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2012版中考数学精品课件第二章方程(组)与不等式(组)(含11真题和12预测题)第9讲 不等式及一元一次不等式_图文

第9讲 不等式及一元一次不等式

考点知识精讲

中考典例精析

举一反三

考点训练

考点一

不等式的基本概念

不等号 1.不等式 用_______连接起来的式子,叫做不等式.

2.不等式的解 使不等式成立的_________值,叫做不等式的解. 未知数的
3.不等式的解集 一个含有未知数的不等式的__________叫做不等 解的全体 式的解集. 4.一元一次不等式 只含有__个未知数,并且未知数的次数是___ 一 一 ax+b<0 0 且系数不等于___的不等式,叫一元一次不等式.其一般形式为________ 或 ax+b>0(a≠0) __________

_.
的过

5.解不等式 求不等式 解集 的过程或证明不等式 无解 程,叫做解不等式.

考点二 不等式的基本性质 整式 1.不等式两边都加上(或减去)同一个 数 或同一个______,不等号 的方向 不变 ,即若 a<b,则 a+c<b+c(或 a-c<b-c); 2.不等式两边都乘以(或除以)同一个 正数 ,不等号的方向不变 即

a b 若 a<b,且 c>0,则 ac<bc(或 < ); c c

3.不等式两边都乘以(或除以)同一个 负数 ,不等号的方向 改变,

a b 即若 a<b,且 c<0,则 ac>bc(或 > ). c c 温馨提示:
一定要注意应用不等式的基本性质3时,要改变不等号的方向.

考点三

一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的基本步骤:去分母,去______,_______,合并 括号 移项

________,系数化为1. 同类项
温馨提示: 用数轴表示不等式的解集时,注意实心点和空心圆圈的意义. 考点四 一元一次不等式的应用

列不等式解应用题的一般步骤:

(1)审题;(2)设未知数;(3)确定包含未知数的不等量关系;
(4)列出不等式;(5)求出不等式的解集;(6)检验不等式的解是否 符合题意;(7)写出答案.

(1)(2011·上海)如果 a>b,c<0,那么下列不等式成立的是( A.a+c>b+c B.c-a>c-b C.ac>bc D. >

)

a b c c (2)? 2010·河北? 把不等式-2x<4 的解集表示在数轴上,正确的是
( )

【解答】(1)A (2)A

方法总结: 1.在数轴上表示不等式的解集时,要确定边界和方向.边界:有等号 的用实心圆点,无等号的用空心圆圈.方向:大于向右,小于向左. 2.解不等式时,系数化为1时,必须明确系数的符号,当未知数的系 数为负数时,一定要改变不等号的方向.

(1)(2011·苏州)解不等式:3-2(x-1)<1. x+1 (2)(2011·重庆)解不等式 2x-3< ,并把解集在图中的数轴上 3 表示出来.

【点拨】解不等式与解方程类似,不同之处在于系数化为1时,若不

等式两边同时乘(或除)以一个负数,要改变不等号的方向.
【解答】(1)3-2(x-1)<1, 去括号,得3-2x+2<1

移项,得-2x<1-3-2
合并同类项,得-2x<-4,∴x>2.

(2)3(2x-3)<x+1,6x-9<x+1,5x<10,x<2. ∴原不等式的解集是x<2,它在数轴上的表示如图所示.

方法总结: (1)在去分母时,不能漏乘不含分母的项;(2)在最后系数化为1 时,若利用不等式的性质3,注意改变不等号的方向.

(2010·眉山)某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6 000尾,甲 种鱼苗每尾0.5元,乙种鱼苗每尾0.8元.相关资料表明:甲、乙两种鱼苗

的成活率分别为90%和95%.
(1)若购买这批鱼苗共有了3600元,求甲、乙两种鱼苗各购买了多少 尾?

(2)若购买这批鱼苗的钱不超过4 200元,应如何选购鱼苗?
(3)若要使这批鱼苗的成活率不低于93%,且购买鱼苗的总费用最低, 应如何选购鱼苗? 【点拨】列不等式解决实际问题时,抓住题目中表示不等关系的关键 词,寻找到表示不等关系的式子.

