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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.4二次函数与幂函数教案 理 新人教A版

§2.4
2014 高考会这样考

二次函数与幂函数

1.求二次函数的解析式;2.求二次函数的值域或最值,和一元二次方

程、一元二次不等式进行综合应用; 3.利用幂函数的图象、性质解决有关问题. 复习备考要这样做 1.理解二次函数三种解析式的特征及应用;2.分析二次函数要抓住几

个关键环节:开口方向、对称轴、顶点,函数的定义域;3.充分应用数形结合思想把握二次 函数、幂函数的性质.

1. 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如:f(x)=ax +bx+c_(a≠0)的函数叫做二次函数. (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax +bx+c_(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m) +n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)_(a≠0). 2. 二次函数的图象和性质
2 2 2

解析式

f(x)=ax2+bx+c
(a>0)

f(x)=ax2+bx+c
(a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

?4ac-b ,+∞? ? 4a ? ? ?
在 x∈?-∞,- ?上单调递减; 2a? ? 在 x∈?- ,+∞?上单调递增 ? 2a ?

2

?-∞,4ac-b ? ? 4a ? ? ?
在 x∈?-∞,- ?上单调递增; 2a? ? 在 x∈?- ,+∞?上单调递减 ? 2a ?

2

?

b?

?

b?

单调性

?

b

?

?

b

?

奇偶性

当 b=0 时为偶函数,b≠0 时为非奇非偶函数
1

顶点 对称性 3. 幂函数 形如 y=x
α

?- b ,4ac-b ? ? 2a 4a ? ? ?
图象关于直线 x=- 成轴对称图形 2a

2

b

(α ∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数.

4. 幂函数的图象及性质 (1)幂函数的图象比较

(2)幂函数的性质比较

[难点正本 疑点清源]
2

1. 二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. (3)已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便. 2. 幂函数的图象 (1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴,在(1,+∞)上幂函数中指 数越大,函数图象越远离 x 轴. 1 2 3 -1 (2)函数 y=x,y=x ,y=x ,y=x ,y=x 可做为研究和学习幂函数图象和性质的代 2 表.

1. 已知函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值范围 为 ____________. 答案 (-∞,-2] 解析 f(x)的图象的对称轴为 x=1-a 且开口向上, ∴1-a≥3,即 a≤-2. 2.已知函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为 ________. 答案 [1,2] 解析 y=x -2x+3 的对称轴为 x=1. 当 m<1 时,y=f(x)在[0,m]上为减函数. ∴ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m -2m+3=2. ∴m=1,无解. 当 1≤m≤2 时,ymin=f(1)=1 -2×1+3=2,
2 2 2 2

2

ymax=f(0)=3.
当 m>2 时,ymax=f(m)=m -2m+3=3, ∴m=0,m=2,无解.∴1≤m≤2. 3. 若幂函数 y=(m -3m+3)xm -m-2 的图象不经过原点,则实数 m 的值为________. 答案 1 或 2 解析 由{m -3m+3=1?m -m-2≤0 ,解得 m=1 或 2.
2 2 2 2 2

经检验 m=1 或 2 都适合. 4. (人教 A 版教材例题改编)

3

1 n 如图中曲线是幂函数 y=x 在第一象限的图象.已知 n 取±2,± 四个 2 值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为____________. 1 1 答案 2, ,- ,-2 2 2 解析 可以根据函数图象是否过原点判断 n 的符号,然后根据函数凸凹性确定 n 的值. 5. ( 函 数 f(x) = x + mx + 1 的 图 象 关 于 直 线 x = 1 对 称 的 充 要 条 件 是 ) A.m=-2 C.m=-1 答案 A 解析 函数 f(x)=x +mx+1 的图象的对称轴为 x=- , 且只有一条对称轴, 所以- = 2 2 1,即 m=-2.
2 2

B.m=2 D.m=1

m

m

题型一 求二次函数的解析式 例1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此 二次函数. 思维启迪:确定二次函数采用待定系数法,有三种形式,可根据条件灵活运用. 解 方法一 设 f(x)=ax +bx+c (a≠0),
2 2

? 4ac-b = 8, 依题意有?4a+2b+c=-1,?a-b+c=-1,? 4a ?

