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山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编3:三角函数


山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 3: 三角函数
一、选择题 1 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 ? , ? ? (0,

?
2

) ,满足
( )

tan(? ? ? ) ? 4 tan ? ,则 tan ? 的最大值是
A.

1 4

B.

3 4

C.

3 2 4

D.

3 2

【答案】 B

由 tan(? ? ? ) ? 4 tan ?

tan ? ? tan ? 3 tan ? , ? 4 tan ? ,得 tan ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 4 tan 2 ?
所 以





? ? ? (0, )
2

,

tan ? ? 0

.





tan? ?

3 1 ? 4 tan? tan ?

? 2

3 1 ? 4 tan? tan ?

?

1 3 ,当且仅当 ? 4 tan ? , 即 tan ? 4

tan 2 ? ?

1 1 3 , tan ? ? 时,取等号,所以 tan ? 的最大值是 ,所以选 4 2 4

B.

2 .(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)定义

a1 a 2 a3 a 4

? a1a4 ? a2 a3 ,若函

数 f ( x) ?

sin 2 x 1

cos2x 3

, 则将 f ( x) 的图象向右平移

?
3

个单位所得曲线的一条对称 ( )

轴的方程是 A. x ?

?
6

B. x ?

?
4

C. x ?

?
2

D. x ? ?

【答案】A

由定义可知, f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,将 f ( x) 的图象向 5? ) , 由 6

右 平 移

?
3

个 单 位 得 到

y ? 2 sin[2(x ?

?
3

)?

?
6

] ? 2 sin(2 x?

2x ?

5? ? 2? k? ? ? k? , k ? Z 得 对 称 轴 为 x ? ? , k ? Z , 当 k ? ?1 时 , 对 称 轴 为 6 2 3 2 2? ? ? ( x? ? ? ,选 3 2 6



A.
3 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 关 于 函 数

f (x)=2( sin x - cos x) cos x 的 四 个 结 论 :P1: 最 大 值 为
f (x) ? 2 sin 2 x ? 1 的 图 象 向 右 平 移

2 ;P2: 把 函 数

? 个 单 位 后 可 得 到 函 数 4

f ( x ) ? 2(sin x ? cos x )cos x
[ k? ?







;P3:















7? 11? k ? ], k ? Z ; P4:图象的对称中心为( ? ? , ?1 ), k ? Z .其中正确 ,k? ? 8 8 2 8
( B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

的结论有 A.1 个 【答案】B

【解析】 因为 f (x)=2 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 所以最大值为 2 ? 1 ,所以 P1 错误.将 f (x) ? 得 到

2 sin (2x ?

?
4

) ?1 ,

2 sin 2 x ? 1 的图象向右平移

4 .(山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)一已知倾斜角为 ? 的

x ?2 ? ( , 2 所 以 ) P2 1 错 误 . 由 2 ? ? ? ? 3? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 2k? , 解 得 增 区 间 为 ? ? k? ? x ? ? k? ,k ? Z , 即 2 4 2 8 8 ? 3? ? [ ? ? k? , ? k? ]k ? Z , 所 以 p3 正 确 . 由 2x ? ? k? ,k ? Z , 得 8 8 4 k ? k ? B. x ? ? ? , k ? Z ,所以此时的对称中心为 ( ? ? , ?1) ,所以 p4 正确,所以选 2 8 2 8
( D. )

f (x ? )

sin 2 x? 2 ( ? ? ) sin 1 4

?

?

? 个单位后 4

直线 l 与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,则 tan 2? 的值为 A.

4 5

B.

4 3

C.

3 4

2 3

【答案】B

【 解析 】直 线的斜率 为

1 1 , 即 直 线 l 的 斜 率 为 k ? tan ? ? , 所以 2 2
B.

1 2? 2 tan ? 2 ? 1 ? 4 ,选 tan 2? ? ? 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 3 3 2 4

5 . (山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) 设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,

?

?

若 a ? b ,则 tan ? ? ? A. ?

?

?

? ?

??

? 等于 4?
1 3
C. ?3 D.3





1 3

B.

【答案】B

b ? 2 cos? ? sin? ? 0 , 即 tan ? ? 2 . 所 以 【 解 析 】 因 为 a ? b , 所 以 a?
tan(? ?

?

?

? ?

?
4

)?

6 .(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)下列函数中周期为 ? 且为偶函数

tan ? ? 1 2 ? 1 1 ? ? ,选 B. 1 ? tan ? 1? 2 3

的是 A. y ? sin( 2 x ?
【答案】A





?
2

)

B. y ? cos(2 x ?

?
2

)

C. y ? sin( x ? ( )

?

y ? sin(2 x ? ) ? ? cos 2 x 为偶函数,且周期是 ? ,所以选 2

?

2

A.
7 . ( 山 东 省 淄 博 市 2013 届 高 三 复 习 阶 段 性 检 测 ( 二 模 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 函 数

? ? ?? f ? x ? ? 2 x ? t a nx在 ? ? , ? 上的图象大致为 ? 2 2?

【答案】C

函数 f ? x ? ? 2 x ? tan x 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除 A,

B.当 x ?
( )

?
2

时,

8 .(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理

3 4 ? A.)已知 ? ? (? , ? ), cos ? ? ? , 则 tan( ? ? ) 等于 2 5 4 1 1 A.7 B. C. ? 7 7
【答案】B

( D. ? 7



【解析】 因为 ? ? (? , ? ), cos ? ? ?

3 2

4 3 3 , 所以 sin ? ? 0 ,即 sin ? ? ? , tan ? ? .所以 5 5 4

3 1? 1 ? tan ? 4 ? 1 ,选 B . tan( ? ? ) ? ? 4 1 ? tan ? 1+ 3 7 4

?

