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2019年最新-人教版高中数学选修3.1.3-空间向量的数量积运算ppt课件_图文

第三章 空间 3.1.3 空间向量的数量积运算 学习导航 第三章 空间 1.空间向量的夹角 定义 记法 范围 已知两个非零向量 a,b,在空间中任 作O→A=a,O→B=b,则∠AOB 叫做向量 角 ___〈_a_,_b_〉_____ __[0_,__π]___,当〈a,b〉=π2时,_a⊥__b___ 2.空间向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数 (2)数量积的运算律 λ(a·b) b·a a·b+a·c (3)数量积的性质 (1)若a,b是非零向量,则a⊥b?a·b=0. (2)若 a 与 b 同向,则 a·b=|a|·|b|; 若反向,则 a·b=-|a|·|b|. 特别地:a·a=|a|2 或|a|= a·a (3)若 θ 为 a,b 的夹角,则 cos θ=|aa|·|bb (4)|a·b|≤|a|·|b|. 1.判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是数量,而不是向量.( ) (2)零向量与任意向量的数量积等于零.( ) √ √ (3)若a·b=a·c,则b=c.( ) × 2.在空间中,若|a|=1,b=-5a,则 a·b 等于( A.5 B.15 C.-5 D.- 3.在如图所示的正方体中,下列各对向量的夹角 是( A ) A.A→B与A′→C′ B.A→B与C′→A′ C.A→B与A′→D′ D.A→B与B′→A′ 4.已知向量 a,b 满足|a|=1,且 a·b=2,a 与 π3,则|b|=___4_____. 空间向量数量积的运算 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=A =4,E 为侧面 AA1B1B 的中心,F 为 A1D1 的中 求下列向量的数量积. (1)B→C·E→D1; →→ (2)BF·AB1. [解] 如图所示,设A→B=a,A→D=b,A→A1=c, =2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0. (1)B→C·E→D1=B→C·(E→A1+A→ 1D1)=b·??12?c-a?+b ?? =|b|2=42=16. (2)B→F·A→B1=(B→A1+A→1F)·(A→B+A→A1) =??c-a+12b??·(a+c) =|c|2-|a|2=22-22=0. 方法归纳 应用数量积公式求空间向量数量积的关键点 1.如图,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角 于 1,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,计算: (1)E→F·B→A;(2)E→F·B→D; →→ (3)EF·DC. 解:(1)E→F·B→A=12B→D·B→A =12|B→D||B→A|cos〈B→D,B→A〉 =12×1×1×cos 60°=14, 所以E→F·B→A=14. (2)E→F·B→D=12B→D·B→D =12|B→D||B→D|cos〈B→D,B→D〉 =12×1×1×cos 0°=12, 所以E→F·B→D=12. (3)E→F·D→C=12B→D·D→C =12|B→D||D→C|cos〈B→D,D→C〉 =12×1×1×cos 120°=-14, 所以E→F·D→C=-14. 利用数量积证明垂直 证明:(三垂线定理)在平面内的一条直线,如果和这个 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 已知:如图,PO,PA分别是平面α的垂线、斜线,AO是PA在 射影,l?α,且l⊥OA,求证:l⊥PA. (链接教材P91例2) [证明] 如图,取直线 l 的方向向量 a,同时取向 因为 l⊥OA,所以 a·O→A=0. 因为 PO⊥α,且 l? α,所以 l⊥PO, 因此 a·P→O=0. 又因为 a·P→A=a·(P→O+O→A)=a·P→O+a·O→A=0,所 方法归纳 当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段 量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转 并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积 来完成位置关系的判定. 2.如图所示,正四面体ABCD的 每条棱长都等于a,点M,N分别 是AB,CD的中点,求证:MN⊥AB, MN⊥CD. 证明:M→N·A→B=(M→B+B→C+C→N)·A→B=(M→B+B→C →→ CD)·AB =(M→B+B→C+12A→D-12A→C)·A→B =12a2+a2cos 120°+12a2cos 60°-12a2cos 60°=0, 所以 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD. 利用数量积求两点间的距离 如图所示,在空间 四边形OABC中,OA,OB, OC两两成60°角,且OA=OB =OC=2,E为OA的中点,F为 BC的中点,试求E,F间的距离. [解] E→F=E→A+A→F=12O→A+12(A→B+A→C)=12O→A O→A)+(O→C-O→A)] =-12O→A+12O→B+12O→C, E→F2=14O→A2+14O→B2+14O→C2+2×(-12)×12×O→A·O→B 12)×12×O→A·O→C+2×12×12×O→B·O→C=14×4+14×4+14× ×2×2·cos 60°-12×2×2·cos 60°+12×2×2·cos 60°= ∴|E→F|= 2,∴E,F 间的距离为 2. 方法归纳 求两点间的距离或线段的长度的方法: (1)将此线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; (3)利用|a|= a2,通过计算出|a|,即得所求距离 3.如图所示,在?ABCD中,AD=4, CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD, PA=6,求线段PC的长. 解:∵P→C=P→A+A→D+D→C, ∴|P→C|2=(P→A+A→D+D→C)2 =|P→A|2+|A→D|2+|D→C|2+2P→A·A→D+2A→D·D→C+2D→ =62+42+32+2|A→D||D→C|cos