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2016年高考理科数学模拟试题(一)


2016 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(一) 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设 z 是纯虚数,若 A . ? 2i

1? i 是实数,则 z ? ( z?2
B. ? i

) C. i D. 2 i )

2.定义 A ? B ? x x ? A且x ? B .若 M ? ? 1 , 2,3,4,5? , N ? ?2,3,6? ,则 N ? M ? ( A. M
? ?

?

?

B. N
?

C. ? 1,4,5?
?

D. ?6? )

3.已知向量 a ? (3,4) , b ? (2,?1) ,如果向量 a ? x b 与 b 垂直,则 x 的值为( A.

?

2 5

B. ?

2 5

C.

4 5

D. ?

4 5

4.如果 sin x ? cos x ? A. ? 2

2 ,那么 tan x ? cot x ? (
B. ?1

) C. 1 D. 2

5.数列 ?an ?是公差不为 0 的等差数列, 且 a1 , a3 , a7 为等比数列 ?bn ?的连 续三项,则等比数列 ?bn ?的公比 q 等于( A. 2 C. 4 B. ? 2 D. ? 4 ) )

6.如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于(

5 4 6 C. 5
A. A. 16 ? 8π C. 16 ? 16 π
2 2

4 5 5 D. 6
B. ) B. 8 ? 8π D. 8 ? 16π

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

2) 作圆的两条切线, 8.过圆 x ? y ? 4 外一点 P(4, 切点分别为 A、 B,
则 ΔABP 的外接圆方程是( )

A. ( x ? 4) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 C. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 D. ( x ? 2) 2 ? ( y ?1) 2 ? 5 9.正四棱锥 S-ABCD 底面边长为 2,高为 1,E 是边 BC 的中点,动点 P 在四棱锥表面上运动,并 且总保持 PE⊥AC,则动点 P 的轨迹的周长为( ) A. 1 ? 2 B. 2 ? 3 C. 2 2 D. 2 3

?x ? 0 ? 10.已知点 M (a, b) 在由不等式组 ? y ? 0 所确定的平面区域内,则点 N (a ? b, a ? b) 所在平面 ?x ? y ? 2 ?
区域的面积是( A. 8 ) B. 4 C. 2 D. 1

11. 如 图 , 平 面 上 两 点 P(0,1) 、 Q(3,6) , 在 直 线 y ? x 上 取 两 点 M 、 N , 使

MN ? 2a(a ? 0, a为常数) 且使 PM ? MN ? NQ 的值取最小,则 N 的坐标为(
A. ( a , a ) B. ( 2a, 2a)



3 3 a,1 ? a ) 4 4 3 3 3 3 D. ( ? a , ? a ) 2 4 2 4
C. (1 ? 12.已知抛物线 C: x ? 4 y ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于第一象限的两点 A、B,F 是 C 的焦点.若
2

AF ? 3 FB ,则 k ? (
A. 3



B.

3 3

C.

3 2

D.

2 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.若 ( x ?

1 n ) 的展开式中第 6 项为常数项,则 n ? _________. x2

14.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 1 .若二面角 C ? AB ? C1 的大小 为 60 ? ,则点 C 到平面 ABC1 的距离为 15.在 ΔABC 中, AB ? BC , cos B ? ? C,则该双曲线的离心率为 16.在数列 ?a n ?中, an ? 0 , a1 ? 那么 a1 ? . .

1 ,若以 A、B 为焦点的双曲线经过点 8

2a a ? 1 1 ,如果 an ?1 是 1 与 n n ?1 2 的等比中项, 2 4 ? an

a a2 ? ? ? 1002 ? ___________. 2 2 100
?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在 ΔABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,平面向量 m ? (2a ? c, b) 与平面向量
?

n ? (cosB,cosC ) 垂直.

(1)求角 B; (2)若 a ? 2c ? 4 ,设 ΔABC 的面积为 S,求 S 的最大值. 18.一位同学分别参加了三所大学自主招生笔试(各校试题各不相同),如果该同学通过各校笔试 的概率分别为

3 2 1 、 、 ,且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响. 4 3 2

(1)求该同学至少通过一所大学笔试的概率; (2)设该同学通过笔试的大学所数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

19.如图所示,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=

1 AP=2,D 是 AP 的中点,E、 2

F、G 分别为 PC、PD、CB 的中点,将 ΔPCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD. (1)求证:AP∥平面 EFG; (2)求二面角 G-EF-D 的大小.

20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?1,0) , B(1,0) ,动点 C 满足条件:ΔABC 的周长为

2 ? 2 2 .记动点 C 的轨迹为曲线 W.
(1)求 W 的方程; (2)已知点 M ( 2,0) , N (0,1) ,经过点 (0, 2 ) 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交 点 P 和 Q,是否存在常数 k ,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不 存在,请说明理由. 21.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

1 2 7 x ? mx ? (m ? 0) ,直线 l 与函数 f ( x), g ( x) 的图象都相 2 2

切,且与函数 f ( x) 的图象的切点的横坐标为 1. (1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g ' ( x)(其中g ' ( x)是g ( x)的导函数 ) ,求函数 h( x) 的最大值; (3)当 a ? b ? 0 时,比较 a ? 2af (a ? b) 与 b ? 2af (2a) 的大小. 请考生在第 22-24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,CD 为 ?ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D , E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ? AE ? DC ? AF , B , E , F , C 四点共圆. (1)证明: CA 是 ?ABC 外接圆的直径; (2)若 DB ? BE ? EA ,求过 B , E , F , C 四点的圆的面积与 ?ABC 外接圆面积的比值.

23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 . (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

? x ? 2cos ? (? 为参数),M 为 C1 上的动点,P ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为

24.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集. (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x x ? ?1 ,求 a 的值.

?

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