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部编版2020版高中数学第二章平面解析几何初步2.3.1空间直角坐标系学业分层测评苏教版必修71

2.3.1 空间直角坐标系
(建议用时:45 分钟) [学业达标]
一、填空题 1.若点 P(a,b,c)既在平面 xOy 内,又在平面 yOz 内,则 a+c=________. 【解析】 点 P 在平面 xOy 与平面 yOz 的交线 Oy 上,由其上点的特征知 a=0,c=0, b∈R. 【答案】 0 2.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z),关于下列叙述: ①点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是 P1(x,-y,z); ②点 P 关于 yOz 平面对称的点的坐标是 P2(x,-y,-z); ③点 P 关于 y 轴对称的点的坐标是 P3(x,-y,z); ④点 P 关于原点对称的点的坐标是 P4(-x,-y,-z). 其中叙述正确的序号是________. 【解析】 由图形几何性质知①②③错,④正确. 【答案】 ④ 3.如图 2-3-3 所示,多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得,其中 AB=4,BC=1,BE=3,CF=4,按图建立空间直角坐标系,则 G 的坐标为________.
图 2-3-3 【解析】 ∵长方体的对面互相平行,且被截面 AEFG 所截, ∴交线 AG∥EF.又∵BE=3,CF=4, ∴DG=1,故 G 的坐标为(0,0,1). 【答案】 (0,0,1) 4.如图 2-3-4,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知点 B1 的坐标为(a,a,a),则点 D1 的坐标为________.
图 2-3-4
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【解析】 由点 B1 的坐标为(a,a,a)知点 D1 的坐标为(0,0,a). 【答案】 (0,0,a) 5.已知点 M 到三个坐标平面的距离都是 1,且点 M 的三个坐标同号,则点 M 的坐标为 ________. 【解析】 根据点 M 到三个坐标平面的距离均为 1,结合点的对称性,知 M(1,1,1)或(- 1,-1,-1). 【答案】 (1,1,1)或(-1,-1,-1) 6.已知点 P′在 x 轴正半轴上,OP′=2,PP′在 xOz 平面上,且垂直于 x 轴,PP′= 1,则点 P′和 P 的坐标分别为________,________.
【导学号:41292118】 【解析】 由于 P′在 x 轴的正半轴上,故点 P′的坐标为(2,0,0),又 PP′在 xOz 平 面上,且垂直于 x 轴,故 P 点坐标为(2,0,±1). 【答案】 (2,0,0) (2,0,±1) 7.正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 1,且|BP|=13|BD′|,建立如图 2-3-5 所示 的空间直角坐标系,则 P 点的坐标为________.
图 2-3-5 【解析】 如图所示,过 P 分别作平面 xOy 和 z 轴的垂线,垂足分别为 E,H,过 E 分 别作 x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 F,G,由于|BP|=13|BD′|,所以|DH|=13|DD′|=13, |DF|=23|DA|
=23,|DG|=23|DC|=23,所以 P 点的坐标为???23,23,13???. 【答案】 ???23,23,13??? 8.如图 2-3-6, M-OAB 是棱长为 a 的正四面体,顶点 M 在底面 OAB 上的射影为 H,则
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M 的坐标是________.

图 2-3-6

【解析】 由 M-OAB 是棱长为 a 的正四面体知 B??? 23a,12a,0???,A(0,a,0),O(0,0,0).

又点 H 为△OAB 的中心知 H??? 63a,12a,0???,

从而得 M 的坐标是??? 63a,12a, 36a???.

【答案】 ??? 63a,a2, 36a???
二、解答题 9.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,所有的棱长都是 1,建立适当的坐标 系,并写出各点的坐标.

【解】 如图所示,取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1,

【导学号:41292119】

连结 BO,OO1,可得 BO⊥AC,BO⊥OO1,分别以 OB,OC,OO1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.

∵各棱长均为 1,

∴OA=OC=O1C1=O1A1=12,OB=

3 2.

∵A,B,C 均在坐标轴上,

∴A???0,-21,0???,B??? 23,0,0???,C???0,12,0???. ∵点 A1,C1 均在 yOz 平面内, ∴A1???0,-21,1???,C1???0,12,1???. ∵点 B1 在 xOy 面内的射影为点 B,且 BB1=1,

∴B1??? 23,0,1???.

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10.如图 2-3-7,已知长方体 ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30°,AE 垂直 BD 于点 E,F 为 A1B1 的中点,请建立适当的空间直角坐标系,求 出点 A,B,C,D,E,F 的坐标.
图 2-3-7 【解】 ∵ABCD-A1B1C1D1 为长方体,∴可以以顶点 A 为原点,以棱 AB,AD,AA1 所在的 直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AD⊥平面 AA1B1B,∴∠ABD 就是直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角,∠ABD=30°, ∴Rt△BAD 中,由 AB=2,AE⊥BD,∠ABD=30°可解得 AD=AB·tan 30°=2× 33=2 3 3, BD=2AD=4 3 3,AE=1. 过点 E 在平面 ABCD 内作 AB 的垂线 EM,垂足为点 M,∴Rt△AEM 中,EM=AE·sin 60° = 23, AM=AE·cos 60°=12. 又长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=1,F 为 A1B1 的中点, ∴A(0,0,0),B(2,0,0),A1(0,0,1), B1(2,0,1),C???2,2 3 3,0???,D???0,2 3 3,0???, E???12, 23,0???,F(1,0,1).
[能力提升] 1.空间两点 A,B 的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则 A,B 两点的位置 关系是________. 【解析】 由 A,B 两点的坐标可知关于 y 轴对称. 【答案】 关于 y 轴对称
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2.在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是(4,7,6),则点 M 关于 y 轴的对称点在坐标平面 xOz 上的射影的坐标为________.
【解析】 点 M 关于 y 轴的对称点是 M′(-4,7,-6),点 M′在坐标平面 xOz 上的射 影是(-4,0,-6).
【答案】 (-4,0,-6) 3.如图 2-3-8 所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°, E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA=2.试建立适当的空间直角坐标系,写出 A,B,C,D, P,E 的坐标.
图 2-3-8 A________,B________,C________, D________,P________,E________. 【解析】 如图所示,以 A 为原点,以 AB 所在直线为 x 轴,AP 所在直线为 z 轴,与过 点 A 与 AB 垂直的直线 AG 所在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.
则相关各点的坐标分别是 A(0,0,0),B(1,0,0),C???32, 23,0???,D???12, 23,0???,P(0,0,2), E???1, 23,0???.
【答案】 (0,0,0) (1,0,0) ???32, 23,0??? ???12, 23,0??? (0,0,2) ???1, 23,0???(答
案不唯一) 4.如图 2-3-9 所示,AF,DE 分别是圆 O,圆 O1 的直径,AD 与两圆所在的平面均垂直,
AD=8,BC 是圆 O 的直径,AB=AC=6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点 A, B,C,D,E,F 的坐标.
【导学号:41292120】
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图 2-3-9 【解】 因为 AD 与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD, 所以 OE⊥平面 ABC. 又 AF? 平面 ABC,BC? 平面 ABC, 所以 OE⊥AF,OE⊥BC, 又 BC 是圆 O 的直径, 所以 OB=OC, 又 AB=AC=6, 所以 OA⊥BC,BC=6 2. 所以 OA=OB=OC=OF=3 2. 如图所示,以 O 为原点,以 OB,OF,OE 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直 角坐标系,
所以 A(0,-3 2,0),B(3 2,0,0),C(-3 2,0,0),D(0,-3 2,8),E(0,0,8), F(0,3 2,0).
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