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赵凯华所编《电磁学》第二版答案

第二章 静电场中的导体和电介质 §2.1
思考题: 1、 试想放在匀强外电场E0中的不带电导体单独产生的电场 E′的电力线是什么样子(包 括导体内和导体外的空间) 。如果撤去外电场E0,E′的电力线还会维持这个样子吗? 答:电场 Eˊ的特征有: (1)静电平衡时,在导体内部,E0 和 Eˊ的矢量和处处为零。 因此 Eˊ的电力线在导体内部是与 E0 反向的平行直线; (2)导体上的等量异号电荷, 在离导体足够远处激发的场,等效于一个电偶极子激发的场,因此其电力线也等效于电 偶极子电场的电力线; (3)导体上电荷密度大的地方,电力线的数密度较大; (4)在导 体表面附近,E0 和 Eˊ的矢量和的方向一定垂直于导体表面。因此, Eˊ的方向相对于 E0 一定位于表面法线的另一侧。 Eˊ的电力线分布如图所示。值得注意的是, 单独考虑感应 电荷的场 Eˊ时,导体并非等位体,表面也并非等位面,所以 感应电荷激发的场的电力线在外表面上会有一些起于正电荷而 止于负电荷。 如果撤去外电场 E0,静电平衡被破坏, ,Eˊ的电力线不会 维持这个样子。最后 Eˊ将因导体上的正、负电荷中和而消失。 2、 无限大带电面两侧的场强 E ? ? / 2? 0 ,这个公式对于靠近有限大小带电面的地方也适 用。这就是说,根据这个结果,导体表面元△S 上的电荷在紧靠它的地方产生的场强也 应是 ? / 2? 0 ,它比导体表面处的场强小一半。为什么? 答:可以有两种理解: (1)为了用高斯定理求场强,需作高斯面。在两种情形下,通过 此高斯面的电通量都是 ?S / ? 0 ,但在前一种情况,由于导体内部场强为零,通过位于导 体内部的底面的电通量为零, 因而造成两公式不同; 如果两种情况面电荷密度相同, (2) 无限大带电平面的电力线对称地分布在带电面两侧,而导体表面电力线只分布在导体外 侧,因此电力线的密度前者为后者的二分之一,故场强也为后者的二分之一。 3、 根据式 E ? ? / ? 0 ,若一带电导体面上某点附近电荷面密度为σ ,这时该点外侧附近场 强为 E ? ? / ? 0 ,如果将另一带电体移近,该点的场强是否改变?公式 E ? ? / ? 0 是否 仍成立?

静电场中的导体

答:场强是所有电荷共同激发的。另一带电体移近时,由于它的影响和导体上电荷分布的变 化,该点的场强 E 要发生变化。当达到静电平衡时,因为表面附近的场强总与导体表 面垂直,应用高斯定理,可以证明 E ? ? / ? 0 仍然成立,不过此时的σ 是导体上的电荷 重新分布后该点的电荷密度。 4、 把一个带电物体移近一个导体壳, 带电体单独在导体空腔内产生的电场是否等于零?静 电屏蔽效应是怎样体现的? 答:带电体单独在导体空腔内产生的场强不为零。静电平衡的效应表现在,这个场强与导体 外表面感应电荷激发的场强, 在空腔内的矢量和处处为零, 从而使空腔内的场不受壳外 带电体电场的影响。 5、 万有引力和静电力都服从平方反比定律, 都存在高斯定理。 有人幻想把引力场屏蔽起来, 这能否作到?引力场和静电力有什么重要差别? 答:产生静电平衡的关键,在于导体中存在两种电荷,而且负电荷(电子)在电场力作用下 能够自由移动,因此在外电场作用下,能够形成一附加电场,使得在导体壳内总场强为 零。引力场与此不同,引力场的源只有一种,因此在外部引力场的作用下不可能产生一 附加引力场,使得物质壳内部的引力场处处为零,所以屏蔽引力场是不可能的。两种场 的重要差别在于: 静电场的源有两种, 相应的电荷之间的作用力也有两种, 引力和斥力; 引力场的源只有一种,相应的物质的引力相互作用只有一种引力。 6、 (1)将一个带正电的导体 A 移近一个不带电的绝缘导体 B 时,导体 B 的电位是升高还 是降低?为什么? (2)试论证:导体 B 上每种符号感应电荷的数量不多于 A 上的电量。 答: (1)A 移近时,B 的电位将升高。因为带电体 A 移近时,B 上将出现感应电荷,靠近 A 的一边感应电荷为负,远离 A 的一边为正。从 A 上正电荷发出的电力线,一部分终 止于负的感应电荷上, 正的感应电荷发出的电力线延伸至无限远, 由于同一电力线其起 点的电位总是高于终点的电位, 若选取无限远处的电位为零, 则正的感应电荷所在处 (导 体B)的电位大于零。静电平衡时,导体B为等位体,因此整个导体B的电位大于零, 而在A未移近之前,B的电位为零。可见,当A移近时,B的电位升高了。 (2)从 A 上正电荷发出的电力线,一部分终止于B上,其余延伸至无限远处,因此 B上的负电荷电量小于A上的正电荷电量, 且B上感应电荷总是等量异号的, 所以B导 体上每种电荷的电量均少于A上的电荷。 7、 将一个带正电的导体 A 移近一个接地的导体 B 时,导体 B 是否维持零电位?其上是否 带电?

答:导体 B 与大地等电位,电位仍为零。不论 B 导体原来是否带电,由于 A 所带电荷的符 号、大小和位置的影响,B 将带负电。 8、 一封闭的金属壳内有一个带电量 q 的金属物体。试证明:要想使这金属物体的电位与金 属壳的电位相等,唯一的办法是使 q=0 。这个结论与金属壳是否带电有没有关系? 答:若 q≠0,金属壳的电位与带电金属物体的电位不等。应用高斯定理可证明,金属壳内 表面上带负电,电量为-q ,从带电的金属物体上发出的电力线终止于金属壳的内表面上, 因此带电金属物体的电位高于金属壳的电位。反之,若 q=0,金属壳和金属物体之间无 电场,电荷从它们中的一个移向另一个的过程中,没有电场力做功,所以它们之间无电 位差。 由于静电屏蔽效应,金属壳带电与否,不会影响金属壳表面上所包围区域内的场强 和电位差,所以,金属壳是否带电对以上证明的结论没有影响。 9、 有若干个互相绝缘的不带电导体A、B、C、…,它们的电位都是零。如果把其中任一 个如 A 带上正电,证明: (1) 所有这些导体的电位都高于零; (2) 其他导体的电位都低于 A 的电位。 答: (1)与6题解释相同。当选无限远处电位为零时,一个不带电的绝缘导体附近放入一 个带正电的物体时,这个导体的电位将升高。因此电位不为零的带正电绝缘导体A将使 B、C、…的电位高于零。 (2)由A发出的电力线总有一部分终止在其他各导体的负的感应电荷上,由于电力线 指向电位降低的方向,所以其他导体的电位都会低于A的电位。 10、 两导体上分别带有电量-q 和 2q ,都放在同一个封闭的金属壳内。证明:电荷为+2q

的导体的电位高于金属壳的电位。 答:应用高斯定理可证明,金属壳内表面的感应电荷为-q。从电荷2q 的导体表面发出的 电力线将有一部分终止于金属壳内表面的负电荷上, 根据电力线起点电位高于终点电位 的性质,电荷为2q 的导体的电位高于金属壳的电位。

11、

一封闭导体壳C内有一些带电体,所带电量分别为 q1、q2、?,C外也有一些带电

体,所带电量分别为Q1、Q2、?。问: (1)q1、q2、?的大小对C外电场强度和电位有无影响? (2)当 q1、q2、?的大小不变时,它们的分布形状对C外的电场强度和电位影响如 何?

(3)Q1、Q2、…的大小对C内的电场强度和电位有无影响? (4)当Q1、Q2、…的大小不变时,它们的分布形状对C内的电场强度和电位影响 如何? 答: (1)有影响。壳内电荷在壳的外表面产生等量同号的感应电荷,这些感应电荷将要影 响壳外的电场强度和电位。 (2)没有影响。腔内带电体上发出的电力线全部终止于内表面的等量异号的感应电荷 上,空腔内电荷分布发生变化时,内表面上感应电荷的分布也随之发生变化,但力线不 穿过导体壳,因此只要腔内带电体的总电量不变,导体壳外表面的电荷量就一定,而这 些电荷的分布状态仅取决于外表面的形状。形状一定,电荷分布就一定,壳外电场和相 对于壳外任意点的电位也就一定。 (3)对C内的电场强度无影响,对电位有影响,但对两点之间的电位差无影响。因为 外面电荷的场强与导体壳上感应电荷的场强在腔内的矢量和处处为零, 因此外部电荷对 腔内的电场强度没有影响, 因而对C内两点之间的电位差也无影响。 但是导体壳相对于 壳外任意点的电位要受壳外电场, 即壳外电荷大小的影响, 而腔内各点的电位与导体壳 的电位有关,所以腔内的电位受外部电荷大小的影响。 (4)对C内的场强无影响,对电位差也没有影响,但对电位有影响。理由同上。

12、

若上题中C接地,情况如何?

答:当C接地时,导体壳内和导体壳外将不发生任何互相影响。

13、

(1)一个孤立导体球带电Q,其表面场强沿什么方向?Q在其表面上的分布是否

均匀?其表面是否等电位?电位有没有变化?导体内任一点P的场强是多少?为什 么? (2) 当把另一带电体移近这个导体球时,球表面场强沿什么方向?其上的电荷分布是否 均匀?其表面是否等电位?电位有没有变化?导体内任一点P的场强有无变化? 为什么? 答: (1)一个孤立带电导体球,其表面场强必与表面垂直,即沿半径方向,否则不会处于 静电平衡状态。场的分布具有球对称性,球面上各点的电场强度数值相同,根据

E ? ? / ? 0 ,球面上各点的电荷密度也相同,即电荷分布是均匀的。既然场强总是垂直
于球面,所以球面是等位面。导体内任一点P的场强为零。 (2)当把另一带电体移近时,达到静电平衡后,球面的场强仍与表面垂直,否则将不会

处于静电平衡状态。 这时, 场的分布不再具有球对称性, 球面附近各点的场强数值不同, 因而电荷分布不是均匀的。 既然导体表面处的场强仍处处垂直于导体表面, 故表面仍为 等位面。导体球的电位将升高。导体内任一点P的场强仍为零。 14、 (1)在两个同心导体球B、C的内球上带电Q,Q在其表面上的分布是否均匀? (2)当从外边把另一带电体A移近这一对同心球时,内球C上的电荷分布是否均匀? 为什么? 答: (1)具有球对称性,Q在内球的表面上分布是均匀的。 (2)A的移近使外球的外表面上感应出等量异号的感应电荷,但内部的电场不受A的 影响,仍具有球对称性,内球上的电荷分布仍是均匀的。 15、两个同心球状导体,内球带电Q,外球不带电,试问: (1)外球内表面电量Q1=?外球外表面电量Q2=? (2)球外P点总场强是多少? (3) Q2在P点产生的场强是多少?Q是否在P点产生场强?Q1是否在P点产生 场?如果外面球壳接地,情况有何变化? 答: (1)外球内表面电量Q1=-Q;外球外表面电量Q2=Q。 (2)设球外P点到球心的距离为 r,则P点的总场强为 E ?

?

Q ? r。 4?? 0 r 3 1

(3)Q2在P点产生的场强是 E ?

?

Q ? r 。Q和Q1都要在P点激发电场,不过, 4?? 0 r 3 1

其场强的矢量和为零。如果外面球壳接地,则Q2=0,仍有Q1=-Q,P点的场强为零。 16、在上题中当外球接地时,从远处移来一个带负电的物体,内、外两球的电位增高还 是降低?两球间的电场分布有无变化? 答:这时,内外两球的电位即不增高也不降低,外球仍与大地等电位。由于静电屏蔽效应, 两球间的电场分布没有变化。 17、在上题中若外球不接地,从远处移来一个带负电的物体,内、外两球的电位增高还 是降低?两球间的电场分布有无变化?两球间的电位差有无变化? 答:这时,内外两球的电位要降低。由于静电屏蔽效应,两球间的电场无变化,两球间各点 相对于地的电位要变化。因为每点的电位与外壳的电位有关。但是,任意两点之间的电 位差没有变化,因为两点之间的电位差只由场强分布决定,场强分布不变时,电位差不 变。

18、如图所示,在金属球A内有两个球形空腔。此金属球整体上不带电。在两空腔中心 各放置一点电荷 q1 和 q2。此外在金属球A之外远处放置一点电荷 q(q 至A的中心距 离 r>>球A的半径R)。作用在A、q1、q2 和 q 四物体上的静电力各多大? q1 · q2 A · Q
2

r

· q

答:电荷 q1 在其所在空腔内壁上感应出-q1 的电荷,在A的外表面上感应出+q1 的电荷; q2 在其所在空腔内壁上感应出-q2的电荷,在A的外表面上感应出+q2的电荷;因此 A的外表面上感应电荷的总电量为 q1+q2。(r>>R,q 在球面上的感应电荷不计) q1 和-q1 在空腔外产生的场强的矢量和为零,因此,它们对A球面上的电荷 q1+q2 以及电荷 q、q2没有作用力。同样,q2和-q2也是如此。电荷 q 和A球面上的电荷 q1 +q2由于静电屏蔽效应,对 q1 和 q2也没有作用力。由于 q 至A球中心的距离 r>>R,电 荷 q 和A球面上的电荷 q1+q2的相互作用,可看作两个点电荷之间的相互作用,相互 作用力满足库仑定律。 力的大小为 E ? 1 ?q1 ? q 2 ?q , 方向在沿着 q 和A球心的连线上。 4?? 0 r2 q1 和 q2之间没有相互作用力,因为它们各自发出的电力线全部终止在自己所在的 空腔内表面上。q1 只受其所在腔壁上-q1 作用,由于对称性,作用力相互抵消为零。同 样 q2所受到的作用力也为零。 19、在上题中取消 r>>R 的条件,并设两空腔中心的间距为 a ,试写出: (1)q 给 q1 的力; (2)q2给 q 的力; (3)q1 给A的力; (4)q1 受到的合力。 答: (1)电荷之间的相互作用力与其他物质或电荷是否存在无关,所以点电荷 q 给点电荷 q1 的作用力为

F?