9 . ( 山 东 省 滨 州 市 2013 届 高 三 第 一 次 ( 3 月 ) 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( 其中 A >0, ? <
图象,只需将 f ( x) 的图象

π 的图象如图所示 , 为了得到 g ( x) ? sin 3 x 的 2

( A.向右平移



π 个单位长度 4

B.向左平移

π 个单位长度 4

π 个单位长度 12 T 5? ? ? 2? 2? 【答案】 C 由图象可知 , A ? 1, ? , 所以 ? ? 3 , 所以 ? ? ,即 T ? ? 4 12 4 6 3 ? 5? 5? 5? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 , 所 以 f ( x) ? sin(3x ? ? ) , 又 f ( ) ? sin(3 ? 12 12 4 5? 3? ? π ? ?? ? ? 2 k? , k ? Z , 即 ? ? ? 2 k? , k ? Z , 又 ? < , 所 以 ? ? , 即 4 2 4 2 4
C.向右平移 D.向左平移

π 个单位长度 12

f ( x) ? sin(3 x ? ) .因为 g ( x) ? sin 3 x ? sin(3 x ? ? ) ? sin[3( x ? ) ? ] ,所以 4 4 4 12 4 π 只需将 f ( x) 的图象向右平移 个单位长度,即可得到 g ( x) ? sin 3 x 的图象,选 C. 12
10 . (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题) 当 x ?

?

?

?

?

?

?

4

时 , 函数

? 3? ? f ? x ? ? Asin ? x ? ? ?? A ? 0? 取得最小值,则函数 y ? f ? ? x? 是 ? 4 ?
A.奇函数且图像关于点 ?





?? ? , 0 ? 对称 ?2 ?

B.偶函数且图像关于点 ?? , 0 ? 对称

C.奇函数且图像关于直线 x ?
【答案】C

?
2

对称

D.偶函数且图像关于点 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?2 ?



x?

?
4

时 , 函 数

f

? ?x?
,

sA i? n ? ? ?? x


0 ?? A取

得 最 小 值 , 即

?
4 f

?? ? ?

?
2 s

? 2k? , k ? Z 3? iA ? n? 4

? ? ?x

3? , 所 以 ? 2k? , k ? Z 4 3? 3? 3? ( x ? , 所以 ? y )? A f( ?0 x) ? Asin( ? x ? ) ? ?A sinx, 4 4 4

? ??

所以函数为奇函数且图像关于直线 x ?

?

2

对称,选

C.
2 x 2 ?1

11 .(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题) 已知函数 f ( x) ? e

,若 ( )

f [cos( ? ? )] ? 1 ,则 ? 的值为 2
A. k ? ?

?

?

4

B. k ? ?

?
4

C.

k? ? ? 2 4

D. k? ?

?
4

(其中 k∈Z)

【 答 案 】 C 由 f ( x) ? e

2 x 2 ?1

c o s 2 (? ? ?) c? os ?( ? ? 2 ? ) 2 k? ? ?? ? , k ? Z ,选 2 4

?

? 1 , 得 2 x 2 ? 1 ? 0 , 即 2 cos 2 ( ? ? ) ? 1 ? 0 , 所 以 2
, 所 0 以 2? ? ? c o? s2 C.

?

?

2

? k? , k ? Z

, 即

12. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学) 设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处

切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x g ( x ) 的部分图象可以为.
2

【答案】C

y ' ? cos x ,即 g ( x) ? cos x ,所以 y ? x 2 g ( x) ? x 2 cos x ,为偶函数,图象关
B . 当 y ? x cos x ? 0 , 得 x ? 0 或
2

于 y 轴对称,所以排除 A,

x?
A.

?
2

? k? , k ? Z ,即函数过原点,所以选

C. ( )

13.(山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)在△ABC 中,内角

B . C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 且 ( ) D.等边三角形

2c 2 ? 2a 2 ? 2b 2 ? ab ,则△ABC 是
A.钝角三角形 【答案】A 【 解 析 】 由 B.直角三角形

C.锐角三角形

1 2c 2 ? 2a 2 ? 2b 2 ? ab 得 , a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ab , 所 以 2 1 ? ab 2 2 2 a ?b ?c 1 cos C ? ? 2 ? ? ? 0 , 所以 90? ? C ? 1800 , 即三角形为钝角三角 2ab 2ab 4

2

形,选 A.
14.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)函数 y ? cos ( x ?



?
4

) 的图象沿 x 轴
( )

向右平移 a 个单位 (a ? 0) ,所得图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为 A. ? B.

3? 4

C.

?
2

D.

?
4

1 ? cos(2 x ? ) 2 2 ? 1 ? sin 2 x ? 1 ? 1 sin 2 x ,函数向右平 【答案】 D y ? cos ( x ? ) ? 4 2 2 2 2 1 1 1 1 移 a 个单位得到函数为 y ? ? sin 2( x ? a ) ? ? sin(2 x ? 2a) ,要使函数的图象关 2 2 2 2 ? ? k? 于 y 轴对称,则有 ?2a ? ? k? , k ? Z ,即 a ? ? ? , k ? Z ,所以当 k ? ?1 时,得 2 4 2

?

?

a 的最下值为

?
4

,选 D.

15.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)函数

f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? (其中

A ? 0, ? ?


?
2

)的图象如图所示,为了得到 g ? x ? ? sin 2 x 的图象,则只需将 f ? x ? 的图

( A.向右平移 C.向左平移
【答案】A



? ?
6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

?
12

个长度单位 个长度单位

?

6

12

T 7? ? ? 2? ,所以 ? ? 2 ,所以函 ? ? ? ,即周期 T ? ? ? 4 12 3 4 ? 7? 7? ? 数为 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 又 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? ?1 , 即 sin( ? ? ) ? 1 , 所以 12 12 6
【解析】 由图象可知 A ? 1 ,

?

6

?? ?

?

时, ? ?

?

