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算术平均数与几何平均数练习


算术平均数与几何平均数练习
【同步达纲练习】 同步达纲练习】 知识强化: 知识强化: 选择题 一,选择题 1.下列不等式中,对任意实数 x 都成立的是( ) 2 2 A.lg(x +1)≥lgx B.x +1>2x C.

1 ≤1 x +1
2

D.x+

1 ≥2 x

a 2 + b2 b a a+b 2 2.已知 a,b∈R,且 ab≠0,则在① ≥ab ② + ≥2 ③ab≤( ) ④ 2 a b 2
(

a + b 2 a 2 + b2 )≤ 这四个不等式中,恒成立的个数是( 2 2
A.1 B.2 C.3 D.4 + 3.已知 a,b∈R ,且 a+b=1,则下列各式中恒成立的是( A.

)

)

1 1 ≥ ab 2 1 2
2

B.

C. ab ≥

1 1 + ≥4 a b 1 1 D. 2 ≤ 2 2 a +b

4.函数 y=3x + A.3 2 -3` C.6 2

6 的最小值是( x +1
2

) B.-3 D.6 2 -3 )

5.已知 x>1,y>1,且 lgx+lgy=4,则 lgxlgy 的最大值是( A.4 B.2 C.1 D.

1 4

二,填空题 填空题 6.已知 a>b>c,则

(a - b)(b - c) 与

ac 的大小关系是 2

. . ,最小

7.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是 2 2 2 8.已知 a,b,c∈R 且 a +b +c =1,则 ab+bc+ca 的最大值是 值是 . 三,解答题 解答题 4 4 4 2 2 2 2 2 2 9.已知 a,b,c∈R,求证:a +b +c ≥a b +b c +c a ≥abc(a+b+c).

10.(1)求 y=2x +

2

3 (x>0)的最小值. x
2 2

(2)已知 a,b 为常数,求 y=(x-a) +(x-b) 的最小值. 素质优化: 素质优化: 选择题 一,选择题 1.已知 f(x)=(

1 x a+b 2ab + ) ,a,b∈R ,A=f( ),G=f( ab ),H=f( ),则 A,G, 2 2 a+b

H 的大小关系是( ) A.A≤G≤H B.A≤H≤G C.G≤H≤A D.H≤G≤A + 2.已知 x∈R ,下面各函数中,最小值为 2 的是( ) A.y=x+

1 x 16 x

B.y= x + 2 +
2

1 x +2
2

C.y=x+

D.y=x -2x+4
x y

2

3.当点(x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动时,表达式 3 +27 +1 的最小值是( A.3 3 9 C.6 4.设 M=( B.1+2 2 D.7

)

1 1 1 -1)( -1)( -1) a b c
+

,且 a+b+c=1,(其中 a,b,c∈R ),则 M 的取值范围是( A.[0,

)

1 ] 8

B.[

1 ,1] 8
)

C.[1,8] D.[8,+∞) + 2 2 2 2 2 2 5.若 a,b,c,d,x,y∈R ,且 x =a +b ,y =c +d ,则下列不等式中正确的是( A.xy<ac+bd B.xy≥ac+bd C.xy>ac+bd D.xy≤ac+bd 二,填空题 填空题 6.斜边为 8 的直角三角形面积的最大值是 + 2 7.已知 x,y,∈R ,且 xy =4,则 x+2y 的最小值是 8. 设 x>y>z,n ∈ N , 且 是 三,解答题 解答题 .

. .

n 1 1 + ≥ 恒成立,则 n 的最大值 x y yz xz

(n + 1) 2 9.设 n∈N,求证 1 × 2 + 2 × 3 +…+ n( n + 1) < . 2

10.证明,任何面积等于 1 的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于 4+2 2 . 创新深化: 创新深化: 选择题 一,选择题 1.设 x∈R,且满足 A.2kn(k∈Z) C.kn(k∈Z) 2.对一切正数 m,不等式 n<

x 1 + =cosθ,则实数θ的值为( 2 2x
D.kn+

)

B.(2k+1)π(k∈Z)

π
2

(k∈Z) )

4 2 +2m 恒成立,则常数 n 的取值范围是( m

A.(-∞,0) B.(-∞,6) C.(6,+∞) D.[6,+∞) 3.若 a,b,c∈R,且 ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是( 2 2 2 2 A.a +b +c ≥2 B.(a+b+c) ≥3 C.

