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揭阳、金中2014届高三下学期开学初联考试题(理数)


揭阳、金中 2014 届高三下学期开学初联考试题 数学(理科)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1. 复数 z=1+i, z 为 z 的共轭复数,则 zz ? z ? 1 ? ( ).
A.-2i B.-i C.i D.2i 2. 已知 ? , ? 是两个不同的平面, l , m, n 是不同的直线,下列命题不正确 的是( ... A.若 l ? m, l ? n, m ? ? , n ? ? , 则 l ? ? B.若 l / / m, l ? ? ? , m ? ?, 则 l / /? D.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , ,则 m ? n ).

C.若 ? ? ? ,? ? ? ? l, m ? ? , m ? l , 则 m ? ?

3. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了
其中 100 株树木的底部周长(单位:cm) .根 据所得数据画出了样本的频率分布直方图 (如图 1) ,那么在这 100 株树木中,底部周 长小于 110cm 的株数是( ) . A.30 B.60 C.70 D.80
0.04 0.02 0.01

频率/组距

80 90 100 110 120 130 周长(cm)

4.某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务, 如果要求至少有 1 名女生,那么不同的选派方案种数为( ). A.14 B.24 C.28 D.48 5. 某程序框图如图 2 所示,现将输出( x, y ) 值依次记为:

图 1

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ),?; 若程序运行中输出的一个数组是

( x, ?10), 则数组中的 x ? (
A.32 B.24

). C.18 D.16

6. 抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,点 P( x, y ) 为该抛物线上的动点,又
点 A(?1, 0), 则

| PF | 的最小值是( | PA |
B.

) .

A.

1 2

2 2

C.

3 2

D.

2 3 3

图 2

1

?y ? x ? 7. 设 m ? 2 ,点 P( x,y) 为 ? y ? mx 所表示的平面区域内任意一点, M (0, ? 5) , O 为坐标原 ?x ? y ? 1 ?
点, f (m) 为 OP ? OM 的最小值,则 f (m) 的最大值为( A. ? ) .

10 10 B. C. 0 D. 2 3 3 8. 将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图 3 ) ,设顶点
P( x, y ) 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法:
① f ( x) 的值域为 [0, 2] ;② f ( x) 是周期函数; ③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ;④ 其中正确的说法个数为: ( A.0 B. 1 ) C. 2 D. 3 y B

?

6

0

9 f ( x)dx ? ? . 2
OP

A
图 3

x

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.本大 题分为必做题和选做题两部分.
(一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答.

9. 已知向量 c ? (2 x ? 1, 4) , d ? (2 ? x ,3) ,若 c // d ,则实数 x 的值等于 10.
为 不 等 式

?

?

?

?



2 x ? log 2 x ? 2 x ? log 2 x


的 解 集 y B A O

11. 设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和,8a2 ? a5 ? 0 ,则
S5 ? S2
.

3
x C

? 3
图 4

12. 函数 f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如图
4 所示, 点 A( x1 ,0), B( x 2 , 3 ) , C ( x 4 ,? 3 ) , 若A BB ? C 等于 .

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

A ? B

2

, 则?

13. 如图 5,圆 O:x 2 ? y 2 ? ? 2 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区
域记为 M(图中阴影部分)随机往圆 O 内投一个点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率为 .

??

?

图 5

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答 只计算前一题的得分.
2

14.(极坐标系与参数方程)在极坐标系中,圆 ? ? 4 cos? 上的点到直线 ? (sin ? ? cos? ) ? 2 的
最大距离为 .

15.(几何证明选讲)如图 6,⊙O 中,直径 AB 和弦 DE 互相垂直,C 是 DE 延长线上一点,连
结 BC 与圆 O 交于 F,若 ?DBC ?

?
2

, ?BCD ?

?
6

,

AB ? 6 ,则 EC ? ________.

图 6

三.解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. 16.(本题满分 12 分) ? 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? sin(? x ? ), ? ? 0 且函数 f ( x) 的最小正周期为 2? .
2 (1)求 f ( x) 的最大值及取得最大值的 x 值;
(2)若 ? ? (0, ? ), 且 f (? ) ?

3 ,求 cos? 的值. 4

17.(本题满分 12 分)
学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现 从中选 2 人.设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P(? ? 0) ? (1) 求文娱队的人数; (2) 写出 ? 的概率分布列并计算 E? .