2

? 2 k? , k ? Z , 即 ? ?

?

3

,所以 f ( x) ? sin(2 x ?

?

3

? 2 k? , k ? Z , 因 为 ? ?

?

f ? x ? 的图象向右平移
A.

?
6

) . g ? x ? ? sin 2 x ? sin[2( x ? ) ? ] ,所以只需将 3 6 3
( )

?

2

, 所 以 当 k ?0

?

,即可得到 g ? x ? ? sin 2 x 的图象,所以选

16.(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)将函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) 的图
( )

象向右平移

?
6

个单位后,所得的图象对应的解析式为

A. y ? sin 2 x
【答案】D

B. y ? cos 2 x

C. y ? sin(2 x ?

2? ) 3

D. y ? sin(2 x ?



解析】将函数

个单位得到 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的 图 象 向 右 平 移 6 6

?

?

f ( x) ? sin[2(x ?

?
6

)?

?
6

] ? sin(2x ?

?
6

) ,选

D.

17.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知 ?ABC 中,三

个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 ?ABC 的面积为 S,且 2 S ? ? a ? b ? ? c , 则 tan C
2 2

等于 A.





3 4

B.

4 3


C. ?
2

4 3

D. ?

3 4

【 答 案 】 C

2 S ? ? a ? b ? ? c 2 得 2S ? a2 ? b2 ? 2ab ? c2 , 即
2 2 , b 又 2 ? a b ?2 a ?

1 b i ? nC 2 ? ab sin C ? a 2 ? b2 ? 2ab ? c 2 , 所 以 a s 2

c

a 2 ? b 2 ? c 2 ab sin C ? 2ab sin C s iC n , 即 cos C ? ? ? ? 1 , 所 以 c oCs? ? 1 2ab 2ab 2 2

C 2 tan C C C C 2 ? 2 ? 2 ? ? 4 ,选 2cos2 ? sin cos ,所以 tan ? 2 ,即 tan C ? C 1 ? 22 2 2 2 2 3 1 ? tan 2 2
18.(山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学(理))要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的

C.

图象,只要将函数 y ? sin 3 x 的图象 A.向左平移 2 个单位 B.向右平移 2 个单位 D.向右平移





2 C.向左平移 个单位 3
【答案】D

2 个单位 3

【 解析】 因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平 移

2 3

2 个单位,即可得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选 3

D.
2

19.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)函数 y ? 1 ? 2sin ( x ?

?
4

)是





A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为
【答案】B

?

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为

2

的偶函数

?

2

的奇函数

【 解 析 】 y ? 1 ? 2 sin 2 ( x ?

?
4

) ? cos 2(x ?

?
4

) ? cos(2x ?

?
2

) ? sin 2x , 所 以 周 期

T?

2?

?

?

2? ? ? ,所以函数为奇函数,所以选 2

B.

20. (山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(?>0) 的

π 6

最小正周期为 4 π ,则





π A.函数 f ( x) 的图象关于点( , 0 )对称 3

B.函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? C.函数 f ( x) 的图象向右平移

π 对称 3

π 个单位后,图象关于原点对称 3

D.函数 f ( x) 在区间 (0,π ) 内单调递增
【答案】 C 因为函数的周期 T ?

2?

? 1 ? ? ? 3 时, f ( ) ? sin( ? ? ) ? sin ? ,所以 A ,B 错误.将函数 f ( x) 的 3 3 2 3 6 3 2 π 1 ? ? 1 图象向右平移 个单位后得到 f ( x) ? sin[ ( x ? ) ? ] ? sin( x) ,此时为奇函数,所以 3 2 3 6 2 选 C.

x?

?

?

? 4? , 所以 ? ?

1 1 ? , 所以 f ( x) ? sin( x ? ) . 当 2 2 6

21. (山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) ) 已知 ? ? ? ? ,

? ?

3 ? 4 ? ?, cos ? ? ? , 2 ? 5
( )

则 tan( A.7

?
4

? ? ) 等于
B.

1 7

C. ?

1 7

D. ? 7

【答案】B

【 解 析 】 因 为 ? ? ? ? , ? ?, cos ? ? ?

? ?

3 ? 2 ?

4 , 5

所 以 sin ? ? ?

3 3 , tan ? ? . 所 以 5 4

3 ? 4 4 ? 1 ,选 tan( ? ? ) ? ? ? 3 7 4 1 ? tan tan ? 1 ? 4 4 tan ? tan ? 1?

?

B.

22. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 已知 sin( x ?

?
4

)??

5 , 则 sin 2 x 13

的值等于 A.
120 169

( B.
119 169



C. ?

120 169

119 D. ? 169

【答案】D

? 5 【 解 析 】 因 为 sin( x ? ) ? ? , 所 以
4 13

2 5 ,两边平方得 (sin x ? cos x) ? ? 2 13
D.

119 1 25 ,解得 sin 2 x ? ? ,选 (1 ? sin 2 x) ? 169 2 169

23 . ( 2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学) 函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( 其中

A>0, | ? |?

?
2

)的部分图象如图所示,为了得到 g( x ) ? cos 2 x 的图象,则只要将 f ( x ) 的

图象

( A.向左平移 C.向左平移



?
?
12 6

个单位长度

B.向右平移 D.向右平移

?
12

个单位长度 个单位长度

个单位长度

?

【答案】 A 由图象可知 A ? 1 ,

T 7? ? ? 2? ? ? ? , 所以 T ? ? . 又 T ? ? ? , 所以 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? ? ? 2 , 即 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) . 又 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 , 所以 12 12 6 7? 3? ? ? , 即 ?? ? ? 2 k? , k ? Z , 即 ? ? ? 2 k? , k ? Z , 所 以 ? ? 6 2 3 3 f ( x) ? sin(2 x ? ) . 因为 g ( x) ? cos 2 x ? sin( ? 2 x ) ? sin[2( x ? ) ? ] , 所以直 3 2 12 3

6

?