)

1 1 1 + + ≥2 3 a b c

D.abc(a+b+c)≤3

4.已知 a,b 是不相等的正数,在 a,b 之间插入两组数 x1,x2,…,xn,和 y1,y2,…,yn,使 a,x1,x2,…,xn,b 成等差数列,a,y1,y2,…,yn,b 成等比数列,并给出下列不等式. ①

1 a+ b 2 (x1+x2+…+xn)>( ) n 2
1 a+b (x1+x2+…+xn)> n 2



③ n y1 y 2 … y n < ab

④ n y1 y 2 … y n <(

a b 2 ) 2

则其中为真命题的是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 5.某种汽车购车时费用为 10 万元,每年的保险,养路,汽油费用共 9 千元,汽车的维 修费逐年以等差数列递增,第一年为 2 千元,第 2 年为 4 千元,第三年为 6 千元,……问这 种汽车使用几年后报废最合算?(即汽车的平均费用为最低)( ) A.8 年 B.9 年 C.10 年 D.11 年 二,填空题 填空题 6.已知 0<x<1,a,b 为正常数,则 y=

a2 b2 + 的最小值是 x 1 x

.

7.已知 a,b∈R,且 a>
4 2

b 1 >0,则 a+ 的最小值是 2 (2a b)b
,此时,sinα=

. ,cos

8.sin αcos α的最大值是 α= .

三,解答题 解答题 9.在两个正数 x,y 之间,插入一个正数 a,设 x,a,y 成等比数列,另插入两个正数 2 b,c,设 x,b,c,y 成等差数列,求证:(a+1) ≤(b+1)(c+1).

10.已知 a>0,b>0,c>0,a+b+c=1.求证:(1+

1 1 1 )(1+ )(1+ )≥64. a b c

参考答案 【同步达纲练习】 同步达纲练习】 知识强化: 知识强化: 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.
2 2 4

(a b)(b c) ≤
4 2 2

ac 2
4

7. [ 9,+ ∞ )
4 4 2 2 2 2

8.1 , 2 2

1 2
2 2

9. ∵ a +b ≥ 2a b ,b +c ≥
2 2 2 2 2 2 2

4

4

2 2

4

4

2b c ,c +a ≥ 2c a 相 加 得 a +b +c ≥ a b +b c +c a , ∵ a b +b c ≥ 2b ac,b c +c a ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c ab,c a +a b ≥2a bc 相加得 a b +b c +c a ≥b ac+c ab+a bc=abc(a+b+c). 10.(1)y= 2x +
2

9 33 3 3 ( x a + b x ) 2 ( a b) 2 + ≥3 3 = 36 .(2)y=(x-a)2+(b-x)2≥ = 2 2 2x 2x 2 2

素质优化: 素质优化: 1.A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.16 7.3 3 4 8.4 9. 左 边 <

1+ 2 2 + 3 n + (n + 1) 1 1 + +…+ = (1+2+ … +n)+ 2 2 2 2 2

[2+3,+…+(n+1)]=

n(n + 1) n(n + 3) 2n(n + 2) n(n + 2) (n + 1) 2 + = = < 4 4 4 2 2

10.如图,设凸四边形 ABCD 边长依次为 a,b,c,d,对角线 AC 与 BD 交于 O 点,设 AO=e,

1 1 (eg+gf+fh+he)sin ∠ AOB ≤ (e+f)(g+h) ≤ 2 2 1 e+ f + g +h 2 1 1 1 ( ) ,∴e+f+g+h≥ 8 =2 2 .又 2=2SABCD= absinB+ bcsinc+ cdsin 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a+c+b+d 2 D+ dasinA≤ (ab+bc+cd+da)= (a+c)(b+d)≤ ( ) ,∴a+b+c+d≥4, 2 2 2 2 2
CO = f , BO = g , DO = h. ∴ 1 = SABCD = 从而命题得证.

创新深化: 创新深化: 1.C 2.B 3.B 4.B 5.C 2 6.(a+b) 7.

33 2 2

8.

4 6 3 ,± ,± 27 3 3

a = xy a 2 = xy 2x + y 9. 依 题 意 2b = x + c , 即 b = , ∴ (b+1)(c+1) = bc+b+c+1 = 3 2c = y + b x + 2y c = 3 (2 x + y )( x + 2 y ) 1 1 2 2 +x+y+1 = [ 2(x +y )+5xy ] +(x+y)+1 ≥ (4xy+5xy)+2 9 9 9
(

xy +1 =

xy +1)2=(a+1)2.
10.∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,∴1=a+b+c≥ 33 abc ,∴abc≤

1 1 ,即 ≥27,∴ 27 abc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1+ )(1+ )(1+ ) = 1+( + + )+( + + )+ ≥ a b c a b c ab bc ca abc
1+3 3

1 1 1 +3 3 ( ) + ≥1+9+27+27=64. abc abc abc

2


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