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萍乡市2012-2013高二数学理科期末考试(2)


准考证号

姓名 (在此卷上答题无效)

萍乡市 2012—2013 学年度第二学期期末考试

高二数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号. 第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写作答.若在试题卷上作答,答题无效. 3.考试中不准使用计算器. 4.考试结束后,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式: 独立性检验中统计量:

?2 ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2.706 90% 3.841 95% 6.635 99%

独立性检验把握值数据表:

?2 ?
有关的有把握百分数

第Ⅰ卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合要求的. 1. 复数 z ? A.1+2i 2.若

3?i ,则 z ? 1? i
B.1-2i
2 0

C.-1+2i
2 1

D.-1-2i

?

1 0

f ( x)dx ? 1, ? f ( x)dx ? ?1, 则 ? f ( x)dx ?
B. 1 C. 2 D. -2

A. 0 3.曲线 y ?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x?2
B. y ? 2 x ? 1 C. y ? ? x ? 2
1

A. y ? 2 x ? 1

D. y ? ? x ? 2

4. 从 5 件正品、1 件次品的 6 件产品中随机取出两件,则取出的两件恰好是 1 件正品和 1 件 次品的概率是 A. 1 B.

1 2

C.

1 3

D.

2 3

5. 某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其线性回归方程可能是 A. y ? ?10 x ? 200 B. y ? 10 x ? 200 C. y ? ?10 x ? 200 D. y ? 10 x ? 200 6. 今年 4 月 20 日 8 时 02 分四川省雅安市芦山县发生了 7.0 级地震,当地受灾严重,损失 巨大.中国人民心连心,一方有难八方支援,全国各地都在想办法支援雅安.江西省准备从 4 名医 疗专家和 3 名建筑专家中选出 4 名专家赴雅安先去支援,若所选的 4 名专家中必须既要有医疗专 家又要有建筑专家,则不同的选法共有 A.140 种 B. 120 种 C. 35 种 D. 34 种 7. 观察下列各式: 1 ? 12 ,2 ? 3 ? 4 ? 32 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 , 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 7 ,
2

?,则第 n 个式子是 A. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (2n ? 1) ? n2 B. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (2n ? 1) ? (2n ? 1)2 C. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 1) ? (2n ? 1)2 D. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1)2 8. 甲乙两名篮球队员轮流投篮直到某人投中为止,每次投篮甲投中的概率为 0.4,乙投中的 概率为 0.6,且不受其它投篮结果的影响.设甲投篮的次数为 X ,若甲先投,则 P ( X ? k ) ? A. 0.6
k ?1

? 0.4

B. 0.4

k ?1

? 0.6

C. 0.24

k ?1

? 0.76

D. 0.24

k ?1

? 0.4

9. 若对任意实数 x, y 都有 ( x ? 2 y) 5 ? a0 ( x ? 2 y) 5 ? a1 ( x ? 2 y) 4 y ? a2 ( x ? 2 y) 3 y 2

? a3 ( x ? 2 y) 2 y 3 ? a4 ( x ? 2 y) y 4 ? a5 y 5 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ?
A.243 B.-243
3 2

C.244

D.-244
2

10. 如 下 图 , 已 知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0, d ? c), 记 ? ? 4(b ? 3ac), 则 当

? ? 0 且 a ? 0 时,函数 f ( x) 的大致图像为

2

萍乡市 2012—2013 学年度第二学期期末考试

高二数学(理科)
第Ⅱ卷
注意事项: 第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答题无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11. 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 6 的极大值为____________. 12. 若 z 为复数,则关于 z 方程 3z ? | z |? 1 ? 3i 的解是__________. 13. 由曲线 y ? e x , x ? 0, y ? e 所围成的曲多边形的面积为_________(用数字作答). 14.欧美等国家流行一种“数独”推理游戏,其游戏规 则如下:①在 9 ? 9 的九宫格子中,分成 9 个 3 ? 3 的小九宫 格,用 1 到 9 这 9 个数字填满整个格子;②每一行与每一列 都有 1 到 9 的数字,每个小九宫格也有 1 到 9 的数字,并且 一个数字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次,既 不能重复也不能遗漏.如图,那么图中的 a ? b ? ______. 15. 如图,某伞厂生产的“太阳”牌太阳伞的伞蓬是由 太阳光的七种颜色组成,七种颜色分别涂在伞蓬的八个区域内,且恰有一种颜 色涂在相对区域内,则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有 ____________ 种.(用数字作答) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知某公司有 10 名各部门的管理者,其中精通英语的管理者 2 名. (1)求从 10 名管理者中任取 3 名去英国考察不 需 要 请翻译的概率; . . . (2)为了保证使 2 名精通英语的管理者全部被选到的概率不 低 于 . . .0.8,求至少应该选几名管 理者去英国考察.
3

