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2014年四川绵阳南山中学高三二月月考数学试题

2014 年 2 月 20 日下午 3:00—5:00

南山中学 2014 届高三高 2011 级二月月考 数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={x|x2﹣1≤0},N={x| A.{﹣1,0,1} B.{﹣1,0} ,x∈Z},则 M∩N= C.[﹣1,1) D.[﹣1,0]

3.已知 (1 ? ax)(1 ? x) 5 的展开式中 x 2 的系数为 5 ,则 a ? A. ? 4 B. ? 3 C. ? 2 D. ? 1

4.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边 三角形,则这个几何体的体积为 A.
(4 ? ? ) 3 3 (8 ? ? ) 3 2

B. (4 ? ? ) 3
(8 ? ? ) 3 6

C.

D.

5.设 x>0,y>0,且 + A. ﹣4

=4, z ? 2 log4 x ? log2 y ,则 z 的最小值是 C.

B. ﹣3

? log2 6

D.

2 log 2

3 8

? x?0 ? 6.若 A 为不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域,则当 a 从﹣2 连续变化到 1 时, ?y ? x ? 2 ?

动直线 x ? y ? a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 A. B.1 C. D.2

7.函数 y ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0 )的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高点,A, B 是图象与 x 轴的交点,记∠APB=θ ,则 sin 2? 的值是 16 63 A. B. 65 65 16 16 C. ? D. ? 63 65 8.下列命题中: ①“x>|y|”是“x2>y2”的充要条件; ②若“?x∈R, x2+2ax+1<0”, 则实数 a 的取值范围是 (﹣∞, ﹣1) ∪ (1, +∞) ; ③已知平面 α ,β ,γ ,直线 m,l,若 α ⊥γ ,γ ∩α =m,γ ∩β =l,l⊥m, 则 l⊥α ; ④函数 f(x)=( )x﹣ 的所有零点存在区间是( , ) .

其中正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 9.某教师一天上 3 个班级的课,每班开 1 节,如果一天共 9 节课,上午 5 节、 下午 4 节,并且教师不能连上 3 节课(第 5 节和第 6 节不算连上) ,那么这位 教师一天的课表的所有排法有 A.474 种 B.77 种 C.462 种 D.79 种 10.已知函数 f(x)=|xex|,方程 f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根, 则 t 的取值范围为
A. ( ,+∞) B. (﹣∞, ) C. (﹣ ,﹣2) D. (2, )

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶 数”,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于 . 12.如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使 输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有 个.

13.设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,与直线 y ? b 相切的⊙ F2 交椭圆于点 E,

且点 E 是直线 EF1 与⊙ F2 的切点,则椭圆的离心率为

14. 已知在平面直角坐标系中, A (﹣2, 0) , B (1, 3) , O 为原点, 且 (其中 α +β =1,α ,β 均为实数) ,若 N(1, 0) ,则 的最小值是

, .

15.已知 a 2 ? b 2 ? 2 ,若 a ? b ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | 对任意实数 a 、 b 恒成立,则 x 的

取值范围是_____

___。

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.其中,16—19 题每小题满分为 12 分, 20 题为 13 分,21 题 14 分;解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16.等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ; {bn } 为等比数列,

b1 ? 1 ,且 b2 S 2 ? 64 , b5 S5 ? 960.
(Ⅰ)求通项公式 an 与 bn ; (Ⅱ)求

1 1 1 ? ??? S1 S 2 Sn

? 17.已知函数 f ( x) ? a ? b sin 2 x ? c cos2 x 的图像经过点 A(0,1) 、 B ( ,1) 。 4
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调增区间;

? ? (Ⅱ)已知 x ? [0, ] ,且 f ( x) 的最大值为 2 2 ? 1 ,求 f ( ) 的值。 24 4 18. 某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知该电梯在 1 层载 有 4 位乘客,假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数, 求 X 的分布列和数学期望.
19. 如图,已知菱形 A B C D的边长为 6 , ?BAD ? 60? , AC ? BD ? O . 将菱形 A B C D沿对角线 AC 折起,使 BD ? 3 2 ,得到三棱锥 B ? ACD . (Ⅰ)若点 M 是棱 BC 的中点,求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 二 面 角 A ? BD ? O 的 余 弦 值 ; (Ⅲ)设点 N 是线段 BD 上一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN ? 4 2 , 并证明你的结论.
M

20. 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )经过(1,1)与( a2 b2



)两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足

MA ? MB .求证:

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OM
2

为定值.