4?? 0 ?r ? a / 2?2 F? 1 qq1

1

qq1

(2)同理 q2给 q 的力 (3)q1 给A的力

4?? 0 ?r ? a / 2?2

F=0(A所带总电量为零,等量异号电荷分布具有轴对称性)

(4) q1 受到的合力为零。因为所受力包括四部分—— 一是空腔内表面上与其等量异号的感应电荷对其的作用力, 由于感应电荷均匀分 布于内球面上,由对称性可知F1=0; 二是 q2 及其空腔内表面上的感应电荷-q2 对其的作用力,-q2 在内表面上的分 布也是均匀的,q2 及-q2 对 q1 的作用力F2=0; 三是A球外表面感应电荷 q1+q2对其作用, 1+q2均匀分布于A球面上, q 在导体

内部产生的场强为零,所以作用力 F3 ? 0 四是 q 及A上感应电荷对其作用。 导体外表面上感应电荷在导体内产生的场正好 与引起它的电荷在导体内产生的电场互相抵消,使得导体内场强处处为零,所以合力 F4=0。 20、 (1)若将一个带正电的金属小球移近一个绝缘的不带电导体时,小球受到吸引力还 是排斥力? (2)若小球带负电,情况将如何? (3)若当小球在导体近旁(但未接触)时,将导体远端接地,情况如何? (4)若将导体近端接地,情况如何? (5)若导体在未接地前与小球接触一下,将发生什么变化? (6)若将导体接地,小球与导体接触一下后,将发生什么变化? 答: + (1)导体在靠近小球一端感应电荷为负电荷,小球受吸引力; (2)若小球带负电,导体在靠近小球一端感应电荷为正电荷,小 球仍受吸引力; + (3)导体远端接地时,导体整体带负电,小球所受力为吸引力; (4)导体近端接地时,导体仍带负电,小球所受力为吸引力; (5) 导体在未接地前与小球接触一下,导体也带正电,小球受到排斥力; (6) 导体接地,小球与导体接触后,所有电荷将通过导体流入大地,小球与导体均不带 电,因此小球与导体之间没有相互作用力。 21、 (1)将一个带正电的金属小球B放在一个开有小孔的绝缘金属壳内,但不与接触。 将另一带正电的试探电荷A移近时, A将受到吸引力还是排斥力?若将小球B从壳内 移去后,A将受到什么力? (2)若使小球B与金属壳内部接触,A受什么力?这时再将小球B从壳内移去, 情况如何? (3)使小球不与壳接触,但金属壳接地,A将受什么力?将接地线拆掉后,又将 小球B从壳内移去,情况如何? (4)如情形(3) ,但先将小球从壳内移去后再拆除接地线,情况与(3)相比有 何不同?

答: (1)在此情形下,带正电的B球将在金属壳内表面感应出负电荷,在金属壳外表面感 应出正电荷,B球和金属壳组成的体系在金属壳外部的场,只由金属 壳外表面的电荷分布决定,由于金属壳外表面带正电,所以处在这个 电荷的场中的带正电的试探电荷A将受到排斥力(这里忽略不计A的 场对金属壳外表面电荷分布的影响,否则,在一定条件下,它们之间 可能出现相互吸引的情况) 。 若将B从壳内移去, 带正电的试探电荷A将使金属壳外表面上产 生感应电荷,靠近A的一边出现负电荷,远离A的一边出现正电荷。 距离不同,吸引力大于排斥力,结果A将受到吸引力作用。 (2) 小球B与金属壳内部接触, B的正电荷将分布在金属壳的外表面, + 处于此电场中的A将受到排斥力的作用。 这时再将B从金属壳内移去, A 情况不变。 (3)B不与金属壳接触,但金属壳接地时,金属壳外表面由于A的存 在而出现的感应电荷消失。但由于带正电的A的存在,将在离A最近 的一边出现负的感应电荷,它将使A球受到吸引力作用。 将接地线拆掉后,又将B从壳内移去,内表面上的负电荷将分布 在外表面上,最后结果是A球所受的吸引力增大。 (4)先将B移去再拆去地线,与(3)的最后结果相同,但引力大小不同。 在(3)中,由于静电平衡状态下先拆掉地线,各部分电荷分布不变,再将B从 壳内移去,内壁的负电荷转移到外表面后不能入地,A球受到的吸引力增大。 在(4)中,先将B从壳内移去,内壁的负电荷转移到外表面后,全部从接地线 入地,静电平衡后再拆去地线,A球受到的吸引力将不增加。 22、 在一个孤立导体球壳的中心放一个点电荷, 球壳内、 外表面上的电荷分布是否均匀? 如果点电荷偏离球心,情况如何? 答:电荷放在球心,由于球对称性,球壳内、外表面上的电荷分布是均匀的。如果点电荷偏 离球心,力线不是从球心出发,但在内表面附近,又必须垂直于球壳的内表面,所以球 壳内的场强分布不再具有球对称性,球壳内表面上的电荷分布不再均匀。但是,点电荷 发出的电力线终止在内表面上,不影响球壳外部,因此,球壳外表面的电荷仍然按外表 面的形状均匀分布。 23、如图所示,金属球置于两金属板间,板间加以高压,则可看到球与板间放电的火花。 若再在下面板上金属球旁放一等高度的尖端金属, 问放电火花将如何变化?想一想这 + A + B B + + A + A + B

现象可有何应用? 答:若在下面板上金属球旁放一等高的尖端金属,则球和上板之间不再出现放电火花,火花 只出现在尖端金属与上板之间。 这是由于导体尖端处面电荷密度大, 附近的场强特别强, 使得空气易于在金属尖端和上板之间被击穿而发生火花放电。 上述现象说明, 曲率半径小的尖端比曲率半径大的表面易于放电。 利用这种现象可 以做成避雷针, 避免建筑物遭受雷击; 让高压输电线表面作得很光滑, 其半径不要过小, 避免尖端放电而损失能量;高压设备的电极作成光滑球面,避免尖端放电而漏电,以维 持高电压等。 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------习题: 1、如图所示,一平行板电容器充电后,A、B两极板上电荷的面密度分别为σ 和-σ 。 设P为两板间任一点,略去边缘效应,求: (1) A板上的电荷在P点产生的电场强度EA; (2) B板上的电荷在P点产生的电场强度EB; (3) A、B两板上的电荷在P点产生的电场强度E; σ -σ

- + - + A + P -B - + - + - + - - + - +

(4) 若把B板拿走,A板上电荷分布如何?A板上的电荷在P点产生的电场强度 为多少? 解:略去边缘效应,两极板上的电荷是均匀分布的电荷,两极板间的电场是均匀电场。由对 称性和高斯定理可得 (1)A板上的电荷在P点产生的电场强度 E A ? 指向 B 板) ; (2) B 板上的电荷在P点产生的电场强度 E B ?

?

? ? e (A 板法线方向上的单位矢量, 2? 0

?

? ? e 2? 0
? ? ?

(3) A、B 两板上的电荷在P点产生的电场强度 E ? E A ? E B ?

? ? e ?0

(4) B板拿走后,A板上电荷将均匀分布在两个表面上,面电荷密度减小为一半。 在 P 点产生的场强为两个表面上电荷产生场强的叠加, E A ? 2、证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板来说,

?

? ? e 2? 0

12

3 4

(1) 相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反; (2) 相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 (3) 若左导体板带电+3 微库/米 2,右导体板带电+7 微库/米 2,求四个表面上的 电荷。 解:由对称性可知,在每个面上,电荷必定都是均匀分布的,在两板间和两板外的电场必定 都是均匀电场,电场强度的方向都与板面垂直。 (1) 作柱形高斯面如图所示,由高斯定理得 ? ? 1 E ? dS ? 0 ? (? 2 ? ? 3 ) S ?
S

σ

1

σ 2σ

3

σ

4

?0

? ? 2 ? ?? 3

12 3 4 (2) 根据无限大带电平面均匀电荷产生电场强度的公式和电场强度的叠加原理, 导体 内任一点 P 的电场强度为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 E P ? 1 e ? 2 ( ?e ) ? 3 ( ?e ) ? 4 ( ?e ) ? (? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 )e ? 0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0

?1 ? ? 4
(3) 应用前述结果及电荷守恒定律

? 2 ? ?? 3 1 ?Q1 ? Q2 ? ? 2 ? ?? 3 ? ? ?2?C / m 2 ?1 ? ? 4 2 S 解得: Q1 ? (? 1 ? ? 2 ) S 1 ?Q1 ? Q2 ? ?1 ? ? 4 ? ? 5?C / m 2 2 S Q 2 ? (? 3 ? ? 4 ) S
由此可知, Q1=Q2 时, 当 相向的两面上无电荷分布, 相背的两面上电荷等量同号; 当 Q1=-Q2 时,相背的两面上无电荷分布,相向的两面上电荷等量异号。 3、 两平行金属板分别带有等量的正负电荷。 两板的电位差为 120V, 两板的面积都是 3.6cm2, 两板相距 1.6mm。略去边缘效应,求两板间的电场强度和各板上所带的电量。 解: (1)两板间电场看作均匀电场,两板的电势差为

? ? ? U ? ? U ? ? ? E ? dl ? Ed
?

U ?U? E? ? ? 7.5 ? 10 4 (V / m) d
电场强度的方向由电势高的板指向电势低的板。 (2)利用上题结果,相背的两面上没有电荷,相向的两面上电荷面密度大小相等而符号相
?10 反。板上的电量为 Q ? ?S ? ?? 0 ES ? ?2.4 ? 10 C

4、两块带有等量异号电荷的金属板 a 和 b,相距 5.0mm,两板的面积均为 150 cm2,电量的

大小都是 2.66× -8C,a 板带正电并接地。以地的电位为零,并略去边缘效应,问: 10 (1) b 板的电位是多少? (2) a、b 间离 a 板 1.0mm 处的电位是多少? σ 解:a、b 两板上的电荷都均匀分布在相向的两面上, (1) 两板间的电场强度为 12 3 4
1

a σ 2σ

b σ

3

4

? ? ? Q ? E? e? e ?0 ?0S
? b ? b b 板的电位为 U b ? U a ? E ? dl ? 0 ? Edl ? ? Ql ? ?1.0 ? 10 3 V ?a ?a ?0S

(2) 两板之间离 a 板 1.0mm 处的电位是

? P P ? l U b ? ? ? E ? dl ? ? Edl ? ?U b P ? ?2.0 ? 10 2 V a a l
5、三平行金属板 A、B 和 C,面积都是 200 cm2,AB 相距 4.0mm,AC 相距 2.0mm,BC 两 板都接地。如果使 A 板带正电 3.0× -7C,在略去边缘效应时,问 B 板和 C 板上感应电 10 荷各是多少?以地的电位为零,问 A 板的电位是多少? 解: (1)BC 两板都接地,故两板上只有向着 A 的一面有感应电荷。 由对称性和高斯定理得

? C ? ? AC ? 0 ? B ? ? AB ? 0 ?? B ? ? C ? ?? AB ? ? AC
三块板上电荷量的关系为Q B ? QC ? ?Q A ? ? ? 由高斯定理得AB间的电场强度为E AB ? AB e

C

AB
2mm 4mm

?0

? ? ? AC间的电场强度为E AC ? AC ( ?e )

?0

UB ?UC ?

?C ? d d AC ? B d AB ? QC ? AB Q B ?0 ?0 d AC

联立解得Q B ? ?1.0 ? 10 ? 7 C , QC ? ?2.0 ? 10 ? 7 C
(2)A 板的电位为 U A ? E AB d AB ? ?

?B Q d AB ? ? B d AB ? 2.3 ? 10 3 V ?0 ?0S

6、点电荷 q 处在导体球壳的中心,壳的内外半径分别为 R1 和 R2,求场强和电位的分布,

并画出 E—r 和 U—r 曲线。 解: (1)由高斯定理得场强的分布为

E?

q 4?? 0 r 2 q

?r ? R1 ? ?R1 ? r ? R2 ?
R2 q R1

E?0 E?

4?? 0 r 2 ?r ? R2 ?

(2)电位分布为

q ?1 1 1 ? ?r ? R ? ? ? 1 ?r R ? R ? ? 4?? 0 ? 1 2 ? ? ? ? q ?R1 ? r ? R2 ? U 2 ? ? E ? dl ? r 4?? 0 R2 ? ? ? q ?r ? R2 ? U 3 ? ? E ? dl E ? r 4?? 0 r ? ? ? U 1 ? ? E ? dl ?
r

(3)E—r 和 U—r 曲线如图所示

E

U

r R1 R2 R1 R2

r

球壳内外面上电场强度的值,等于该面两边趋于该面时电场强度极限值的平均值。 7、在上题中,若 q=4.0× -10C,R1=2cm,R2=3cm,求: 10 (1) 导体球壳的电位; (2) 离球心 r=1cm 处的电位; (3) 把点电荷移开球心 1cm,求导体球壳的电位。
? ? ? 解: (1)导体球壳的电位为 U ? E ? dl ? ?
R2

q ? 120V 4?? 0 R2

(2)离球心为 r 处的电位为
? ?? ? R1 ? U ? ? E ? dl ? ? E ? dl ?
r R2

q 1 1 ( ? )? ? 300V 4?? 0 r R1 4?? 0 R2

q

(3)导体球壳的电位取决于球壳外表面电荷分布所激发的电场,与点电荷在球壳内的位置 无关。因此导体球壳电位仍为 300V。

8、半径为 R1 的导体球带有电量 q,球外有一个内、外半径分别 R2、R3 的同心导体球壳,壳 上带有电荷 Q。 (1) 求两球的电位 U1 和 U2; (2) 两球的电位差△U; (3) 以导线把球和壳连在一起后,U1、U2 和△U 分别是多少? (4) 在情形(1)(2)中,若外球接地,U1、U2 和△U 分别是多少? 、 (5) 设外球离地面很远,若内球接地,情况如何? 解: (1)由对称性和高斯定理求得,各区域的电场强度和电位分别为 R3 R1 Q q R2

E ? 0?r ? R1 ? E?

