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广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学(文科)试题 Word版含答案


惠州市 2014 届高三第一次调研考试 数学试题(文科) (本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

1 1.已知集合 M ? ? ,2,3?, N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ,则 (

?

?



A. M ? N

B. N ? M

C. M ? N ? {2,3}

D. M ? N ? (1,4)

2.复数

2 1? i

等于(

) B. ?1 ? i C. 1 ? i D. 1 ? i ) D.16

A. ?1 ? i

3.在数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,则 a 4 的值为( A.7 B.8 C.9

4.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭 360 户、270 户、180 户,若首批经济适用房中有 90 套住房用于解决住房紧张问题,采用分层抽样的方法决定 各社区户数,则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( A.40 B.36 C.30 ) D.20 )
?| x |

5.下列函数中,既是偶函数,又是在区间 ? 0, ?? ? 上单调递减的函数是( A. y ? ln x B. y ? x
2

C. y ? cos x

D. y ? 2 )

6.已知平面向量 a,b 的夹角为

? ,且 a ? b=3 , a ? 3 ,则 b 等于( 6
C.

A.

3

B. 2 3

2 3 3

D. 2

7.若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是(



A. 6 ? 2 3

B.

9 3 2

C. 6 ? 3

D.

3

8.执行如图所示程序框图.若输入 x ? 3 ,则输出的 k 值是( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6



1

开始 输入 x
2 9.圆 ? x ? a ? ? y ? 1 与直线 y ? x 相切于第三象限, a 的值是 则 ( 2

) .

A. 2

B. ?2
3

C. ? 2

D. 2

x ? x?5
k ? k ?1

10.设函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? a (0 ? a ? 2) 有三个零点 x1 , x2 , x3 , 且 x1 ? x2 ? x3 则下列结论正确的是( A. x1 ? ?1 B. x2 ? 0 C. 0 ? x2 ? 1 ) D. x3 ? 2

k? 0


x ? 23?



二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 11.在 △ABC 中,若 b ? 3, c ? 1, cos A ? 输出 k 结束

1 3

,则 a =

.

? x?2 ? 12.不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域的面积是 ?y ? x ?1 ?

.

13.定义映射 f : A ? B ,其中 A ? ?( m , n ) m , n ? R ? , B ? R ,已知对所有的有序正整数 对 ( m, n ) 满足下述条件:① f ( m,1) ? 1 ,②若 n ? m , f ( m, n ) ? 0 ; ③ f ( m ? 1, n ) ? n ? f ( m , n ) ? f ( m , n ? 1) ? ,则 f (2, 2) ? .

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, O 为极点,直线过圆 C : ? ? 2 2 cos ? 的圆心 C , 且与直线 OC 垂直, 则直线的极坐标方程为 . D C

15.(几何证明选讲选做题) 如图示,C、D 是半圆周上的两个三等 分点,直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足为 E ,则 CE 的长 A 为 . O E B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 1 ? sin x ? cos x .(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期

tan x ?
和最小值; (2)若

? ?? ? x x ? ? 0, ? f( ? ) 2 ? ,求 4 2 的值. ? 4,

3

组别

候车时间

人数

2

17.(本小题满分 12 分)为调查乘客的候车情况,公交公司 在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车 时间(单位:分钟)作为样本分成 5 组,如下表所示: (1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步 的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 18.(本小题满分 14 分)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 棱长为 2, E 是棱 CD 上中点, P 是棱 AA1 中点,

一 二 三 四 五

[0, 5)
[5,10)

2 6 4 2 1

[10,15) [15, 20)
[20, 25]

(1)求证: PD / / 面 AB1 E ; (2)求三棱锥 B ? AB1 E 的体积. 19. (本小题满分 14 分)设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,点 ? an , S n ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, (1)证明数列 ? an ? 为等比数列,并求出其通项; n? N* . (2)设 f ( n ) ? log 1 an ,记 bn ? an ?1 ? f ( n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的前 n 和 Tn . A
2

D

E

C

B D1

x

2

2 20. (本小题满分 14 分)如图, A , B 是椭圆 a

?

y

2

b2

? 1( a ? b ? 0)

的两个

P

C
1

顶点,

AB ?

5

,直线 AB 的斜率为

?

1 2.
A
1

B
1

(1) 求椭圆的方程; (2)设直线 l 平行于 AB , 与 x, y 轴分别交于点 M 、N ,与椭圆相交于 C、D , 证明:△ OCM 的面积等于△ ODN 的面积.

