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第一章


1.4 条件概率
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式

四、小结

一、条件概率 1. 引入
称“已知事件A发生”的条件下,B发生的概率为 在A发生的条件下,B发生的条件概率。记作P( B A)

例如 : 从52张扑克牌中(去掉两张王牌)中 任取一张,抽到的是一张?,不放回, 问再从中抽取一张是?的概率多大?
3 ( ) 51

A? “第一次抽到?” B ? “第二次抽到?”
4 P ( A) ? 52

P ( B A) ?

4 P ( B) ? 52 -----抽签的公平性 4 3 × 3 52 51 ? P ( AB ) ? 4 P ( A) 51 52

A AB

B

?

2. 定义1.3
给定概率空间(?, P ), 设 A, B 是两个事件, P ( AB) 且 P ( A) ? 0, 称 P ( B | A) ? P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.
注 : (1) P ( B) ? P ( B | A) , P ( AB) ? P ( B | A)
P ( AB) P ( B) 若B ? A, 则P ( B | A) ? ? P ( A) P ( A)

A
B

(2) P (? A)实质是(?,F )上的一个概率测度, | 称之为在已知A发生的条件下的条件概率测度。

F
P (? A) : " B |

[0,1]

F

P ( AB) ? P ( B | A) P ( A)

(3)当A ? ?时,P (? A) ? P (? | )

3. 性质
(1)规范性 P(? A) ? 1, P(? | A) ? 0

(2) 非负性 : P(B A) ? 0;
(3) 可列可加性 : 设 B1 , B2 , ?, 是两两不相容的事 件, 则有
? ? ? ? P ? ? Bi A ? ? ? P ( Bi A). ? i ?1 ? i ?1

(4) P ( B A) ? 1 ? P ( B A).
(5) P( B1 ? B2 A) ? P( B1 A) ? P(B2 A) ? P(B1B2 A);

4、条件概率的计算方法
(1)定义式 (2)直接计算

例 1.20 一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回). (1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出 的仍是黑球的概率;
解: 记Ai为事件“第i次取到的是黑球”(i ? 1, 2)

2 (1) P ( A2 A1 ) ? 9

(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次 取出的也是黑球的概率.
3 2 P ( A1 A2 ) 10 ? 9 1 15 2 P ( A1 A2 ) ? ? ? ? 3 P ( A2 ) 3 10 9 10

二、 乘法公式
P ( AB) 由条件概率定义P ( B A) ? ,立即可得到: P ( A)

P ( AB) ? P ( A) P ( B A) ( P ( A) ? 0)
对称地,

P ( AB) ? P ( B) P ( A B) ( P ( B) ? 0)
-----乘法公式
注 : (1) P ( AB) ? P ( A) P ( B)
(2)乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方 法

设 A, B, C 为事件, 且 P ( AB) ? 0, 则有

P( ABC ) ? P( A) P( B A) P(C AB)
推广 设 A1 , A2 ,?, An 为 n 个事件, n ? 2,
且 P ( A1 A2 ? An?1 ) ? 0, 则有
P( A1A 2 ? A n ) ? P( A1 )P( A 2 A1 )P( A 3 A1A 2 ) ? P( A n A1A 2 ? A n ?1 )

例1.21 某批产品中,甲厂生产的产品占60%, 已知甲厂的产品的次品率为10%,从这批产品 中随意的抽取一件,求该产品是甲厂生产的次 品的概率. 解:记A表示事件“甲厂生产的”, B表示事件“产品是次品”, 则 P(A)=60%, P(B A )=10%. 根据乘法公式,有
P ( AB ) ? P ( A) P ( B A) ? 60% ? 10% ? 6%.

例1.22 一袋中装10个球,其中3个黑球,7个白 球,先后两次从中随意各取一球(不放回), 求两次取到的均为黑球的概率。
解 设Ai 表示事件“第i次取到的是黑球”(i=1,2) 则 A1 ? A 2表示事件“两次取到的均为黑球”。由题设知
3 2 P( A1 ) ? , P( A1 A2 ) ? 10 9

于是根据乘法公式,有
3 2 1 P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A1 / A2 ) ? ? ? 10 9 15

三、全概率公式与贝叶斯公式
P ( B A)

B
B B

A? B
A? B

A
P( A)
P ( B A)

?
P ( A)
P ( B A)

A? B A? B

A
P ( B A)

B

全概率公式
样本空间的划分

A2

A1
? An

{ Ai }是一列有限或可数 个两两互不相容的非零 概率事件,且 ? Ai ? ? .
i

A3
A2

?
A1

P ( B ) ? ? P ( Ai B )
i ?1

B
A3

? An

?

