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浙江省2012届高考数学二轮专题复习 第8课时 平面向量及其综合应用课件 理


专题二 三角函数与平面向量

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1.设a = ( x1,y1 ),b = ( x2,y2 ),则: (1)a b ? x1 y2 ? x2 y1 = 0; (2)a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 = 0. 2.平面向量基本定理 如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对 该平面内的任一向量 该平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a = λ1e1 + λ2e2 . 3.设a = ( x1,y1 ),b = ( x2,y2 ),则a ? b = a b cos θ = x1 x2 + y1 y2;其几何意义是a ? b等于a的长度与b在a的方向上的 a ? b x1 x2 + y1 y2 投影的乘积;a在b的方向上的投影 a cos θ = = . 2 2 |b| x2 + y2
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uuu uuur r 4.三点A,B,C共线 ? AB与 AC共线; uuu r uuu r AB 与 AB共线的单位向量为 ± uuu . r AB 5.平面向量数量积性质 设a = ( x1,y1 ),b = ( x2,y2 ), a ?b x1 x2 + y1 y2 . 则 cos θ = = 2 2 | a || b | x12 + y12 x2 + y2 注意:〈a,b〉为锐角 ? a ? b > 0且a,b不同向;〈a,b〉 为直角 ? a ? b = 0;〈a,b〉为钝角 ? a ? b < 0且a,b不反向. 6.a,b同向时,a + b |= a + b ≥| a ? b |=| a ? b | (当a,b中有 | 0时取等号); a,b反向时,a ? b |= a + b ≥| a ? b |=| a + b | (当a,b中有0时 | 取等号); a,b不共线时,a ? b < a ± b < a | + b . |
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7.三角形中向量性质 uuu r uuur uuu r uuur AB AC AB AC () uuu + uuur ) ⊥ ( uuu ? uuur ). 1( r r AB AC AB AC uuu 1 uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuur r r (2) = ( PA + PB + PC ) ? GA + GB + GC = 0 ? PG 3 G为?ABC的重心. uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r (3) ? PB = PB ? PC = PA ? PC ? P为?ABC的垂心. PA uuu r uuur AB AC (4)λ ( uuu + uuur )(λ ≠ 0)对应的点所在直线过?ABC r AB AC 内心. r r r 1 uuu uuur 1 uuu 2 uuur 2 uuu uuur 2 (5)S ?ABC = AB AC sin A = | AB | | AC | ?( AB ? AC ) . 2 2
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1.三角形问题

【例1】如图所示,在?ABC中,∠BAC = 120°,AB = 2,AC = 1,D是边BC 上的 uuur uuur 一点(包括端点),则AD ? BC 的取值范 围是(    ) A. 2] [1, C. 2 ] [0, D. 5, 2] [? B. ] [0,1

uuur uuu r AD × BC用这两个向量的模和数量积来表示即可.
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uuu uuur r 已知向量 AB × AC,的模和数量积,把

uuu r uuu r 设 BD = λ BC (0 ≤ λ ≤ 1), uuu uuur uuu r r BC = AC ? AB, uuur uuu uuu uuu r r r uuu r uuu r uuur AD = AB + BD = AB + λ BC = (1 ? λ ) AB + λ AC, uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r 所以 AD ? BC = [(1 ? λ ) AB + λ AC ] ? ( AC ? AB) uuur 2 uuu 2 r uuu uuur r = λ AC ? (1 ? λ ) AB + (1 ? 2λ ) AB ? AC. uuur 2 uuu 2 r uuu uuur r 又因为AC = 1, = 4, ? AC = ?1,故 AB AB uuur uuu r AD ? BC = λ ? 4(1 ? λ ) ? (1 ? 2λ ) = 7λ ? 5. uuur uuu r 由于0 ≤ λ ≤ 1,故 AD ? BC的取值范围是 [ ?5, 2], 故选D.
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用已知表示未知是解题的基本规律,在具有几 何背景的向量问题中,充分利用向量的加减法则和 平面向量的基本定理,把未知向量用已知向量表示 出来实现问题的解决.

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【变式训练】 (2011 1月柯桥中学模拟)如图所示,A、B、 C是圆O上的三点,CO的延长线与线段AB交于圆内一 点D,若OC = xOA + yOB,则 ( A. < x + y < 1 0 C.x + y < ?1

)

B.x + y > 1 D. 1 < x + y < 0 ?

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此题可巧解,可用特殊图形位置法求解, 检验知C是正确的. uuur 普通解法是:因为 AD = λ OB = mOC ( ?1 < m < 0 ), 1? λ 1 λ 因此x = ,y = ,x + y = < ?1,故选C. m m m

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2.坐标问题 【例2】 设向量a = (4 cos α, α ),b = (sin β,cos β ),c = sin 4 (cos β, 4sin β ). ? (1)若a与b ? 2c垂直,求 tan(α + β )的值;
(2)求 | b + c | 的最大值; (3)若 tan α tan β = 16,求证:a / /b.

对于(1),利用a·(b-2c)=0;对于(2),利用 |b+c|2=(b+c)2求最大值;对于(3),要证a∥b,只需证 x1y2-x2y1=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

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(1)由于a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=a·b-2a·c=0, 即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,所以tan(α+β)=2. (2)因为b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ), 所以|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β32cosβsinβ+16sin2β=17-30sinβcosβ=17-15sin2β. 所以|b+c|2的最大值为32, 所以|b+c|的最大值为 4 2 .

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(3)由tanβtanβ=16,得sinαsinβ=16cosαcosβ, 即4cosα·4cosβ-sinαsinβ=0,所以a//b.