7 . 10

18.(本题满分 14 分)
等边三角形 ABC 的边长为 3 ,点 D 、 E 分别是边 AB 、AC 上的点,且满足 图 7 甲).将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位 置 , 使 二 面 角 A1 ? DE ? B 成 直 二 面 角 , 连 结
A

AD CE 1 ? ? (如 DB EA 2

A1

A1 B 、 A1C (如图 7 乙).
(1)求证: A1 D ? 平面 BCED ;
B

D E C B
图甲 图乙

D E C

( 2) 在线段 BC 上是否存在点 P , 使直线

PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60? ? 若存在 , 求
出 PB 的长,若不存在,请说明理由.

图 7

3

19.(本题满分 14 分)
已知数列 ?a n ?满足 a2 ? ? (1)求 a1 的值;
1 n? (2)求证:数列 ? ? ? ?? 1? ? 是等比数列; a ? n ?

a n ?1 1 (n ? 2, n ? N) . , an ? n 7 ?? 1? a n?1 ? 2

(3)设 c n ? a n si n

2 (2n ? 1)? ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N ,Tn ? . 3 2

20.(本题满分 14 分)
在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C1上的任一点到点(1,0)的距离与到直线 x ? 2 的距离 之比为

2 2 2 2 ,动点Q是动圆C2: x ? y ? r (1 ? r ? 2) 上一点. 2

(1)求曲线C1的轨迹方程; (2)若点P为曲线C1上的点,直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距 离|PQ|的最大值.

21. (本题满分 14 分)
已知函数 f ( x) ? ( x ? 6 x ? 3x ? t )e , t ? R .
3 2 x

(1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? a, x ? b, x ? c 处取到极值,且 a, b, c 成等差数列,求 t 的值; (2)若存在实数 t ? ? 0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m ? ,不等式 f ( x) ? x 恒成立.求正整数 m 的 最大值.

4

理科数学参考答案
一.选择题:
题目 答案 1 B 2 A 3 C 4 A 5 A 6 B 7 A 8 C

二.填空题:
题目 答案 9 10 11 12 13 14 15

1 2

?1, ?? ?

?11

? 6

4

?3

2?2 2

3 3

三.解答题:
16. 解: f ( x ) ? sin ? x ? sin( ? x ?

?
2

) ? sin ? x ? cos ? x ? 2 sin( ? x ?

?
4

) ……2 分

? f ( x ) 的最小正周期为 2? ,? ? ?
(1) f ( x) 的最大值为 2 ,当 x ?

?
4

2? ? 1, ………………………………4 分 T ? 2 k? ?

?

2

, 即 x ? 2 k? ?

?

4

( k ? Z ) 时 f ( x) 取得最大

值;…………………………………………………………………………………………6 分 (2)因为 f (? ) ?

3 3 ,即 sin ? ? cos ? ? ??? ①, ………………………………7 分 4 4 ? 7 ? 2sin ? cos ? ? ? 且 ? ? ( ,? ) ………………………………………………9 分 2 16
7 23 23 ? ,? cos ? ? sin ? ? ? ? ②,……………………11 分 16 16 4

(cos ? ? sin ? )2 ? 1 ?

由①、②解得 cos ? ?

3 23 ? …………………………………………………………12 分 8 8

17. (1)解法 1:∵ P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? ∴ P( ? ? 0 ) ?

7 , 10

3 . ……………………………………………………………………2 分 10

2 C7 3 即 2? 2x ? , ∴ (7 ? 2x )(6 ? 2x ) ? 3 , ∴x=2.………………………………5 分 C 7 ? x 10 (7 ? x )(6 ? x ) 10

故文娱队共有 5 人. ……………………………………………………………………6 分 解法 2:因为会唱歌的有 2 人,故两项都会的可能 1 人或 2 人。……………………1 分 若有 1 人两项都会,则文娱队有 6 人,可得 P( ? ? 0 ) ?
5

C52 3 ? ……………………2 分 2 C6 5

因为 P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ?

C2 3 3 7 ? 矛 ,故 P( ? ? 0 ) ? 与 P( ? ? 0 ) ? 5 2 C6 5 10 10

盾.……………………………………………………………………………………………………4 分

C32 3 若有 2 人两项都会,则文娱队有 5 人,此时 P( ? ? 0 ) ? 2 ? 满足条件.…………5 分 C5 10
故文娱队有 5 人.………………………………………………………………………………6 分 (2)∵ P(? ? 1) ? C2 ? C3 ? 3 , 2
1 1

C5

5

P(? ? 2) ?

C2 1 2 ? .………………………………………8 分 2 C 5 10

∴ ? 的概率分布列为

?
P

0

1

2

3 10

3 5

1 10

……………………………………10 分

? E? ? 0 ?