? ? ? U 1 ? ? E ? dl ?
r

q ?R1 ? r ? R2 ? ? ? ? q 4?? 0 r 2 U 2 ? ? E ? dl ? r 4?? 0 E ? 0? R 2 ? r ? R 3 ? E? q?Q ?r ? R3 ? 4?? 0 r 2

q ? 1 1 1 ? ? ?R R ?R 4?? 0 ? 1 2 3

? Q 1 ?? ? 4?? R (r ? R1 )内球电位 0 3 ?

?1 1 Q 1 1 ? ? ? ? r R ? R ? ? 4?? R ( R1 ? r ? R 2 ) ? 2 3 ? 0 3 ? ? ? ? q?Q U 3 ? ? E ? dl ? ( R 2 ? r ? R3 )外球电位 r 4?? 0 R3 ? q?Q ? ? U 4 ? ? E ? dl ? ( r ? R3 ) r 4?? 0 r
2

(2)两球的电位差为 ?U ? R E ? dl ? ?
R1

?

?

? 1 1 ? ? ?R R 4?? 0 ? 1 2 q

? ? ? ?
q?Q 4?? 0 R3

(3)以导线连接内外球,所有电荷将分布于球壳的外表面上, U 内 ? U 外 ?
?U ? 0

(4)若外球接地,则情形(1) (2)中球壳内表面带电-q,外表面不带电
? R2 ? 内球电位U 1 ? ? E ? dl ?
R1

q ? 1 1 ? ? ? ?R R ? ? 4?? 0 ? 1 2 ? q ? 1 1 ? ? ? ?R R ? ? 4?? 0 ? 1 2 ?

外球电位U 2 ? 0 ? ?U ?

(5)内球电位为零。设其上所带电量为 q′,
? ? ? 内球电位U 1 ? ? E ? dl ?
R1

? q? q? q? ? Q ? QR1 R 2 ? ? ? R R ? R ? ? 0 ? q? ? R R ? R R ? R R ? 2 3 1 2 2 3 1 3 ? 1 ? ? R1 ? R1 Q( R1 ? R 2 ) 1 q? 1 外球电位U 2 ? ? E ? dl ? ? dr ? R2 R2 4?? 4?? 0 R1 R 2 ? R 2 R3 ? R1 R3 r2 0 Q( R1 ? R 2 ) 1 ?U ? U 2 ? 4?? 0 R1 R 2 ? R 2 R3 ? R1 R3 1 4?? 0

9、 上题中,设 q=10-10C,Q=11× -10C,R1=1cm,R2=3cm,R3=4cm,试计算各种情形中的 10 U1、U2 和△U,并画出 U—r 曲线。 解:利用上题结果代入数据得

q ? 1 1 1 ? ? ?R R ? R 4?? 0 ? 1 2 3 Q 1 U2 ? ? 270V 4?? 0 R3 (1)U 1 ? (2)?U ? U 1 ? U 2 ? 60V (3)U 1 ? U 2 ? Q 4?? 0

? Q 1 ?? ? 4?? R ? 330V 0 3 ?

1 ? 270V R3

(4)U 1 ? 60V , U 2 ? 0, ?U ? U 1 ? U 2 ? 60V (5)U 1 ? 0, U 2 ? 180V , ?U ? U 1 ? U 2 ? ?180V
函数曲线如图所示。

E

U

r R1 R2R3 R1 R2R3

r

10、 设范德格喇夫起电机的球壳与传送带上喷射电荷的尖针之间的电位差为 3.0× 6V, 10 如果传送带迁移电荷到球壳上的速率为 3.0× -3C/s,则在仅考虑电力的情况下,必须 10 用多大的功率来开动传送带? 解:开动传送带的功率至少应等于迁移电荷作功的功率

N?

A q?U ? ? vU ? 9000W t t

11、 德格喇夫起电机的球壳直径为 1m。空气的击穿场强为 30KV/cm。这起电机最多能 达到多高的电位? 解:对空间任一点 P,球壳所带电荷产生的电场的场强和电位分别为

E?

q? 4?? 0 r 2 ? U ? ?r 1 q?E ? U? 4?? 0 r ? ? 1

U max ? ER ? 1.5 ? 10 6 V

12、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的电 位为 U1,半径为 R1,外圆柱体的电位为 U2,内半径为 R2,求其间离轴为 r 处(R1<r<R2) 的电位。 解:由高斯定理可解得内圆柱体和外圆柱体之间的电场强度为 ? ? ? E? er 2?? 0 r ? r ? ? r 设 r 处的电位为 U,则 U 1 ? U ? E ? dl ? ln ?R1 2?? 0 R1

? R2 ? ? U 1 ? U 2 ? ? E ? dl ?
R1

R ? ln 2 2?? 0 R1

U ?U2 ? ? 1 R2 2?? 0 ln R1 ln(r / R1 ) ? r ln ? U 1 ? (U 1 ? U 2 ) 2?? 0 R1 ln( R 2 / R1 ) ?U ? U 1 ?

13、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的半 径为 R1,外圆柱体的内半径为 R2,两圆柱体的电位差为 U。求其间离轴为 r1 和 r2 处 (R1<r1<r2<R2)的电位差。 解:利用上题结果,离轴为 r1 和 r2 处(R1<r1<r2<R2)的电位差为

? r2 ? r ln(r2 / r1 ) ? U 1 ? U 2 ? ? E ? dl ? ln 1 ? U r1 2?? 0 r2 ln( R2 / R1 )
14、 一很长直导线横截面的半径为 a,这线外套有内半径为 b 的同轴导体圆筒,两者互 相绝缘,外筒接地,它的电位为零。导线电位为 U,求导线和筒间的电场强度分布。

? 解:由高斯定理可求得 a<r<b 区域内的电场强度为 E ?
导线相对于外筒的电位差为

? ? er 2?? 0 r

? a ? U a ? U b ? ? E ? dl ?
b

? b ln 2?? 0 a

U ?Ub ? U ? a ? 2?? 0 ln(b / a ) ln(b / a ) ? U ?E ? ? 2?? 0 r r ln(b / a )
------------------------------------------------------------------------------

§2.2 思考题:

电容和电容器

1、两导体 A、 相距很远 B (因此它们都可以看成是孤立的) 其中 A 原来带电, 不带电。 , B 现用一根细长导线将两球联接。电荷将按怎样的比例在两球上分配? 答:当用导线联接 A、B 时,UA=UB,两导体所带电量与电容成正比。如果两导体为球形, 则

q A C A 4?? 0 R A R A ? ? ? ,即电量与导体球的半径成正比。 q B C B 4?? 0 RB RB

2、用一个带电的小球与一个不带电的绝缘大金属球接触,小球上的电荷会全部传到大球 上去吗?为什么? 答:只要大球的半径是有限的,小球的电荷就不会全部传到大球上去。因为两球接触后,可 看作一个孤立导体,表面的电荷分布与导体表面曲率有关。两球曲率不同,电荷的面密 度不同。 只要大球的半径与小球半径之比不是充分大, 小球上保留的电荷与大球上的电 荷相比就不能忽略。 3、将一个带电导体接地后,其上是否还会有电荷?为什么?分别就此导体附近有无其他 带电体的不同情况加以讨论。 答:当带电体附近无其他带电体时,将带电体接地后,实验表明带电体上的电荷就会消失, 这可以由静电平衡时,导体表面的电荷分布与曲率有关解释。
q Q ? r ,由于实际问题 R

中,带电体的线度与地球半径比较可以忽略,即 r/R→0,所以 q/Q→0.可见,不论带电 体和地球联接前如何带电,它们连接后,带电体上保留的电荷可以视为零。 当接地带电体附近有其他带电体时, 由于其他带电体在此接地带电体上产生异号感应电 荷,接地导体上仍然还会有电荷。不过,这些电荷的符号和大小与原来的带电体情况无 关,只取决于附近其他带电体所带的电荷的符号、大小和位置。 4、附图中所示是用静电计测量电容器两极板间电压的装置。 试 说明,为什么电容器上电压大时,静电计的指针偏转也大? 答:静电计可看作一个电容器,外壳为一极板,指针和支撑刻度 盘的杆子为另一极板。平行板电容器与静电计构成的电容器 并联。电压相等。电容一定时,电量与电压成正比。当平行板电容器的电压高时,静电 计电容器上的电压也高。 因而静电计指针和支撑刻度盘的金属杆上的电量也大, 从而指 针和杆子的排斥作用也大,静电计的指针偏转也就大。
+++++++++ - - - - - - -

5、附图中三块平行金属板构成两个电容器。试判断图 a、b 中哪种接法是串联,哪种接法 是并联。

a 答:a 是并联。b 是串联。 6、判断图 a、b 中两个同心球电容器是串联还是并联。

b

a 答:a 是并联。b 是串联。

b

7、附图中四个电容器大小相同(C1=C2=C3=C4) ,电源电压为 U,下列情况下每个电容器 上的电压是多少? (1) 起先电键 K2 断开,接通 K1 再接通 K2,然后断开 K1; (2) 起先电键 K2 断开,接通 K1,断开 K1,然后接通 K2。 答: (1)K2 断开,接通 K1,U1=U2=U3=U/3,U4=0; 再接通 K2,C2 与 C4 并联,C24=2C U1 =U3=2U24,U1 +U3+U24=U; U1 =U3=2U/5 U24=U/5 断开 K1,情况不变。 (总电压为 U 保持不变) (2 电键 K2 断开,接通 K1,U1=U2=U3=U/3,U4=0; 断开 K1,电量保持一定; 接通 K2,U1= U3=U/3,U24=U/6,U2=U4=U/6 (电量不变,总电容增大,总电压减小) C1 C2 C3 K2 C4 K1 U

8、 附图中三平行金属板面积相等,且等距。下列情形下各板的电位是多少?设原来电键 K 和 K1 已接通,K2 和 K3 是断开的。 (1) 断开 K,断开 K1,接通 K2; (2) 断开 K,接通 K2,断开 K1; (3) 断开 K,接通 K2,断开 K2,接通 K3。
3 2

K2

U

K3 K K1

1

解:三平行金属板面积相等,且等距,两相邻板之间构成的电容器电容相等。当最初电键 K 和 K1 已接通,K2 和 K3 断开时,U1=0,U2=U/2,U3=U。 (1) 断开 K,断开 K1,q1 和 q3 不变;接通 K2,U2=0。各板上电荷分布不变,只是零电 位点变动,U1=-U/2,U3=U/2。 (2) 断开 K,q3 不变;接通 K2,U1= U2,其间 E=0,即 2 板下面正感应电荷与 1 板上负 感应电荷中和。2 板和 3 板之间 E 不变;再断开 K1,情况不变。 U1= U2=0,U3=U/2。 (3) 断开 K,q3 不变;接通 K2,q1 与 q2 中和;断开 K2,2 板上剩下的负电荷不变。接通 K3,U3=U1;但由于 2 板上负电荷的作用,为保持导体内 E=0,U3=U1,3 板和 1 板 必须有原来一半的电荷, 各板间电场为原来一半, 而且方向指向 2 板。 所以 U2=-U/4。 9、 如附图所示,用电源将平行板电容器充电后即将电键 K 断开。然后移近两极板。在 此过程中外力作正功还是作负功?电容器储能增加 还是减少? 答:两极板带等量异号电荷,相互吸引。在移近两板的过程 中,电场力做正功,外力做负功,能量减少。 电容器充电后 K 断开,两极板上的电荷保持不变。 在移近两极板的过程中,电容器的电容增大,因而电压减小。由电容器储能公式
W? 1 1 1 Q 2 可知,电容器的储能减少。 QU ? CU 2 ? 2 2 2 C

d K

10、 在上题中,如果充电后不断开 K,情况怎样?能量是否守恒?

答:充电后不断开 K 时,在移近两板的过程中,外力仍做负功,但电压保持不变而电容增 大,电容器储能增加。增加的能量来自于电源所做的功。 在恒压下增大电容, 电源一方面为电容器增加电量, 另一方面提供一部分能量对外 作功。能量守恒。 11、 将一个接地的导体 B 移近一个带正电的孤立导体 A 时, 的电位是升高还是降低? A 答:A 的电位将降低。 如果 B 不接地,A 带正电,在其电场作用下,附近的导体 B 上出现等量异号的感 应电荷。近 A 端为负电荷,远 A 端为正电荷。若取无限远处为电位的零点,则正电荷 激发的场中各点电位为正,负电荷激发的电场中各点电位为负。导体 A 上的电位等于 本身电荷分布激发的场和 B 上感应电荷激发的场的叠加。B 上感应电荷对 A 的电位的 贡献是负值,因而 B 离 A 越近,A 的电位越低。 B 是接地导体时,其上只有负的感应电荷,因此 A 的电位降低。 从能量角度分析,当 B 移近 A 时,受 A 的电场作用,将有负电荷从大地流入导体 B,在此过程中,电场力做正功,A 的电势能减少——电量不变,电位降低。 B 移近 A 的过程中,A 的电容增大,电量不变,电位降低。 12、 两绝缘导体 A、B 分别带等量异号电荷。现将第 三个不带电的导体 C 插入 A、B 之间(不与它们 接触) AB 增大还是减少? ,U B 答:UAB 将减少。 A、 B 带等量异号电荷,且保持电量不变。在导体 C 进入 AB 之间的过程中,C 上 出现等量异号的感应电荷, 所受 A、 的合力方向指向 C 的插入方向, C B 电场力做正功,
2 能量减少。由 W ? 1 QU ? 1 CU 2 ? 1 Q 可知,UAB 减小。

A C

2

2

2 C

如果导体 C 有一定厚度 t, 插入 A、 之间时, B 相当于减小了两极板之间的距离, A、 因 B 所带电量不变,两板之间的场强不变,UAB=E(d-t)<Ed. 习题: 1、 地球的半径为 6370km,把地球当作真空中的导体球,求它的电容。
?4 解: C ? 4?? 0 R ? 7.08 ? 10 F

2、 空气电容器的两平行板相距为 1.0mm,两极板都是正方形,面积相等。要想它的电容

分别是(1)100PF; (2)1.1μ F;(3)1.0F,正方形的边长需多大? 解: C ?

