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最新人教A版选修2-2高中数学1.7定积分的简单应用(第1课时)达标测试及答案

自我小测 1.曲线 y=x3 与直线 y=x 所围封闭图形的面积 S 等于( 3 A. ? 1 ? 1 (x-x )dx 3 C.2 ? 1 0 (x-x )dx 3 B. ? 1 ? 1 (x -x)dx 3 D.2 ? 0 ? 1 (x-x )dx ) 2.如图,阴影部分的面积为( ) A.9 B. 9 2 C. 13 6 D. 7 3 9 3.已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的封闭区域的面积为 ,则 2 k=( A.3 ) B.2 C.1 D. 1 2 ) 4.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积 S 为( A. 1 12 B. 1 4 C. 1 3 D. 7 12 5.由曲线 y=x2+2 与 y=3x,x=0 所围成的平面图形的面积为( A.4 6.椭圆 B.3 C.2 D.1 ) x2 25 + y2 16 =1 围成的面积是__________. 7.直线 x= __________. π 5π ,x= 与曲线 y=sin x,y=cos x 围成平面图形的面积为 4 4 8.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与直线 y=0 在原点处相切,此切线与函数图象所围区域 (图中阴影部分)的面积为 的值为__________. 27 ,则 a 4 9.计算由抛物线 y2=x 与直线 x-2y-3=0 所围成的平面图形的面积. 10.求曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(如图 阴影部分)的面积的最小值. 参考答案 1.解析:如图, 3 阴影部分的面积 S=2 ? 1 0 (x-x )dx.故选 C. 答案:C ?y=x-2, 2.解析:由? 2 ?y=-x 求得两曲线交点为 A(-2,-4),B(1,-1). 结合图形可知阴影部分的面积为 3 2 S= ? 1?2 [-x2-(x-2)]dx= ? 1?2 (-x2-x+2)dx=?- x - x +2x? |1 ?2 = . ? ? 1 3 1 2 ? ? 9 2 答案:B ?y=x , 3.解析:由? ?y=kx, 2 消去 y 得 x2-kx=0,所以 x=0 或 x=k,则所求 区域的面积为 S= ? k 0 3 ?1 2 1 3? k k 9 (kx-x )dx=? kx - x ? |0 = = ,则 k3=27,解得 k=3. 3 ? 6 2 ?2 2 答案:A 4.解析:作出曲线 y=x2,y=x3 的草图,所求面积即为图中阴影部分的面 积. ?y=x , 解方程组? 3 ?y=x , 2 得曲线 y=x2,y=x3 交点的横坐标为 x=0 及 x=1. ?1 3 1 4? 1 1 1 1 2 3 因此,所求图形的面积为 S= ? 1 . 0 (x -x )dx=? x - x ? |0 = - = 4 ? 3 4 12 ?3 答案:A 5.解析:如图,由 x2+2=3x,得 x=1,x=2,直线 y=3x 与抛物线 y=x2 +2 的交点坐标为(1,3),(2,6), 3 2? 1 ?1 3 2 2 2 所求的面积为 S= ? 1 0 (x +2-3x)dx+ ? 1 (3x-x -2)dx=? x +2x- x ? |0 2 ? ?3 ?3 2 1 3 ?2 +? x - x -2x? |1 =1. 3 ?2 ? 答案:D 6.解析:设椭圆在第一象限内围成图形的面积为 S1,则由对称性,得椭圆 面积 S=4S1. 在第一象限内椭圆方程可化为 y= 故 S1= ? 5 0 而? 5 0 4 4 25-x2dx= ? 5 5 5 0 4 25-x2, 5 25-x2dx. 1 2 25-x dx 表示以 5 为半径的 圆的面积,如图. 4 从而 ? 5 0 1 25π 25-x2dx= π·52= . 4 4 4 25π 故 S1= × =5π,从而 S=20π. 5 4 答案:20π 7.解析:由图可知, 图形面积 S= ? 5π 4 π 4 (sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x) | 5π 4 π 4 5π 5π? ? π π? ? -sin ?-?-cos -sin ? =?-cos 4 4 ? ? 4 4? ? = 2-(- 2)=2 2. 答案:2 2 8.解析:f′(x)=3x2+2ax+b? f′(0)=b? b=0, 令 f(x)=0? x=-a(a<0), 27 =S= 4 ? ?a 0 ( x3 ? ax 2 )dx 4 ?1 4 1 3? ?a |a | =? x + ax ? |0 = ? a=-3. 3 ? 12 ?4 答案:-3 ?y =x, 9 .解法一:由 ? ?x-2y-3=0 2 得抛物线与直线的交点为 P(1 ,- 1) , Q(9,3)(如图所示), x-3? 9 ? ?dx 所以 S= ? 1 0 [ x-(- x)]dx+ ? 1 ? x- 2 ? ? =2 ? 1 0 x 3? 9 ? ? x- + ?dx xdx+ ? 1 ? 2 2? 4 3 ?2 3 x2 3 ? 9 2 1 2 x = |0 + ? x ? ? x ? |1 3 4 2 ? ?3 4 28 2 = + =10 . 3 3 3 解法二:抛物线和直线方程可改写为 x=y2,x=2y+3,则 S= ? 3 ? 1 (2y+3 1 3? 2 ? 2 -y2)dy=?y +3y- y ? |3 =10 . ? 1 3 ? 3 ? 10.解:由定积分的性质与微积分基本定理, 得 S=S1+S2 2 2 = ? t0 (t2-x2)dx+ ? 1 t (x -t )dx 1 3? ? 2 ?1 3 2 ? =?t x- x ? |t0 +? x -t x? |1

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