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空间向量及其运算(3)


3.1 空间向量及其运算(3)

知识回顾: 共线向量与共面向量
1. 共线向量(平行向量): 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.

a
b

记为:// b a

共线向量定理:

对空间中任意两个向量, b(b ? 0), a a // b ? 存在实数?,使a ? ? b .

共线向量定理: 对于空间任意两个向量a、b(b≠0),a//b的充要条 件是存在实数λ使a= λb. 推论:如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直 线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t, 满足等式 l P OP = OA + t a. (1) B

.

其中向量a叫做直线l的方向向量.
在 l 上取 AB ? a ,则 1) 式可化为 ( 或 OP = OA + t AB

.A .O

a

OP = (1- t)OA + t OB.

(2)

当 t ? 1 时,点 是线段 AB的中点,则 P 2

1 说明: (1)或(2)都叫做空间直线的向量 OP ? ( ? OB ( 3 ) OA ) 参数表示式,(3)是线段AB的中点公式。 2 A、B、P三点共线的充要条件为: ? xOA ? yOB (其中x+y=1) OP

2.共面向量
已知平面α与向量a,如果向量a 所在的直线OA平行于平面α或向量 a在平面α内,那么我们就说向量a平 行于平面α,记作 a//α. α O

a
A

a

我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

(3)共面向量定理: 如果两个向量a、b 不共线,则向量p与 向量a、b共面的充 要条件是存在实数 对x、y,使 B b p A A'

P

M

a

p = xa + yb.

.O

推论:空间一点P 位于平面MAB内的充分必要条件是存在 有序实数对x、y,使 MP = xMA + yMB 或对空间任一定点O,有 OP = OM + xMA + yMB. (平面MAB的向量表达式) 即 OP ? (1 ? x ? y)OM ? xOA ? yOB

在几何中,角度与距离是两个最基本的几 何量。本课时重点研究利用空间向量的数量积 表示两条直线的夹角、空间线段的长度. 由于空间两个向量始终共面,因此空间两 个向量的数量积的意义与平面上两个向量的数 量积的意义实际上是一致的,从而空间两个向 量的数量积可转化为平面内两个向量的数量积.

类似地,我们可以定义空间向量的数量积运算: 1)两个向量的夹角的定义:

? ? 如图,已知两个非零向量 a 、 ,在空间任取 b ??? ? ??? ? ? ? 一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则角 ?AOB 叫做向 ? ? ? ? 量 a 与 b 的夹角,记作: a , b . ? ? ? ? A a ⑴范围: 0 ≤ ? a, b? ≤? a ? ? ? ? B ? ? ? a, b? =0 时, a 与 b 同向; O b b ? ? ? ? ? a, b? =π 时, a 与 b 反向 ? ? ? ? ⑵ ? a, b?=? b, a? ? ? ? ? ? ? ? ⑶如果 ? a , b? ? ,则称 a 与 b 垂直,记为 a ? b 2

2)两个向量的数量积 ? ? 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a、 , 则 b ? ? ? ? ? ? ? ? a b cos? a , b? 叫做 a 、b 的数量积,记作 a ? b . ? ? ? ? ? ? 即 a ? b ? a b cos? a , b? . 注:①两个向量的数量积是数量,而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A

? a
A1

B1

? b
B

类比平面向量,你能说 ? ? 出 a ? b 的几何意义吗? ? ? ????? 如 图 A1 B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.

? ? 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a、 , 则 b ? ? ? ? ? ? ? ? a b cos? a , b? 叫做 a 、b 的数量积,记作 a ? b . ? ? ? ? ? ? 即 a ? b ? a b cos? a , b? .
数量积的几何意义:a ? b等于 a 的长度 | a | 与 b


? ? 记 ? a, b ?? ?

a

的方向上的投影| b | cos? 的乘积。 B

b
? | b | cos ?

?

a
B1
A

O

(3)空间两个向量的数量积性质? ? ? 显然,对于非零向量 a 、 , e 是单位向 b 量有下列性质: ? ? ? ? ? ① a ? e ? a cos a , e ;
? ? ? ? ②a ? b ? a?b ? 0;

? ? a?b ④ cos ? a , b ?? ? ? a b

?2 ? ? ? ③ a ? a ? a 也就是说 a ? ? ?

?2 a .

注:性质② 是证明两向量垂直的依据; 性质③是求向量的长度(模)的依据; 性质④是求向量夹角的依据.

? ? ? ? ⑴ (? a) ? b ? ? (a ? b) ? ? ? ? ⑵ a ? b ? b ? a (交换律) ? ? ? ? ? ? ? ⑶ a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c (分配律)

(4)空间向量的数量积满足的运算律
这些运算律 成立,说明数量积 不仅有用,而且运 算起来还极为方 便

⑴、⑵是显然成立的 思考:你能证明分配律成立吗?