此题主要考查向量的模、两向量平行和垂直的充要条 件、向量的和、差、数乘、数量积等平面向量的基本概念 和基本运算,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍 角的正弦公式、两角和的正弦与余弦公式,具有较强的综 合性.解决这类综合性问题,除了正确理解和掌握相关的 知识以外,还需要具有较强的运算求解能力和推理论证能 力.熟练地掌握平面向量的四种运算、向量的模以及两向 量平行与垂直的充要条件这些平面向量的核心内容,是解 决这类问题的关键.
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【变式训练】(2011 3月舟山中学模拟)设F 为抛物线 y 2 = 4x的焦点,A、B、C是该抛物线上的点,且 uuu uuu uuu r r r uuu uuu uuu r r r 满足 FA+ FB+ FC =0,则 FA + FB + FC = ( ) A. 9 C. 4 B. 6 D. 3

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设A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),C ( x3,y3 ),p = 2, p p p 则x1 ? + x2 ? + x3 ? = 0, 2 2 2 3p 所以x1 + x2 + x3 = , 2 3p 因此 FA + FB + FC = + x1 + x2 + x3 = 3 p = 6. 2 答案B

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3.应用问题
x2 y 2 【例3】已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0)的一个焦点是F (1, 0 ), a b O为坐标原点. (1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正 三角形,求椭圆的方程; (2)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点,若直线l 绕点 uuu 2 r uuu 2 uuu 2 r r F 任意转动,恒有 | OA | + | OB | <| AB | ,求a的取值范围.

uuu 2 uuu 2 uuu 2 r r r 把长度关系 | OA | + | OB | <| AB | 通过余弦定 uuu uuu r r 理,转化为∠AOB为钝角,通过数量积OA ? OB < 0, 再转化为弦端点的坐标关系:x1 x2 + y1 y2 < 0,进而通 过韦达定理转化为系数a,b,m的不等关系.
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(1)设M 、N 为短轴的两个三等分点. 因为 MNF为正三角形, 3 3 2b 所以 | OF |= | MN | ,即1 = ? , 2 2 3 解得b = 3,a 2 = b 2 + 1 = 4, x2 y2 因此,椭圆方程为 + = 1. 4 3 (2)设A( x1,y1 ),B( x2,y 2 ). ①当直线AB与x轴重合时, 2 2 2 2 2 2 | OA | + | OB | = 2a ,AB | = 4a (a > 1). | 因此,恒有 | OA |2 + | OB |2 <| AB |2 .
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②当直线AB不与x轴重合时, x2 y2 设直线AB的方程为x = my + 1,代入 2 + 2 = 1, a b 整理,得(a 2 + b 2 m 2 ) y 2 + 2b 2 my + b 2 ? a 2b 2 = 0, 2b 2 m b 2 ? a 2b 2 所以y1 + y2 = ? 2 ,y 1 y2 = 2 . 2 2 2 2 a +b m a +b m 因为恒有 | OA |2 + | OB |2 <| AB |2 , 所以∠AOB恒为钝角. uuuu uuu r r 即OA ?OB = x1 x2 + y1 y2 < 0恒成立, 2 因为x1 x2 + y1 y2 = (m + 1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + 1 ? m 2 a 2b 2 + b 2 ? a 2b 2 + a 2 = < 0, 2 2 2 a +b m

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又a + b m > 0, 所以 ? m 2 a 2b 2 + b 2 ? a 2b 2 + a 2 < 0对m ∈ R恒成立, 即a 2b 2 m 2 > a 2 ? a 2b 2 + b 2 对m ∈ R恒成立. 2 2 2 当m ∈ R时,a b m 的最小值为0, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 所以a ? a b + b < 0,a < a b ? b ,a < b , 即a 4 ? 3a 2 + 1 > 0, 3+ 5 3? 5 2 2 解得a > 或a < (舍去), 2 2 1+ 5 1+ 5 即a > 或a < ? (舍去). 2 2 1+ 5 综合①②,a的取值范围为( , ∞). + 2
2 2 2
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向量与解析几何的综合题是高考命题的热点, 解题的关键是正确把握向量与坐标之间的转化.常 用技巧有两个:一是以向量的运算为切入点;二是 结合向量的几何意义及曲线的有关定义作转化.

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x2 【变式训练】 11 3月嵊州一中模拟) F1是椭圆 + y 2 = 1 (20 4 uuur uuu r 的左焦点,O为坐标原点,点P在椭圆上,则PF1 PO的 取值范围是( )
设P (2cosθ,sinθ ),F1 (? 3,, 0) uuur uuu r PF1 PO = (? 3 ? 2cosθ, sinθ ) (?2cosθ, sinθ ) ? ? = 2 3cosθ + 4cos 2θ + sin 2θ 3 2 ), = 3(cosθ + 3

uuur uuu r 因为cosθ ∈ [ ?1,1],所以PF1 PO ∈ [0, 4 + 2 3].

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1.熟练掌握向量运算的几何意义、物理意义及 向量的坐标运算,这是学好向量的根本. 2.学会把平面中的平行、垂直、夹角、距离等 从向量的角度认识,体会向量的工具性. uuu uuu r r ()要证AB = CD,可转化为证 | AB = CD | . 1

uuu r (2)要证AB / / CD,只要证存在实数λ ≠ 0,使 AB = uuu r λ CD. uuu uuu r r (3)要证AB ⊥ CD,只要证 AB ? CD = 0. (4)要证A,B,C共线,只要证存在实数λ ≠ 0,使 uuu r uuur AB = λ AC.

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3.体会本专题中的思想方法 平面向量基本定理是本专题的理论基础,要学会 选择一些向量为基底来表示其他向量;经常需要构造 向量的等量关系,再两边点乘向量构造出实数方程, 运用方程思想解题.另外数形结合思想,分类讨论思 想在本专题都有较多的应用.

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