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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.3函数的奇偶性与周期性教案 理 新人教A版


§2.3
2014 高考会这样考

函数的奇偶性与周期性

1.判断函数的奇偶性;2.利用函数的奇偶性求参数或参数范围;3.函

数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用. 复习备考要这样做 1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性;2.注意函数奇偶性和

周期性的小综合问题;3.利用函数的性质解决有关问题.

1. 奇、偶函数的概念 一般地, 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x) 就叫 做偶函数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数

f(x)就叫做奇函数.
奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2. 奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反. (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积都是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数. 3. 周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任 何 值时,都有 f(x+T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周 期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最 小 正数就叫做 f(x)的最小正周期. [难点正本 疑点清源]
1

1. 函数奇偶性的判断 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中, 可以转化为判断奇 偶性的等价关系式 (f(x)+ f(- x)= 0(奇函数)或 f(x)- f( -x)= 0(偶函数)) 是否成 立. 2. 函数奇偶性的性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (3)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于 原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.

1. (课本改编题)已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是 ________. 答案 1 3

2

解析 由 f(x)是偶函数知,f(x)=f(-x), 即 ax +bx=a(-x) -bx,∴2bx=0,∴b=0. 又 f(x)的定义域应关于原点对称, 1 1 即(a-1)+2a=0,∴a= ,故 a+b= . 3 3 2. (2011·广东)设函数 f(x)=x cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 答案 -9 解析 令 g(x)=f(x)-1=x cos x, ∵g(-x)=(-x) cos(-x)=-x cos x=-g(x), ∴g(x)为定义在 R 上的奇函数.又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)-1=10,g(-a)=-g(a)=-10. 又 g(-a)=f(-a)-1,∴f(-a)=g(-a)+1=-9. 3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 答案 (-1,0)∪(1,+∞) 解析 画草图,由 f(x)为奇函数知:f(x)>0 的 x 的取值范围为 (- 1,0)∪(1,+∞).
2
3 3 3 3 2 2

4.函数 f(x)的定义域为 R, 若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数, 则 A.f(x)是偶函数 C.f(x)=f(x+2) 答案 D 解析 因为 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数, 所以 f(-x+1)=-f(x+1), 即 f(-x)=-f(2+x),f(-x-1)=-f(x-1), 即 f(-x)=-f(-2+x),于是 f(x+2)=f(x-2), 即 f(x)=f(x+4), 所以函数 f(x)是周期 T=4 的周期函数. 所以 f(-x-1+4)=-f(x-1+4), B.f(x)是奇函数 D.f(x+3)是奇函数

(

)

f(-x+3)=-f(x+3),
即 f(x+3)是奇函数. 5. (2011·大纲全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则

f?- ?等 2
于 1 A.- 2 答案 A 解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数, 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2 ( )

? 5? ? ?

? 5? ? 5 ? ∴f?- ?=f?- +2? ? 2? ? 2 ?
1 ? 1? 1 ? 1? ?1? =f?- ?=-f? ?=-2× ×?1- ?=- . 2 ? 2? 2 ? 2? ?2?

题型一 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x + x -9; (2)f(x)=(x+1) 4-x (3)f(x)= . |x+3|-3
3
2 2 2

1-x ; 1+x

思维启迪:确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称, 再验证 f(-x)=±f(x)或其等价形式 f(-x)±f(x)=0 是否成立. 解 (1)由{9-x ≥0?x -9≥0 ,得 x=±3.
2 2

∴f(x)的定义域为{-3,3}. 又 f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0. 即 f(x)=±f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.
?1-x ≥0?1+x≠0 (2)由? ?1+x

,得-1<x≤1.

∵f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. ∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)由{4-x ≥0?|x+3|-3≠0 ,得-2≤x≤2 且 x≠0.
2

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称. 4-x 4-x ∴f(x)= = . ? x+3? -3 x ∴f(x)=-f(-x),∴f(x)是奇函数. 探究提高 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义 域对解决问题是有利的; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中, 可以转化为判断奇 偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否 成立. 下列函数: 3 -3 ①f(x)= 1-x + x -1; ②f(x)=x -x; ③f(x)=ln(x+ x +1); ④f(x)= ; 2
2 2 3 2 2 2

x

-x

⑤f(x) =lg 1-x . 1+x ( C.4 D.5 )

其中奇函数的个数是 A.2 答案 D B.3

解析 ①f(x)= 1-x + x -1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=±f(x)=0,则 f(x) = 1-x
2

2

2

+ x -1既是奇函数,也是偶函数;

2

4

②f(x)=x -x 的定义域为 R, 又 f(-x)=(-x) -(-x)=-(x -x)=-f(x), 则 f(x)=x -x 是奇函数; ③由 x+ x +1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x +1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln(-x+ ?
2 2 2 3 3 3

3

-x?