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? (n ? 1) x2 ? x (n ? N ? ) ,数列 {an } 满足 an ?1 ? f ?(an ), a1 ? 3 . (1)求 a 2 , a3 , a 4 ,并猜想数列 {an } 的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 18. (本小题满分 12 分) 某同学参加消防知识竞赛,共有 4 道试题,他答对每道题的概率都是

1 3

1 2

2 ,且回答各题相互独 3

立.竞赛规定:参赛者未答题前有底分 300 分,每答对一题得 100 分,答错扣 100 分;若一开始 连答错 3 道试题就自动下场,否则留在场上答完 4 道试题. (1)分别求此同学只答了 3 题、答了 4 题的概率; (2)求此同学最后得分 X 的数学期望; (3)若另有 5 名同学都与此同学水平相当,并都参加了比赛,求他们 6 人中到最后能留在 场上的人数 Y 的期望与方差. 19. (本小题满分 12 分)

x ,其中 b ? R. x ?b (1)求函数 f ( x) 的单调区间;
已知函数 f ( x ) ?
2

(2)设 b ? 0 ,若存在 x ?[ , ] ,使 f ( x) ? 1 成立,求实数 b 的取值范围. 20. (本小题满分 13 分) 今年五一黄金周,记者随机询了问某景区 110 名游客对景区的服务是否满意的情况,其中男 性 60 名游客中 50 人满意、10 人不满意;女性 50 名游客中 30 人满意、20 人不满意. (1)从这 50 名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样,抽取一个容量为 5 的样本, 再从样本中随机抽取一名,求抽到满意女游客的概率? (2)将(1)中的 5 个样本编号后混合均匀,从中不放回的抽取 2 个编号,每次抽取一个编 号,求在第一次抽取到满意女游客的编号的条件下第二次也抽取到满意女游客的概率; (3)根据题中数据建立一个 2×2 的列联表,问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务 满意”有关? 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) 且导函数为 f ?( x) .若函数 y ? 则称 f ( x) 为“一次导比增函数” ; 若函数 y ? 的集合记为 ? 2 .

1 3 4 4

导比增函数” .我们把所有“一次导比增函数”组成集合记为 ?1 ,所有“二次导比增函数”组成

f ?( x) 在 (0,??) 上是增加的,则称 f ( x) 为“二次 x2

f ?( x) 在 (0,??) 上是增加的, x

1 4 2 3 1 2 x ? hx ? hx ? 1 ( x ? 0) . 4 3 2 (1)若 f ( x) ? ?1 且 f ( x) ? ? 2 ,求实数 h 的取值范围;
已知函数 f ( x) ? (2)设 0 ? 2a ? b ? c, g ( x) ??1 ,且相关数据如下表所示: x a b c a+b+c g ?( x) d 2d t 4 求证: d (4d ? t ? 4) ? 0 .
4

萍乡市 2012—2013 学年度第二学期期末考试

高二理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(10×5=50 分) :BDACA;DDCDD. 二、填空题(5×5=25 分) : 11.6;12. z ? ?i ;13.1; 14.a+b=2;15. 2520 ; 三、解答题(共 75 分) : 16.(1)因为不需要请翻译则至少要有一名精通英语的管理者被选,所以记事件 A 为“至少有 一名精通英语的管理者被选” ,则

P( A ) ?

___

C83 7 ? ,????????????????????????????(3 分) 3 C10 15
___

? P( A) ? 1 ? P( A ) ?

8 .?????????????????????????(5 分) 15

(2)设从 10 名专家中取 n 名管理者才能使 2 名精通英语的管理者全被选到的概率不低于 0.8,记事件 B 为“取 n 名专家才能使 2 名精通英语的专家全被选到” .