? ? P ( Ai ) P ( B | Ai )
i ?1

------全概率公式

定理1.1 (全概率公式) 设{ Ai }是一列有限或可数无穷个 两两互不相容的非零概率事件,且 ? Ai ? ? , 则对任意事件B, 有 P(B)= ? P(A i )P(B A i )
i i

证明:

P ( B ) ? P ( B ? ? ) ? P[ B ? ( ? Ai )]
i

? P[?( B ? Ai )] ? ? P ( B ? Ai )
i i

= ? P(A i )P(B A i )
i

例1.23 10个球

3黑 7白

, 不放回先后从中取2个球

求第二次取到黑球的概率.
解:记A表示事件“第一次取到黑球” B表示事件“第二次取到黑球”
P( A)

A

P ( B A)

?
P( A)

AB

B
A
P ( B A)

AB

B ? ( AB ) ? ( AB ) ( AB ) ? ( AB ) ? ?
P ( B) ? P ( AB) ? P ( AB)

A AB

B

?

? P ( A) P ( B A) ? P ( A) P ( B A) 3 2 7 3 3 ? ? ? ? ? 10 9 10 9 10

例1.24 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化,往往 会去分析影响股票价格的基本因素,比如利率的变化。现在假 设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为 40%。根据经验,人们估计,在利率下调的情况下,该支股票 价格上涨的概率为80%,而在利率 不变的情况下,其价格上涨 的概率为40%,求该支股票将上涨的概率。 解 记A为事件“利率下调”,那么 A 即为“利率不变”,记 B为事件“股票价格上涨”。据题设知
P( A) ? 60% P( A) ? 40% P( B / A) ? 80% P( B / A) ? 40%

于是

P( B) ? P( AB) ? P( AB) ? P( A) P( B / A) ? P( A) P( B / A) ? 60% ? 80% ? 40% ? 40% ? 64%

说明 (1) 全概率公式的主要用途在于它可以 将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简 单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求 出最终结果. A A
2

B
A3
? An

1

?

(2)使用全概率公式的关键是找出与所求 事件B的发生相联系的完备事件组 A1 , A2 ,? An ?

贝叶斯公式
考虑完全相反的问题 : 看到一个事件B“结果”) ( 发生了,考察导致B发生的原因、情况或途径 A i ( i ? 1, 2,?)发生的概率大小。 即求P ( Ai | B ) ( i ? 1, 2,?)

P ( Ai B ) P ( Ai B ) ? ? P( B)

? P( A )P( B A )
j j j

P ( Ai ) P ( B Ai )

------贝叶斯公式

求导致事件B发生的事件A的发生概率P(A/B)。 解:事件A的发生概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),两事 件同时发生的概率为P(AB),则 根据条件概率的定义,有 P( A / B) ?
P( AB) P( B)

由乘法公式知

P( AB) ? P( A) P( B / A)

由全概率公式知 P(B) ? P( A)P(B / A) ? P( A) P( B / A)

于是得

P( A / B) ?

P( A) P( B / A) P( A) P( B / A) ? P( A) P( B / A)

注:先验概率与后验概率 Bayes中概率 P( Ai ) 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 条件概率 P( Ai | B), i ? 1,2,... 叫做后验概率. 贝叶斯公式又称为后验概率公式和逆概率公式 用它进行判断或推断的方法,称为贝叶斯决策, 例如鉴别废品来源;某种疾病的诊断等等。

例1.25(续例1.23)例1.23中,如果观察到第二次取
到的球是黑球,求第一次取到的是黑球的概率。 解 设“第一次取到的是黑球”这一事件为A,“第二次取到 的是黑球”这一事件为B,则问题归结为求条件概率P(A/B) 据题设易知 从而
3 2 ? P( A) P( B / A) 2 10 9 P( A / B) ? ? ? 3 2 7 3 P( A) P( B / A) ? P ( A) P ( B / A) 9 ? ? ? 10 9 10 9

P( A) ?

3 2 7 3 P( B / A) ? P( A) ? P ( B / A) ? 10 9 10 9

例1.26 设某批产品中,甲、乙、丙三厂生产的产品 分别占45%、35%、20%,各厂产品的次品率分 别为4%、2%、5%,现从中任取一件。 (1) 求取到的是次品的概率;

(2) 经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲 厂生产的概率.
丙 35% 2% 4%


45%

5% 乙 20%

?

