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江西省2012年高考数学试卷及答案(理科)


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷第 1 至 2 页,第 II 卷第 3 至第 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书 写作答,在试题卷上作答,答题无效。 3.考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。 参考公式: 锥体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为底面积,h 为高。 3

第I卷 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2

2.下列函数中,与函数 y= A.y=

定义域相同的函数为 C.y=xex D.

1 sin x

B.y=

1nx x

sin x x

3.若函数 f(x)= ? A.lg101 4.若 tan ? + A. B.b

? x2 ? 1, x ? 1 ,则 f(f(10)= ? lg x, x ? 1
C.1 D.0

1 5

1 =4,则 sin2 ? = tan ? 1 1 1 B. C. D. 3 4 2

5.下列命题中,假命题为 A.存在四边相等的四边形不是正方形 B.z1,z2∈c,z1+z2 为实数的充分必要条件是 z1,z2 互为工复数 C.若 x,y∈CR,且 x+y>2,则 x,y 至少有一个大于 1 D.对于任意 n∈N,C°+C1.?+C°。都是偶数 ? 6.观察下列各式:a+b=1.a +b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+b10= A.28 B.76 C.123 D.199 7.在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点,则

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A.2 B.4 C.5 D.10 8.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种植 黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面 积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30.0 C.20,30 D.0,50 9.样本(x1,x2?,xn)的平均数为 x,样本(y1,y2,?,yn)的平均数为 (x1,x2?,xn,y1,y2,?,yn)的平均数 ,其中 0<α < 。若样本

1 ,则 n,m 2

的大小关系为 A.n<m B.n>m C.n=m D.不能确定 10.如图,已知正四棱锥 S-ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂直 于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分。记 SE=x(0<x<1) ,截面下面部分的体积为 V (x) ,则函数 y=V(x)的图像大致为

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学 第Ⅱ卷 注: 第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案 无效。 二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

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11.计算定积分

___________。

12.设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=___________。

13 椭圆

(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2。

若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 14 下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是______________.

三、 选做题: 请在下列两题中任选一题作答。 若两题都做, 则按第一题评阅计分。 本题共 5 分。 15.(1) (坐标系与参数方程选做题)曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以 原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ___________。 15.(2) (不等式选做题)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为 ___________。 四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。
16.(本小题满分 12 分)

已知数列{an}的前 n 项和 (1)确定常数 k,求 an;

,且 Sn 的最大值为 8.

(2)求数列 17.(本小题满分 12 分)

的前 n 项和 Tn。

在 △ ABC 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a , b , c 。 已 知 。



(1)求证: (2)若 a= 2 ,求△ABC 的面积。 18.(本题满分 12 分)
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如图,从 A1(1,0,0) 2(2,0,0) 1(0,2,0) 2(0,2,0) 1(0,0,1) 2(0,0,2)这 ,A ,B ,B ,C ,C 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个“立体” ,记该“立体” 的体积为随机变量 V (如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内, “立体” 此时 的体积 V=0) 。

(1)求 V=0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望。 19.(本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5 ,BC=4,在 A1 在底面 ABC 的投影是线 段 BC 的中点 O。

(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C ,并求出 AE 的长; (2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值。 20. (本题满分 13 分)

0) 1) 1) 已 知 三 点 O(0, , A(?2, , B(2, , 曲 线 C 上 任 意 一 点 M ( x , y ) 满 足

? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? M A? M B O M O ? )O B. ? ( ? A ? 2
(1) 求曲线 C 的方程; (2)动点 Q(x0,y0) (-2<x0<2)在曲线 C 上,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l 向:是否存 在定点 P(0,t) (t<0) ,使得 l 与 PA,PB 都不相交,交点分别为 D,E,且△QAB 与△PDE
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的面积之比是常数?若存在,求 t 的值。若不存在,说明理由。 21. (本小题满分 14 分) 若函数 h(x)满足 (1)h(0)=1,h(1)=0; (2)对任意 a ??0,1? ,有 h(h(a))=a; (3)在(0,1)上单调递减。 则称 h(x)为补函数。已知函数 h( x) ? ( 1 ? x
p

1 ? ?x p

) ( ? >-1, p >0)

1 p

(1)判函数 h(x)是否为补函数,并证明你的结论; (2) 若存在 m? ?0,1? , 使得 h(m)=m, m 是函数 h(x)的中介元, p ? 若 记 的中介元为 xn ,且 S ( x) ?

1 ( n ? N ? )时 h(x) n

? x ,若对任意的 n ? N
i ?1 i

n

?

,都有 Sn <

1 ,求 ? 的取值范围; 2

(3)当 ? =0, x ? ? 0,1? 时,函数 y= h( x )的图像总在直线 y=1-x 的上方,求 P 的取值范围。

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