【解答】 (1)设购买甲种鱼苗 x 尾,则购买乙种鱼苗(6000-x)尾,由题意, 得 0.5x+0.8(6 000-x)=3 600. 解这个方程,得 x=4 000. ∴6 000-x=2 000. 答:甲种鱼苗买了 4 000 尾,乙种鱼苗买了 2 000 尾. (2)由题意,得 0.5x+0.8(6 000-x)≤4 200 解这个不等式,得 x≥2 000 即购买甲种鱼苗应不少于 2 000 尾. (3)设购买鱼苗的总费用为 y 元,则 y=0.5x+0.8(6000-x)=-0.3x+4 800 90 95 93 由题意,有 x+ (6 000-x)≥ ×6 000 100 100 100 解得 x≤2 400. 在 y=-0.3x+4 800 中, ∵-0.3<0,∴y 随 x 的增大而减少. ∴当 x=2 400 时,y 最小=4 080(元)

1.不等式x-2<0的解集是( A.x>-2 B.x<-2

) C.x>2 D.x<2

答案:D
2.不等式2x+3≥5的解集在数轴上表示正确的是( )

答案:D

3. 已知 a、、 是有理数, a>b>c, b c 且 那么下列式子一定正确的是( A.a+b>b+c B.a-b>b-c C.ab>bc 答案:A D. >

)

a b c c

4.不等式 x-2<0 的正整数解是( ) A.1 B.0,1 C.1,2 D.0,1,2 答案:A 5.若 a<0,关于 x 的不等式 ax+1>0 的解集是( 1 1 A.x> B.x<

)

a

a

1 C.x>- a 答案:D

1 D.x<-

a

x≥1 6.不等式 2-x≤1 的解集为________. 2x-1 5x+1 7.解不等式 - ≤1,并把它的解集在数轴上表示出来. 3 2

答案:x≥-1 图略
8.一次奥运知识竞赛中,一共有25道题,答对一题得9分,答错(或 不答)一题扣5分.设小明同学在这次竞赛中答对x道题. (1)根据所给条件,完成下表:
答题情况 题 数 每题分值 得 分 答 对 答错或不答 -5

x
10 10x

(2)若小明同学的竞赛成绩超过100分,则他至少答对几道题? 答案:(1)25-x -5(25-x) (2)他至少答对16道题

不等式及一元一次不等式

训练时间:60分钟

分值:100分

1.(2011·南昌)不等式8-2x>0 的解集在数轴上表示正确的 是( )

【解析】不等式8-2x>0 的解集是x<4,故选C.

【答案】C

2. (2011·深圳)已知 a 、 、 均为实数, a >b, ≠0, b c 若 c 下列结论不一定正确的是( ... A.a +c>b+c ) B.c-a<c -b D.a >ab>b
2 2

a b C. 2> 2 c c

【解析】由于 a>b,则-a<-b,故 A、B、C 均正确;D 项中当 a=1,b=-2 时,a2<b2,故 D 不正确.
【答案】D

3.(2011中考预测题)若不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1,则a必 须满足( A.a<0 ) B.a<1 C.a<-1 D.a>-1

【解析】原不等式中不等号的方向为“>”,而解集中不等号的方

向为“<”,说明系数a+1<0,解得a<-1.
【答案】C

4.(2010中考变式题)如图,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质 量,同类水果质量相等,则下列关系正确的是( )

A.a>c>b C.a>b>c

B.b>a>c D.c>a>b

3 1 【解析】由图可得 3b<2a,2c=b,所以 a> b,c=b> b, 2 2 3 1 由于 b>b> b,所以 a>b>c. 2 2
【答案】C

2x-7 2+11x 5.(2012 中考预测题)在解不等式 ≤ 的过程中,① 2 2 去分母,得 2x-7≤2+11x;②移项,得 2x-11x≤7+2;③合并同 类项,得-9x≤9;④解集为 x≤-1.发生错误的一步是(
A.① B.② C.③ D.④

)

