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安徽省淮北市第一中学2014届高三第五次月考数学(理)试题



I 卷
) D.

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 1. 已知 cos( 75 ? ? ? ) ? ,则 cos(30? ? 2? ) 的值为 ( 3
A.

5 9

B.

2 3

C.

7 9

8 9


2.若 a, b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a 充分不必要条件 C. 充要条件
A.

? b ”的(

B .必要不充分条件 D . 既不充分也不必要条件

3.若直线 2 x ? y ? a ? 0 过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 0 的圆心,则 a 的值为(
A.4 B. - 4 C.



-5

D. -6

4. 一几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为(
A. 200 ? 9? B. 200 ? 18? C. 140 ? 9?



D. 140 ? 18?

5. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ?
A. 2 k?

?

?
3
?
2 0

B. 2 k?

?

?
3

1 ,则 x ? y ? ( 3
C. 2 k?

)

?

?
3

D. 2 k?

?

?
4


6.已知 a ? ? 2 (sin A.

x 1 1 9 ) 展开式中,含 x 的一次项的系数为( ? )dx ,则 (ax ? 2ax 2 2
B.

?

63 16

63 16

C.

?

16 63

D.

16 63

7.钝角 ?ABC 最大边长为 4 ,其余两边长为 x, y ,以 ( x, y ) 为坐标的点所表示的平面区域的面 积为 ( )

A.

4? ? 8

B.

4? ? 8

C.

4? ? 6

D. 4? ?

17 2

8.函数 y ? 9 ? ( x ? 5) 2 的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为等 比数列的公比的数是( 3 A. 4 ) B. 2 C. 3 D. 5

x2 y2 3a 9.设 F1 , F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左,右焦点, P 为直线 x ? 上一点,?F1 PF2 是底 a b 2
角为 30? 的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为 ( A. ) D.

1 2

B.

2 3

C.

3 4

4 5

10.设 D 是 ?ABC 边 BC 延长线上一点,记 AD ? ? AB ? (1 ? ?) AC. 方程 2 sin 2 x ? (? ? 1) sin x ? 1 ? 0 若在 ?0,2? ? 上方程恰有两解,则实数 ? 的取值范围是( A. (??,?2) B. ?? ?,?4? C. ? 2 2 ? 1 )

?

?

D. (??,?4) ? ? 2 2 ? 1

?

?

第 II
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)


19 2 的最小值是

1 11. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 8n ,则 bn ? 2

n?

an

12. 已知圆的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ,那么该圆的直角坐标方程是 13. 已知 ?x ? R , 使不等式 log 2 14. 如图是函数 f ( x ) ?
2

? 4? a ?

? 3 ? x ? 3 ? x ? 1 成立,则实数 a 的取值范围是

sin ? x 4 的图像的一部分,若图像的最高点的纵坐标为 ,则 b ? c ? x ? bx ? c 3

15.下列命题: ①.设 a, b ? R , a 2 ? 2b 2 ? 6, 则 a ? b 的最小值是 ?3 ; ②.已知 x 3 ? sin x ? 2a ? 0, 4 y 3 ? sin y cos y ? a ? 0 ,则 cos(x ? 2 y) ? 0 ; ③.若 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0, 则 x, y, z 成等差数列 ; ④.已知函数 f ( x ) 满足 f (1) ?
[ 来源 :学 科网ZX XK]

1 , 3 f ( x) f ( y) ? f ( x ? y) ? f ( x ? y) , ( x, y ? R) 则 f (2013 ) ? 3; 3

其中正确的命题是___________ 。(把 你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题( 6 小题,共 75 分) 16. (本题满分 12 分)在一次自主招生选拔考核中,每个候选人都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题, 能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰,已知某候选人能正确回答第一,二,三,四轮问题的概率分

5 4 3 1 , , , ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 6 5 4 3 (I ) 求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (II) 该选手在选拔过程中回答问 题的个数记为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望.
别为

17. (本题满分 12 分)已知 ?ABC 的面积为 2 3 ,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , AB ? AC ? 4 .
(I)求角 A ; (II)求

b?c 的最大值. 2a

18. (本题满分 13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面ABCD , AB ? AD , AC ? CD ,

PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60? , E 是 PC 的中点.
(I ) 证明: CD ? AE ; (II )证明: PD ? 面ABE ; (III)求二面 A ? PD ? C 的余弦值.