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? …………………………………………………………12 分 10 5 10 5
AD CE 1 ? ? ,所以 AD ? 1 , AE ? 2 .…1 分 DB EA 2

18. 证明:(1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且

在△ ADE 中, ?DAE ? 60? ,由余弦定理得 DE ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos 60? ? 3 .…3 分 因为 AD ? DE ? AE ,所以 AD ? DE .折叠后有 A1 D ? DE . ……………………4 分
2 2 2

因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A1 DE ? 平面 BCED . 又平面 A1 DE ? 平面 BCED ? DE , A1 D ? 平面 A1 DE , A1 D ? DE , 所以 A1 D ? 平面 BCED . …………………………………………………………………7 分 (2)解法 1:假设在线段 BC 上存 在点 P ,使直线 PA1 与平面

A1

A1 BD 所成的角为 60? .………………………………………8 分
如图 1,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1 H 、 A1 P . ……9 分 由(1)有 A1 D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED ,
6

D E H B
图 8

P

C

所以 A1 D ? PH .………………………………………10 分 又 A1 D ? BD ? D ,所以 PH ? 平面 A1 BD . 所以 ?PA1 H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角. ………………………………………11 分 设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? ,则 BH ?
?

3 x , PH ? x. 2 2
1 x. 2

在 Rt △ PA1 H 中, ?PA1 H ? 60 ,所以 A1 H ? 在 Rt △ A1 DH 中, A1 D ? 1 , DH ? 2 ?

1 x. 2
2 2

1 ? ?1 ? 由 A1 D 2 ? DH 2 ? A1 H 2 ,得 12 ? ? ?2? x? ? ? x? . 2 ? ?2 ? ?
解得 x ?

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意. …………………………………………………13 分 2

所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1 BD 所 成 的 角 为 60? , 此 时

PB ?

5 .………………………………………………………………………………………14 分 2

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1 D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、DE 、DA1 分别为 x 轴、 z

y 轴、 z 轴的正半轴 , 建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图
2…………………………………………8 分 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? ,则

A1

D B x H
图 9

E y P C

BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a .
所以 A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 . 所以

?

? ?

?

???? PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 .…………9 分

?

?

因为 ED ? 平面 A1 BD ,所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 . 因 为 直 线 PA1 与 平 面 A1 BD 所 成 的 角 为 60
?

????

?

?

???? ???? PA1 ?DE , 所 以 sin 60? ? ???? ???? PA1 DE

7

?

3a 4a 2 ? 4a ? 5 ? 3
即 PB ? 2a ?

?

3 5 , 解得 a ? .………………………………………………12 分 2 4

5 ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意.…………………………………………13 分 2

所 以 在 线 段 BC 上 存 在 点 P , 使 直 线 PA1 与 平 面 A1 BD 所 成 的 角 为 60? , 此 时

PB ?

5 .……………………………………………………………………………………14 分 2

19. 解: (1)由 a2 ? (2)由已知a n ?

a1 1 1 和 a2 ? ? 解得 a1 ? ………………………………………2 分 a1 ? 2 7 4
a n ?1 得 1 ?? 1? a n ?1 ? 2 2 n ? ? ?? 1? ? ,………………4 分 an a n ?1 a n ?1
n

?? 1?n a n?1 ? 2

1 2 1 1 n n n ?1 ? ?? 1? ? 2 ? ?? 1? ? ? ?2[ ? ?? 1? ] .又 ? 1 ? 3 ? 0 ,………………6 分 an a n ?1 a n ?1 a1
故?

?1 n? ? ?? 1? ? 是以 3 为首项,公比为-2 的等比数列.……………………………………7 分 ? an ?

1 n ? ?? 1? ? (4 ? 1) ? (?2) n ?1 ? 3 ? (?2) n ?1 .………………………………8 分 an 1 1 n ? 3 ? (?2) n ?1 ? ?? 1? , an ? 所以 ,…………………………10 分 n n ?1 an 3 ? (?2) ? ?? 1? (2n ? 1)? 1 1 1 c n ? a n sin ? ? (?1) n ?1 ? ? .………12 分 n n ?1 n ?1 2 3 ? 2 ? 1 3 ? 2 n ?1 3 ? (?2) ? ?? 1? 1 1 [1 ? ( ) n ] 2 1 2 2 所以 Tn ? 3 ? [1 ? ( ) n ] ? .………………………………………………14 分 1 3 2 3 1? 2
(3)由(2)得 20. 解: (1)设 P( x, y ), ,依题意得