? ? ? ? ? ? 数量积不满足结合律即 ( ? b) ? c ? a ? (b ? c) 注意: a ? ? ? ? ? ? 另外 a ? b ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? ? ? 及a?b ? 0? a ? 0或b ? 0

? ? ? ? ? ? ? ⑶分配律:a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? 如图, 任取一点 O , OA ? b , ? c , ? a . 作 AB OC 证明: ? ? ??? ? ? A ?b ? c ( 即 OB ) 在 a 方向上的投影等于 ? ?2 ? ? ? ? B c b 、 在 a 方向上的投影的和, b c 即 ? ? ? ? ?1 | b | cos?1 ? | c | cos?2 | b ? c | cos? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? a || b ? c | cos? ?| a || b | cos?1 ? | a || c | cos?2 | ? ? ? ? ? ? ? ? a ? (b ? c) ? a ? b ? a ? c
O

.

A1

? a

B1

C

(三垂线定理) 思考课本例 2( P91 ): 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. PA 已知:如图, PO 、 分别是平面 ? 的垂线、 斜线, AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? ,且 l ? OA , 求证: l ? PA ?P 分析: 用向量来证明两直线 垂直, 只需证明两直线的方 ? 向向量的数量积为零即可! O? ?A a l ? 适当取向量尝试看看!

如图,已知: PO ? ? , AO l 求证: ? PA



射影, l ? ? , 且l ? OA

? ??? ? ? a ? PA, ? l ? PA.

? ??? ? ? l ? PO, ? a ? PO ? 0 . ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? a ? PA ? a ? ( PO ? OA) ? ??? ? ??? ? ? ? a ? PO ? a ? OA ? 0

? ??? ? ? 证明:在直线l上取向量 a ,只要证 a ? PA ? 0 ? ??? ? ?P ? l ? OA, ? a ? OA ? 0. ? ? PO ? ? , 且l ? ? ,

?

O?

?A

a

l

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

?P
逆命题成立吗?

?

O?

?A

? a
l

逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.

例3:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 ?内的两条相交直线, 如果 l ⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥? .

l

分析:要证明一条直线与一个平面 垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.

?? ? m ? ?? g n m

? g l

m

例3:已知直线m ,n是平面 ?内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ ? . 解: 在? 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 l , m , n, g ? ?? ? ? ? 上取非零向量 l , m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ( x, y ) ,使

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? g ? xm ? yn , l ? g ? xl ? m ? yl ? n , ? ?? ? ?? g ? l ? m ? 0, l ? m ? 0 , ? ? ? ? ? ? ? l ? g ? 0, 即l ? g. n

l
? l ?? ? m ? ? g n
m

? l ? g, 即l 垂直于平面?内任一直线. ? ? . l

课堂练习:教材92页练习
1.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 AB ? 则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( B )

2BB1 ,

60 0 A.

90 0 B.

1050 C.

750 D.
A1 B1 C1

???? 2 ???? ??? ???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? AA1 ? AA1 ? BC ? AA1 ? AB ? AB ? BC ???? ???? ? ? ? 12 ? 0 ? 0 ? 2 ? 2 cos1200 ? 0 ? AB1 ? BC1

???? ???? ??? ? ? ? ? AB1 ? AA1 ? AB, ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? BC1 ? BB1 ? BC ? AA1 ? BC ???? ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? AB1 ? BC1 ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? BC )

解: AA1 ? BB1 ? 1, 则 AB ? BC ? 2. 设

A

C
B

2.如图,在平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, AB ? 4, AD ? 3, AA? ? 5, ?BAD ? 900 ,

???? ??? ??? ???? ? ? ? 解: AC ? ? AB ? AD ? AA? ? ???? 2 ??? ??? ???? 2 ? ? ? ? AC ? | ? ( AB ? AD ? AA?) | A' ??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? ??? ??? ? ? ? AB ? AD ? AA? ? 2 AB ? AD ??? ???? ? ???? ??? ? ?2 AD ? AA? ? 2 AA? ? AB
? 4 ? 3 ? 5 ? 0 ? 15 ? 20 ? 85.
2 2 2

?BAA? ? ?DAA? ? 600 ,求 AC ? 的长.
D' B'

C'

D

C B

???? ? ? AC? |? 85. |

A

3.如图,线段 AB, BD 在平面 ? 内, BD ? AB , 线段 AC ? ? ,且 AB ? a, BD ? b, AC ? c , 求 C,D 间的距离.
解: AC ? ? , ? AC ? BD, AC ? AB. ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 又BD ? AB, AC ? BD ? 0, AC ? AB ? 0, BD ? AB ? 0. ? ? ? ? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? C

CD ? CD ? (CA ? AB ? BD)

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? CA ? AB ? BD
?a ?b ?c
2 2 2

c

?

A

a

b B

D

? CD ? a 2 ? b 2 ? c 2 .

课后作业
1. 教辅课时作业第32页 3.1.3 2. 教辅第68页~70页 3. 预习教材第92页~94页 教辅第70页~74页


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