?

?

?

线将 f ( x) 向左平移 A.

?

12

个单位长度即可得到 g ( x) 的图象,选





24 . ( 【 解 析 】 山 东 省 济 宁 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 现 有 四 个 函

数:① y ? x? | cos x | ④ y ? x?2 的图象 ( 部分 ) 如下 , 但顺 sin x ② y ? x? cos x ③ y ? x?
x

序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是

( A.④①②③ 【答案】C B.①④③② C.①④②③ D.③④②①



【解析】 ①为偶函数,②为奇函数,③为奇函数,且当 x ? 0 时 y ? 0 ,④为非奇非偶函数. 所以对应的顺序为①④②③,选 边长的 5 倍,那么顶角的余弦值为 A. C. ( C. )

25.(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)一等腰三角形的周长是底

5 18

B.

3 4

3 2

D.

7 8

【答案】D

【 解 析 】 设 底 边 长 为 x , 则 两 腰 长 为 2x , 则 顶 角 的 余 弦 值

cos ? ?

(2 x) 2 ? (2 x) 2 ? x 2 7 ? .选 2 ? 2x ? 2x 8

D.

26.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)函数 y ?

x ? sin x 的图 3

象大致是

【答案】C

【 解析】函数 y ? f ( x) ?

x ? sin x 为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 3

B.当 x ? ?? 时

27 . ( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在

?ABC中,?A=60? , AB ? 2 ,且 ?ABC 的面积为
A. 3
【答案】A

3 ,则 BC 的长为 2
D.7





B.3

C. 7

1 1 3 3 S ? ? AB ? AC sin 60? ? ? 2 ? AC ? 2 2 2 2

,





AC ? 1

,





B 2C ?
A.

2 A ?B

22? A C

? BC ,,所以 c ? o A sB 6 A 0 ? C? 33 ,选





28.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 sin(

?
4

? x) ?

3 , 5
( )

则 sin 2 x 的值为 A. ?

24 25

B.

24 25

C. ?

7 25

D.

7 25

【答案】C

? ? ? ? 7 sin 2 x ? sin[2( x ? ) ? ] ? ? cos 2( x ? ) ? ?[1 ? 2sin 2 ( x ? )] ? ? 【 解析】 4 2 4 4 25 ,
选 C.
29. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)若函数 f(x)=2sin ?x(? ? 0) 在

区间 [?

? ?

, ] 上单调递增,则 ? 的最大值等于 3 4





A.

2 3

B.

3 2

C.2

D.3

T T , ] 上递增 , 所以要使函数 f(x)=2sin ?x(? ? 0) 在区间 4 4 ? ? ? T 4? 2? 4? 3 , 所以 T ? , 解得 ? ? , [? , ] 上单调递增 , 则有 ? ? ? , 即 T ? ? 3 4 3 4 3 ? 3 2 3 所以 ? 的最大值等于 ,选 B. 2
【答案】 B 因为函数在 [ ? 30 . ( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若

? ? , ? ? ( , ? ), 且 tan ? ? cot ? , 那么必有
2
A. ? ? ? ?
【答案】B

( D. ? ? ?



?
2

B. ? ? ? ?

3 ? 2

C. ? ? ?

【解析】因为 cot ? = tan (

?

2 2 ? ? 3? ? 所以 ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ? ,而函数 y ? tan x 在 x ? ( , ? ) 上单调递增,所 2 2 2 2 3? 3? 3? 以由 tan ? ? cot ? ,即 tan ? ? tan 可得 ? ? ,选 B. ( ? ?) ? ? ,即 ? ? ? ? 2 2 2
31. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学 (理) 试题) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其

? ?) = tan (? ?

?

? ?) = tan (

3? ? ,因为 ? ? ? ? , ? ?) 2 2

中 A>0, ? <

?
2

)的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin2x 的图象,则只需将 f ( x) 的图象

( A.向右平移 C.向左平移
【答案】A



? ?
6

个长度单位 个长度单位

B.向右平移 D.向左平移

? ?
3 3

个长度单位 个长度单位

6

T 7? ? ? 2? ,所以 ? ? 2 , ? ? ? , 即 T ? ? ,又 T ? ? ? 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 所 以 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 由 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? ?1 , 得 in( ? ? ) ? ?1 , 即 12 12 6 7? 3? ? ? ? , 所 以 ?? , 所 以 ?? ? ? 2 k? , 即 ? ? ? 2 k? , 因 为 ? ? 6 2 3 2 3
【解析】由图象可知 A ? 1,

f ( x) ? sin(2x ?

?

) . 因为 g ( x) ? sin 2 x ? sin[2( x ? ) ? ] , 所以只需将 f ( x) 的图 3 6 3

?

?

象向右平移 A.

?
6

个长度单位,即可得到 g ( x) ? sin 2 x 的图象,所以选





32. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学) 右图是函数 y ? A sin(? x ? ? )( x ? R )

在区间 [? ? , 5? ] 上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将 6 6

y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点

( A.向左平移



?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

B.向左平移

?
3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

C.向左平移

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2

D.向左平移 2 倍,纵坐标不变 【答案】A 由 图 象 知 A ?1 , T ?

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的

5? ? 2? ? (? ) ? ? , T ? ?? , 所 以 ? ? 2 . 所 以 6 6 ?

y ? f ( x) ? sin(2x ? ? ) .由 2 ? (? ) ? ? ? 0 ,得 ? ? ,所以 y ? f ( x) ? sin(2 x ? ) . 6 3 3
所以为了得到这个函数的图象,只需将 y ? sin x( x ? R ) 的图象上所有的点向左平移

?

?

?

