质

正弦、余弦、正切函数的图象和性质
函 数
1
正弦函数 余弦函数 正切函数 y=tanx y
? ? 2

y y=sinx
? 2

图 像 定义域
值 域 周期性 奇偶性 单调性

? ? 2

O -1

π

?? 2

x 2π



1

y
? 2

y=cosx

O -1

π

?? 2

2π x

O ?
2

x

R
[-1,1] 最小正周期2π 奇函数
[? ? ? ? 2k ???? ? 2k ?? ?增 2 ? ? ?? [ ? 2k ???? ? 2k ??? 减 2 ?

R
[-1,1] 最小正周期2π 偶函数
[?? ? 2k ????2k ??? 增
[2k ????? ? 2k ??? 减

? ? ? x x ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

R
最小正周期π

奇函数
(? ? ? ? k ???? ? k ?? 2 ?



考点1:单调性与最值
?
3

例 1 (1) 已知函数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) , 求 f(x) 的 3 单调增区间.
解:令 x ? ? z, 函数 y ? 2 cos z的单调递增区间是

?

[?? ? 2k? ,2k? ]
?
3 2 ? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? 3 3 ? 2k?得

由 ? ? ? 2k? ? x ?

? f ( x) ? 2 cos( x ? )的单调增区间为 3 2 ? [? ? ? 2k? , ? 2k? ] 3 3

?

练习1: 求该函数 的单调减 区间.

例2 变式 (2)求函数 区间。 (3)求函数
2 f ( x) ? 2 cos( x ? ) ( ? x ? ? ) 3 6 3

f ( x) ? 2 cos( x ? ) ( ? ? x ? 2 ? ) 3 6 3

?

的单调

?

?



最大值,最小值.

练习2:函数y=cos2x的单调递减区间是 ( C ) ? ? (A)[kπ- 4 ,kπ+ ],k ∈ Z 4 (B)[kπ+
? ,kπ+ 4
3? ],k ∈ Z 4

(C)[kπ,kπ+

? ],k ∈Z 2

(D)[kπ+

? ,kπ+ 2

],k ? ∈Z

考点2

三角函数的值域


例3 域是____________。

1 ? 函数y=3sin(2x+ 6 ) (0 ? x ? ? )的值 3

3 [ , 3] 2

考点2

三角函数的值域


例4 (09江西)求下列函数的值域.
y=sin2x-cosx+2;

13 1≤y≤ , 4

π π 4.函数 y=cos(x+3),x∈(0,3]的值域是________. π π π 2 解析:∵0<x≤3,∴3<x+3≤3π, 又 y=cosx 在[0,π]上是减函数, 2 π π ∴cos π≤cos(x+ )<cos , 3 3 3 1 1 即-2≤y<2.

练习5

求函数y=cos2x+4sinx-3的值域

解:y=cos2x+4sinx-3=-sin2x+4sinx-2=(sinx-2)2+2. ∵-1≤sinx≤1,∴-3≤sinx-2≤-1, ∴-7≤-(sinx-2)2+2≤1,
∴函数的值域为[-7,1].

小结:1.正弦、余弦、正切函数的图象和性质
函 数
1
正弦函数 余弦函数 正切函数 y=tanx y

y y=sinx
? 2

y 1
y=cosx
? 2

图 象 定义域
值 域 周期性 奇偶性 单调性

O -1

π

?? 2

x 2π

O -1

π

?? 2

2π x

?

? 2

O ?
2

x

R
[-1,1] 最小正周期2π 奇函数
[? ? ? ? 2k ???? ? 2k ?? ?增 2 ? ? ?? [ ? 2k ???? ? 2k ??? 减 2 ?

R
[-1,1] 最小正周期2π 偶函数
[?? ? 2k ????2k ??? 增
[2k ????? ? 2k ??? 减

? ? ? x x ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

R
最小正周期π

奇函数
(? ? ? ? k ???? ? k ?? 2 ?



2. 求三角函数最值、值域、 单调区间等,要利用三角函数的图象(通 常是在一个周期内)去求解,然后在解的 两边加上周期的整数倍.

3.求三角函数的值域或最值时,注意 利用换元法转化为二次函数的最值问题, 但都应特别注意x的取值范围对三角函 数值的限制,不能机械地套用三角函数 的有界性.

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