20 . (本题满分 13 分)已知点 A(0,1), B(0,?1) , P 是一个动点,且直线 PA, PB 的斜率之积为 ?

1 。 2

(I )求动点 P 的轨迹 C 的方程; (II) 设 Q(2,0) , 过点 (?1,0) 直线 l 交 C 于 M , N 两点, ?QMN 的面积记为 S , 若对满足条件的任意直 线 l ,不等式 S ? ? tan?MQN 恒成立,求 ? 的最小值 . 21 . (本题满分 13 分)在数列?an ? 中,已知 a1 ? 0 ,且对任意 k ? N * ,总有 a2k ?1, a2k , a2k ?1 成等差 数列,其公差为 2k . (Ⅰ)证明: a 4 , a5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列?an ? 的通项公式; (Ⅲ)记 Tn ?

3 22 32 n2 ? ? ... ? ,证明: ? 2n ? Tn ? 2 ? n ? 2 ? . 2 a2 a3 an

数学参考答案(理)

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.请评卷老师严格按评分标准给分 解:设事件 由已知

Ai (i ? 1,2,34) 表示“该选手能正确回答第 i 轮问题”。

5 4 3 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? .............4 分 6 5 4 3 5 4 3 1 ? ? (1 ? ) ? .............................6 分 6 5 4 6

(1)设事件 B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”则

P( B) ? P( A1 A2 A3 ) ?
(2) P ( X

? 1) ?

1 6

5 4 1 ? (1 ? ) ? 6 5 6 5 4 3 1 P( X ? 3) ? ? ? (1 ? ) ? 6 5 4 6 5 4 3 1 P( X ? 4) ? ? ? ? ....................................12 分 6 5 4 2 P( X ? 2) ?
X P 1 2 3 4

1 6

1 6

1 6

1 2

17. 请评卷老师严格按评分标准给分 解 (1) ? ?ABC 的面积为 2

1 3 , AB ? AC ? 4 ,? bc sin A ? 2 3 ? 2

[来源: Z xxk .C o m]

又 bc cos A ? 4 ? ,由? ÷ ? 得到 t anA ?

3 ,又 A 为三角形的内角,则 A ?
余 弦 定

?
3

................ 6 分

(2) cos

A?

1 2







a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ? (b ? c) 2 ? 3( ? 1 (b ? c) 2 4

b?c 2 ) 2

?(

b?c 2 b?c ) ? 1, 则 ? 1, 当且仅当“ b ? c ”是取得最大值...............12 分 2a 2a

18. 请评卷老师严格按评分标准给分 (I)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中, 因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面ABCD, 故PA ? CD .

? AC ? CD, PA ? AC ? A ,

[来源: 学 *科 * 网]

? CD ? 平面PAC , 而AE ? 平面PAC,? AE ? CD .................3 分

(III)过点

A 作 AM ? PD ,垂足为 M ,连接 EM .
AE ? 平面PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 EM ? PD .

由(II)知,

因此 ?AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 由已知,得 ?CAD ? 30 .设 AC ? a ,可得
?

PA ? a, AD ?

2 3 21 2 a, PD ? a, AE ? a. 3 3 2
a? 2 3 a 2 7 . 3 ? a 7 21 a 3

在 Rt△ADP 中,∵AM ⊥PD,∴AM .PD=PA .AD .则 AM ? PA ? AD ? PD

[来源:Z § xx § k .C o m]

在 Rt△AEM 中,

AM 2 ? AE 2 ? EM 2 , EM ?

14 EM 2 a , cos?AME ? ? . 14 AM 4

所以二面角 A ﹣PD﹣ C 的余弦是

2 ...................................... ......................13 分 4
x ?a ?0 1? x
2分

19 . 请评卷老师严格按评分标准给分 解 :( 1)由题意知:

f ?( x) ? ln(1 ? x) ?

则 a ? ln( 1 ? x) ?

x , 1? x

......................................... ............

令 h( x)

? ln(1 ? x) ?

x 1 1 , h?( x) ? ? 1? x 1 ? x (1 ? x) 2

? x ? ?1,???,? h?( x) ? 0
即 h( x) 在[1, +∞)上单调递增

? a ? h(1) ?

1 ? ln 2, 2 1 ? ln 2). 2
..........................................5 分

? a 的取值范围是 (??,
( 2)由( 1)知 则 g ?( x) ?

g ( x) ? ln(1 ? x) ?

