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高中数学1.3.2函数的极值与导数练习新人教A版选修2_2

【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 1.3.2 函数的极值与导数练习 新人教 A 版选修 2-2 一、选择题 1. (2015·吉林实验中学高二期中)已知函数 y=f(x)在定义域内可导, 则函数 y=f(x) 在某点处的导数值为 0 是函数 y=f(x)在这点处取得极值的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 [答案] B [解析] 根据导数的性质可知,若函数 y=f(x)在这点处取得极值,则 f′(x)=0,即 必要性成立;反之不一定成立,如函数 f(x)=x 在 R 上是增函数,f′(x)=3x ,则 f′(0) =0,但在 x=0 处函数不是极值,即充分性不成立. 故函数 y=f(x)在某点处的导数值为 0 是函数 y=f(x)在这点处取得极值的必要不充分 条件,故选 B. 1 4 1 3 2.函数 y= x - x 的极值点的个数为( 4 3 A.0 C.2 [答案] B [解析] y′=x -x =x (x-1),由 y′=0 得 x1=0,x2=1. 当 x 变化时,y′、y 的变化情况如下表 3 2 2 3 2 ) ) B.1 D.3 x y′ y 故选 B. (-∞,0) - 0 0 无极值 (0,1) - 1 0 极小值 (1,+∞) + 3.已知实数 a、b、c、d 成等比数列,且曲线 y=3x-x 的极大值点坐标为(b,c),则 3 ad 等于( A.2 C.-1 ) B.1 D.-2 [答案] A [解析] ∵a、b、c、d 成等比数列,∴ad=bc, 1 又(b,c)为函数 y=3x-x 的极大值点, ∴c=3b-b ,且 0=3-3b , ∴? ?b=1, ? ? ?c=2, 3 2 3 或? ?b=-1, ? ? ?c=-2. 3 2 ∴ad=2. ) 4.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是( A.-1<a<2 C.a<-3 或 a>6 [答案] C [解析] f ′(x)=3x +2ax+a+6, ∵f(x)有极大值与极小值, ∴f ′(x)=0 有两不等实根, ∴Δ =4a -12(a+6)>0,∴a<-3 或 a>6. 2 2 B.-3<a<6 D.a<-1 或 a>2 5.已知函数 f(x)=x -px -qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的极大值、极小值 分别为( A. ) B.0, 4 27 3 2 4 ,0 27 4 C.- ,0 27 [答案] A [解析] f ′(x)=3x -2px-q, 由 f ′(1)=0,f(1)=0 得, ? ?3-2p-q=0, ? ?1-p-q=0, ? 2 4 D.0,- 27 解得? ? ?p=2, ?q=-1, ? ∴f(x)=x -2x +x. 3 2 1 2 由 f ′(x)=3x -4x+1=0 得 x= 或 x=1, 3 1 4 易得当 x= 时 f(x)取极大值 . 3 27 当 x=1 时 f(x)取极小值 0. 6.函数 f(x)=- x(a<b<1),则( e A.f(a)=f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)>f(b) D.f(a),f(b)的大小关系不能确定 [答案] C x ) 2 -x -x [解析] f ′(x)=( x )′= e 当 x<1 时,f ′(x)<0,∴f(x)为减函数, ∵a<b<1,∴f(a)>f(b). 二、填空题 x - -x x 2 x = x-1 e x . 7.(2014~2015·福建安溪一中、养正中学联考)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切 线方程为________________. [答案] 4x-y-3=0 [解析] y′|x=1=(3lnx+4)|x=1=4,∴切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0. 8.(2014~2015·河北冀州中学期中)若函数 f(x)=x+asinx 在 R 上递增,则实数 a 的取值范围为________________. [答案] [-1,1] [解析] f ′(x)=1+acosx,由条件知 f ′(x)≥0 在 R 上恒成立,∴1+acosx≥0,a =0 时显然成立;a>0 时, 1 1 1 ∵- ≤cosx 恒成立,∴- ≤-1,∴a≤1,∴0<a≤1;a<0 时,∵- ≥cosx 恒成立, a a a 1 ∴- ≥1,∴a≥-1,即-1≤a<0,综上知-1≤a≤1. a 9 . 设 x = 1 与 x = 2 是函 数 f(x) = alnx + bx + x 的 两 个 极 值 点, 则 常数 a = ______________. 2 [答案] - 3 [解析] f ′(x)= +2bx+1, 2 a x a+2b+1=0, ? ? 由题意得?a +4b+1=0. ? ?2 三、解答题 2 ∴a=- . 3 10.已知 f(x)=ax +bx +cx(a≠0)在 x=±1 时取得极值,且 f(1)=-1. (1)试求常数 a、b、c 的值; (2)试判断 x=±1 时函数取得极小值还是极大值,并说明理由. [解析] (1)由 f ′(-1)=f ′(1)=0,得 3a+2b+c=0,3a-2b+c=0. 又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1. 1 3 ∴a= ,b=0,c=- . 2 2 3 2 3 1 3 3 (2)f(x)= x - x, 2 2 3 2 3 3 ∴f ′(x)= x - = (x-1)(x+1). 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f ′(x)>0;当-1<x<1 时,f ′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上为减函数. ∴当 x=-1 时,函数取得