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广东省揭阳一中、潮州金山中学2013届高三上学期联合摸底考试(数学文)WORD版


广东省揭阳一中、潮州金山中学 2013 届高三上学期联合摸底考试

数学(文)试题
本试卷分共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式:V= S h (S 是锥体的底面积,h 是锥体的高)
3 1

? ? ? ? 线性回归方程 y ? a ? bx中 系 数 公 式 b ?

?x
i ?1 n i ?1

n

i

yi ? n x y
2 i

? ? ,a ? y ? bx

?x
第Ⅰ卷(选择题

? nx

2

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求。) 1.设集合 P ? {1, 2, 3, 4}, Q ? {3, 4, 5, 6}, 则 P ? Q = A. ? 2.复数
1? i 1? i

B.{3,4} 的值是

C.{1,2,5,6}

D.{1,2,3,4,5,6}

A.1 B.—i C.i D.—1 3.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方 图(如右图)。由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为 A.20 B.25 C.30 D.35 4.设 { a n } 是等差数列,且 a 2 ? a 3 ? a 4 ? 1 5, 则这个数列的前 5 项和 S5= A.10 B.15 C.20 D.25 5.函数 f ( x ) ? x ? lg x ? 3 的零点所在区间为 A. (3, ? ? ) B.(2,3)
?
2 ??) ?

C.(1,2)
4 5 , 则 tan ? = 4 3

D.(0,1)

6.已知 ? 为第四象限的角,且 sin ( A. ?
3 4

B.

3 4

C. ?

D.

4 3

7.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2, 0), | b |? 1, 则 | a ? 2 b | 等于 A. 3 B.2 3 C.4 D.12

8.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰三角形,且直角边长为 1,那么这个几何体的体积为 A.1 B. C. D.
1 2 1 3 1

6

9.已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别为 F1、F2,且 | F1 F 2 | ? 2 c ,若点 P

在椭圆上,且满足 P F2 ? F1 F 2 ? 0, P F 2 ? P F 2 ? c ,则该椭圆的离心率等于
2

???? ????? ?

???? ???? ? ?

A.

5 ?1 2

B.

3 ?1 2

C.

1 2

D.

2 2

10.若在曲线 f ( x , y ) ? 0 ( 或 y ? f ( x )) 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线
f ( x , y ) ? 0 或 y = f ( x ) 的“自公切线”。下列方程:① x ? y
2 2

? 1; ② y ? x ? | x |; ③
2

y ? 3 sin x ? 4 co s x ; ④ | x | ? 1 ?

4? y

2

对应的曲线中存在“自公切线”的有 C.②③ D.②④

A.①③

B.①④

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。) (一)必选题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 11.函数 f ( x ) ? ln
x ?1 1 ? 2x

的定义域为

.

? x ? 1, ? , 12.若实数 x、y 满足不等式组 ? y ? x ? 1 ?x ? 2y ? 2 ? 0 ?

则 z=2x+y 的最大值为 . 13.已知某程序框如图所示,则执行该程序后输出的 结果为 .

(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题,两道题都做的,只记第一题的分) 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 为参数),以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极 ? 坐标,曲线 c 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin (? ? ) ,
4
? x ? t, ?y ? 4 ? t

(t

则直线 l 和曲线 C 的公共点有 个. 15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线, 线点为 A,直线 PO 交圆 O 于 B,C 两点,AC=2, ∠PAB=120°,则圆 O 的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为偶函数,周期为 2 ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 ? ? ( ?
? ?
, 3 2 ), f (? ?

?
3

)?

1 3

, 求 sin ( 2 ? ?

2? 3

) 的值.

17.(本小题满分 12 分)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如 下表格:

人数 x i

10

15

20

25

30

35

40

件数 y i

4

7

12

15

20

23

27

2 3 4 5 6 7 其中 i ? 1 , , , , , , .

(Ⅰ)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点图. (Ⅱ)求回归直线方程.(结果保留到小数点后两位) (Ⅲ)预测进店人数为 80 人时,商品销售的件数.(结果保留整数) (参考数据: ? x i y i ? 3 2 4 5 , y ? 1 5 .4 3 , ? x i ? 5 0 7 5 , 7 ( x ) ? 4 3 7 5 ,
2
2

7

7

i= 1

i ?1

7 x y ? 2695 )

18.(本小题满分 14 分)如图, ? P A D 为等边三角形, A B C D 为矩形,平面 P A D ? 平 面 A B C D , A B ? 2 , E 、 F 、 G 分别为 P A 、 B C 、 P D 中点, AD ? 2 2 . (Ⅰ)求证:EF//平面 PCD. (Ⅱ)求证: A G ? E F (Ⅲ)求多面体 P ? A G F 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 在数列 { a n } 中,已知 a1 ? 1, .a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a1 ( n ? N *, n ? 2) . (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 b n ? lo g 2 , a n ,
1 b3 b 4
[

?

1 b4 b5

?? ?

1 bn bn ? 1

? m 对于任意的 n ? N * ,且 n ? 3 恒

成立,求 m 的取值范围。

20.(本小题满分 14 分)如图,在△ABC 中, | A B |? | A C |? 的中点,以 B、C 为焦点的椭圆恰好过 AC 的中点 P。 (1)求椭圆的标准方程;

7 2

, | B C | ? 2 ,原点 O 是 BC

(2)过椭圆的右顶点 A1 作直线 l 与圆 E : ( x ? 1) ? y ? ? 2 相交于 M、N 两点,试探
2 2

究点 M、N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1:3 的两段弧吗?若能,求出直线 l 的方程;若不 能,请说明理由。

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
e
2 x

x ? ax ? 1

( a ? 0 ).

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)试讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

[


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