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2018版高中数学人教B版必修二学案:1.1.4 投影与直观图


1.1.4 [学习目标] 投影与直观图 1.了解中心投影与平行投影.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 .3. 用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图. [知识链接] 1 1.三角形的面积 S= ah(其中 a 为底边长,h 为底边上的高). 2 1 2.梯形的面积 S= (a+b)h(其中 a、b 为两底长,h 为高). 2 [预习导引] 1.平行投影 已知图形 F,直线 l 与平面 α 相交.过 F 上任意一点 M 作直线 MM′平行于 l,交平面 α 于点 M′, 则点 M′叫做点 M 在平面 α 内关于直线 l 的平行投影(或象).如果图形 F 上的所有点在 平面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F′,则 F′叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的平行 投影. 2.平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有下述性质: (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段; (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线; (3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段平行且等长; (4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等; (5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比. 3.中心投影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上,这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投 影. 4.水平放置的平面图形的直观图的画法 (1)表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图. (2)用斜二测画法画空间图形的直观图时,图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段在直观图中 1 分别画成平行于 x′轴、y′轴或 z′轴的线段,平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中长度 不变,平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半. (3)对于图形中与 x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段,可通过确定端点的办法来解决,即过端 点作坐标轴的平行线,再借助于所作的平行线确定端点在直观图中的位置. 要点一 中心投影与平行投影 例 1 下列说法: ①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点; ②空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线; ③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式. 其中正确的个数为( A.0 C.2 答案 D 解析 平行投影的投影线互相平行, 中心投影的投影线相交于一点; 空间图形经过中心投影 后,直线变成直线,但平行线有可能变成相交线,如照片中由近到远物体之间的距离越来越 近,最后相交于一点;几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故 3 种说法都正 确. 规律方法 1.考察一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影 面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断. 2.平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系,位置发生改变,一般情况下投影 也会改变. 3.中心投影与人的视觉效果一致,解题时可结合生活实际作出判断. 跟踪演练 1 如图所示,这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后,在地 面上形成的阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为 1.2 m, 桌面距离地面 1 m, 若灯泡距离地 面 3 m,则地面上阴影部分的面积为________(忽略桌脚). ) B.1 D.3 2 答案 0.81π m2 0.6 2 解析 设地面阴影圆的半径为 x, 则有 = , ∴x=0.9, ∴阴影圆的面积为 S=πx2=0.81π m2. x 3 要点二 画水平放置的平面图形的直观图

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