( x ? 1) 2 ? y 2 2 x2 ? , 化简方程得 ? y 2 ? 1 .……3分 | x?2| 2 2

(2)依题意可知直线PQ显然有斜率,设其方程为 y ? kx ? m, 设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,…………………………………………………………………4分

? x12 2 ? ? y1 ? 1 由于直线PQ与曲线C1相切,点P为切点,从而有 ? 2 ? y ? kx ? m ? 1 1
得 (1 ? 2k ) x1 ? 4kmx1 ? 2(m ? 1) ? 0 ,故 (4km) ? 8(1 ? 2k )(m ? 1) ? 0 …………6分
2 2 2

2

2

2

8

从而可得 m ? 1 ? 2k ,?? (1) ,? x1 ? ?
2 2

2k …………………………………………8分 m

又直线PQ与圆C2相切,则

|m| 1? k
2

? r ,? m2 ? r 2 (1 ? k 2 )?? (2) ……………………9分

由(1) 、 (2)得 k ?
2

r 2 ?1 ,………………………………………………………………10分 2 ? r2

2 2 并且 | PQ |2 ?| OP |2 ? | OQ |2 ? x12 ? y12 ? r 2 ? 1 ? x1 ? r 2 ? 1 ? r 2 ? 2k ? 3 ? r 2 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ( 2 ? 1) 2 2 1 ? 2k 2 r2

即 | PQ |? 2 ? 1 ,当且仅当 r 2 ? 2 ? (1, 2) 时取等号,………………………………………13分 故P、Q两点的距离|PQ|的最大值
2 x

2 ? 1 ………………………………………………14分
3 2 x 3 2 x

21. .解: (1) f ?( x) ? (3x ? 12 x ? 3)e ? ( x ? 6 x ? 3x ? t )e ? ( x ? 3x ? 9x ? t ? 3)e ……2 分

? a, b, c是f ( x)的三个极值点

? x3 ? 3x 2 ? 9x ? t ? 3 ? ? x ? a ?? x ? b ?? x ? c ? ? x3 ? (a ? b ? c) x 2 ? (ab ? bc ? ac) x ? abc ……4 分
(1) ?a ? b ? c ? 3 ?ab ? ac ? bc ? ?9 (2) ? 由(1)和(4)解得 b ? 1,再由(2) (4)得 ac ? ?11,?t ? 8 ……7 分 ?? t ? 3 ? ? abc (3) ? ? (4) ?a ? c ? 2b
(2)不等式 f ( x) ? x ,即 ( x ? 6 x ? 3x ? t )e ? x ,即 t ? xe
3 2 x

?x

? x 3 ? 6 x 2 ? 3x 。

?x 3 2 转化为存在实数 t ? ? 0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m ? ,不等式 t ? xe ? x ? 6 x ? 3x 恒成

立。………………………………………………………………………………………………8 分 即不等式 0 ? xe 即不等式 0 ? e 设 ? ( x) ? e
?x

?x

? x3 ? 6 x 2 ? 3x 在 x ? ?1, m ? 上恒成立。

?x

? x2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m ? 上恒成立。……………………………………9 分

? x 2 ? 6 x ? 3 ,则 ? ?( x) ? ?e? x ? 2 x ? 6 .
?x

设 r ( x) ? ? ?( x) ? ?e

? 2 x ? 6 ,则 r ?( x) ? e? x ? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r ?( x) ? 0 。

故 r ( x ) 在区间 ?1, m ? 上是减函数.……………………………………………………10 分 又 r (1) ? 4 ? e
?1

? 0, r (2) ? 2 ? e?2 ? 0, r (3) ? ?e?3 ? 0 .
9

故存在 x0 ? (2,3) ,使得 r ( x0 ) ? ? ?( x0 ) ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 . 从而 y ? ? ( x) 在区间 ?1, x0 ? 上递增,在区间 ? x0 , ?? ? 上递减.……………………………11 分 又 ? (1) ? e ? 4 ? 0, ? (2) ? e
?1 ?2

? 5>0, ? (3) ? e?3 ? 6>0,

? (4) ? e?4 ? 5>0,? (5) ? e?5 ? 2 ? 0,? (6) ? e?6 ? 3 ? 0. …………………………………12 分
所以当 1 ? x ? 5 时,恒有 ? ( x) ? 0 ;当 x ? 6 时,恒有 ? ( x) ? 0 ;……………………13 分 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5. ………………………………………………14 分

10


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