2 21 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? a ( x ? x )( a ? 0, a ? R ) ,

h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) (1)若 a ? 1 ,求函数 h( x ) 的极值;
(2)若函数 y ? h( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递减,求实数 a 的取值范围; (3) 在函数 y ? f ( x ) 的图象上是否存在不同的两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 使线段 AB 的 中点的横坐标 x 0 与直线 AB 的斜率 k 之间满足 k ? f ?( x0 ) ?若存在,求出 x 0 ;若 不存在,请说明理由. 惠州市 2014 届高三第一次调研考试试题 数 学(文科)答案

3

一、选择题 1 题号 C 答案 【解析】

2 D

3 B

4 C

5 D

6 C

7 A

8 C

9 C

10 C

1. N ? ? x ? Z 1 ? x ? 4? ? ? 2, 3? ,故 M ? N ? {2,3} ,选 C 2.

2 1? i

?

2(1 ? i ) (1 ? i )(1 ? i )

? 1 ? i ,选 D

3.数列 ? a n ? 为 a1 ? 1 , q ? 2 等比数列, a4 ? a1q 3 ? 8 ,选 B 4.设从乙社区抽取 n 户,则

270 360 ? 270 ? 180

?

n 90

,解得 n ? 30 ,选 C

5. y ? ln x 不是偶函数, y ? cos x 是周期函数,在区间 (0, ?? ) 上不是单调递减, y ? x 2 在 区间 (0, ?? ) 上单调递增,故选 D。

6. a ? b ? a b cos

? ?

? ?

?
6

? 3?

? 2 3 ? b ? 3,? b ? 3 ,选 C 2 3

7.由三视图可知,三棱柱的高为 1,底面正三角形的高为 3 ,所以正三角形的边长为 2, 所以三棱柱的侧面积为 2 ? 3 ?1 ? 6 ,两底面积为 2 ?

1 2

? 2 ? 3 ? 2 3 ,所以表面积为

6 ? 2 3 ,选 A.
8. x ? 3, k ? 0; x ? 8, k ? 1; x ? 13, k ? 2; x ? 18 , k ? 3; x ? 23, k ? 4; x ? 28 ? 23, k ? 5 ,故选 C 9. d ?

a?0 2

? r ? 1, 解得 a ? ? 2 ,因为圆与直线相切于第三象限,由图可知, a ? 0 ,

故选 C。
2 10. f ?( x ) ? 3 x ? 4 ,令 f ?( x ) ? 3 x ? 4 ? 0, x ? ?

2

2 3 3



x
f ?( x )
f ( x)

( ?? ,?

2 3 3

)

?

2 3 3
0

(?

2 3 2 3 , ) 3 3
— 递减

2 3 3
0 极小值

(

2 3 3

,?? )

+ 递增

+ 递增

极大值

又因为 f ( ?1) ? 3 ? a ? 0 , f (0) ? a ? 0 , f (1) ? a ? 3 ? 0 , f (2) ? a ? 0 ,综合以上信

4

息可得示意图如右,由图可知, 0 ? x2 <1,选 C.

1
二、填空题 11. 2 2 15. 12. 2 13.2
b2 ? c2 ? a2 2bc

14. ? cos ? ?
32 ? 12 ? a 2 2 ? 3 ?1

2

3
cos A ? ? ? 1 , 3 解得 a

【解析】11.由余弦定理

?2 2

12.不等式组表示的可行域如图所示,故面积为 13.由题意可知, f (1,1) ? 1 , f (1, 2) ? 0 ,

1 2

?1 ?1 ?

1 2

f (2, 2) ? f (1 ? 1, 2) ? 2( f (1, 2) ? f (1,1)) ? 2(0 ? 1) ? 2
14. 圆 C 的直角坐标方程为 x ? 2

?

?

2

? y 2 ? 2 ,故圆心 C 为

?

2, , 0

?

过 圆 心 且 与 OC 垂 直 的 直 线 为 x ?

2 ,转为极坐标方程为
D C

? cos ? ? 2 。
15.依题意知 Rt ?ABC , ?CAB ? 30 , AB ? 4 ,则 BC ? 2, AC ? 2 3 ,
?

A

O

E

B

S ?ABC ?

1 2

AB? ? CE

1 2

AC ?BC ,代入解得 CE ? 3 。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解: (1)已知函数即 f ( x ) ? 1 ? 1 sin 2 x,
2 ?T ? 2? 2 ??