?0S
d

?S?

dC

?0
2

? a2 ? a ?

dC

?0
(3) a=10.6km

(1)a=10.6cm

(2) a=10.6m

3、 面积都是 2.0m 的两平行导体板放在空气中相距 5.0mm,两板电位差为 1000V,略去 边缘效应,求: (1) 电容 C; (2) 各板上的电量 Q 和电荷的面密度σ ; (3) 板间的电场强度 E。

d 解: Q ? CU ? 3.6 ? 10 ?6 C ? ? ? Q / S ? 1.8 ? 10 ?6 C / m 2 E ? U / d ? 2.0 ? 10 5 V / m
4、 如附图所示,三块平面金属板 A、B、C 彼此平行放置,AB 之间的距离是 BC 之间距 离的一半。用导线将外侧的两板 A、C 相联并接地,使中间导体板 B 带电 3μ C,三 个导体板的六个面上的电荷各为多少? 解:相当于两个电容器并联
C AB ? C BC ?

C?

?0S

? 3.6 ? 10 ?9 F

?0S
d

? ?

q1 U AB q ? q1 U BC q1 d

A B C

?0S
2d

U AB ? U BC ? 解得q1 ?

?0S

?

2( q ? q1 )d ?0S

2 q?C ? 2 ?C , q ? q1 ? 1?C 3

?? 1 ? 0, ? 2 ? ?2?C, ? 3 ? 2?C , ? 4 ? 1?C, ? 5 ? ?1?C , ? 6 ? 0
5、 如附图所示,一电容器由三片面积都是 6.0cm2 的锡箔构成,相邻两箔间的距离都是 0.10mm,外边两箔片联在一起成为一极,中间箔片作为另一极。 (1) 求电容 C; (2) 若在这电容器上加 220V 的电压,问各箔上电荷的面密度分别是多少?

解:

C ? C1 ? C 2 ? 2? 0 S / d ? 1.07 ? 10 ?10 F U 1 ? U 2 ? Q1 ? Q2 ? C1U ? ? 0 SU / d ? ?S ? ? ? Q / S ? 1.96 ? 10 ?5 C / m 2

6、 如附图所示, 面积为 1.0m2 的金属箔 11 张平行排列, 相邻两箔间的距离都是 5.0mm,

奇数箔联在一起作为电容器的一极,偶数箔联在一起作为另一极。求电容 C。 解:相当于十个相同的电容器并联。

C ? 10C1 ? 10

?0S
d

? 1.78 ? 10 ?8 F

7、 如附图所示,平行板电容器两极板的面积都是 S,相距为 d,其间有一厚为 t 的金属 片。略去边缘效应, S (1) 求电容 C; (2) 金属片离极板的远近有无影响? 解:相当于两个电容器串联。设金属板距上板距离为 x t d

d ? (t ? x) d ? t 1 1 1 x ? ? ? ? ? C C1 C 2 ? 0 S ?0S ?0S C?

?0S

d ?t t不变时C亦不变, 与金属片离极板的远近无关

当 t →0 时, C ? 当 t →d 时, 或者: U ?

?0S
d

C→∞

?

d ?t

0

Edl ? E (d ? t ) ?

? S ? Q Q (d ? t ) ? (d ? t ) ? C ? ? 0 ?0 ?0S U (d ? t )

8、 如附图所示,一电容器两极板都是边长为 a 的正方形金属平板,两板不是严格平行, 而是有一夹角θ 。证明:当θ <<d/a 时,略去边缘 效应,它的电容为 C ?

? 0a2
d

(1 ?

a? ) 2d

θ d a

解:将两板同时分割为狭长的细窄条,长为 a,宽为 dx 在 dx 宽度内,上下两平面仍近似平行,

d ? x sin ? d ? x sin? ? 0a ? a a? C?? dx ? 0 ln(1 ? ) 0 d ? x sin ? ? d
a

dC ?

? 0 dS

?

? 0 adx

9、 半径都是 a 的两根平行长直导线相距为 d(d>>a),求单位长度的电容。

解: 由高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点 P 的场强为

1 ? ?1 ? ? ? ?r d ?r? d ?a ? ?d ?a? U ? ? Edr ? ln ? ? a ?? 0 ? a ? E ? E? ? E? ?
单位长度的电容为

? 2?? 0

·P

C?

?
U

?

?? 0
?d ?a? ln ? ? ? a ?

d

10、 证明:同轴柱形电容器两极的半径相差很小(即 RB-RA<<RA)时,它的电容公式 趋于平行板电容公式。 证明:同轴柱形电容器的电容公式为

C?

2?? 0 L R ln B RA

令 RB-RA=d ,且 d<< RA

ln

RB R ?d d d ? ln A ? ln(1 ? )? RA RA RA RA

C?

? 0 2?R A L
d

?

?0S
d
——相当于平行板电容器的电容公式

11、 证明:同心球形电容器两极的半径相差很小(即 RB-RA<<RA)时,它的电容公式 趋于平行板电容公式。

证明:同心球形电容器的电容公式为

C?

4?? 0 R A R B RB ? R A
RB RA

当 RB-RA<<RA 时,RBRA≈R2,RB-RA=d

C?

4?? 0 R A R B 4?? 0 R 2 ? 0 S ? ? RB ? R A d d
——相当于平行板电容器的电容公式

12、 一球形电容器内外两壳的半径分别为 R1 和 R4, 今在两壳之间放一个内外半径分别

为 R2 和 R3 的同心导体球壳。 (1) 给内壳以电量 Q,求 R1 和 R4 两壳的电位差; (2) 求电容。 解: (1)由对称性及高斯定理可得各区域场强分布为

E ? 0?r ? R1 ? E? Q ?R1 ? r ? R2 ? 4?? 0 r 2 Q ?R3 ? r ? R 4 ? 4?? 0 r 2
? ? ? ?

E ? 0?R 2 ? r ? R3 ? E?

? R4 ? ? R2 ? Q ? 1 1 1 1 ? ?U ? U 1 ? U 4 ? ? E ? dl ? ? E ? dl ? ?R ?R ? R ?R R1 R3 4?? 0 ? 1 2 3 4

(2)电容为

C?

4?? 0 Q ? ?U ? 1 1 1 1 ? ? ? ?R R ? R ?R ? ? 2 3 4 ? ? 1

13、 收音机里用的可变电容如附图所示, 其中共有 n 个面积为 S 的金属片, 相邻两片的 距离都是 d,奇数片联在一起作为一极,它固定不动(叫做定片) ,偶数片联在一起 作为另一极,它可以绕轴转动(叫做动片) 。 (1) 什么动片转动时电容 C 会改变?转到什么位置时 C 最大?转到什么位置时 C 最小? (2) 证明:略去边缘效应时,C 的最大值为

CM ?

?n ? 1?? 0 S
d

解: (1) 电容大小由定片和动片间正对着的那部分面积决定。 当动片转动时,正对面积变化,电容随之变化。 当动片完全转到定片间时,S达到最大,C就达到最大; 当动片完全转出定片时,S=0,C达到最小。 (2)当动片完全转入时,相当于 n-1 个电容器并联, 总电容为

CM ?

?n ? 1?? 0 S
d

14、 收音机里用的可变电容如上题所示,其中共有 n 个金属片。每片形状如下图所示;

相邻两片间的距离都是 d, 当动片转到两组片之间夹角为θ 时, 证明: 当θ 较大时, 略去边缘效应,它的电容为 C ?

?n ? 1??? 0 ?r22 ? r12 ??
360 d

(?以度为单位)

解:由扇形面积公式

A?

1 2 r ? ,得两组片对着的面积为 2

1 1 1 S ? r22? ? r12? ? r22 ? r12 ? 2 2 2
θ 式中θ 是以弧度为单位,若以度为单位,

?

?

r2 r1

S?

1 2 1 2? ? r22 ? r12 ? r2 ? r12 ? ? r22 ? r12 ? ? 2 2 360 360

?

?

?

?

?

?

整个电容器可视为 n-1 个电容器并联而成

C ?

?0S
d

?

?n ? 1??? 0 ?r22 ? r12 ??
360 d
A C1 C4 B C2 D C3 E

15、四个电容器的电容分别为C1、C2、C3和C4,联接 如图所示,分别求: (1) AB间; (2)DE间; (3)AE间的电容。

解: (1)AB间的电容为

C AB ? C EB ? C1 ?

C 2 C3 C C ? C 2 C3 ? C1C3 ? 1 2 C 2 ? C3 C 2 ? C3

(2)DE间的电容为

C DE ? C 3 ?

C C ? C 2 C 3 ? C1C 3 C1C 2 ? 1 2 C1 ? C 2 C1 ? C 2

(3)AE间有导线接通,相当于无穷大的电容。

C AE ? ?

16、四个电容器的电容都是C,分别按图 a 和图 b 联接,求A、B间的电容。哪种接法 总电容较大? C C C C A B a A B b C C C C

解:

(1) C AB ? C ? (2) C AB ?

1 4 C? C 3 3
b 接法总电容较大。

C C ? ?C 2 2

17、四个电容C1、C2、C3和C4都已知,求图 a、 b 两种联法时,AB间的电容。 解:两种联法A、B间的电容分别为 C1 C3

A C2 C4 C1 C3

A C2 C4

C AB ?

C1C 3 C C ?C ? C 4 ? ? C 2 C 4 ?C1 ? C 3 ? C C ? 21 4 ? 1 3 2 ?C1 ? C3 ??C 2 ? C 4 ? C1 ? C 3 C 2 ? C 4
C AB ?

B a b

B

?C1 ? C2 ??C3 ? C4 ?
C1 ? C2 ? C3 ? C4

18、 (1)求附图中A、B间的电容; (2) 在A、B间加上100V的电压,求C2上的电荷和电压; (3) 如果这时C1被击穿,问C3上的电荷和电压各是多少? 解: (1) C AB ?

?C1 ? C2 ?C3
C1 ? C2 ? C3

? 3.75 ?F

A C1
10μ F

C2
5μ F

(2)C2上的电荷和电压
5μ F

C3 B

Q1 ? Q2 ? Q ? CU ? Q ? Q2 Q1 ?Q2 ? CU ? Q1 ? CU ? C1 ? C2 ? C 2 C1 ? ? Q2 ? C1C 2 U ? 1.25 ? 10 ? 4 C C1 ? C 2

U 2 ? Q2 / C 2 ? 25V
(3)C1被击穿时,C2短路,全部电压将加在C3上, U3=U=100V Q3=C3U=5×10
-4



19、 如附图, 已知C1=0.25μ F, C2=0.15μ F, C3=0.20μ F, C1上的电压为50V。 求UAB。 解:C2与C3并联后与C!串联。 C2 C1 A C3 B

Q ? C1U 1 ? C 23U 23 U 23 ? C1 U1 C 2 ? C3

? C1 ? U AB ? U 1 ? U 23 ? ?1 ? ? C ? C ?U 1 ? 86V ? 2 3 ? ?

20、标准电容的线路如图所示, (1) 当K4和K6接上边,K5和K7接到下边,而其他K上下都不接时,AB之间 的电容是多少? (2) 当K1向上, 3向下接通, K 而其他K上下都不接时, AB之间的电容是多少? (3) 要得到 0.4μ F 的电容,各K如何接? A 0.05 0.05 0.1 0.1 0.2 0.5 (4) 能得到最大的电容是多少?怎样接法? (5) 能得到最小的电容是多少?怎样接法?B 解: (1) C AB ? (0.1 ? 0.2 ? 0.5) ? 0.8?F (2) C AB ? 0.05 / 2 ? 0.025 ?F (3)应将 0.1、0.1、0.2 三个电容器并联,K3、K5向上,K4、K6向下。 (4) 应为各电容器并联的总电容。C=1.0μ F K1K3K5K7向下,K2K4K6向上。 (5) 应为各电容器串联的总电容 C=0.0149μ F K1向上,K7向下 d K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7

21、有一些相同的电容器,每个电容都是2.0μ F,耐压都是200V。现在要用它们 联接成耐压1000V, (1) 电容C=0.40μ F 和 (2) C=1.2μ F 的电容器, 问各需要这种电容器多少个?怎样联法? 解: (1)将5个电容为2.0μ F,耐压200V的电容器串联 C=0.40μ F,U=5U0=1000V (2)将5个电容为2.0μ F,耐压200V的电容器串联为一组,再并联三组 C=1.2μ F, U=1000V 22、两个电容器C1和C2,分别标明为C1:200PF500V,C2:300PF900V.把它 们串联后,加上1000V电压,是否会被击穿? 解: 串联后总电容为 C=120PF,总电量Q=CU=1.2×10 C, 加在C1和C2上的电压分别为U1=600V,U2=400V C1上的电压超过额定电压,首先被击穿。C1击穿后,1000V电压全部加在C2 上,C2也被击穿。
-7

23、四个电容器 C1=C4= 0.20μ F,C2=C3=0.60μ F,联接如图所示。 (1) (2) 分别求 K 断开和接通时的 Cab; 当 Uab=100V 时,分别求 K 断开和接通时各电容上的电压。

解 (1)K断开时

Cab ? 2 Cab ?