2

+1)=ln

1

x+ x2+1

=-ln(x+ x +1)=-f(x), 则 f(x)为奇函数; 3 -3 ④f(x)= 的定义域为 R, 2 3 -3 3 -3 又 f(-x)= =- =-f(x), 2 2 则 f(x)为奇函数; 1-x ⑤由 >0 得-1<x<1, 1+x
-x

x

-x

x

x

-x

f(x)=ln

1-x 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x ?1-x?-1 =ln? ? 1-x ?1+x?

又 f(-x)=ln

1-x =-ln =-f(x), 1+x 则 f(x)为奇函数,∴奇函数的个数为 5. 题型二 函数的奇偶性与周期性 例2 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x). 当 x∈[0,2] 时,f(x)=2x-x . (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013). 思维启迪:(1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)是周期函数; (2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]上的解析式, 进而求 f(x)在[2,4]上 的解析式; (3)由周期性求和. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],
5
2

∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x) =-x +6x-8, 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x +6x-8, 即 f(x)=x -6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 探究提高 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x) (T≠0)便可证明函数是周期函数, 且 周期为 T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=- 时,f(x) =x,则 f(105.5)=________. 答案 2.5 解析 由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] =- 1 1
2 2 2 2

f? x?

,当 2≤x≤3

f? x+2?

=- -

1 1

=f(x).

f? x?

故函数的周期为 4. ∴f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5). ∵2≤2.5≤3,由题意,得 f(2.5)=2.5. ∴f(105.5)=2.5. 题型三 函数性质的综合应用 例3 设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π )的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间. 思维启迪:可以先确定函数的周期性,求 f(π );然后根据函数图象的对称性、周期性 画 出函数图象,求图形面积、写单调区间. 解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,
6

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4)=-f(4-π ) =-(4-π )=π -4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 又当 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所 示.

当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,

?1 ? 则 S=4S△OAB=4×? ×2×1?=4. ?2 ?
(3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1] (k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3] (k∈Z). 探究提高 函数性质的综合问题,可以利用函数的周期性、对称性确定函数图象,充分 利用已知区间上函数的性质,体现了转化思想. (1)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2] 上是增 函数, 则 A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 答案 D 解析 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递 增,又 ( )

f(x-4)=-f(x)? f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数 f(x)以 8 为周期,f(-25)= f(-1),f(11)
=f(3)=-f(3-4)=f(1),

7

f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11).
(2)函数 y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当 x∈(0,+∞)时是增函数,若 f(1)=0,求不 等式 f[x(x 1 - )]<0 的解集. 2 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,

∴y=f(x)在(-∞,0)上也是增函数, 且由 f(1)=0 得 f(-1)=0. 1 若 f[x(x- )]<0=f(1), 2 则?x?
? ?

x- ? >0?x? x- ? <1

1 2

1 2

1 即 0<x(x- )<1, 2 1 1+ 17 1- 17 解得 <x< 或 <x<0. 2 4 4 1 若 f[x(x- )]<0=f(-1), 2 则?x?
? ?

x- ? <0?x? x- ? <-1

1 2

1 2

1 由 x(x- )<-1,解得 x∈?. 2 ∴原不等式的解集是 1 1+ 17 1- 17 {x| <x< 或 <x<0}. 2 4 4 1.等价转换要规范 典例: (12 分)函数 f(x)的定义域 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D.有 f(x1·x2) =f(x1) +f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明; (3)如果 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的 取值范围. 审题视角 (1)从 f(1)联想自变量的值为 1, 进而想到赋值 x1=x2=1.(2)判断 f(x)的奇 偶性, 就是研究 f(x)、f(-x)的关系.从而想到赋值 x1=-1,x2=x.即 f(-x)=f(-1)+
8

f(x).(3)
就是要出现 f(M)<f(N)的形式,再结合单调性转化为 M<N 或 M>N 的形式求解. 规范解答 解 (1)令 x1=x2=1,

有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0.[2 分] (2)f(x)为偶函数,证明如下:[4 分] 令 x1=x2=-1, 有 f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1),解得 f(-1)=0. 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.[7 分] (3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,

f(16×4)=f(16)+f(4)=3.[8 分]
由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64).[9 分] 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}.[12 分] 3 3 3 温馨提醒 数学解题的过程就是一个转换的过程. 解题质量的高低, 取决于每步等价转 换的规范程度.如果每一步等价转换都是正确的、规范的,那么这个解题过程就一定是 规范的.等价转化要做到规范,应注意以下几点: (1)要有明确的语言表示.如“M”等价于“N”,“M”变形为“N”. (2)要写明转化的条件. 如本例中: ∵f(x)为偶函数, ∴不等式(*)等价于 f[|(3x+1)(2x - 6)|]≤f(64). (3)转化的结果要等价.如本例:由于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64)? |(3x+1)(2x- 6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0.若漏掉(3x+1)(2x-6)≠0,则这个转化就不等价了.