解之,得

{a=-4,?b=4,?c=7,
∴所求二次函数解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 方法二 设 f(x)=a(x-m) +n,a≠0.∵f(2)=f(-1), 2+? -1? 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = .∴m= . 2 2 2 又根据题意函数有最大值为 n=8,
2 2

? 1?2 ∴y=f(x)=a?x- ? +8. ? 2? ? 1?2 ∵f(2)=-1,∴a?2- ? +8=-1,解之,得 a=-4. ? 2? ? 1?2 2 ∴f(x)=-4?x- ? +8=-4x +4x+7. ? 2?
4

方法三 依题意知,f(x)+1=0 的两根为

x1=2,x2=-1,故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0.
即 f(x)=ax -ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8,即 4a? -2a-1? -a =8, 4a
2 2

解之,得 a=-4 或 a=0(舍去). ∴函数解析式为 f(x)=-4x +4x+7. 探究提高 二次函数有三种形式的解析式,要根据具体情况选用:如和对称性、最值有 关,可选用顶点式;和二次函数的零点有关,可选用零点式;一般式可作为二次函数的 最终结果. 已知二次函数 f(x)同时满足条件: (1)f(1+x)=f(1-x); (2)f(x)的最大值为 15; (3)f(x)=0 的两根立方和等于 17. 求 f(x)的解析式. 解 依条件,设 f(x)=a(x-1) +15 (a<0),
2 2 2

即 f(x)=ax -2ax+a+15. 令 f(x)=0,即 ax -2ax+a+15=0, 15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ .
2

a

而 x1+x2=(x1+x2) -3x1x2(x1+x2) 90 ? 15? 3 =2 -3×2×?1+ ?=2- ,

3

3

3

?

a?

a

90 ∴2- =17,则 a=-6.

a

∴f(x)=-6x +12x+9. 题型二 二次函数的图象与性质 例2 已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 思维启迪:对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解,对于(3),应先将函数 化为分段函数,再求单调区间,注意函数定义域的限制作用. 解 (1)当 a=-2 时,f(x)=x -4x+3=(x-2) -1,由于 x∈[-4,6],
2 2 2

2

∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,
5

∴f(x)的最小值是 f(2)=-1,又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上是单 调函 数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x +2x+3, ∴f(|x|)=x +2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6], 且 f(x)={x +2x+3,x∈? 0,6]?x -2x+3,x∈[-6,0] ,
2 2 2 2

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. 探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型: 轴定区间定、 轴动区间定、 轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时, 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次 函数图象的对称轴进行分析讨论求解. 若函数 f(x)=2x +mx-1 在区间[-1,+∞)上递增,则 f(-1)的取值范 围是 ____________. 答案 (-∞,-3] 解析 ∵抛物线开口向上,对称轴为 x=- , 4 ∴- ≤-1,∴m≥4. 4 又 f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3]. 题型三 二次函数的综合应用 例3 (2012·淮安模拟)若二次函数 f(x)=ax +bx+c (a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,
2 2

m

m

且 f(0)=1.(1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 思维启迪:对于(1),由 f(0)=1 可得 c,利用 f(x+1)-f(x)=2x 恒成立,可求出 a,

b,进而确定 f(x)的解析式.对于(2),可利用函数思想求得.
解 (1)由 f(0)=1 得,c=1.∴f(x)=ax +bx+1.
2

又 f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x, 即 2ax+a+b=2x,∴{2a=2,?a+b=0, ∴{a=1?b=-1. 因此,f(x)=x -x+1. (2)f(x)>2x+m 等价于 x -x+1>2x+m,即 x -3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]
2 2 2 2 2

6

上恒成立,只需使函数 g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1). 探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起, 而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,有关二 次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究 方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点. (2012·苏州模拟)已知函数 f(x)=x +mx+n 的图象过点(1,3),且 f(-1 +x)=
2 2

2

f(-1-x)对任意实数都成立,函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称.
(1)求 f(x)与 g(x)的解析式; (2)若 F(x)=g(x)-λ f(x)在(-1,1]上是增函数,求实数 λ 的取值范围. 解 (1)∵f(x)=x +mx+n,
2 2

∴f(-1+x)=(-1+x) +m(-1+x)+n =x -2x+1+mx+n-m =x +(m-2)x+n-m+1,
2 2

f(-1-x)=(-1-x)2+m(-1-x)+n
=x +2x+1-mx-m+n =x +(2-m)x+n-m+1. 又 f(-1+x)=f(-1-x),∴m-2=2-m,即 m=2. 又 f(x)的图象过点(1,3), ∴3=1 +m+n,即 m+n=2, ∴n=0,∴f(x)=x +2x, 又 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于原点对称, ∴-g(x)=(-x) +2×(-x), ∴g(x)=-x +2x. (2)∵F(x)=g(x)-λ f(x)=-(1+λ )x +(2-2λ )x, 当 λ +1≠0 时,F(x)的对称轴为 x= 又∵F(x)在(-1,1]上是增函数.
? 1-λ ≤-1 ∴?1+λ <0? 1+λ ? ? 1-λ ≥1 或?1+λ >0? 1+λ ?
2 2 2 2 2 2 2

2?