? P( B) ?

2 C2 ? C8n ?2 , ????????????????????????(7 分) n C10

?

2 C2 ? C8n?2 8 8 n .?????????????????(8 分) ? ,? C8n?2 ? ? C10 n 10 10 C10

?

8! 8 ? 10! ? .???????????????? (9 分) (n ? 2)!?(10 ? n)! 10 ? n!?(10 ? n)! 1 8 ? 10 ? 9 ? ,? n ? (n ? 1) ? 72,? n 2 ? n ? 72 ? 0 .????????(10 分) (n ? 2)! 10 ? n!

?

? n ? N ,? n ? 9 .??????????????????????????(11 分)

? 至少应该选 9 名管理者才能保证 2 名精通英语的管理者全被选的概率不低于 0.8. (12 分)
17. (1)? f ' ( x) ? x2 ? (n ? 1) x ? 1(n ? N ? ) ,??????????????????(1 分)
2 ? an?1 ? an ? (n ? 1)an ? 1 .??????????????????????(2 分)

? a1 ? 3 ,? a2 ? 4 ,a3 ? 5 a , 4 ?.??????????????????????( 6 5 分)
5

猜想 an ? n ? 2 .?????????????????????????????(6 分) (2)用数学归纳法证明 an ? n ? 2 . 当 n=1 时,a1 ? 3 显然成立. ???????????????????????? (7 分) 假设当 n ? k 时, ak ? k ? 2 成立,?????????????????????(8 分) 所以,当 n ? k ? 1 ( k ? N ? )时,
2 ? ak ?1 ? ak ? (k ? 1)ak ? 1 ? (k ? 2) 2 ? (k ? 1)(k ? 2) ? 1,?????????? (10 分)

??????????????????????? (11 分) ? ak ?1 ? k ? 3 ? (k ? 1) ? 2 .

? 当 n=k+1 时,猜想成立.
综上,? 对一切 k ? N ? ,有 an ? n ? 2 .????????????????? (12 分) 18. (1)因为他答对每道题的概率都是 答了 4 题的概率为 p ? 1 ? P ?

2 1 1 ,只答了 3 题的概率为 P ? ( )3 ? ,??(1 分) 3 3 27

26 .??????????????????????? (2 分) 27

(2) X 可能取值为 0,100,300,500,700,???????????????? (3 分)

1 1 2 2 1 2 2 1 , ? P( X ? 0) ? ( )3 ? , P( X ? 100) ? C3 ( ) ? ? ? 3 27 3 3 3 27 2 8 2 32 2 1 2 11 P( X ? 300) ? C4 ( ) ? ( )2 ? , P( X ? 500) ? C4 ? ( )3 ? , 3 3 27 3 3 81

2 16 P ( X ? 700 ) ? ( ) 4 ? ??????????????????????? (6 分) 3 81
? EX ? 0 ? 1 2 8 32 16 3500 8 ???? (8 分) ? 100 ? ? 300 ? ? 500 ? ? 700 ? ? ? 432 . 27 27 27 81 81 81 81

(3)由题意 Y ~ B (6,

26 ) , ???????????????????????? (10 分) 27

? EY ? 6 ?

26 7 26 1 52 . ????????????????? (12 分) ? 5 , DY ? 6 ? ? ? 27 9 27 27 243

19. (1)? f ( x) ?

x b ? x2 ' . ?????????????? (1 分) , ? f ( x ) ? x2 ? b ( x 2 ? b) 2
1 ( x ? 0),? f ' ( x) ? 0 , 2 x

当 b ? 0 时 , ? f ' ( x) ? ?

? f ( x) 在 区 间 (??,0), (0,??) 上 是 减 少 的 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (3 分)
当 b>0 时 , ? f ( x) ? 0 可 得 x1 ? ? b , x2 ? b ,
'