方法与技巧
9

1. 正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2. 奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要 先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f(-x) =±f(x) ?f( - x)±f(x) = 0?

f? -x? = f? x?
±1(f(x)≠0). 3. 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也成立.利用这一性质 可简化一些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性. 失误与防范 1. 判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2. 判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能 说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3. 分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间 上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

(时间:60 分钟)

A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 ( . ) A.y=sin x C.y=e 答案 D 解析 由函数奇偶性的定义知 A、B 项为奇函数,C 项为非奇非偶函数,D 项为偶函数. 2 . (2012· 天 津 ) 下 列 函 数 中 , 既 是 偶 函 数 , 又 在 区 间 (1,2) 内 是 增 函 数 的 为 ( ) A.y=cos 2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R 且 x≠0
x

(2012·

广



)





















B.y=x

3

D.y=ln x +1

2

10

e -e C.y= ,x∈R 2 答案 B

x

-x

D.y=x +1,x∈R

3

? π? 解析 选项 A 中函数 y=cos 2x 在区间?0, ?上单调递减,不满足题意; 2? ?
选项 C 中的函数为奇函数; 选项 D 中的函数为非奇非偶函数,故选 B. 3.(2011·辽宁)若函数 f(x)= ? 2x+1? ? A. 1 2 B. 2 3 3 C. 4 D.1

x

x-a?

为奇函数,则 a 等于(

)

答案 A 解析 ∵f(-x)=-f(x), ∴ ? -x x =- -2x+1? ? -x-a? ? 2x+1? ?

x-a?



1 ∴(2a-1)x=0,∴a= . 2 4. (2012·福州质检)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,

f(x)
( )



2x

2





f(7)





A.-2 答案 A

B.2

C.-98

D.98

解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的函数, ∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1),又∵f(x)在 R 上是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(- 1)=-f(1), 而当 x∈(0,2)时,f(x)=2x ,∴f(1)=2×1 =2,∴f(7)=f(-1)=-f(1)=-2,故 选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 设函数 f(x)=x(e +ae )(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 答案 -1 解析 因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x),即-x(e +ae )=x(e +ae ), 化简得
-x 2 2

x

-x

x

x

-x

x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数 x 都成立,所以 a=-1.
6. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1) =______. 答案 -3
11
x

解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 因此 f(-x)+f(x)=0.当 x=0 时, 可得 f(0) =0, 可得 b=-1,此时 f(x)=2 +2x-1,因此 f(1)=3.又 f(-1)=-f(1),所以 f(-1) =-3.
x

? 3? 7. (2012·江南十校联考)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件 f?x+ ?=-f(x),且 ? 2?
函数 y

? 3? =f?x- ?为奇函数,给出以下四个命题: ? 4?
①函数 f(x)是周期函数;

? 3 ? ②函数 f(x)的图象关于点?- ,0?对称; ? 4 ?
③函数 f(x)为 R 上的偶函数; ④函数 f(x)为 R 上的单调函数. 其中真命题的序号为________. 答案 ①②③

? 3? 解析 由 f(x)=f(x+3)? f(x)为周期函数,且 T=3,①为真命题;又 y=f?x- ?关 ? 4?
于(0,0) 对称,

y=f?x- ?向左平移 个单位得 y=f(x)的图象,

? ?

3? 4?

3 4

? 3 ? 则 y=f(x)的图象关于点?- ,0?对称,②为真命题; ? 4 ?
3? ? 3 3? 3? ? 3? ? 3? ? ?3 又 y=f?x- ?为奇函数, ∴f?x- ?=-f?-x+ ?, f?x- - ?=-f? -x- ?=-f(- 4? ? 4 4? 4? ? 4? ? 4? ? ?4

x),

? 3? ? 3? ∴f?x- ?=-f(-x),f(x)=f(x-3)=-f?x- ?=f(-x),∴f(x)为偶函数,不可 2 ? ? ? 2?
能为 R 上 的单调函数.所以③为真命题,④为假命题. 三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)已知函数 f(x)=x + (x≠0). (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性. 解 (1)当 a=0 时,f(x)=x ,f(-x)=f(x) ,函数是偶函数.
12
2 2

a x

当 a≠0 时,f(x)=x + (x≠0), 取 x=±1,得 f(-1)+f(1)=2≠0;

2

a x

f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1, 1 2 这时 f(x)=x + .

x

任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 1 ? 2 1? 2 则 f(x1)-f(x2)=(x1+ )-?x2+ ?

x1

?

x2?