?
3
( )

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 A.
33.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A.)函数 y ? x sin x 在

1 倍,纵坐标不变,选 2





?? ? , ? ? 上的图象是

【答案】A

【解析】函数 y ? x sin x 为偶函数,所以图象关于 y 对称,所以排除 A.
34.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A.)要得到函数 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,只要将函数 y ? sin 3 x 的图象

D.当 x ?

?
2

时, y









A.向左平移 2 个单位 C.向左平移
【答案】D

B.向右平移 2 个单位 D.向右平移

2 个单位 3

2 个单位 3

【解析】因为 y ? sin(3 x ? 2) ? sin 3( x ? ) ,所以只需将函数 y ? sin 3 x 的图象向右平 移

2 3

2 个单位,即可得到 y ? sin(3 x ? 2) 的图象,选 3

D.

35. (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), (| ? |?

?
2

)
( )

向左平移

? ? ?? 个单位后是奇函数,则函数 f ( x) 在 ? 0, ? 上的最小值为 6 ? 2?
B. ?

A. ?

3 2

1 2

C.

1 2

D.

3 2

【答案】A

函 数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), (| ? |?

?
2

) 向左平移

? 个单位后得到函数为 6

? ? ,所以当 k ? 0 时, ? ? ? , 3 3 2 3 ? ? ? ? 2? ? ? 所以 f ( x) ? sin(2 x ? ) .当 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? ,即当 2 x ? ? ? 时, 3 2 3 3 3 3 3

?

f ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ? ? ] ? sin(2 x ? ? ? ) , 因 为 此 时 函 数 为 奇 函 数 , 所 以 6 6 3 ? ? ? k? , k ? Z ,所以 ? ? ?

?

?

?

?

? k? , k ? Z .因为 | ? |?

函数 f ( x) ? sin(2 x ? A.
二、填空题

?

? 3 ,选 ) 有最小值为 sin(? ) ? ? 3 2 3





36. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)函数 y

? sin( x ? ? ) (? ? 0) 的部 2

?

分 图 象 如 图 所 示 , 设 P 是 图 象 的 最 高 点 , A, B 是 图 象 与

x

轴的交点,则

tan ?APB _______________.

【答案】 ?2

函 数 的 最 大 值 是 1, 周 期 T ?

2?

?

? 4 , 则 AD ?

T ? 1 , BD ? 3, PD ? 1 , 则 4

2 AD BD tan ?APD ? ? 1, tan ?BPD ? ? 3, 所以 tan ?APB ? tan(?APD ? ?BPD) PD PD tan ?APD ? tan ?BPD 1? 3 ? ? ? ?2 . 1 ? tan ?APD ? tan ?BPD 1 ? 1? 3
37 . ( 山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

? ?? ? ? f ( x) ? 2sin 2 ( ? x ) ? 3 cos 2 x ? 1 , x ? ? , ? ,则 f ( x) 的最小值为_________. 4 ?4 2?
【答案】1

【 解析】 f ( x) ? 2sin 2 (

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? 1 ? cos 2(

?
4

? x) ? 3 cos 2 x ? 1

? ? ? ? cos( ? 2 x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) , 因为 ? x ? , 4 2 2 3
所以

?

?

?
6

? 2x ?

?
3

?

以 1 ? 2sin(2 x ?

?
3

2? ? ? ? 1 ? , 所以 sin ? sin(2 x ? ) ? sin , 即 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 所 3 6 3 2 2 3

) ? 2 ,即 1 ? f ( x) ? 2 ,所以 f ( x) 的最小值为 1.

38.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)设 y ? f (t ) 是某港口水的深

度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记

录的时间 t 与水深 y 的关系:

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y ? h ? A sin(? x ? ? ) 的图象.最 能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______.
【答案】 y ? 5.0 ? 2.5sin

?
6

t 2?

由数据可知函数的周期 T ? 12 ,又 T ? 12 ?

?

,所以 ? ?

?
6

.函数的最大值为 7.5 ,最

小 值 为 2.5 , 即 h ? A ? 7.5, h ? A ? 2.5 , 解 得 h ? 5.0, A ? 2.5 , 所 以 函 数 为

y ? f ( x) ? 5.0 ? 2.5sin( t ? ? ) , 又 y ? f (3) ? 5.0 ? 2.5sin( ? 3 ? ? ) ? 7.5 , 所 以 6 6 sin( ? ? ) ? cos ? ? 1 , 即 ? ? 2k? , k ? Z , 所以最能近似表示表中数据间对应关系的 2
函数是 y ? 5.0 ? 2.5sin

?

?

?

?

6

t.

39 . ( 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 5 月 高 考 模 拟 理 科 数 学 ) 若 tan( π ??) ? 2 , 则

sin 2? ? ___________. 4 【 答 案 】 ? 5
sin 2? ?



tan( π ??) ? 2



tan ? = ? 2

,





2 sin? cos? 2 tan? 2 ? ? ( 2) 4 ? ? ?? . 2 2 2 2 sin ? ? cos ? 1? tan ? 1 ? ( ? 2) 5

40. (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)在 ?ABC 中,角 A,B,C 新对的边分

别为 a,b,c,若 a cos B ? b cos A ? c sin C ,

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc ,则角 B=________.
【 答 案 】 60 由
?

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc 得 cos A ?

b2 ? c2 ? a 2 3bc 3 ,所以 ? ? 2bc 2bc 2
, 即

A ? 30? . 由 正 弦 定 理 得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C

sin( A ? B) ? sin C sin C ? sin C ,解得 sin C ? 1 ,所以 C ? 90? ,所以 B ? 60? .
41.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)如图,将边长为 1cm 的正方形

ABCD 的四边沿 BC 所在直线 l 向右滚动(无滑动),当正方形滚动一周时,正方形的顶点 A 所经过的路线的长度为_______cm.

