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高中数学第二章平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案新人教A版必修

2.3.4 学习目标 平面向量共线的坐标表示 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标,判断向量 是否共线.3.掌握三点共线的判断方法. 知识点 平面向量共线的坐标表示 已知下列几组向量: (1)a=(0,3),b=(0,6); (2)a=(2,3),b=(4,6); (3)a=(-1,4),b=(3,-12); 1 1 (4)a=( ,1),b=(- ,-1). 2 2 思考 1 上面几组向量中,a,b 有什么关系? 答案 (1)(2)中 b=2a,(3)中 b=-3a,(4)中 b=-a. 思考 2 以上几组向量中,a,b 共线吗? 答案 共线. 思考 3 当 a∥b 时,a,b 的坐标成比例吗? 答案 坐标不为 0 时成正比例. 思考 4 如果两个非零向量共线,你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗? 答案 能.将 b 写成 λ a 形式,λ >0 时,b 与 a 同向,λ <0 时,b 与 a 反向. 梳理 (1)设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,a,b 共线,当且仅当存在实数 λ ,使 a =λ b. (2)如果用坐标表示, 可写为(x1, y1)=λ (x2, y2), 当且仅当 x1y2-x2y1=0 时, 向量 a, b(b≠0) 共线. 注意:对于(2)的形式极易写错,如写成 x1y1-x2y2=0 或 x1x2-y1y2=0 都是不对的,因此要 理解并熟记这一公式,可简记为:纵横交错积相减. 类型一 向量共线的判定与证明 例 1 (1)下列各组向量中,共线的是( A.a=(-2,3),b=(4,6) B.a=(2,3),b=(3,2) C.a=(1,-2),b=(7,14) 1 ) D.a=(-3,2),b=(6,-4) 答案 D 解析 A 选项,(-2)×6-3×4=-24≠0, ∴a 与 b 不平行; B 选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,∴a 与 b 不平行; C 选项,1×14-(-2)×7=28≠0,∴a 与 b 不平行; D 选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0, ∴a∥b,故选 D. → → (2)已知 A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB与CD是否共线?如果共线,它们的 方向相同还是相反? → 解 AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3), → CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6). 方法一 ∵(-2)×(-6)-3×4=0 且(-2)×4<0, → → ∴AB与CD共线且方向相反. → → → → 方法二 ∵CD=-2AB,∴AB与CD共线且方向相反. 反思与感悟 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断,特别是利 用向量共线坐标的条件进行判断时,要注意坐标之间的搭配. → 1→ → 跟踪训练 1 已知 A,B,C 三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),AE= AC,BF= 3 1→ → → BC,求证:EF∥AB. 3 证明 设 E(x1,y1),F(x2,y2). → → → ∵AC=(2,2),BC=(-2,3),AB=(4,-1), 2 → 1→ 2 2 → 1→ ∴AE= AC=( , ),BF= BC=(- ,1). 3 3 3 3 3 2 2 ∴(x1,y1)-(-1,0)=( , ), 3 3 2 (x2,y2)-(3,-1)=(- ,1), 3 1 2 7 ∴(x1,y1)=(- , ),(x2,y2)=( ,0). 3 3 3 8 2 → ∴EF=(x2,y2)-(x1,y1)=( ,- ). 3 3 2 8 → → ∵4×(- )-(-1)× =0,∴EF∥AB. 3 3 2 类型二 利用向量共线求参数 例 2 已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行? 解 方法一 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ , 使 ka+b=λ (a-3b). 由(k-3,2k+2)=λ (10,-4). ? ?k-3=10λ , 得? ?2k+2=-4λ , ? 1 解得 k=λ =- . 3 方法二 由方法一知 ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4), ∵ka+b 与 a-3b 平行, 1 ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得 k=- . 3 引申探究 1.若例 2 条件不变,判断当 ka+b 与 a-3b 平行时,它们是同向还是反向? 1 解 由例 2 知当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行, 3 1 1 这时 ka+b=- a+b=- (a-3b), 3 3 1 ∵λ =- <0, 3 ∴ka+b 与 a-3b 反向. 2.在本例中已知条件不变,若问题改为“当 k 为何值时,a+kb 与 3a-b 平行?”,又如何 求 k 的值? 解 a+kb=(1,2)+k(-3,2)=(1-3k,2+2k), 3a-b=3(1,2)-(-3,2)=(6,4), ∵a+kb 与 3a-b 平行, ∴(1-3k)×4-(2+2k)×6=0, 1 解得 k=- . 3 反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题,一般有两种思路,一是利用向量共线定理 a= λ b(b≠0),列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式 x1y2-x2y1=0 求解. 跟踪训练 2 设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ =________. 3 答案 2 解析 λ a+b=λ (1,2)+(2,3)=(λ +2,2λ +3), ∵λ a+b 与 c 共线, ∴(λ +2)×(-7)-(2λ +3)×(-4)=λ -2=0, ∴λ =2. 类型三 三点

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