2-2λ 1-λ = , 1+λ ? λ +1

.

∴λ <-1 或-1<λ ≤0.

7

当 λ +1=0,即 λ =-1 时,F(x)=4x 显然在(-1,1]上是增函数. 综上所述,λ 的取值范围为(-∞,0]. 题型四 幂函数的图象和性质 例4 函 数,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3 思维启迪:由幂函数的性质可得到幂指数 m -2m-3<0,再结合 m 是整数,及幂函数是 偶函数可得 m 的值. 解
2 2

已知幂函数 f(x)=xm -2m-3 (m∈N )的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减

2

*

m

m

∵函数在(0,+∞)上递减,

∴m -2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N ,∴m=1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称,∴m -2m-3 是偶数, 而 2 -2×2-3=-3 为奇数,1 -2×1-3=-4 为偶数, 1 ∴m=1.而 f(x)=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数, 3 1 1 ∴(a+1)- <(3-2a)- 等价于 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 3 3 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2
? 2 3? 故 a 的取值范围为?a|a<-1或 <a< ?. 3 2? ?
2 2 2 *

探究提高 (1)幂函数解析式一定要设为 y=x 数的 图象理解函数的对称性、单调性.

α

(α 为常数的形式);(2)可以借助幂函

(2012·聊城模拟)已知幂函数 f(x)=x(m +m) (m∈N ) (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数

2

-1

*

a
的取值范围. 解 (1)m +m=m(m+1),m∈N ,
2 *

而 m 与 m+1 中必有一个为偶数,∴m(m+1)为偶数. ∴函数 f(x)=x(m +m) (m∈N )的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数. (2)∵函数 f(x)经过点(2, 2),
2 -1 *

8

1 2 -1 2 -1 ∴ 2=2(m +m) ,即 2 =2(m +m) . 2 ∴m +m=2.解得 m=1 或 m=-2. 又∵m∈N ,∴m=1. 由 f(2-a)>f(a-1)得{2-a≥0,?a-1≥0?2-a>a-1. 3 解得 1≤a< . 2 3 ∴a 的取值范围为[1, ). 2 2.分类讨论思想在二次函数中的应用 典例:(14 分)设 a 为实数,函数 f(x)=2x +(x-a)|x-a|. (1)若 f(0)≥1,求 a 的取值范围; (2)求 f(x)的最小值; (3)设函数 h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h(x)≥1 的解集. 审题视角 (1)求 a 的取值范围,是寻求关于 a 的不等式,解不等式即可;(2)求 f(x)的最 小值,由于 f(x)可化为分段函数,分段函数的最值分段求,然后综合在一起;(3)对 a 讨 论时,要找到恰当的分类标准. 规范解答 解 (1)因为 f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,
2 2 * 2

即 a<0,由 a ≥1 知 a≤-1, 因此,a 的取值范围为(-∞,-1].[3 分] (2)记 f(x)的最小值为 g(a),则有

f(x)=2x2+(x-a)|x-a|
? ? a?2 2a =?3?x- ? + ,x>a 3? 3 ? ?
2

①?? x+a?
2

2

-2a ,x≤a ②

2

[5 分]

(ⅰ)当 a≥0 时,f(-a)=-2a , 由①②知 f(x)≥-2a ,此时 g(a)=-2a .[7 分]
2 2

?a? 2 2 (ⅱ)当 a<0 时,f? ?= a , ?3? 3
2 2 若 x>a,则由①知 f(x)≥ a . 3 2 2 2 2 2 若 x≤a,由②知 f(x)≥2a > a .此时 g(a)= a , 3 3

9

? 2a 2 综上,得 g(a)=?-2a ,a≥0? ,a<0 3 ?

2

.[10 分]

(3)(ⅰ)当 a∈?-∞,- (ⅱ)当 a∈?- (ⅲ)当 a∈?-

? ?