【答案】

2 ? ?? 2
所 以 AC=

AB=1cm,

AC ? 2cm















是:

1 1 2 ? 2? ( 2) ? ? 2? ? 2 ? ? ?? . 4 4 2

42.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A))已知三角形的一边长为 4,所对

角为 60°,则另两边长之积的最大值等于. 【答案】16 【 解 析 】 设 另 两 边 为 a, b , 则 由 余 弦 定 理 可 知 42 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 60? , 即

16 ? a 2 ? b 2 ? ab , 又 16 ? a 2 ? b 2 ? ab ? 2ab ? ab ? ab , 所 以 ab ? 16 , 当 且 仅 当

a ? b ? 4 时取等号,所以最大值为 16.
43.(山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)在△ABC 中,角 A,B,C

的对边为 a,b,c,若 a ? 3, b ?
【答案】 60 或 120
? ?

2, B ? 45? ,则角 A=_______.

【解析】 由正弦定理可知

3 2 3 a b ,即 ,因为 ? ? 2 ,所以 sin A ? ? ? sin A sin 45 2 sin A sin B

a ? b ,所以 A ? 45? ,所以 A ? 60? 或 A ? 120? .
三、解答题 44.(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)

已知 m ? (2 cos x ? 2 3 sin x , 1) , n ? (cos x ,? y ) ,且 m ? n . (1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的单调增区间; (2) 已 知 a , b , c 分 别 为 ?ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 对 应 的 边 长 , 若 f ( ) ? 3 , 且

??

?

A 2

a ? 2 , b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
【答案】解:(1)由 m ? n 得 m ? n

??

?

? 0 ,? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0

即 y ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ?1

∴? ∴?

?

?

2 3

? 2 k? ? 2 x ? ? k? ? x ? A 2

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

?
6

? k? , k ? Z ,即增区间为 [?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z

(2)因为 f ( ) ? 3 ,所以 2sin( A ? ∴ A?

?

?
6

? 2k? ?

?
2

) ? 1 ? 3 , sin( A ? ) ? 1 , 6 6

?

,k ? Z

因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,即 4 ? b 2 ? c 2 ? bc ∴ 4 ? (b ? c) ? 3bc ,因为 b ? c ? 4 ,所以 bc ? 4
2

∴ S? ABC ?

1 bc sin A ? 3 2

45 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 3 sin

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2 ,1) .

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) . 其图象的两个相

邻对称中心的距离为

?
2

,且过点 (

?
3

(I) 函数 f ( x) 的达式; (Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 5 , S ?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐 角.且满 f (

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

【答案】解:(Ⅰ) f ( x ) =

3 1 sin( wx + j ) + [1 - cos( wx + j ) ] 2 2

= sin( wx + j -

π 1 )+ 6 2

π Q 两个相邻对称中心的距离为 ,则 T = π , 2

\

2π = π, Q w>0, \ w=2 , |w|
π 3

又 f ( x ) 过点 ( ,1) ,

骣 骣 2π π 1 π 1 , \ sin 珑 - +j 鼢 + = 1, 即 sin + j = 鼢 珑 鼢 2 珑 桫 桫 3 6 2 2
\ cos j = 1 , 2

Q0< j <
(Ⅱ) f 珑 珑珑

π π π 1 , \ j = , \ f ( x ) = sin(2 x + ) + 2 3 6 2

骣 C 桫 2

骣 π π π鼢 1 1 7 = sin C - + + = sin C + = , 鼢 鼢 桫 6 6 12 2 2 6

\ sin C =

2 , 3

Q0< C <
又a =

π 5 , , \ cos C = 2 3
1 1 2 ab sin C = 创 5 b ? 2 2 3
2 2

5, SD ABC =

2 5,

\ b = 6,
由余弦定理得 c = a + b - 2ab cos C = 21 ,
2

\ c=

21

46.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边

分别为 a,b,c,已知 3 sin2A=1-cos2A. (1)求角 A 的值; (2)若 a ? 1, B ?
【答案】

?
4

,求 b 的值.

47 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 ( A ) ) 已 知 函 数

f ( x) ? cos(?x ?

?
6

) ? cos(?x ?

?
6

) ? sin ?x(? ? 0, x ? R) 的最小正周期为 2? .

(I)求函数 f ( x) 的对称轴方程;

(II)若 f (? ) ?
【答案】

6 ? ,求 cos( ? 2? ) 的值. 3 3

48 . ( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知

?? ? x ? ? ? m ? ? As i n A , ? n, ? ? 3 ? ? ?
(1)求 A 的值; (II)设 ? 、 ? ? ?0,
【答案】由题意得

?? ? x? ?? ? 3, co , ?? ?s f ? x,? ? m ? n 且f ? 3? ? 4?

2.

30 ? ?? , f ? 3? ? ? ? ? , ? 17 ? 2?

7 ? 8 ? f ? 3? ? ? ? ? ? , 求 cos ?? ? ? ? 的值. 2 ? 5 ?

49.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)已知函数 f ( x ) ? cos

x x ? 3 sin . 2 2

(I)若 x ? [ ? 2? , 2? ] ,求函数 f ( x ) 的单调减区间; (Ⅱ) 在 △ABC 中 ,a,b,c 分 别 为 角 A,B,C 的 对 边 , 若

2 4 f ( 2 A ? ? ) ? ,sin B ? 5 cos C,a ? 2 ,求△ABC 的面积. 3 3
【答案】

50.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为

a,b,c,已知角 A ? (1)求 tan C 的值; (2)若 a ?
【答案】

?
3

,sin B ? 3sin C.

7, 求△ABC 的面积.

51 . ( 山 东 省 德 州 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 校 际 联 考 数 学 ( 理 ) ) 若 函 数

f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? m 在区间 [0, ] 上的最大值为 2,将函数 f ( x) 图象上所 2
有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变),再将图象上所有的点向右平移 得到函数 g ( x) 的图象. (1)求函数 f ( x) 解析式; (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,又 g ( 面 积等于 3,求边长 a 的值,
【答案】

?