【解析】根据不等式的基本性质3,解-9x≤9,得x≥-1. 【答案】D

6.(2010中考变式题)如果不等式3x-m≤0的正整数解是1、2、3, 那么m的取值范围是( A.9≤m<12 C.m<12 ) B.9<m<12 D.m≥9

【解析】3x-m≤0,解得 x≤ ,∴3≤ <4,即 9≤m<12. 3 3

m

m

【答案】A

7.(2010中考变式题)小华拿24元钱购买火腿肠和方便面,已知一 盒方便面3元,一根火腿肠2元,他买了4盒方便面,x根火腿肠,则关于

x的不等式表示正确的是(
A.3×4+2x<24

) B.3×4+2x≤24

C.3x+2×4≤24

D.3x+2×4≥24

【解析】买4盒方便面和x根火腿肠所花总钱数最多为24元,即3×4 +2x≤24.

【答案】B

8.(2012中考预测题)若关于x的方程3x+3k=2的解是正数,则k的取 值范围是( )

2 A.k< 3 2 C.k≥ 3

2 B.k> 3 D.k 为任何实数

2-3k 2-3k 【解析】 3x+3k=2, x= 解 得 , 由于 x>0, 所以 >0, 3 3 2 解得 k< . 3
【答案】A

9.(2012中考预测题)已知关于x的不等式2x-a>-3的解集如图 所示,那么a的值是( )

A.0 C.-2

B.1 D.-1

【解析】 2x-a>-3, x> 解 得 所以

a-3
2

, 而数轴表示的解集是 x>-1,

a-3
2

=-1,解得 a=1.

【答案】B

10.(2010中考变式题)已知x>y,a为任意有理数,下列式子中正

确的是(

)
B.a2x>a2y D.x>-y

A.-x>-y C.-x+a<-y+a

【解析】由不等式的基本性质1、3可得正确答案. 【答案】C

11.(2012 中考预测题)解不等式 1- 分母正确的是( )

x-2 2x-1
6 < 3

时,下列去

A.6-x-2<2(2x-1) B.1-x+2<2(2x-1) C.6-x+2<2(2x-1) D.6-x+2<2x-1

【解析】去分母时需注意:①别漏乘不含分母的项;②分子是整体时
要加括号. 【答案】C

12.(2011·杭州)若 a+b=-2,且 a≥2b,则(

)

b 1 A. 有最小值 a 2
B. 有最大值 1 C. 有最大值 2

b a a b

a 8 D. 有最小值- b 9

4 2 b -2-a 2 【解析】由已知可解得 a≥- ,b≤- ,则 = =- -1,据此 3 3 a a a 4 b 1 b b 可知,当- ≤a<0 时, ≥ ,当 a>0 时, <-1,因此 没有最大值与最 3 a 2 a a 小值; =

a -2-b 2 2 a a =- -1,可知当 b≤- 时, ≤2,所以 有最大值 2. b b b 3 b b

【答案】C

二、填空题(每小题4分,共24分)

13.(2010中考变式题)请你写出一个满足不等式2x-1<6的正整数x
的值________. 【解析】解2x-1<6,得x<3.5 ∵x为正整数,∴x=3,2,1. 【答案】1、2、3填一个即可

14.(2011·吉林)不等式2x-5<3的解集是________.

【解析】移项得2x<8,∴x<4.
【答案】x<4

15.(2010中考变式题)商店为了对某种商品促销,将定价为3元的 商品以下列方式优惠销售:若购买不超过5件,按原价付款;若一次性 购买5件以上,超过部分打八折.如果用27元钱,最多可以购买该商品 的件数是________.

【解析】设最多可以购买该商品x件,则3×5+(x-
5)×3×0.8≤27,解得x≤10. 【答案】10

16.(2012中考预测题)如图,已知函数y=x+b和y=ax+3的图象 交点为P,则不等式x+b>ax+3的解集为________.

【解析】令y1=x+b,y2=ax+3 当y1>y2时,x>1.