……………………………2 分

… ………………………………………………………3 分

当 2x ?

3? 2

? 2 k ? ( k ? Z ) 时,即 x ?
1 2 ? ( ?1) ?

3? 4

? k ? ( k ? Z ) ,…………………………4 分

f ( x )min ? 1 ?

1 …………………………………………………………6 2



(2) f ( 4 ? 2 ) ? 1 ? 2 sin ? 2( 4 ? 2 ) ? ? 1 ? 2 sin ? 2 ? x ? ? 1 ? 2 cos x ……………8 分 ? ? ? ? 由 tan x ? cos x ? 4 , sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ,解得: cos x ? ? 5 ………10 分
? x ? (0,
?

?

x

1

?

?

x ?

1

??

?

1

sin x

3

4

?
2

), cos x ? 0 ? cos x ?
x 1 7

4 5

……………………………………11 分

所以 f ( 4 ? 2 ) ? 1 ? 2 cos x ? 5

…………………………………12 分
8 15 ? 32 人.…4 分

17.解: (1)由频率分布表可知:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8, 所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 60 ?

5

(2)设第三组的乘客为 a , b, c , d ,第四组的乘客为 1,2; “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件 A .………………………………5 分 所得基本事件共有 15 种,即:

ab, ac, ad , a1, a 2, bc, bd , b1, b 2, cd , c1, c 2, d1, d 2,12 …………………8 分
其中事件 A 包含基本事件 a1, a 2, b1, b 2, c1, c 2, d1, d 2 ,共 8 种,………10 分 由古典概型可得 P ( A) ?

8 15

, ………………………12 分

18.解: (1)取 AB1 中点 Q ,连接 PQ , 则 PQ 为中位线, PQ//

1 2

A1 B1 ,…………2 分
D ,

E

C

而正方体 ABCD-A1 B1C1 D1 故 DE //

E 是棱 CD 上中点,
A B

1 2

A1 B1 ,………………4 分

? PQ // DE ,所以四边形 PQ DE 为平行四边形。
P Q D1 A1 B1

? PD // QE , ……………6 分
而 QE ? 面 AB1 E , PD ? 面 AB1 E , 故 PD // 面 AB1 E ……………………………8 分

C1

(2)正方体 ABCD-A1 B1C1 D1 中, BB1 ? 面 ABE ,故 BB1 为高, BB1 ? 2 ………10 分

? CD // AB

? S ?ABE ? S ?ABC ?

1 2

AB ? BC ?

1 2

? 2 ? 2 ? 2 …………12



故 V B ? AB E ? V B ? ABE ? 1 BB1 ? S ?ABC ? 4 ………14 分
1 1

3

3

19.解: (1)? an ? S n ? 2 …………………………………1 分

? n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 a1 ? 2,? a1 ? 1 ………………2 分 n ? 2 时, an ? S n ? 2 , an ?1 ? S n ?1 ? 2 ………………………3 分
两式相减得: an ? an ? i ? ( S n ? S n ?1 ) ? an ? an ? i ? an ? 0 ,

an a n ?1

?

1 2

,………5 分

? ? a n ? 是以 a1 ? 1 为首项,

1 2

为公比的等比数列. ………………6 分

6

1 ? an ? ( ) n ?1 …………………………………………7 分 2

(2)

?1? f ( n ) ? log 1 an ? log 1 ? ? 2? 2 2 ?
1 2

n ?1

1 n ? n ? 1 ,则 bn ? f ( n ? 1)an ?1 ? n( ) ,…………9分 2
3 n

?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ?2? ?2? ?2? ?2?


n ?1

1

?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ? n ? ? ? 2 ?2? ?2? ?2? ?2?
2 3 4

2

3

4

②…………………10分
n n ?1

①-②得: 1 T ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? n ? ? 1 ? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ?2?
1 ? 1? n 1? 2 ? 1 2? 1? ? 2
n

……………11分 …………13分

?

? n ?1 n ?1 n ? 1 n ?1? ?1? ?1? ? ? n ? ? ? ? 1 ? n ? n ? ? ? ? 1 ? (1 ? ) ? ? ? 2 2 ?2? ?2? ?2? ? ?

?1? ? Tn ? 2 ? (2 ? n ) ? ? ? ……14 分 ?2?