?

6

个单位,

?

8 ? A) ? , b ? 2 ,△ABC 的 2 5

52 . ( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 3 月 诊 断 性 测 试 数 学 理 试 题 ) 已 知 平 面 向 量 a

=(cos

f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点( (1)求 ? 的值; (2)先将函数 y=f(x)的图像向左平移

? ,sin ? ),b=(cosx,sinx),c=(sin ? ,-cos ? ), 其 中 0< ? < ? , 且 函 数 ?
6
,1).

? 个单位,然后将得到函数图像上各点的横坐标 12 ? 变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像,求函数 y=g(x)在[0, ]上的最 2
大值和最小值.
【答案】

53.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 ?ABC 的角 A、B、

C, 所 对 的 边 分 别 是

a 、 b 、 c, 且

C?

?
3

, 设 向 量

?? ? ? ? m ? (a, b), n ? (sin B, sin A), p= ( b-2,a-2) .
(1)若 m / /n ,求 B; (2)若 m ? p,S?ABC ? 3 ,求边长 c.
【答案】证明:(1)? m // n,? a sin A ? b sin B

?? ?

?

?? ?

?

由正弦定理得

a 2 ? b 2即a ? b
又? c ?

?
3

? ?ABC为等边三角形 B?

?
3

由题意可知 m. p ? 0,即a (b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

? a ? b ? ab ①
由正弦定理和①②得, 3 ?

1 . sin c.ab 2

?C ?

?
3

,? sin C ?

3 2

? ab ? 4 ②
? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? 16 ? 12 ? 4 ?c ? 2
54.(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)设

f ( x) ? 6 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x .
(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;

(Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

?
3

个单位,得 y ? g ( x) 的图象 ,求

F ( x) ?

g ( x) ? 3 2 3x

x?


?
4 处的切线方程. (1 ? cos 2 x) ? ? 3 sin 2 x ? 2 3 cos(2 x ? ) ? 3 , 2 6

【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? 6

故 f(x)的最小正周期 T ? ? , 由 ? ? ? 2k? ? 2 x ?

?

6

? 2k? 7? ? , k? ? ]?k ? Z ? 12 12

得 f(x)的单调递增区间为 [k? ?

(Ⅱ)由题意: g ( x) ? 2 3 cos[2( x ?

?

) ? ] ? 3 ? 2 3 sin 2 x ? 3 , 3 6

?

F ( x) ?
F ' ( x) ?

g ( x) ? 3 2 3x

?

sin 2 x , x

2 x cos 2 x ? sin 2 x , x2

因此切线斜率 k ? F ' ( ) ? ?

?

16

4

?2

,

切点坐标为 (

? 4 , ), 4 ?
4

故所求切线方程为 y ? 即 16 x ? ? y ? 8? ? 0
2

?

??

16

?

2

(x ?

?
4

),

55 . (山 东省淄 博市 2013 届高三 复习阶 段性检 测( 二模) 数学( 理)试 题) 已知函数

f ? x ? ? 3 sin ? x? cos ? x ? cos 2 ? x ?
(I)求 f ? x ? 的表达式; (II)将函数 f ? x ? 的图象向右平移

1 ? ?? ? 0 ? ,其最小正周期为 . 2 2

? 个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 8

倍 ( 纵坐标不变 ), 得到函数 y ? g ? x ? 的图象 , 若关于 x 的方程 g ? x? ? k ? 0 , 在区间

? ?? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 0, ? ? 2? ?
【答案】解:(I)

f ( x ) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x ?

1 2

?

3 cos 2? x ? 1 1 ? sin 2? x ? ? ? sin(2? x ? ) 2 2 2 6

由题意知 f ( x) 的最小正周期 T ? 所以 ? ? 2 所以 f ? x ? ? sin ? 4 x ?

?
2

,T ?

2? ? ? ? ? 2? ? 2

? ?

??
? 6?

? ? 个单位后,得到 y ? sin(4 x ? ) 的图象,再将所得图象 8 3 ? 所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图象. 3 ? 所以 g ( x) ? sin(2 x ? ) 3 ? ? ? 2? 因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? . 3 3 3 2
(Ⅱ)将 f ( x) 的图象向右平移个

? ?? g ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有且只有一个实数解,即函数 y ? g ( x) 与 y ? ? k 在区间 ? 2? ? ?? 0, ? 上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知 ? 3 ? ?k ? 3 或 ?k ? 1 ? ? 2? 2 2

所以 ?

3 3 或 k ? ?1 . ?k? 2 2

56( .山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,

已知 A ?

π π π , b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4 4

(Ⅰ)求 B 和 C; (Ⅱ)若 a ? 2 2 ,求△ABC 的面积.
【答案】解:(Ⅰ)由 b sin(

π π ? C ) ? c sin( ? B) ? a, 用正弦定理得 4 4 π π sin B sin( ? C ) ? sin C sin( ? B) ? sin A. 4 4

∴ sin B sin(

2 2 2 2 2 cos C ? sin C ) ? sin C ( cos B ? sin B) ? , 2 2 2 2 2

即 sin B cos C ? cos B sin C ? 1, ∴ sin( B ? C ) ? 1. ∵ 0<B, C< π , ∴ ? π <B ? C< π , ∴B?C ? 又A?

3 4

3 4

3 4

π . 2

π 3 ,∴ B ? C ? π , 4 4 5 π 解得 B ? π , C ? . 8 8 5 π (Ⅱ)由(Ⅰ) B ? π , C ? ,由正弦定理, 8 8 5 2 2 ? sin π a sin B 8 ? 4sin 5π. 得b ? ? π sin A 8 sin 4 1 1 5 π ∴△ABC 的面积 S ? ab sin C ? ? 2 2 ? 4sin π sin 2 2 8 8 5 π π π ? 4 2 sin π sin ? 4 2 cos sin 8 8 8 8 π ? 2 2 sin ? 2. 4

?ABC 的内角A、 57( .山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理) B、 C 所对的边分别为a, b, c ,

且a sin A ? b sin B ? c sin C ? 2a sin B (I)求角 C; (II)求 3 sin A ? cos ? B ?
【答案】

? ?