C1C2 ? 0.3?F C1 ? C2
a

C1 C2 b C3 C4 U2=U3=Q/C2=25V

K接通时

?C1 ? C2 ??C3 ? C4 ? ? 0.4?F
C1 ? C2 ? C3 ? C4

(2)K断开时 U=100V,Q=CU=30μ C 每个电容器上 15μ C, U1=U4=Q/C1=75V,

K接通时 U=100V, C=0.4μ F, Q=CU=40μ C U1=50V, U2=50V

24、如图所示,C1=20μ F,C2=5μ F,先用 U=1000V 把 C1 充电,然后把 K 拨到另一侧使 C1 与 C2 联接。求: (1) (2) C1 和 C2 所带的电量; C1 和 C2 两端的电压。 U K C1 C2

解: (1)C1 和 C2 所带的电量为
C12U Q10 ? C1U ? Q1 ? Q2 ? Q1 ? ? 1.6 ? 10 ? 2 C ? C1 ? C 2 Q1 Q2 ?? ? C ? Q2 ? 2 Q1 ? 0.4 ? 10 ? 2 C C1 C 2 ? C1

(2)C1 和 C2 两端的电压为 U2=U1=Q1/C1=800V 25、附图中的电容 C1、C2、C3 都是已知的,电容 C 是可以调节的。问当 C 调节到 A、B 两 点的电位相等时,C 的值是多少? 解:设串联的电容C和C3上的电量为 q,C1和C2上的电量为 qˊ A、B两点等电位 C1 C2 A

B C3 C 电源

q q? ? ? CC C C2 ? C C2 ? ? ?C ? 2 3 ? ? C 3 C1 q q C1 ? U1 ? U 3 ? ? ? C3 C 2 ? Uc ? U2 ?

26、把 C1=1.0μ F 和 C2=2.0μ F 并联后接到 900V 的直流电源上, (1) (2) 求每个电容器上的电压和电量; 去掉电源,并把 C1 和 C2 彼此断开,然后再把它们带异号电荷的极板分 别接在一起,求每个电容器上的电压和电量。 解: (1)C1 、C2 并联后接到 900V 的直流电源上,

? Q ? C1U 1 ? 0.9 ? 10 ?3 C U 1 ? U 2 ? 900V ? 1 ?3 ?Q2 ? C 2U 2 ? 1.8 ? 10 C
(2)去掉电源后重新联接,两电容器互相充电,电量重新分配

q ? Q2 ? Q1 ? 1.8 ? 10 ?3 ? 0.9 ? 10 ?3 ? 0.9 ? 10 ?3 C C ? C1 ? C 2 ? 3.0 ? 10 ?6 F U ? q / C ? 300V ? q1 ? C1U 1 ? 0.3 ? 10 ?3 C q 2 ? C 2U 2 ? 0.6 ? 10 ?3 C
27、把 C1=2.0μ F 和 C2=8.0μ F 串联后,加上 300V 的直流电压。 (1) (2) 求每个电容器上的电量和电压; 去掉电源, 并把 C1 和 C2 彼此断开, 然后再把它们带正电的极板接在一起, 带负电的极板也接在一起,求每个电容器上的电压和电量; (3) 如果去掉电源并彼此断开后,再把它们带异号电荷的极板分别接在一起, 求每个电容器上的电压和电量。 解: 串联电容器的总电容及总电量为
C? C1 C 2 ? 1.6 ? 10 ? 6 F C1 ? C 2

Q ? CU ? 4.8 ?10 ? 4 C ? Q1 ? Q2

(1)每个电容器上的电量和电压为

?U ? Q1 / C1 ? 240V Q1 ? Q2 ? 4.8 ? 10 ? 4 C ? 1 ?U 2 ? Q2 / C 2 ? 60V
(2)去掉电源后并接

U ? ? Q ? / C ? 60V Q ? ? 2Q ? ?4 ? q1 ? C1U ? ? 1.9 ? 10 C C ? C1 ? C 2 ? q 2 ? C 2U ? ? 7.7 ? 10 ? 4 C
(3)去掉电源后串接

Q?? ? Q1 ? Q2 ? 0 U ?? ? 0

28、C1= 100μ F 充电到 50V 后去掉电源,再把 C1 的两极板分别接到 C2 的两极板上(C2 原 来不带电) ,测得这时 C1 上的电位差降低到 3.5V,求 C2。 解:充电后,C1 上的电量为 Q= C1U=5.0× -9C,与 C2 联接后, 10

Q1 ? Q ? Q ? 5.0 ? 10 ?9 C Q1 ? C1U 1 ? 3.5 ? 10 ?9 C Q1 Q Q Q ? Q1 ? U1 ? U 2 ? 2 ? C2 ? 2 ? ? 43?F C1 C2 U1 U1
29、激光闪光灯的电源线路如图所示,由电容器 C 储存的能量, 通过闪光灯线路放电,给闪光灯提供能量。电容 C=6000μ F, 火花间隙击穿电压为 2000V,问 C 在一次放电过程中,能放 出多少能量? 解:
激光闪光灯 球形 火花间隙

W?

1 CU 2 ? 1.2 ? 10 4 J 2

30、两电容器的电容之比为 C1:C2=1:2,把它们串联后接到电源上充电,它们的电能之 比是多少?如果并联充电,电能之比是多少? 解: (1)串联充电时

1 Q12 W 2 C1 C 2 2 Q1 ? Q2 ? Q ? 1 ? ? ? 2 W2 1 Q2 C1 1 2 C2
(2)并联充电时

1 CU2 W1 2 1 1 C 1 U1 ? U 2 ? U ? ? ? 1 ? W2 1 C2 2 2 C 2U 2 2
31、已知两电容器 C1=10PF,C2=20PF,把它们串联后充电到 2.0V,问它们各蓄了多少电 能?

解:

充电后所带电量为

Q ? CU ?

C1C 2 U ? Q1 ? Q2 C1 ? C 2

两电容器各自储存的电能为

1 Q12 ? 8.9 ? 10 ?12 J 2 C1 2 1 Q2 W2 ? ? 4.4 ? 10 ?12 J 2 C2 W1 ?

32、 (1)一平行板电容器两极板的面积都是 S,相距为 d,电容便为 C ?

?0S
d

。当在两板

上加上电压 U 时, 略去边缘效应, 两板间电场强度为 E=U/d。 其中一板所带电量为 Q=CU,

U CU 2 故它所受的力为 F ? QE ? CU ? ? ? ,这个结果对吗?为什么? ? ? d ?d?
(2)用虚功原理证明:正确的公式应为

F?

1 Q 2 1 CU 2 ? 2 Cd 2 d

解: (1)这个结果不对。因为E=U/d 是两极板之间的电场强度,而不是面电荷Q所在 处的电场强度。 Q所在处的场强大小为

EQ ?

1 U E? 2 2d

正确的结果应为

F ? QE Q ?

QU 1 CU 2 ? 2d 2 d
2

(2)电容器储存能量为

1 1 ?0s ? E ? 1 2 W ? CU 2 ? ? ? ? ? 0 E Sd 2 2 d ?d? 2

当电荷在电场中位移 dr 时, 电场作用在它上面的力F所作的功 dA 等于电势能减 少的值。即

? ? ? ? dA ? F ? dr ? ?dW ? F ? ??W

? ? ?1 1 ?1 ? ?? 2 2 ? F ? ??? ? 0 E 2 Sd ? ? ? ? ? 0 E Sd ?ed ? ? ? 0 E Sed ?d ? 2 2 ?2 ? ?
式中 edo 极板表面法线方向的单位矢量,指向 d 增大的方向,负号表明 F的方向是指向 d 减小的方向。F的大小为

1 1 ? 0S E 2d 2 1 U 2 F ? ?0E2S ? ? C 2 2 d d 2 d
33、一平行板电容器极板面积为S,间距为 d,带电±Q,将极板的距离拉开一倍。计算 (1) (2) 静电能改变多少? 抵抗电场力作了多少功?

解: (1)电量Q保持不变,静电能的改变为

?W ?

Q2 Q2 Q2 ,增加了一倍。 ? ? 2C ? 2C 2C

(2)抵抗电场力所作的功等于静电能的增加。 A ? ?W ?

Q2 2C

34、一平行板电容器极板面积为S,间距为 d,接在电源上以保持电压为U,将极板的距 离拉开一倍。计算: (1) (2) (3) 静电能的改变; 电场对电源作的功; 外力对极板作的功;

解: (1)电压保持不变,静电能的改变为

1 1 1 1 ?W ? C ?U 2 ? CU 2 ? CU 2 ? W0 2 2 2 2
(2)电场对电源作功是变力作功

静电能减小一倍

dA ? Udq ? Ud (Uc ) ? U 2 dc ?c ? dx x2 2d 2d ? SU 2 ? SU 2 1 ? A ? ? dA ? ? ? 0 2 dx ? ? 0 ? ? CU 2 d d 2d 2 x x
(3)外力对极板(电场)作功+电源对电场作功=静电能的增量

?0S

? dc ? ?

?0S

?W ? A ? A外 A外 ? ?W ? A ?

? 0 SU 2
4d

35、静电天平的装置如图所示,一空气平行板电容器两极板的面积都是S,间距为 x,下 板固定,上板接到天平的一头。当电容器不带电时,天平正好平衡。然后把电压U加 到电容器的两极上,则天平的另一头须加上质量为 m 的砝码,才能达到平衡。求所加 的电压。 解:加上电压U后,极板所受的静电力为 S
2 1 ?1 ? 1 U 1 U ?U ? F ? QE Q ? Q? E ? ? Q ? C ? ? 0S? ? x 2 ?2 ? 2 x 2 ?x? 2

m x
固定极板

当天平平衡时, F=mg

?U ?

2mgx 2 ?0S

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

§2.3 电介质
思考题: 1、 (1)将平行板电容器两极板接在电源上以维持其间电压不变,用介电常数为ε 的均匀 电介质把它充满,极板上的电荷量为原来的几倍?电场为原来的几倍? (2)若充电后拆掉电源,然后再加入电介质,情况如何? 答: (1)极板间电压 U0 保持不变,加入电介质时,电容器的电容 C=ε C0,极板上电荷 Q=C U0=ε C0 U0=ε Q0,可见电量增加为原来的ε 倍。E=U/d,极板间的场强保持不变, (2) 极板上电荷量 Q0 保持不变, 加入介质后, 电容增加为 C=ε C0。 极板间的电压 U=Q0/C= U0/ε ,极板间的电压降低。介质中的总场强小于原来的场强,E=U/d=E0/ε , 2、如图所示,平行板电容器的极板面积为S,间距为 d,试问: (1) 将电容器接在电源上,插入厚度为 d/2 的均匀电介质板,介质内、外电场之比 是多少?它们和未插入电介质之前电场之比为多少?(图 a) (2) 在问题(1)中,若充电后拆去电源,插入电介质板,情况如何? (3) 将电容器接在电源上,插入面积为S/2的均匀电介质板,介质内、外电场 之比是多少?它们和未插入电介质之前电场之比为多少?(图 b) (4) 在问题(3)中,若充电后拆去电源,插入电介质板,情况如何? (5) 图 a、b 中电容器的电容各为真空时的几倍? 以上各问题中都设电介质的介电常数为ε 。 d 答: (1)插入厚度为 d/2 的介质板,电压 U0 保持不变, 图a 1 1 1 D D 1 ? ? ?0 E内 d ? E 外 d ? ( ? )d ? ( ) Dd 2 2 2 ? ?0 2 ?? 0 S d/2

U 0 ? U内 ? U 外 ? D?

2?? 0U 0 2?? 0 E 0 ? (? ? ? 0 )d (? ? ? 0 ) D ?

2? 0 ? E内 ? 2? 0 2 E0 ? ? ? ? E内 ? ? ? ?0 1 ? ?E ? ? ?0 ?r ?1 ? ?? 0 ? 2? E外 2? r D 2? E外 ? r ? E外 ? ? E0 ? ? ? ? E0 ? ? ? 0 ? r ? 1 ?0 ? ? ?0 ? ? ? E内 ?
(2)电量 Q0 保持不变,则 D 保持不变。

E内 ?

D

?

?

? 0 E0 E0 ? ? ? ? ? r ? E内
D ? E0

E外 ?

?0

? ? E外 ? ?

? E内 1 ? ? 1 ? E0 ? r ? ?? E ?r ? 外 ?1 ? ? E0

(3)插入面积为 S/2 的介质板,电压 U0 保持不变。虽然有介质部分有退极化场存在, 但与电介质相对应的那一部分极板的自由电荷增加,刚好抵消。

U 0 ? E内d ? E外 d ? E0 d ? E内 ?1 ? E ? E0 E内 ? E外 ? E0 ? ? 内 ?1 E ? 外 ? 1 E外 ? E0 ?
d

S

图b

S/2

(4)电容器上总电量 Q0 保持不变。加入介质后,极板上的电荷分布发生变化,有介质 的部分极板上电荷密度增大, 无介质部分电荷密度减小, 结果电容器极板间的电压降低。 设右、左部分电荷密度分别为σ 1、σ 2。

Q0 ? ? 0 S ? U ? E右 d

1 ?? 1 ? ? 2 ?S ? ? 1 ? ? 2 ? 2? 0 2 2? r ? 0 ? ?? 1 ? ? ? 1 ?1 ?2 ? r ? ? E左 ? ? ? 1 ? ? r? 2 ? 2? 0 ? ?0 ?? 2 ? ? ?r ?1 ? E E 2E0 2 ?0 2 ? ? 左 ? 右 ? ?r ?1 ?0 ?r ?1 E0 E0 ? r ? 1

E右 ? E左 ?