21. 设函数 f ( x) ? x ?

1 ? a ln x ( a ? R ) x

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;
(Ⅱ )若 f ( x) 有两个极值点 x1 和 x2 ,记过点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率 为 k .问:是否存在实数 a ,使得 k ? 2 ? a ?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由.

绵阳南山中学 2014 年春季高 2011 级二月月考 理科数学试题参考答案
一.选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 D 5 B 6 C 7 A 8 C 9 A 10 B

10.

解:f(x)=|xe |=
′ x x

x



当 x≥0 时,f (x)=e +xe ≥0 恒成立,所以 f(x)在[0,+∞)上为增函数; ′ x x x 当 x<0 时,f (x)=﹣e ﹣xe =﹣e (x+1) , ′ ′ x 由 f (x)=0,得 x=﹣1,当 x∈ (﹣∞,﹣1)时,f (x)=﹣e (x+1)>0,f(x)为增函数, ′ x 当 x∈ (﹣1,0)时,f (x)=﹣e (x+1)<0,f(x)为减函数, 所以函数 f(x)=|xe |在(﹣∞,0)上有一个最大值为 f(﹣1)=﹣(﹣1)e = , 要使方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈ R)有四个实数根, 令 f(x)=m,则方程 m +tm+1=0 应有两个不等根,且一个根在(0, )内,一个根在( 内, 2 再令 g(m)=m +tm+1,因为 g(0)=1>0, 则只需 g( 解得:t<﹣ )<0,即( .
x 2 2 2 x
﹣1

,+∞)

) + t+1<0,

2

所以,使得函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈ R)有四个实数根的 t 的取值范围是(﹣ ∞,﹣ 二.填空题 11. ) . 故选 B.

1 4

12. 3

13.

5 3

14.

3 2 2

15. [ ,?? )

3 2

三.解答题

16. 解: (1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,an=3+(n-1)d, bn=qn-1. ?S2b2=?6+d?q=64, ?d=2, 依题意有? 解得? 2 ?S3b3=?9+3d?q =960, ?q=8 故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1. (2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2), 6 ? ?d=-5, 或? 40 q = ? ? 3.

(舍去) ……4 分

………………………6 分 …………8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 所 以 S + S + … + S = 1× + 2× + 3× + … + = 2 3 4 5 n?n+2? 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?1-3+2-4+3-5+…+n-n+2?…10 分 ? ? 1 1 1 ? 1? 3 2n ? 3 =2?1+2-n+1-n+2? =4- ………………………12 分 ? ? 2(n ? 1)(n ? 2)

17.







1





? f (0) ? 1, ? ? ? f ( ) ? 1, ? ? 4





?a ? c ? 1, ? ?a ? b ? 1,



b ? c ? 1 ? a,? f ( x) ? 2 (1 ? a) sin(2x ?
? a ? 1,? 当 2k? ?

?
4

)? a。

?
2

? 2x ?

?
4

? 2k? ?

?

3 ? (k ? Z ) ,即 k? ? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 2 8 8

时, f ( x) 为增函数。 ∴ 函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? ? , k? ? ………6 分 (2)? x ? [0,

3 8

?
8

]( k ? Z ) 。

?
4

],? 2 x ?

?

? 3? ? [ , ] ,即有 sin(2 x ? ? ) ? [ 2 ,1] 。 4 4 4 4 2
2 (1 ? a) ? a ? 2 2 ? 1 ,得 a ? ?1 ;
2 (1 ? a) ? 2 ? a ? 2 2 ? 1 ,无解; 2

当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) max ? 当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) max ?

当 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ( x) max ? a ? 2 2 ? 1 ,矛盾。 故

f ( x) ? 2 2 sin(2 x ?

?
4

) ? 1,? f (

?
24

) ?2 2?