解:Ai分别表示产品为甲、乙、丙厂生产的, i ? 1, 2, 3. B表示这一产品为次品。

则 P ( A1 ) ? 45%, P ( A2 ) ? 35%, P ( A3 ) ? 20%, P ( B A1 ) ? 4%, P ( B A2 ) ? 2%, P ( B A3 ) ? 5%.
(1) 由全概率公式得: P(B) = ? P(A i )P(B A i )
i=1 3

= 45% ? 4% + 35% ? 2% + 20% ? 5% = 3.5%

(2)由贝叶斯公式得: P(A1B) P(A1 ) P(B A1 ) 45% ? 4% P(A1 B) = = ? ? 51.4% P(B) P(B) 3.5%

思考:经检验取到的是废品,问此废品最有可能 来源于哪一个厂? (甲厂)
P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A2 B ) ? ? 20% P ( A)
P ( A B3 ) P ( B3 ) P ( A3 B ) ? ? 28.6% P ( A)

补例 根 据 以 往 的 临 床 记 录 种 诊 断 癌 症 的 试 ,某
验 具 有 如 下 的 效 果若 以 A 表 示 事 件 试 验 反 应 : " 为 阳 性 ,以 C 表 示 事 件 被 诊 断 者 患 有 癌 症则 " " ", 有 P ( A C ) ? 0.95, P ( A C ) ? 0.95.现 在 对 自 然 人 群 进 行 普 查设 被 试 验 的 人 患 有 癌 的 概 率 为 .005, , 症 0 即 P (C ) ? 0.005, 试 求 P (C A).
P(C )

C

P( A C )

?
P(C )

CA

A
C
P( A C )

CA

解 因为 P ( A C ) ? 0.95,

P ( A C ) ? 1 ? P ( A C ) ? 0.05,

P (C ) ? 0.005, P (C ) ? 0.995,
由贝叶斯公式得所求概率为
P (C A) ? P (C ) P ( A C ) P ( C ) P ( A C ) ? P (C ) P ( A C )

? 0.087.

即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.

四、小结
1.条件概率
P ( AB ) P ( B A) ? P ( A)

乘法公式
P ( AB) ? P( A) P( B A)

全概率公式
P ( B ) ? ? P ( Ai ) P ( B | Ai )
i ?1

贝叶斯公式
P ( Ai B ) P ( Ai B ) ? ? P( B)

? P( A )P(B A )
j j j

P ( Ai ) P ( B Ai )

2.条件概率P( B A) 与积事件概率 ( AB) 的区别 ?? P .
P ( AB ) 表示在样本空间 ? 中, 计算 AB发生的概率, 而 P ( B A) 表示在缩小的样本空间 ? A 中, 计算 B 发生 的概率.

备份题 掷骰子试验
例1 掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为1点的概率.

解 设事件A 为“ 两颗点数之和为 7 ”, 事件 B 为 “ 一颗点数为1 ”.
两颗点数之和为 7 的种数为 3, 其中有一颗为 1 点的种数为 1, 1 故所求概率为 P? . 3

练习 : P29 5 10个考题签

4难 6易

甲?乙 ? 丙

Ai ?“第i个人抽到难签”,i =1,2,3
4 (1) P ( A ) ? 1 10 6 4 4 (2) P ( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) ? ? ? 10 9 15

(3) P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 ) 4 3 2 1 ? ? ? ? 10 9 8 30

例2 设一仓库中有10 箱同种规格的产品, 其中 由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱 , 3箱, 2 箱, 三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这 10 箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品, 求取得的正品概率. 解 设 A 为事件“取得的产品为正品”, , B2 , B3 , B1 分别表示“任取一箱产品是甲、乙、丙生产的”,
5 3 2 由题设知 P ( B1 ) ? , P ( B2 ) ? , P ( B3 ) ? . 10 10 10

P ( A B1 ) ? 0.9, P ( A B2 ) ? 0.8, P ( A B3 ) ? 0.7,


P ( A) ? ? P ( Bi ) P ( A Bi )
i ?1

3

5 9 3 8 2 7 ? ? ? ? ? ? 10 10 10 10 10 10
? 0.82.

明 练习 对以往数据分析结果表 ,当机器调整得 良好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某 种故障时, 其合格率为 55%.每天早上机器开动 时, 机器调整良好的概率为95%.试求已知某日 早上第一件产品是合格 , 机器调整得良好的 时 概率是多少?
解 设 A 为事件 "产品合格".

B 为事件 "机器调整良好 ".
则有

P ( A B) ? 0.98,

P ( A B) ? 0.55,

P ( B) ? 0.95,

P ( B) ? 0.05,

由贝叶斯公式得所求概率为
P( A B)P( B) P ( B A) ? P( A B)P( B) ? P( A B)P( B)

0.98 ? 0.95 ? 0.97. ? 0.98 ? 0.95 ? 0.55 ? 0.05

即当生产出第一件产品 是合格品时, 此时机器调 整良好的概率为0.97.

作业: 习题1-4 3,8 , 9,10


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