【答案】

17.(2012中考预测题)幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友,若

每人3件,那么还剩余59件;若每人5件,那么最后一个小朋友能分到玩
具,但不足4件,这批玩具共有________件. 【解析】设共有x个小朋友,则0<3x+59-5(x-1)<4,解得

30<x<32.由于x取正整数,∴x=31,3x+59=3×31+59=152.
【答案】152

18.(2010中考变式题)如果关于x的不等式(a-1)x<a+5和2x<4的解 集相同,则a的值为________.

a+5 【解析】解 2x<4 得 x<2,解(a-1)x<a+5 得 x< (显 a-1 a+5 然 a-1>0),则 =2,解得 a=7. a-1
【答案】7

三、解答题(共40分) 19.(15分)解不等式.

(1)(2011·北京)解不等式:4(x-1)>5x-6.
(2)(2012 中考预测题)解不等式 x- 示在数轴上; (3)(2010 中考变式题)解不等式 不等式的非负整数解. 7x-2 x-2 + <2(x+1), 并求出 2 3

x+2

2x-5 ≤ ,并把解集表 2 3

【答案】解:(1)去括号,得4x-4>5x-6. 移项,得4x-5x>4-6. 合并同类项,得-x>-2.解得x<2. ∴原不等式的解集是x<2.

(2)x-

≤ ,去分母,得:6x-3(x+2)≤2(2x-5), 2 3 6x-3x-6≤4x-10,-x≤-4,x≥4,在数轴上表示解集 如下:

x+2 2x-5

7x-2 x-2 (3) + <2(x+1),去分母,得 3(7x-2)+2(x- 2 3 2)<12(x+1),21x-6+2x-4<12x+12.即 11x<22,x<2,∴不 等式的非负整数解为 x=0,1.

4 2 20. 分)(2010 中考变式题)已知不等式 x+4<2x- a(x (6 3 3 1-2x 1 为未知数)的解也是不等式 < 的解,求 a 的值. 6 2
4 2 4 2 2 2 【答案】 解:x+4<2x- a,2x- x>4+ a, x>4+ a, 即 3 3 3 3 3 3

x>6+a.
∴a=-7.

1-2x 1 < , 1-2x<3,2x>-2, >-1.则 6+a=-1, x 6 2

21.(10分)(2011·广州)某商店5月1日举行促销优惠活动,当天到 该商店购买商品有两种方案,方案一:用168元购买会员卡成为会员后 ,凭会员卡购买商店内任何商品,一律按商品价格的8折优惠;方案二 :若不购买会员卡,则购买商店内任何商品,一律按商品价格的9.5折 优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员. (1)若小敏不购买会员卡,所购买商品的价格为120元时,实际应支 付多少元? (2)请帮小敏算一算,所购买商品的价格在什么范围时,采用方案 一更合算?

【答案】解:(1)实际应支付:120×0.95=114(元). (2)设所购买商品的价格为x元,依题意得 168+0.8x<0.95x,解 得x>1 120, ∴当所购买商品的价格高于1 120元时,采用方案一更合算.

22.(9分)(2011·温州)2011年5月20日是第22个中国学生营养 日,某校社会实践小组在这天开展活动,调查快餐营养情况。他们 从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如下图),根据信息, 解答下列问题.

(1)求这份快餐中所含脂肪质量; (2)若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐所含蛋白质的 质量; (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85% ,求其中所含碳水化合物质量的最大值. 【答案】解:(1)400×5%=20. 答:这份快餐中所含脂肪的质量为20克.

(2)设这份快餐中所含矿物质的质量为x克,
由题意得x+4x+20+400×40%=400,

解得x=44,∴4x=176. 答:这份快餐中所含蛋白质的质量为176克. (3)解法一:设所含矿物质的质量为y克,则所含碳水化合物的质 量为(380-5y)克, ∴4y+(380-5y)≤400×85%,∴y≥40. ∴380-5y≤180, ∴所含碳水化合物质量的最大值为 180克.

解法二:设所含矿物质的质量为n克,则

n≥(1-85%-5%)×400,

∴n≥40.∴4n≥160. ∴400×85%-4n≤180. ∴所含碳水化合物质量的最大值为180克.


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