(5)由(1) (2)的结果可算出总电容等于两个电容的串联。

C1 ? 2? r C 0 ? C1C 2 2? r ? C0 ?C ? C 2 ? 2C 0 ? C1 ? C 2 ? r ? 1
由(3) (4)的结果可算出总电容等于两个电容的并联

1 ? C0 ? 1 2 ?C ? C1 ? C 2 ? ?? r ? 1?C 0 1 2 C 2 ? ? r C0 ? 2 ? C1 ?
3、平行板电容器两板上自由电荷密度分别为+σ 、-σ 。今在其中放一半径为 r、高度为 h 的圆柱形介质(介电常数为ε ) ,其轴线与板面垂直。求在下列两种情况下圆柱介质 中点的场强E和电位移矢量D。 (1) 细长圆柱,h>>r; (2)扁平圆柱,h<<r .
+ + + + + +

解: (1)电场使介质极化,由于E 0方向与介质柱的轴线方向 平行,只有介质柱的上下两底面出现束缚电荷,因 h>>r, 介质柱上下底面很小,束缚电荷QP=σ PS 很小,而且离介质 柱的中点较远, 所以QP产生的电场与E0相比很小, 可以忽 略,因此介质柱中点的场强

h
- - - - - -

E ? E0 ?

?0 , D ? ?E ? ? r ? 0 ?0

(2)介质柱上下两底面的束缚电荷不能忽略,可以将其看 成无限大平面,束缚电荷在这两个面之间产生的电场为 P E? ? ? ?? r ? 1?E













?0













介质中的场强为
E ? E 0 ? E ? ? E 0 ? ?? r ? 1?E ? E ? E0

?r

?

? 0 。介质中的电位移 D ? ? 0? r E ? ? 0 ?

4、在均匀极化的电介质中挖去一个半径为 r、高度为 h 的圆柱形空穴,其轴线平行于极化 强度矢量P。求在下列两种情况下空穴中点A处的场强E和电位移矢量D与介质中E、 D的关系。 (1) 细长圆柱,h>>r; (图 a) (2) 扁平圆柱,h<<r。 (图 b) 解: (1)中束缚电荷的场可以忽略,
P

A

A (图 b)

(图 a)

EA ? E ?

? 0 ?? r ? 1?

, DA ? ? 0 E A ?

P D ? ? 0? r E ? ?? r ? 1?

?rP ?? D ?? r ? 1? r A

(2)中束缚电荷在 A 点的场,可视为无限大均匀带电平面的场
DA ? D ? ? 0? r E E ?

? 0 ?? r ? 1?

P

, EA ? ? r E

5、用电源将平行板电容器充电后即将电源断开,然后插入一块电介质板。在此过程中电 容器储能增加还是减少?介质板受什么方向的力?外力作正功还是作负功? 解:电容器极板电荷保持不变,电介质板在进入带电的平行板电容器的过程中,相当于两个 电容器并联,
x ? C0 ? x L ?C ? C1 ? C 2 ? (1 ? ? r )C 0 ? ? r C 0 ? C 0 L?x L C2 ? ? r C0 ? L ? C1 ?
+ + + + + + - - - - -- - - - -+ + + + + + - - - - -

F
- -

电容器储能减少

Q2 W ? ? W0 2C

介质由于极化作用产生束缚电荷,电荷受电场力作用,方向指向电容器内部。释放后, 介质在电场力作用下加速移进电容器内,电场力作正功,外力作负功,电场能量减少。 6、在上题中,如果充电后不断开电源,情况怎样?能量是否守恒? 答: 保持不变, U 电容增大时, 有电荷从电源流向电容器, 电容器储能增加。 电场力作正功, 外力作负功。电源所作的功等于克服外力作功与电容器能量增加之和。

习题: 1、一平行板电容器两极板相距为 2.0mm,电位差为400V,其间充满了介电常数为ε =5.0 的玻璃片。略去边缘效应,求玻璃表面上极化电荷的面密度。 解: ? ? ? Pn ? (? ? ? 0 ) E ? (? r ? 1)? 0 E ? (? r ? 1)? 0

U ? 7.08 ? 10 ?6 (C / m 2 ) d

2、一平行板电容器由面积都是50cm2 的两金属薄片贴在石腊纸上构成。 已知石腊纸厚为 0.10mm,ε =2.0,略去边缘效应,问这电容器加上100V的电压时,极板上 的电荷量Q是多少? 解:由电位移的高斯定理可得介质中的 D 与极板上电荷量的面密度之间的关系为

D ?? U D ? ? r? 0 E ? ? r? 0 d

Q ? ?S ? ? r ? 0

US ? 8.9 ? 10 ?6 (C ) d

3、面积为 1.0m2 的两平行金属板,带有等量异号电荷±30μ C,其间充满了介电常数 ε =2的均匀电介质。略去边缘效应,求介质内的电场强度E和介质表面上的极化电 荷面密度。 解:介质内的电场强度为

E?

E0

? r? 0

? 1.7 ? 10 6 (V / m)

极板上的极化电荷面密度为 ? ? ? (? ? ? 0 ) E ? 1.5 ? 10 ?5 (C / m 2 ) 4、平行板电容器(极板面积为S,间距为 d)中间有两层厚度各为 d1 和 d2(d1+d2=d),介电 常数各为ε


和ε



的电介质层。试求:

(1) 电容C; (2) 当金属极板上带电面密度为±σ 0 时, 两层介质分界面上的极化电荷面密度σ ˊ; (3) 极板间电位差U; (4) 两层介质中的电位移D。

? 0S ? 0S ? 1? 2 ? 0 S 解: (1) C ? Q ? ? ? E0 E0 U E1 d1 ? E 2 d 2 d1? 2 ? d 2 ? 1 d1 ? d2 ?1 ?2

(2) ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? P1 ? P2 ? ? ?

?? 1 ? ? 2 ?
? 1? 2

?0

ε ε



(3) U ? U 1 ? U 2 ?

? 0 d 1? 2 ? d 2 ? 1 ?0 ? 1? 2



(4) D ? D1 ? D2 ? ? 0

5、两平行导体板相距 5.0mm,带有等量异号电荷,面密度为 20μ C/m2,其间有两片电介 质,一片厚 2.0mm,ε 1=3.0;另一片厚3.0mm,ε 1=4.0。略去边缘效应,求各介质 内的E、D和介质表面的σ ˊ。 解:由介质中的高斯定理得,两介质中电位移的大小为

D1 ? D2 ? 20( ?C / m 2 ) ? 2.0 ? 10 ?5 (C / m 2 )
由D=ε E可知E与D同方向,E的大小分别为

E1 ?

D1

?1

? 7.5 ? 10 5 (V / m)

E2 ?

D2

?2

? 5.6 ? 10 5 (V / m)

两介质表面的极化电荷面密度为

? 1? ? ?(1 ?
? 2? ? ?(1 ?

1

? r1
1

)? ? ?1.3 ? 10 ?5 (C / m 2 )

? r2

)? ? ?1.5 ? 10 ?5 (C / m 2 )

6、一平行板电容器两极板的面积都是 2.0m2, 相距为 5.0mm,两极加上10000V电压 后,取去电源,再在其间充满两层介质,一层厚 2.0mm,ε 1=5.0;另一层厚3.0mm, ε


=2.0。略去边缘效应,求:

(1) 各介质中的电极化强度P; (2) 电容器靠近电介质2的极板为负极板,将它接地,两介质接触面上的电位是多 少? 解: (1)未放入介质时,加上电压U后,电容器带电量为 Q ? ?S ? DS ? ? 0 ES ? 断开电源后,Q不变,σ 也不变,两介质中的电位移为

? 0US
d

D1 ? D2 ? ? ?
介质中的电场强度为

? 0U
d

E1 ?

D1

?1

?

U

? r1 d

E2 ?

D2

?2

?

U

? r2d

介质中的极化强度为

P1 ? D1 ? ? 0 E1 ? (1 ?

1 ? 0U ) ? 1.4 ? 10 ?5 (C / m 2 ) ? r1 d 1

P2 ? D2 ? ? 0 E 2 ? (1 ?
(2)两介质接触面上的电位为

? r2

)

? 0U
d

? 8.9 ? 10 ?6 (C / m 2 )

U ? E2 d 2 ?

Ud 2 ? 3.0 ? 10 3 V ? r2d

7、如图所示,一平行板电容器两极板相距为 d,面积为S,电位差为U,其中放有一层厚 为 t 的介质,介电常数为ε ,介质两边都是空气,略去边缘效应,求: (1) 介质中的电场强度E、电位移D和极化强度P; (2) 极板上的电荷量Q; (3) 极板和介质间隙中的场强E; (4) 电容。 解: (1)由介质中的高斯定理得 D0=D=σ d ε t

? ? ? E0 ? ? ? ? ? 0 D ? ? r? 0 E ? ? ? ?E ? ? ? r? 0 ?
U ? E 0 (d ? t ) ? Et ? ?? ?

? ? ? ?? r (d ? t ) ? t ? (d ? t ) ? t? ?0 ? r? 0 ? r? 0

? r ? 0U ? r (d ? t ) ? t
P ? (? r ? 1)? 0 E 0 ? (? r ? 1)? 0U ? r (d ? t ) ? t

介质中的极化强度为

(2)极板上的电荷量为

Q ? ?S ?

? r ? 0US ? r (d ? t ) ? t

(3)各区域的电场强度为

? rU ? ? ? 0 ? r (d ? t ) ? t ? U E? ? ? r ? 0 ? r (d ? t ) ? t
E0 ?

(4)电容为

C?

? r? 0 S Q ? U ? r (d ? t ) ? t

8、 平行板电容器两极板相距 3.0cm, 其间放有一层ε =2.0 的介质, 位置和厚度如图所示, 已知极板上面电荷密度为σ =8.9× -10C/m2, 10 略去边缘效应, 求: (1) 极板间各处的 P、E 和 D; (2) 极板间各处的电位(设 UA=0) ; (3) 画 E-x、D-x、U-x 曲线; (4) 已知极板面积为 0.11 m2,求电容 C,并与不加介质时 的电容 C0 比较。 答: (1)由介质中的高斯定理可得 0 1 2 3 X cm ε A –σ +σ B

D0 ? D ? ? ? 8.9 ? 10 ?10 (C / m 2 )

? ? 1.0 ? 10 2 (V / m) ?0 ? E? ? 50 (V / m), P ? D ? ? 0 E ? 4.5 ? 10 ?10 (C / m 2 ) ? r? 0
E0 ?

(2)以 A 板电位为零,各点的电位为
0 ? ? U x ? ? E ? dx ? E0 x ? 1.0 ? 10 2 x 0 ? x ? 0.01 x

Ux ? ?

0.01

x 0.02

? ? 0? ? E ? dx ? ? E ? dx ? 50 x ? 0.5 0.01 ? x ? 0.02
0.01

Ux ? ?

x

? ? 0.01 ? ? 0 ? ? E ? dx ? ? E ? dx ? ? E ? dx ? ? 100 x ? 0.5 0.02 ? x ? 0.03
0.02 0.01

(3)E-x、D-x、U-x 曲线分别为 E/V/m 100 50
00.01 0.02 0.03 x/m 00.01 0.02 0.03 x/m

D 8.9× -10C/m2 10

2 1

U/V

00.01

0.02

0.03

x/m

(4)电容为 C ?

? r? 0 S Q =30μ μ F ? U ? r (d ? t ) ? t

与真空时的电容相比较 C/C0=1.2 9、两块平行导体板带有同号电荷,面密度分别为σ 1=3.3× -10C/m2,σ 2=6.6× -10C/m2,两 10 10 板相距为 1.0cm。在其间平行地放有一块厚为 5.0mm 的均匀石腊板,ε =2.0。略去 边缘效应,求: (1) 石腊内的 E 内; (2) 极板间石腊外的 E 外; (3) 两极板的电位差; (4) 石腊表面的极化面电荷密度σ `。 解: (1)两导体板所带电荷同号,由高斯定理及电荷守恒定律可知 d ε d/2

? 11 ? ? 22 ? (? 1 ? ? 2 ) ? 4.95 ? 10 ?10 (C / m 2 ) ? 12 ? ?? 21 ? (? 1 ? ? 2 ) ? 1.65 ? 10 ?10 (C / m 2 )
但考察两金属板之间的电场时,可以将每一金属板上的电荷看作整体。

1 2

1 2

E 0 ? E 2 ? E1 ? 18.65(V / m) E内 ? E 0 / ? r ? 9.3(V / m)

(3)电位差 U ? Et ? E0 (d ? t ) ? 0.14V (4)石腊表面的极化面电荷密度σ `为

? ?p ? (? r ? 1) E0 ? 0.82 ? 10 ?15 (C / m 2 )
10、平行板电容器的极板面积为 S,间距为 d,其间充满介质,介质的介电常数是变化的, 在一极板处为ε 1,在另一极板处为ε 2,其他处的介电常数与到ε 去边缘效应,求: (1) 电容器的电容; (2) 当两极板上的电荷分别为 Q 和-Q 时,求介质内的极化电荷体密度和表面上的 极化电荷面密度。
1

处成线性关系。略

解: (1)介电常数的函数关系为 在导体内任一点

??
E?

? 2 ? ?1
d
E0

x ? ?1

?
d

两极板之间的电位差

U ? ? Edx ?
0

? dQ ln 2 S? 0 ?? 2 ? ? 1 ? ? 1

电容器的电容

C?

Q S? 0 ?? 2 ? ? 1 ? ? ? U d ln 2

?1

(2)极化强度为

? ? ? ? Q? ? ?x P ? D ? ? 0 E ? ?1 ? 0 ? S? ? ?x

极化电荷的体密度为

? ? ? ?? ? P ? ?

?

?? 2 ? ? ?dQ ??? 2 ? ? ?x ? ? 1d ?2 s

极化电荷的面密度为

?? ? 1?Q ? ? ?1 ? ? 1 ? ?1S ? ? ? ? Pn ? ? ? 2 ? ? ?? 2 ? 1?Q ? ? ?2S ?

11、一云母电容器是由10张铝箔和9片云母相间平行迭放而成,奇数铝箔接在一起作 为一极,偶数铝箔接在一起作为另一极,如图所示。每张铝箔和每片云母的面积都是 2.5cm ,每片云母的相对介电常数ε 都是 7.0,厚度都是 0.15mm。略去边缘效应,求 电容C。 解:可以看作九个电容器并联而成
2

C0 ?

? ?10 d ?C ? 9Ci ? 9.3 ? 10 F Ci ? ?C 0 ? ?