(1 ? a) x ? a, x ? (?1,?? ) 1? x
................................................7 分

1 1? a x?2?a ? ? 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2

①当 a

? 1 , x ? (?1, a ? 2) 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (?1, a ? 2) 上单调递减,
.............................9 分

x ? (a ? 2,??)时, g ?( x) ? 0, g ( x)在(a ? 2,??) 上单调递增
②当 a ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x)在(?1,??) 上单调递增

综上所述,当 a ? 1 时, g ( x) 的增区间为 (a ? 2,??), 减区间为 (?1, a ? 2) 当 a ?1 时, g ( x)的增区间为 (?1,??) ..................................12 分

20. 请评卷老师严格按评分标准给分 (1)设动点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则直线 PA, PB 的斜率分别为 由条件

y ?1 y ?1 , , x x

y ?1 y ?1 1 x2 ? ? ,即 ? y 2 ? 1( x ? 0) x x 2 2

? x2 ? ? y2 ? 1 当直线 l 不垂直于坐标轴时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,由 ? 2 ? ? y ? k ( x ? 1)
得到 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ..................................................................8 分

x1 ? x2 ? ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

QM ? QN ? ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4 ? k 2 ?
综上所述: QM ? QN 的最大值为 因为 s ? ? tan?MQN 恒成立,即

17 13 17 ? ? 2 2 2(1 ? 2k ) 2

17 .....................................................................10 分 2
1 sin MQN 恒成立 QM QN sin ?MQN ? ? 2 cos MQN

QM ? QN ?


17 17 13 ...................13 ? ? 0 , 所以 cos?MQN ? 0 , QM ? QN ? 2? 恒成立 ?min ? 2 4 2 2(1 ? 2k )

21. 请评卷老师严格按评分标准给分 解:(Ⅰ)证明:由题设可知,

a2 ? a1 ? 2 ? 2, a3 ? a2 ? 2 ? 4, a4 ? a3 ? 4 ? 8, a5 ? a4 ? 4 ? 12, a6 ? a5 ? 6 ? 18, 从而, 所
以 a4 , a5 , a6 成等比数列...................3 分 (Ⅱ)由题设,可得 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 4k , k ? N , 所以
*

a2k ?1 ? a1 ? ?a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? ?a2k ?1 ? a2k ?3 ? ? ...? ?a3 ? a1 ? ? 4k ? 4?k ?1? ? ...? 4 ?1 ? 2k ?k ?1?, k ? N * , 由
a1 ? 0, 得 a2k ?1 ? 2k ?k ? 1?, ............................6 分
从而 a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k ,
2

? n2 ?1 , n为奇数 ? ? 2 所以数列 ?a n ?的通项公式为 an ? ? 或写为 2 ? n ,n为偶数 ? ?2

n 2 ?? 1? ? 1 an ? ? , n ? N * ..................8 分 2 4
n

(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知 a2 k ?1 ? 2k ?k ? 1?, , a2k ? a2k ?1 ? 2k ? 2k ,
2

以下分两种情况进行讨论: (1)当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * ) ,

k2 若 m ? 1 ,则 2n ? ? ? 2 ,若 m ? 2 ,则 k ? 2 ak
n
m ?2k ? ? m?1 ?2k ? 1? ? m 4k 2 ? m?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ? ? ? ? ? ? 2 a2 k ?1 2k ?k ? 1? k ? 2 ak k ?1 a2 k k ?1 k ?1 2k k ?1 n 2 2 m ?1 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 2m ? ? ? ? ? 2k ?k ? 1? ? k ?1 ? 2k ?k ? 1? m ?1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? ? 1? 1 ? ? 2m ? 2?m ? 1? ? ?1 ? ? 2? m? 3 1 ? 2n ? ? , 2 n

所以, 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? , 从 而 ? 2 n ? ? 2, n ? 4,6,8........................11 分 ? ? 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak
n

(2)当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1, m ? N

?

*

?

?2m ? 1? k 2 2 m k 2 ?2m ? 1? 3 1 ?? ? ? 4m ? ? ? ? a2 m ?1 2 2m 2m?m ? 1? k ? 2 ak k ? 2 ak
n 2 2

1 1 3 1 ? 4m ? ? ? 2n ? ? , 2 2(m ? 1) 2 n ?1


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