6? ? 2 ? ?∪? ,+∞?时,解集为(a,+∞); 2? ?2 ?
2

? ? ? ?

2 2? ?a+ 3-2a ? , ?时,解集为? ,+∞?; 2 2? 3 ? ? 6 2? ,- ?时,解集为 2 2 ?

? a- 3-2a2? ?a+ 3-2a2 ? ?a, ?∪? ,+∞?.[14 分] 3 3 ? ? ? ?
温馨提醒 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一. 本题充分体现了分类讨论 的思想方法. 在解答本题时有两点容易造成失分: 一是求实数 a 的值时,讨论的过程中没注意 a 自身的取值范围,易出错;二是求函数最 值时,分类讨论的结果不能写在一起,不能得出最后的结论. 除此外,解决函数问题时,以下几点容易造成失分: 1.含绝对值的问题,去绝对值符号,易出现计算错误; 2.分段函数求最值时要分段求,最后写在一起时,没有比较大小或不会比较大小; 3.解一元二次不等式时,不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起,思路受阻.

方法与技巧 1. 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律 (1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一 般从①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解. 2. 与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax +bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是{a>0?b -4ac<0 .
2 2

(2)ax +bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是{a<0?b -4ac<0 .
2 2

3. 幂函数 y=x (α ∈R),其中 α 为常数,其本质特征是以幂的底 x 为自变量,指数 α 为常数. 失误与防范 1. 对于函数 y=ax +bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足 a≠0,当题目条件中未说 明 a≠0 时,就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.
10
2

α

2. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第 二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如 果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.

(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. (2011·浙江)设函数 f(x)={-x, x≤0,?x , x>0, 若 f(α )=4, 则实数 α 等
2

于 ( A.-4 或-2 C.-2 或 4 答案 B 解析 当 α ≤0 时,f(α )=-α =4,得 α =-4; 当 α >0 时,f(α )=α =4,得 α =2.∴α =-4 或 α =2. 2.已知函数 f(x)=x -2x+2 的定义域和值域均为[1, b], 则 b 等于 A.3 答案 C 解析 函数 f(x)=x -2x+2 在[1,b]上递增, 由已知条件{f? 2. 3 . ( ) 设 1? =1,?f? b? =b,?b>1, 即{b -3b+2=0,?b>1. 解得 b=
2 2 2 2

)

B.-4 或 2 D.-2 或 2

( D.1 或 2

)

B.2 或 3

C.2

abc>0 , 二 次 函 数

f(x) = ax2 + bx + c

的 图 象 可 能 是

答案 D 解析 由 A,C,D 知,f(0)=c<0. ∵abc>0,∴ab<0,∴对称轴 x=- >0, 2a 知 A,C 错误,D 符合要求.

b

11

由 B 知 f(0)=c>0,∴ab>0,∴x=- <0,B 错误. 2a 4. 设二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的 取值范围是 ( ) B.[2,+∞) D.[0,2]
2

b

A.(-∞,0] C.(-∞,0]∪[2,+∞) 答案 D

解析 二次函数 f(x)=ax -2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,则 a≠0,f′(x)=2a(x -1)<0,

2

x∈[0,1],
所以 a>0,即函数图象的开口向上,对称轴 Δ 是直线 x=1. 所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5 . 二 次 函 数 的 图 象 过 点 (0,1) , 对 称 轴 为 x = 2 , 最 小 值 为 - 1 , 则 它 的 解 析 式 为 ____________. 1 2 答案 y= (x-2) -1 2 6. 已知函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,3]上是减函数,则实数 a 的取值范围 为 ____________. 答案 (-∞,-2] 解析 f(x)的图象的对称轴为 x=1-a 且开口向上, ∴1-a≥3,即 a≤-2.
? ? 1 α 7. 当 α ∈?-1, ,1,3?时,幂函数 y=x 的图象不可能经过第________象限. 2 ? ?
2

答案 二、四 1 α α 解析 当 α =-1、1、3 时,y=x 的图象经过第一、三象限;当 α = 时,y=x 的 2 图象 经过第一象限. 三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且 f(x)>-2x 的解集为{x|1<x<3},方程

f(x)
+6a=0 有两相等实根,求 f(x)的解析式.