?0S ?

12、一平行板电容器两极板相距为 d,其间充满了两部分 介质,介电常数为ε 数为ε 容C。 解:两个电容器并联而成
2 1

的介质所占面积为S1,介电常

ε

1

ε



的介质所占面积为S2。略去边缘效应,求电 S1 S2

? ? 0 ?? 1 S1 ? ? 2 S 2 ? 13、如图所示,一平行 ?C ? C1 ? C 2 ? ? ? S d C 2 ? ? 2 C0 ? 2 0 2 ? d ? d
板电容器两极板的面积都是S,相距为 d。今在其间平行地插入厚度为 t,介电常数为ε 的 均匀介质,其面积为S/2。设两板分别带电荷Q和-Q。略去边缘效应,求: (1) 两极板电位差U; (2) 电容C; (3) 介质的极化电荷面密度。 t ε S/2 S/2 d

C1 ? ? 1C 0 ?

? 1? 0 S1 ?

解: (1)设未插入介质一侧极板上电荷的面密度为σ 1,另一侧为σ



U ?

?1 ? ? ? d ? 2 ?d ? t ? ? 2 t ? ?0 ?0 ? 0 ? ?U ? 2??d ? ?1 ? ? ?t ?d Q ? S S ? 0 ?2?d ? ?1 ? ? r ?t ? S ? ?1 ? ? 2 ? Q ?
2 2 ?
C? Q ? 0 S ?2?d ? ?1 ? ? r ?t ? ? U 2d ??d ? ?1 ? ? ?t ?d E0 ? 2?? ? 1?dQ S ?2?d ? ?1 ? ? ?t ?

(2)电容器的电容为

(3)极化电荷面密度为

? ? ? Pn ? ?? ? 1?? 0
2

?

14、一平行板电容器两极板的面积都是 2.0m ,相距为 5.0mm。当两极板之间是空气时, 加上一万伏的电压后,取去电源,再在其间插入两平行介质层,一层厚 2.0mm,ε 1= 5.0;另一层厚3.0mm,ε


=2.0。略去边缘效应,求: ε ε


(1) 介质内的E和D; (2) 两极板的电位差; (3) 电容C。 解: C0=ε




S/d

Q=C0U电源断开后,Q保持不变 D1=D2=Q/S=1.78× -5(C/m2) 10

(1)E0=U/d

E1=E0/ε

1

=4× 5(V/m) E2=E0/ε 10

2

=1× 6(V/m) 10

(2)U=E1d+E2d=3800V (3)C=Q/U=9.4× 10 F 15、同心球形电容器内外半径分别为R 1和R2,两球间充满介电常数为ε 的均匀介质, 内球的电荷量为Q。求: (1) (2) (3) 电容器内各处的电场强度E的分布和电位差U; ε 介质表面的极化电荷面密度; 电容C(它是真空时电容的多少倍?) R2 Q R1
-9

解: (1)由对称性和高斯定理得,介质内的电场强度为 ? Q ? R1 ? r ? R2 E? r 4?? 0 r 3 R2 ? ? Q 1 1 两极板之间的电位差为 U ? ? E ? dr ? ( ? ) R1 4?? 0 R1 R2 (2)介质的极化强度为

? ? (? ? ? 0 )Q ? P ? (? ? ? 0 ) E ? r 4?? 0 r 3

介质的内外两表面上极化电荷的面密度分别为

? 1? ? P1n ? ?

(? ? ? 0 )Q 4?? 0 R12

? 2 ? ? P2 n ?

(? ? ? 0 )Q 2 4?? 0 R2

16、在半径为R的金属球外有一层半径为Rˊ的均匀介质层(如图所示) 。设电介质的介 电常数为ε ,金属球带电量为Q,求: (1) 介质层内外的场强分布; (2) 介质层内外的电位分布; (3) 金属球的电位。 解: (1)由对称性及高斯定理可求得场强分布为
E ? 0?r ? R ? E? E? Q 4?? 0 ? r r 2 Q 4?? 0 r 2

ε

Q R

R′

?R ? r ? R ??

?r ? R ??

(2)电位分布为

? ? R? ? ? ? Q ? 1 ? ? 1? ? ? ? U 内 ? ? E ? dl ? ? E ? dl ? r R? 4?? 0 ? r R? ? ? ? ? ? ? Q U 外 ? ? E ? dl ? r 4?? 0 r
? ? ? ? R? ? ? ? (3)金属球的电位为 U 球 ? E ? dl ? E ? dl ? Q ? 1 ? ? ? 1 ? ?R ?R? 4?? 0 ? R R? ? ? ?
17、一半径为R的导体球带电荷Q,处在介电常数为ε 的无限大均匀介质中。求: (1) 介质中的电场强度E、电位移D和极化强度P的分布; (2) 极化电荷面密度。 解: (1)由介质中的高斯定理可求得: 电位移为

电场强度为

? Q ? D? r 4?r 3 ? ? ? D Q E? ? r ?? 0 4? ? 0? 3 r

极化强度为 (2)极化电荷面密度为

? ? ? Q ? P ? D ? ? 0 E ? ?? ? 1? r 4?? r 3 Q ? ? ? Pn ? ??? ? 1? 4?? R 2

18、半径为R、介电常数为ε 的均匀介质球中心放有点电荷Q,球外是空气。 (1) 求球内外的电场强度E和电位U的分布; (2) 如果要使球外的电场强度为零且球内的电场强度不变,则球面上需要有面密 度为多少的电荷? 解: (1)由高斯定理可求得场强分布为

? ? D E内 ? ?

Q 4??? 0 r
3

?? 0

? r (r ? R)
R Q

? E外 ?

? D

?0

?

Q 4?? 0 r
3

? r (r ? R)

电位的分布为
R ? ? ?? ? U 内 ? ? E内 ? dr ? ? E 外 ? dr ? r R

? 1 ? ? 1? ? ? ?( r ? R ) 4??? 0 ? r R ? Q

? ?? ? E 外 ? ? E 外 ? dr ?
R

Q 4?? 0 r

(r ? R)

(2)要使E外=0而E内保持不变,应使球面上Q′=-Q 电荷的面密度应为

? ??

Q 4?R

19、一半径为R的导体球带电荷Q,球外有一层同心球壳的均匀电介质,其内外半径分 别为 a 和 b,介电常数为ε 。求: (1) 介质内外的电场强度E和电位移D; (2) 介质内的极化强度P和表面上的极化电荷面密度; (3) 介质内的极化电荷体密度为多少? a 解: (1)由介质中的高斯定理可得 R Q

? ? Q ? D外 ? D内 ? r 4?r 3 ? ? Q ? D E外 ? ? r ( r ? a, r ? b) ? 0 4?? 0 r 3 ? ? Q ? D E内 ? ? r ( a ? r ? b) 3 ?? 0 4??? 0 r
(2)介质内的极化强度P为

b

? ? ? Q ? P ? D ? ? 0 E ? ?? ? 1? r 4?? r 3

介质表面的极化电荷面密度为

? ? 内 ? Pn ? ??? ? 1?

Q 4?? a 2 Q ? ? 外 ? Pn ? ?? ? 1? 4?? b 2
(3)均匀电介质,介质内极化电荷体密度为0。 20、球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成,壳的内半径为R2, 其间有两层均匀介质,分界面的半径为 r,介电常数分别为ε (1) 求电容C; (2) 当内球带电-Q时,求介质表面上的极化电荷的面密度。 解: (1)由介质中的高斯定理可得 ? ? ? Q D E1 ? ? r ( R1 ? r ? r1 ) ? 1? 0 4?? 1? 0 r 3 ? ? ? Q D E2 ? ? r (r1 ? r ? R2 ) 3 ? 2 ? 0 4?? 2 ? 0 r r ε R1
2 1 1

和ε





R2ε

电位差为

r1 ? R2 ? ? ? Q?? 2 R2 (r ? R1 ) ? ? 1 R1 ( R2 ? r )? U ? ? E1 ? dr ? ? E 2 ? dr ? R1 r1 4?? 0 ? 1? 2 rR1 R2

电容为

C?

4?? 0 ? 1? 2 rR1 R2 Q ? U ?? 2 R2 (r ? R1 ) ? ? 1 R1 ( R2 ? r )?

(2)当内球带电为-Q时,各介质表面的极化电荷面密度分别为
?内 ?

?? 1 ? 1?Q
4?? 1 0 R12

?外 ? ?

?? 2 ? 1?Q
4?? 1 0 R
2 2

?r ?

?? 1 ? ? 2 ?Q
4?? 1? 2 r 2

21、球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成。壳的内半径为R2, 其间有一层均匀介质球壳,内外半径分别为 a 和 b,介电常数为ε 。 (1) 求电容C; (2) 当内球带电量为Q时,介质表面上的极化电荷面密度。 解: (1)由介质中的高斯定理可得 ? ? D Q ? E1 ? ? r ( R1 ? r ? a ) ? 0 4? 1? 0 r 3 ? ? ? D Q E2 ? ? r ( a ? r ? b) 3 ?? 0 4??? 0 r ? ? D Q ? E3 ? ? r (b ? r ? R2 ) ? 0 4?? 0 r 3

R2 R1 b a

电位差为

U?

Q?ab?R2 ( R2 ? R1 ) ? ?1 ? ? ??b ? a ?R1 R2 ? 4?? 0 ?abR1 R2

电容为

C?

4?? 0 ?abR1 R2 Q ? U ?ab?R2 ( R2 ? R1 ) ? ?1 ? ? ??b ? a ?R1 R2 ?

(2)当内球带电为Q时,各介质表面的极化电荷面密度分别为

?内 ? ?

?? ? 1?Q
4?? a 2

?外 ?

?? ? 1?Q
2 4?? b2

22、球形电容器由半径为R1的导体球和与它同心的导体球壳构成。壳的内半径为R2, 其间一半充满介电常数为ε 的均匀介质。求电容C。 解:将球形电容器看成是两个半球形电容器并联而成,其中一个是 R2 R1

空气,另一个是介质。

C ? C1 ? C 2 ? ?
可以证明:

2?? 0 ?? ? 1?R1 R2 R2 ? R1

2?? 0 R1 R2 2?? 0 ?R1 R2 ? R2 ? R1 R2 ? R1

此时电容器的电容等于两壳间充满介电常数为

? ? ?0
2

的均匀介质的电容。

23、圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的导体圆筒构成。圆筒的内半径为R


,长为 l,其间充满了介电常数为ε 的介质(如图所示) 。设沿轴线单位长度上,导

线的电荷为λ 0,圆筒的电荷为-λ 0,略去边缘效应。求: (1) 介质中的电场强度E、电位移D和极化强度P; (2) 两极的电位差U; (3) 介质表面的极化电荷面密度; (4) 电容C(它是真空时电容的多少倍?) 解: (1)应用介质中的高斯定理可得 ? ? ? D? r ( R1 ? r ? R2 ) 2?r 2 ? ? D ? ? E? ? r ( R1 ? r ? R2 ) 2 ?? 0 2??? 0 r R1 R2

? ? ? ?? ? 1?? ? P ? D ??0E ? r 2?? r 2

(2)两极间的电位差为

R2 ? ? ?U ? ? E ? dr ? R1

R ? ln 2 2??? 0 R1

(3)介质表面的极化电荷面密度为

? ? 1 ? P1n ? ?

?? ? 1??
2?? R1
C?

? ? 2 ? P2 n ?

?? ? 1??
2?? R2

(4)电容器的电容为

Q 2? ? l? ? U l nR(2 / R1 )

24、圆柱形电容器是由半径为 a 的导线和与它同轴的导体圆筒构成。圆筒的内半径为 b, 长为 l,其间充满了两层同轴圆筒形的均匀介质,分界面的半径为 r,介电常数分别 为ε


和ε



(如图所示) 。略去边缘效应,求电容C。 R2 R1

解;由高斯定理可求得场强分布为

? ? D1 E1 ? ? ? ? D2 E2 ? ?

? 1? 0

? ? r ( R1 ? r ? r1 ) 2 2?? 1? 0 r ? ? r (r1 ? r ? R2 ) 2 2?? 2 ? 0 r
R2 ? ? ?U ? ? E ? dr ? R1

? 2? 0

两极间的电位差为

? 2?? 1? 2 ? 0

r b? ? ? ? 2 ln ? ? 1 ln ? a r? ?

电容C为

C?

2?? 1? 2 ? 0 l Q ? U ? 2 ln(r / a) ? ? 1 ln(b / r )

25、一长直导线半径为 1.5cm,外面套有内半径为 3.0cm 的导体圆筒,两者共轴。当两者 电位差为5000V时, 何处的电场强度最大?其值是多少?与其间介质有无关系?] ? ? D ? ? 解:电场强度分布为 E? ? r 2 ? 0 2? ? 0? r 导线与导体圆筒之间的电位差为
R2 ? ? ?U ? ? E ? dr ? R1

R ? ln 2 2??? 0 R1



E?

? U ? 2? ? 0? r l nR(2 / R1 ) r
5

在 r=R1处,电场强度达到最大,Emax=4.8×10 (V/m) 与介质无关 26、 求垂直轴线均匀极化的无限长圆柱形电介质轴线上的退极化场, 已知极化强度为P。 解:取柱坐系如图所示,极轴 x 沿极化方向,柱面上任一点处外法线与极轴夹角为θ 。 z 在柱面上取面积元 dS ? Rd?dZ 电荷元为 y P x

dq ? ? ? ? ? ? ?dZ ? P cos?Rd?dZ dS Rd

在O点处的场强为

dE ?

dq 4?? 0 R ? z 2
2

1

θ

由对称性可知,轴线上的电场只有 x 分量

dEx ?

dq 2 4?? 0 R ? z 2
P 2? 0

1

R R ?z
2 2

cos( ? ? ) ? ? ?

1

4?? 0 R ? z
2

?

PR 2 d?dZ
2 32

?

cos2 ?

E ? ? dEx ? ?