=(x1+x2)(x1-x2)+ =(x1-x2)?x1+x2-

x2-x1 x1x2

? ?

x1x2? ?

1 ? .

由于 x1≥2,x2≥2,且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+x2> 所以 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. 9. (13 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式. (1)证明 由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 有 f(x+1)=f(1-x),即有 f(-x)=f(x+2). 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故有 f(-x)=-f(x).故 f(x+2)=-f(x). 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0. 1

x1x2



x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x.
故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x.

x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4.

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从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)=- -x-4. B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. (2011·安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x,则 f(1)等于 ( ) A.-3 答案 A 解析 ∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x -x, ∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1) -(-1)]=-3. 2. 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),则
2 2 2

B.-1

C.1

D.3

f(2
013) ( ) A.-1 答案 C 解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x), f(- B.1 C.0 D.无法计算 +

f(2

015)







x)=f(x),
∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0. 3. (2012·淄博一模)设奇函数 f(x)的定义域为 R,最小正周期 T=3,若 f(1)≥1,f(2) 2a-3 = , a+1 则 a 的取值范围是 2 A.a<-1 或 a≥ 3 2 C.-1<a≤ 3 答案 C 解析 函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=-f(-1). 由 f(1)=-f(-1)≥1,得 f(-1)≤-1;
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( B.a<-1 2 D.a≤ 3

)

函数的最小正周期 T=3,则 f(-1)=f(2), 由 2a-3 2 ≤-1,解得-1<a≤ . a+1 3

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 4. (2011·浙江)若函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 答案 0 解析 ∵函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(-x) -|-x+a|=x -|x+a|, ∴|-x+a|=|x+a|,∴a=0. 1 5. 已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 015) 4 =________. 答案 1 4
2 2 2 2

解析 方法一 令 x=1,y=0 时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1), 1 解得 f(0)= , 2 令 x=1,y=1 时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0), 1 解得 f(2)=- , 4 令 x=2,y=1 时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1), 1 解得 f(3)=- , 2 1 1 1 1 依次求得 f(4)=- ,f(5)= ,f(6)= ,f(7)= , 4 4 2 4

f(8)=- ,f(9)=- ,?
可知 f(x)是以 6 为周期的函数, 1 ∴f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)= . 4 1 方法二 ∵f(1)= ,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y), 4 1 π ∴构造符合题意的函数 f(x)= cos x, 2 3 1 ?π ? 1 ∴f(2 015)= cos? ×2 015?= . 2 ?3 ? 4 6. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知

1 4

1 2

15

?1?1-x 当 x∈[0,1]时,f(x)=? ? ,则①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上递减, ?2? ?1? 在(2,3)上递增;③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0;④当 x∈(3,4)时,f(x)=? ? ?2?
x-3

.其中所有正确命题的序号是________.

答案 ①②④ 解析 由已知条件:f(x+2)=f(x), 则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确; 当-1≤x≤0 时 0≤-x≤1,

f(x)=f(-x)=? ?1+x, 2
函数 y=f(x)的图象如图所示:

?1? ? ?

当 3<x<4 时,-1<x-4<0,

f(x)=f(x-4)=? ?x-3,因此②④正确.③不正确. 2
三、解答题(共 13 分) 7. 已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上, 只有 f(1) =f(3)=0, (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上根的个数,并证明你的结论. 解 (1)若 y=f(x)为偶函数,

?1? ? ?

则 f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2)) =f(4+x)=f(x), ∴f(7)=f(3)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上, 只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是偶函数. 若 y=f(x)为奇函数,则 f(0)=f(-0)=-f(0), ∴f(0)=0,这些 f(x)在闭区间[0,7]上, 只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是奇函数. 综上可知:函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)∵f(x)=f[2+(x-2)]=f[2-(x-2)]=f(4-x),

f(x)=f[7+(x-7)]=f(7-(x-7))=f(14-x),
∴f(14-x)=f(4-x),即 f[10+(x-4)]=f(4-x)
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∴f(x+10)=f(x),即函数 f(x)的周期为 10. 又∵f(1)=f(3)=0, ∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z),

f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z),
即 x=1+10n 和 x=3+10n(n∈Z)均是方程 f(x)=0 的根. 由-2 011≤1+10n≤2 011 及 n∈Z 可得 n=0,±1,±2,±3,?,±201,共 403 个; 由-2 011≤3+10n≤2 011 及 n∈Z 可得 n=0,±1,±2,±3,?,±200,-201, 共 402 个; 所以方程 f(x)=0 在闭区间[-2 011,2 011]上的根共有 805 个.

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