6

? x ? (? b , b ), f ' ( x) ? 0; x ? (??,? b ) 和 x ? ( b ,??), f ' ( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 区 间 (??,? b ), ( b ,??) 上 是 减 少 的 ,在 (? b , b ) 上 是 增 加 的 .?(5 分)
当 b<0 时 ,

f ( x) 的 定 域 为 {x | x ? ? ? b}, f ' ( x) ? 0 ,

? f ( x) 在 为 (??,? ? b ), (? ? b , ? b ), ( ? b ,??) 上 是 减 少 的 . ??????(7 分) 1 3 1 3 2 ( 2 ) ? b ? 0, x ? [ , ] , ? f ( x) ? 1 等 价 于 b ? ? x ? x, x ? [ , ] . ????(9 分) 4 4 4 4 3 1 设 g ( x) ? ? x 2 ? x, ? 由 二 次 函 数 的 性 质 可 得 g ( x ) ? [ , ] , ????????(10 分) 16 4
因为存在 x ?[ , ] ,使 f ( x) ? 1 成立,即 b ? [ g ( x)]max ,????????????(11 分)

1 3 4 4

?0 ? b ?

1 . ??????????????????????????????? (12 分) 4

20. (1)根据分层抽样可得:样本中满意的女游客为 客为

5 ? 30 ? 3 名,样本中不满意的女游 50

5 ? 20 ? 2 名,?????????????????????????????(2 分) 50 3 所以,从样本中随机抽取一名抽到满意女游客的概率为 . ??????????(3 分) 5
(2)设“第一次取到满意游客编号”为事件 A, “第二次取到满意游客编号”为事件 B. 根据条件概率的定义计算,需要先求出事件 A 和 AB 的概率:

1 1 1 C3 3 C3 C2 3 P ( AB ) ? ? ,?????????????(5 分) , ? 1 1 1 C5C4 10 C5 5 P( AB) 1 ? P( B | A) ? ? .?????????????????????????(7 分) P( A) 2

由(1)知? P( A) ?

(3)根据题中数据 2 x 2 列联表为: 男性 女性 总计 50 30 80 满意 10 20 30 不满意 60 50 110 总计 ????????????????????????????????????(9 分) 根据题目中列联表得: ? ?
2

110? (50 ? 20 ? 30 ? 10) 2 539 ? ? 7.486,???(11 分) 80 ? 30 ? 60 ? 50 72

由 ? 2 ? 6.635 , 故有 99 %的把握认为该景区游客性别与对景区的服务满意有关. ? (13 分) 21.(1)? f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,?????????????????????(1 分)
' 3 2

?y ?

f ' ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 为开口向上的二次函数, 在 (??, h) 上是减少的, 在 (h,? ?) 上 x

是增加的. ?????????????????????????????????? (2 分) ? f ( x) ? ?1 ,即 y 在 (0,??) 上是增加的,? h ? 0 ,?????????????.(3 分)
7

h f ' ( x) h ? x ? ? 2h ,令h ( x) ? x ? ? 2h , 2 x x x 假设 f ( x) ? ? 2 ,? h( x) 在 (0,??) 上是增加的.????????????????(4 分) h ? h ' ( x) ? 1 ? 2 ? 0 在 (0,??) 上恒成立,? h ? 0 .??????????????.(6 分) x ? f ( x) ? ? 2 ,? h ? 0 .???? ?????????????????????(7 分) 综上:? h ? 0 .?????????????????????????????(8 分)

?y ?

(2)? g ( x) ??1 ,? y ?

? 0 ? a ? 2a ? b ? c ? a ? b ? c ,故有 g ' (a ) g ' (b) g ' (c) g ' ( a ? b ? c) ? ? ? ? ,????????????????? (10 分) a b c a?b?c 因 g ?(a) ? d , g ?(b) ? 2d , g ?(c) ? t , g ?(a ? b ? c) ? 4 ,

g '( x) 在 (0,??) 为增加的.????????????? (9 分) x

?

d 4 2d 4 t 4 ? , ? , ? ,?????????????? (11 分) a a?b?c b a?b?c c a?b?c 累加化简整理可得: (3d ? t ? 4)(a ? b ? c) ? 0 ,? 3d ? t ? 4 ? 0 .???????(12 分)

g ' (a) g ' (b) d 2d d (b ? 2a ) ? ,? ? ,? ? 0,? d ? 0 .??????????????.(13 分) a b a b ab ? 3d ? t ? 4 ? 0, d ? 0,? 4d ? t ? 4 ? 0 ,? d (4d ? t ? 4) ? 0 .????????.(14 分) ?
命题:张国田(萍乡七中) 审核:曾建强 曾建强(市教研室)

8


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