20. (1)解:依题意, A(a ,0), B (0, b) , AB ? 整理得
?b 1 ? ? , ?a 2 ? a 2 ? b 2 ? 5. ?

a 2 ? b 2 ,k ? b ? 0 ? ? b ? ? 1
0?a a

2

………………………………2 分

解得 a ? 2 , b ? 1 . 所以 椭圆的方程为

………………………………3 分

x2 4

? y2 ? 1.

………………………4 分
2

(2)证明:由于 l // AB ,设直线 l 的方程为 y ? ? 1 x ? m ,将其代入 x ? y 2 ? 1 ,消去 y ,
2
4

整理得 2 x 2 ? 4mx ? 4 m 2 ? 4 ? 0 . ………6 分 设 C ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) . 所以 ?
? ? ? 16 m 2 ? 32( m 2 ? 1) ? 0, ? x1 ? x2 ? 2 m, ? 2 ? x1 x2 ? 2 m ? 2.

………8 分

证法一:记△ OCM 的面积是 S 1 ,△ ODN 的面积是 S 2 . 由 M (2m, 0) , N (0, m) , 则 S1 ? S 2 ? 1 ? | 2m | ? | y | ? 1 ? | m | ? | x | ? | 2 y1 | ? | x2 | ………………10 分 1 2
2 2

因为 x1 ? x2 ? 2 m ,所以 | 2 y1 | ? | 2 ? ( ? 1 x1 ? m) | ? | ? x1 ? 2 m | ? | x2 | ,…13 分
2

从而 S1 ? S 2 .

………………………………………14 分
7

证法二:记△ OCM 的面积是 S 1 ,△ ODN 的面积是 S 2 . 则 S1 ? S 2 ? | MC | ? | ND | ? 线段 CD , MN 的中点重合. ………………10 分 因为 x1 ? x2 ? 2 m ,所以 x1 ? x2 ? m , y1 ? y2 ? ? 1 ? x1 ? x2 ? m ? 1 m .
2

2

2

2

2

故线段 CD 的中点为 ( m ,

1 2

m) . 1 2 m ) .……13 分

因为 M (2m, 0) , N (0, m) ,所以 线段 MN 的中点坐标亦为 ( m , 从而 S1 ? S 2 . ………………………………………14 分

21.解: (1) y ? h( x ) 的定义域为 (0, ?? ) ………………………………………………1 分
h ?( x ) ? 1 x ? 2x ? 1 ? ? (2 x ? 1)( x ? 1) x

,…………………………………………2 分

故 x ? (0,1) h ?( x ) ? 0, h( x ) 单调递增;

x ? (1, ?? ) h ?( x ) ? 0, h( x ) 单调递减,…………………3 分

x ? 1 时, h( x ) 取得极大值 h(1) ? 0 ,无极小值。……………………………4 分
(2) h( x ) ? ln x ? a ( x 2 ? x ) , h ?( x ) ?

1 x

? a (2 x ? 1) ,

若函数 y ? h( x ) 在 [1, ?? ) 上单调递增, 则 h ?( x ) ?
1 a? 1 1 ,只需 a x ? ? 2 x ? 1 x(2 x ? 1) 2 x 2 ? x
1
2

1 x

? a (2 x ? 1) ? 0 对 x ? 1 恒成立…………………………………5 分

?(

1 2x ? x
2

)max ………………6 分


x ? 1 时, 2 x 2 ? x ? 1 ,则 0 ? 2x

1 ? ? ? 1 ,………7 ? 1 ,? 2 ? 2x ? x ? max ?x ?

故 a ? 1 , a 的取值范围为 ?1, ?? ? …………………………………8 分 (3)假设存在,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2
1 x0 ? 2 x1 ? x2

k?

?

ln x1 ? ln x2 x1 ? x2

ln ?

x1 x2

………………………9 分

x1 ? x2

f ?( x0 ) ?

…………………………………………10 分

8

由 k ? f ?( x0 ) 得

ln

x1 x2 ? 2 x1 ? x2

,整理得 ln

x1 x2

?

2( x1 ? x2 ) x1 ? x2

2( ?

x1

x1 ? x2

x2 x1

? 1)

………11 分
?1

x2

令t ?

x1 x2

, u (t ) ? ln t ?

2(t ? 1) t ?1

(0 ? t ? 1) ,…12

分, u ?(t ) ?

( t ? 1) 2 t ( t ? 1) 2

?0

? u (t ) 在 (0,1) 上单调递增,………………………………………13 分
? u (t ) ? u (1) ? 0 ,故 k ? f ?( x0 )

?不存在符合题意的两点。…………………………14 分

9


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