12

解 设 f(x)+2x=a(x-1)(x-3) (a<0), 则 f(x)=ax -4ax+3a-2x,
2

f(x)+6a=ax2-(4a+2)x+9a,
Δ =[-(4a+2)] -36a =0,16a +16a+4-36a =0, 20a -16a-4=0,5a -4a-1=0,(5a+1)(a-1)=0, 1 解得 a=- 或 a=1(舍去). 5 1 因此 f(x)的解析式为 f(x)=- (x-1)(x-3). 5 9.(13 分)(2012·玉林调研)是否存在实数 a, 使函数 f(x)=x -2ax+a 的定义域为[-1,1] 时, 值域为[-2,2]?若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由. 解
2 2 2 2 2 2 2

f(x)=(x-a)2+a-a2.

当 a<-1 时,f(x)在[-1,1]上为增函数, ∴{f? -1? =1+3a=-2,?f? 1? =1-a=2 ? a=-1(舍去);

当-1≤a≤0 时,{f?

a? =a-a2=-2,?f? 1? =1-a=2 ? a=-1;
2

当 0<a≤1 时,{f? a? =a-a =-2,?f? -1? =1+3a=2 ? a 不存在; 当 a>1 时,f(x)在[-1,1]上为减函数, ∴{f? -1? =1+3a=2,?f? 1? =1-a=-2 ? a 不存在.

综上可得 a=-1. B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2012·合肥调研)已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点?2,
α

? ?

2? ?,则 f(4)的值等于 2? ( )

A.16 C.2 答案 D 解析 将点?2, 1 故 f(4)= . 2

1 B. 16 1 D. 2

? ?

2 1 2? α ?代入得:2 = 2 ,所以 α =-2, 2?

2. (2012·温州十校联考)已知函数 f(x)=2mx -2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实

2

13

数 x,

f(x) 与 g(x) 的 值 至 少 有 一 个 为 正 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
( ) A.(0,2) C.(2,8) 答案 B 4-m 解析 当 m≤0 时, 显然不合题意; 当 m>0 时, f(0)=1>0, ①若对称轴 ≥0, 即 0<m≤4, 2m 结论显然成立; 4-m 2 ②若对称轴 <0, 即 m>4, 只要 Δ =4(4-m) -8m=4(m-8)(m-2)<0 即可, 即 4<m<8, 2m 综上,0<m<8,选 B. 3. 已知二次函数 y=x -2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数,则实数 a 的取值范围是 ( A.a≤2 或 a≥3 C.a≤-3 或 a≥-2 答案 A 解析 由函数图象知,(2,3)在对称轴 x=a 的左侧或右侧,∴a≥3 或 a≤2. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) B.2≤a≤3 D.-3≤a≤-2 )
2

B.(0,8) D.(-∞,0)

? 3 ? 且方程 f(x)=0 的两个实根之差等于 7, 4. 已知二次函数 y=f(x)的顶点坐标为?- ,49?, ? 2 ?
则此二次函数的解析式是______________. 答案 f(x)=-4x -12x+40 3 2 ? 3?2 解析 设二次函数的解析式为 f(x)=a?x+ ? +49 (a≠0),方程 a(x+ ) +49=0 的 2 ? 2? 两个 根分别为 x1,x2, 则|x1-x2|=2 49 - =7,
2

a

∴a=-4,故 f(x)=-4x -12x+40. 5. 若方程 x -11x+30+a=0 的两根均大于 5,则实数 a 的取值范围是________. 1 答案 0<a≤ 4 解析 令 y=x -11x+30+a,结合图象有
2 2

2

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1 ∴0<a≤ . 4 6. 已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则 y=f(x)的值域为 ____________.
2

? 31? 答案 ?1, ? 27 ? ?
2

解析 ∵f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数, ∴其定义域[a-1,2a]关于原点对称,即 a-1=-2a, 1 2 ∴a= ,∵f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数, 3 即 f(-x)=f(x),∴b=0, 1 2 ? 2 2? ? 31? ∴f(x)= x +1,x∈?- , ?,其值域为?1, ?. 3 3 3 ? ? ? 27? 三、解答题(13 分) 7. 已知函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解
2

f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,

当 a≥1 时,ymax=a; 当 0<a<1 时,ymax=a -a+1; 当 a≤0 时,ymax=1-a. 根据已知条件:{a≥1,?a=2 或{0<a<1,?a -a+1=2 或{a≤0?1-a=2,
2 2

解得 a=2 或 a=-1.

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