??

? 的最大值. 4?

58 . (【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ) 在△ABC 中 , 已知

A=

2 5 ? , cos B ? . 5 4
(Ⅱ)若 BC=2 5 ,D 为 AB 的中点,求 CD 的长.
2 5 5 ? ? 且 B ? (0 ,180 ) ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B ? 5 5

(I)求 cosC 的值;

【答案】解:(Ⅰ)? cos B ?

3? cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos( ? B) 4

? cos

3? 3? 2 2 5 2 5 10 cos B ? sin sin B ? ? ? ? ? ?? 4 4 2 5 2 5 10
1 ? cos2 C ? 1 ? (? 10 2 3 10 ) ? 10 10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 由正弦定理得

BC

sin A sin C

?

AB

,即
2 5 2 2 ? AB 3 10 10

,解得 AB ? 6

在 ?BCD 中, CD 2 ? (2 5 ) 2 ? 32 ? 2 ? 3 ? 2 5 ?

2 5 ? 5 ,所以 CD ? 5 5

59. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知函数 f ( x ) ? sin ? x (? ? 0)

在区间 [0,

?

? 2? ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递减;如图,四边形 OACB 3 3 3

中, a , b , c 为 △ ABC 的内角 A,B,C 的对边,且满足

4? ? cos B ? cos C sin B ? sin C 3 . ? sin A cos A
(Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ; (Ⅱ)若 b ? c ,设 ?AOB ? ? , (0 ? ? ? ? ) , OA ? 2OB ? 2 ,求四边形 OACB 面积的最 大值.
C

B

O

?

A

4? 3 ,解得: ? ? , ? 3 2 sin B ? sin C 2 - cos B - cos C ? ? sin A cos A ? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A
【答案】解:(Ⅰ)由题意知:

2?

?

? sin ( A ? B) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A

? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2a (Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ ABC 为等边三角形
1 3 SOACB ? S ?OAB ? S ?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4

? sin ? ?

3 (OA2 ? OB 2 -2OA ? OB cos ? ) 4 5 3 ? 5 3 , ? 2sin (? - ) ? 4 3 4

? sin ? - 3 cos ? ?

?? ? (0,? ) ,?? 当且仅当 ? -

?

? 2? ?(- , ), 3 3 3
5 3 5? 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? 4 6

?
3

?

?
2

即? ? ,

60.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的

边分别为 a, b, c , A, B 为锐角且 B ? A , sin A ?

5 , 5

3 sin 2 B ? . 5
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 b ? c ? 5 ? 1 ,求 a, b, c 的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵ A 为锐角, sin A ?

1 2 5 ∴ cos A ? 1 ? ? 5 5 5

∵ B ? A , sin A ?

5 2 ? ? ,∴ B ? 45 5 2

∵ sin 2 B ?

9 4 3 ? ,∴ cos 2 B ? 1 ? 25 5 5
1 1 ? cos 2 B 3 ? , sin B ? 2 10 10
2 3 1 1 2 ? ? ? ?? 2 5 10 5 10

∴ cos B ?

cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ?
∴ C ? 135
?

(Ⅱ)由正弦定理

a b c ? ? ?k sin A sin B sin C
1 2 + )k ,解得 k ? 10 10 2

∴ b ? c ? 5 ? 1=(

∴a ?

2, b ? 1, c ? 5.

61 . (山 东省滨 州市 2013 届高三 第一次 ( 3 月 )模 拟考试 数学( 理)试 题) 已知向量

x x x x m ? ( 3 cos , cos ), n ? (sin , cos ), 函数 f ( x) ? m ? n . 4 4 4 4
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ) 在 锐 角 ? ABC 中 , A, B, C 的 对 边 分 别 是 a , b, c , 且 满 足 a cos C ?

1 c ? b, 求 2

f (2 B) 的取值范围.
【答案】

62.(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分

别为 a, b, c. 且满足 ? 2b ? c ? cos A ? a cos C. (1)求角 A 的大小;

(2)若 b ? 2, c ? 3 ,求 | AB ? AC | .
【答案】解:(1)由正弦定理可得: 2sin B cos A ? sin C cos A ? cos C sin A,

??? ? ????

? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B

1 ? sin B ? 0,? cos A ? . 2 ?A?

?
3

.

??? ? ???? 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? (2) AB ? AC ? AB ? AC ? 2 AB AC cos A

? 7 ? 2 3.

??? ? ???? ? AB ? AC ? 7 ? 2 3
63 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 二 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 2 2 cos( x ? ) cos( x ? ) ? 2 2 sin x cos x . 4 4
(I)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (Ⅱ)在给出的坐标系中画出函数 y ? f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的图象,并说明 y ? f ( x) 的图象 是由 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到的.
【答案】

?

?

64 . ( 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

?? ? f ( x) ? a.b, 其中向量a ? (2 cos x1), b ? (cos x, 3 sin 2 x), x ? R
(1)求函数 f ( x) 的单调减区间; (2)若 x ? [?
【答案】

?
4

, 0] ,求函数 f ( x) 的值域;

65 . ( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 3 sin(? ? ? x) ? sin( ? ? x)(?>0) 的 图 像 上 两 相 邻 最 高 点 的 坐 标 分 别 为 2

?

?? ? 4? , 2? ? , 2? 和? ?3 ? 3
(1)求 ? 的值; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) ? 2 求
【答案】

b ? 2c 的取值范围. a


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