3 ?1 ? 6 ?1 2



………12 分 18. 解:(Ⅰ ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,……………1 分 1 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 , ……………………3 分 3

? 2 ? 65 则 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? 81 (Ⅱ ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4,

4

………………………6 分 . …………………………7 分

由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 ∴ X ~ B ( 4, ) ∴ X 的分布列为 0 X 1 2

1 ,且每个人下电梯互不影响, 3

1 3

……………………………9 分 3 4

P
∴ X

16 81


32 81

24 81


8 81

1 81

………………………………11 分 学 期 望

1 4 E( X ) ? 4 ? ? 3 3

……………………………12 分

19. (Ⅰ )证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB .………………1 分 因为 OM ? 平 面 ABD , AB ? 平 面 ABD , 所 以 OM // 平 面 ABD . ………………3 分 (Ⅱ )解:由题意, OB ? OD ? 3 , 因为 BD ? 3 2 , x 所以 ?BOD ? 90 , OB ? OD . …………4 分 又因为菱形 ABCD ,所以 OB ? AC , OD ? AC . 建立空间直角坐标系 O ? xyz ,如图所示.
?

B A O

z M C

D

y

A(3 3,0,0), D(0,3,0), B(0, 0,3) .
所以

??? ? ??? ? …6 分 AB ? (?3 3,0,3), AD ? (?3 3,3,0), 设平面 ABD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ? ? AB ? n ? 0, ??3 3x ? 3z ? 0, 则有 ? ???? 即: ? ? ? ? AD ? n ? 0 ??3 3x ? 3 y ? 0 令 x ? 1 ,则 y ? 3, z ? 3 ,所以 n ? (1, 3, 3) . 因为 AC ? OB, AC ? OD ,所以 AC ? 平面 BOD . 平面 BOD 的法向量与 AC 平行, 所以平面 BOD 的法向量为 n0 ? (1,0,0) .

………7 分

…………8 分

n0 ? n 1 7 , ? ? n0 n 1? 7 7 因 为 二 面 角 A ? B D? O 是锐角, cos? n0 , n? ?
7 . ……………9 分 7 ??? ? ??? ? (Ⅲ )解:因为 N 是线段 BD 上一个动点,设 N ( x1 , y1 , z1 ) , BN ? ? BD ,
所 以 二 面 角 A ? B D? O 的余弦值为 则 ( x1 , y1 , z1 ? 3) ? ? (0,3, ?3) , 所以 x1 ? 0, y1 ? 3?, z1 ? 3 ? 3? , ……………10 分

??? ? 则 N (0,3? ,3 ? 3? ) , CN ? (3 3,3?,3 ? 3?) ,
解得 ? ?

2 2 2 由 CN ? 4 2 得 27 ? 9? ? (3 ? 3? ) ? 4 2 ,即 9? ? 9? ? 2 ? 0 ,……11 分

1 2 或? ? , 3 3 所以 N 点的坐标为 (0, 2,1) 或 (0,1, 2) . ………12 分 ??? ? ???? ??? ? ???? (也可以答是线段 BD 的三等分点, BN ? 2 ND 或 2BN ? ND )
20. 解: (Ⅰ )将(1,1)与( , )两点代入椭圆 C 的方程,



解得



∴ 椭圆 PM2 的方程为



………4 分

(Ⅱ )由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点 对称. ① 若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时 = .………6 分

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点,此时 = .………8 分

② 若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) , 则直线 OM 的方程为 ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



解得







=



………10 分

同理



………11 分

所以 故

=2× =2 为定值.

+

=2, ………13 分

(2)由(1)知,a>2. x1-x2 因为 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ x x -a(ln x1-ln x2), 1 2 f?x1?-f?x2? ln x1-ln x2 1 所以,k= =1+x x -a· . ……8 分 x1-x2 x1-x2 1 2 ln x1-ln x2 又由(1)知,x1x2=1,于是 k=2-a· . ……9 分 x1-x2 ln x1-ln x2 若存在 a,使得 k=2-a,则 =1. ……10 分 x1-x2 即 ln x1-ln x2=x1-x2. 1 由 x1x2=1 得 x2-x -2ln x2=0(x2>1).(*) ……11 分 2 1 1 再由(1)知,函数 h(t)=t- t -2ln t 在(0,+∞)上单调递增,而 x2>1,所以 x2-x 2 1 -2ln x2>1-1-2 ln 1=0.这与(*)式矛盾. 故不存在 a,使得 k=2-a. ……14 分


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