负号表明轴线处E的方向与P相反。

27、在介电常数为ε 的无限大均匀电介质中存在均匀电场E0。今设想以其中某点O为中 心作一球面,把介质分为内、外两部分。求球面外全部电荷在O点产生的场强E。 (E

O

E0

比E0大还是小?) 解: (1)对于均匀极化的球体,表面上的极化电荷在球心处产生的电场强度(退极化场)

? ? P 为 E? ? ? 3? 0
(2)在O点处,总场强E0等于球面上极化电荷与球面外极化电荷在O点产生场强 的叠加

? ? ? ? E 0 ? E外 ? E面

E面与E0方向相反,取E0方向为正方向

? E外 ? E 0 ? E面 ? E 0 ?

?? ? 2?E0 P ? ? E0 3? 0 3

28、在介电常数为ε 的无限大均匀电介质中存在均匀电场E0。今设想在其中作一轴线与 E0垂直的无限长圆柱面,把介质分为内、外两部分。求柱面外全部电荷在柱轴上产 生的场强E。

? 解:与上题同理, E外 ? E 0 ? E面 ? E0 ?

?? ? 1?E0 P ? ? E0 2? 0 2

29、空气的介电强度为3000KV/m,问直径为 1.0cm,1.0mm 和 0.10mm 的导体球, 在空气中最多各能带多少电荷量?

Q 解: E ? 4?? 0 r 2

1

? Q1 ? 8.3 ? 10 ?9 C ? Q ? 4?? 0 Er 2 ?Q2 ? 8.3 ? 10 ?11 C ?Q ? 8.3 ? 10 ?13 C ? 3
6 3

30、 空气的介电强度为3.0×10 V/m, 铜的密度为 8.9g/cm ,铜的原子量为 63.75g/mol, 阿伏伽德罗常数为N0=6.022×10 /mol,金属铜里每个铜原子有一个自由电子。 (1) 问半径为 1.0cm 的铜球在空气中最多能带多少电荷量? (2) 这铜球所带电量最多时,求它所缺少或多出的电子数与自由电子总数之比; (3) 因导体带电时电荷都在外表面上,当铜球所带电荷量最多时,求它缺少或多出 的电子数与表面一层铜原子所具有的自由电子数之比。 解: (1) Q ? 4?? 0 Er 2 ? 3.36 ? 10 ?8 C (2)铜球带电量最多时,所缺少或多出的电子数 N1 ? Q / q0 ? 2.1 ? 10 11 个 铜球所带的自由电子的总数 N1/N2=6.0× -13 倍 10 (3)每个铜原子的体积为
4 3 ?R V ? 线度为 3 v? ? ? N 4 3 ?R ?N A / ? ?N A 3
23

N2 ?

m

N 4 N A ? ?R 3 ? A ? 3.5 ? 10 23 个 ? 3 ?

l ?v

1

3

? ? ? ?? ? ?N ? ? A ? ?

1

3

铜球表面一层原子的体积为

? ? ? VS ? 4?R l ? 4?R ? ? ?N ? ? A ? ?
2 2

1 3

表面一层的铜原子数为

? ? ? 4?R 2 ? ? ?N ? ? VS A ? ? NS ? ? v ? ? ? ? ? ?N ? ? A ? ?
1 3 2

1

3

? ?N A ? 4?R 2 ? ? ? ?

? ? ? ?

2

3

N1与NS之比为

? ? ? 4?R ? ? ?N ? ? N1 Q A ? ? ? / NS e ? ? ? ? ? ?N ? ? A ? ?

? E ? ? ? ? ? 0 max ? e ? ?N A ? ? ?

2

3

? 8.7 ? 10 ?6

31、空气的介电强度为3000KV/m,问空气中半径为 1.0cm,1.0mm 和 0.10mm 的长 直导线上单位长度最多各能带多少电荷量? 解: E ?

? 2?? 0 r

? max

? ?1 ? 1.7 ? 10 ?6 C / m ? ? 2?? 0 Er ?? 2 ? 1.7 ? 10 ?7 C / m ?? ? 1.7 ? 10 ?8 C / m ? 3

32、空气的介电强度为30kV/cm,今有一平行板电容器,两极板相距为 0.50cm,板间 是空气,问能耐多高的电压? 解: E ?

? U ? ?0 d

U m a ? E m adx ? 1 5 0 V 0 0 x

33、 空气的介电强度为3000V/m, 当空气平行板电容器两极板的电位差为50kV 时, 问每平方米面积的电容最大是多少? 解: d ?

U E

C?

?0S
d

?

? 0 SE
U

C0 ?

?0
d

?

?0E
U

? 5.31 ? 10 ?10 F

34、一圆柱形电容器,由直径为5.0cm 的直圆筒和与它共轴的直导线构成,导线的直径 为5.0mm,筒与导线间是空气,已知空气的击穿场强是30kV/cm,问这电容器能 耐多高的电压? 解: E max ?

? 2?? 0 r内

U?

r r ? ln 外 ? E m ar内 ln 外 ? 1.7 ? 10 4 V x 2?? 0 r内 r内

35、两共轴的导体圆筒,内筒外半径为R1,外筒内半径为R2(R2<2R! ,其间有两层 ) 均匀介质,分界面的半径为 r,内层介电常数为ε 1,外层介电常数为ε


=2ε 1/2,

两介质的介电强度都是EM。当电压升高时,哪层介质先击穿?证明:两筒最大的电位 差为

UM ?

E Mr R2 ln 2 。 2 rR1

解: E ?

? 2?? 0 ?r
UM

R2 ? ? ? U ? ? E ? dr ? R1 2?? 0

?1 r R ? R2 1 ? ln 0 ? ln 2 ? ? ln 2 ? r0 ? 2?? 0 ? 1 R1 r0 ? ? 1 R1 ? 2

E1 m a ? x E2 m a ? x

2 R1 l nR(2 / R1 r0 ) ——→ E 2 M ? 2 R1 ?R2 ? 2 R1 ? E 2 M ? 2 R1 ? R2 ? 1 ?? E1M r0 E1M r0 r0 2U M 2 r0 l nR(2 / R1 r0 )

E 2 M ? E1M
UM ?

电压逐渐增高时,外层场强首先达到EM。使介质击穿。

R2 1 E M r0 ln 2 2 R1 r0

36、一圆柱形电容器内充满两层均匀介质,内层是介电常数为ε 1=4.0 的油纸,其内半径 为 2.0cm;外层是介电常数为ε


=7.0 的玻璃,其外半径为 2.5cm。已知油纸的介电强

度为 120kV /cm,玻璃的介电强度为 100kV /cm。问这电容器能耐多高的电压?当电压 逐渐升高时,哪层介质先被击穿? 解: U ? ? E ? dr ?
R1 R2

?

?

? 2?? 0

?1 ?1 r0 r R ? R ? 1 1 ? ln 2 ? ? E M ?r ? ln 0 ? ln 2 ? ? ln r0 ? r0 ? ? ? 1 R1 ? 2 ? ? 1 R1 ? 2

?1 r R ? 1 U M 1 ? E M 1? 1 R1 ? ln 0 ? ln 2 ? ? 45kV r0 ? ? ? 1 R1 ? 2 ?1 r R ? 1 U M 2 ? E M 2 ? 2 r0 ? ln 0 ? ln 2 ? ? 75kV r0 ? ? ? 1 R1 ? 2
电容器最大耐压为45KV。当电压逐渐升高时,内层先被击穿。 37、设一同轴电缆里面导体的半径是R 1,外面导体的内半径是R3,两导体间充满了两 层均匀介质,它们的分界面是R2,设内外两层介质的介电常数分别为ε
1、和ε


,它

们的介电强度分别为E1和E2,证明:当两极(即两导体)间的电压逐渐升高时,在 ε 1E1R1>ε 解:


E2R2的条件下,首先被击穿的是外层电介质。

E1 ?

? 2?? 1 r

E2 ?

? 2?? 2 r

每层介质能承受的最大带电量为 若

?1 max ? 2?? 1 R1 E1

? 2 m a ? 2?? 2 R2 E 2 x

? 2 max ? ?1 max


则外层介质首先被击穿。 E2R2

即 ε 1E1R1>ε

38、一平行板电容器极板面积为S,间距为 d,电荷为±Q。将一块厚度为 d,介电常数 为ε 的均匀电介质板插入极板间空隙。计算: (1) 静电能的改变; (2) 电场力对介质板作的功。

解: (1)静电能的增量为

?W ? W ? W0 ?

Q2 Q2 Q 2 ?? ? 1?d ? ?? 2C 2C 0 2?? 0 S

(2)将介质板插入电容器的过程中,与电源断开连接,电场力作正功,静电能减少。

电场力所作的功为

A ? ?W ?

Q 2 ?? ? 1?d 2?? 0 S

39、一平行板电容器极板面积为S,间距为 d,接在电源上以维持其电压为U。将一块厚 度为 d,介电常数为ε 的均匀电介质板插入极板间空隙。计算: (1) 静电能的改变; (2) 电场对电源所作的功; (3) 电场对介质板所作的功。 解: (1)静电能的增量为

? S ?? ? 1?U 2 1 1 ?W ? W ? W0 ? CU 2 ? C 0U 2 ? 0 2 2 2d
?q ? q ? q 0 ? (C ? C 0 )U ?

(2)在此过程中,极板上电量的增量为

? 0 S ?? ? 1?U
d

电量增加,电源对电场作正功,电场力作负功。 A电场 ? ?U?q ? ?

? 0 S ?? ? 1?U 2
d

(3)能量守恒。电场对介质板作功为

A ? A电源对电场作功 ? ?W ?

? 0 S ?? ? 1?U 2
2d

40、一平行板电容器是边长为 a 的正方形,间距为 d,电荷为±Q。将一块厚度为 d,介 电常数为ε 的均匀电介质板插入一半,它受力多少?什么方向?
Q2 Q2 dQ 2 ? ? 2C 2?C1 ? C 2 ? 2? 0 a?a ? l ? ?l ?

解:设介质板插入部分长为 l

W ?

根据虚功原理

F ??

dQ 2 (? ? 1) ?W | a? ?l l ? 2 2? 0 a 3 ?1 ? ? ?

方向沿吸入电介质板的方向

41、两个相同的平行板电容器,它们的极板面积都是半径为10cm 的圆形,极板相距都 是 1.0mm。其中一个两板间是空气,另一个两板间是ε =26的酒精。把这两个电容器 并联后充电到120V,求它们所蓄的总电能;再断开电源,把它们带异号电荷的两 极板分别联在一起,求这时两者所蓄的总电能。少的能量哪里去了? 解: (1) W ?

1 ?C1 ? C 2 ?U 2 ? 5.4 ?10 ?5 J 2
W? Q2 1 ? 4.7 ?10 ?5 J 2 ?C1 ? C 2 ?

(2) Q ? Q2 ? Q1 ? ?C 2 ? C1 ?U

减少的能量大部分在导线电阻上转化为热,小部分在电容器放电过程中对外辐射。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§2.4
大的球面内。

电场的能量和能量密度

1、 真空中一个均匀带电导体球,半径为R,带电量为 q,求电场能量的一半分布在半径多

解: 半径为R,带电量为 q 的导体球所储存的静电能为 当静电能量为一半时,r=2R

W ?

q2 8?? 0 R

2、 空气中一直径为10cm 的导体球,电位为8000V。问它表面处的场能密度(即 单位体积内的电场能量)是多少? 解: 导体球带电分布在表面上, E ?

q 4?? 0 R
2

2

U?

q 4?? 0 R

w?

1 1 ?U ? ? 0 E 2 ? ? 0 ? ? ? 0.114 J / m 2 2 2 ?R?

3、 在介电常数为ε 的无限大均匀介质中,有一半径为R的导体球,带电荷Q。求电场的 能量。 解:

E外 ?

q 4?? 0 ?r 2

?1 q2 W ? ? ?E 2 dV ? R 2 8?? 0 ? r R

4、 半径为 2.0cm 的导体球外套有一个与它同心的导体球壳,壳的内外半径分别为 4.0cm 和 5.0cm。球与壳间是空气。当内球的电荷量为 3.0× -8C 时, 10 (1) 这个系统储藏了多少电能? (2) 如果用导线把壳与球连在一起,结果如何?

解: (1) W ?

?

R1

R

? 1 1 ? 0 E 2 dV ? ? ? 0 E 2 dV ? 18.2 ? 10 ?5 J R2 2 2

(2)导线连接球与壳,成为等位体,电荷将分布在外表面上,内部场强为零。

W ??

1 ? 0 E 2 dV ? 8.1 ? 10 ?5 J R2 2

?

5、 球形电容器的内外半径分别为R1和R2,电位差为U。 (1) 求电位能; (2)求电场的能量; 比较两个结果。

解: (1)电容器储存的静电能量等于外力将电荷Q从外壳移到内壳所作的功。
Q U 1 1 4?? 0 R1 R2 2 2?? 0 R1 R2 2 W ? ? udq ? ? uCdu ? CU 2 ? U ? U 0 0 2 2 R2 ? R1 R2 ? R1

(2) 电场的能量 W ? 结果完全相同。

1 Q 2 R2 ? R1 2?? 0 R1 R2 2 ? 0 E 2 dV ? ? U ?R2 2 8?? 0 R1 R2 R2 ? R1
R2

6、 半径为 a 的导体圆柱外面,套有一半径为 b 的同轴导体圆筒,长度都是 l,其间充满 介电常数为ε 的均匀介质。圆柱带电为Q,圆筒带电为-Q。略去边缘效应, (1) 整个介质内的电场总能量W是多少? (2) 证明: W ?

Q2 2C

? Q ? E? er 2?? rl Q2 1 ? ? 1 r 处的电场能量为 w ? E ? D ? ?E 2 ? 2 2 2 2 2 8? ?r l b Q2 Q2 b 整个介质内的电场总能量为 W ? ? wdV ? ? 2?rldr ? ln V a 8? 2 ?r 2 l 2 a 4?? l
解: (1)介质中的电场强度为 (2) W ?
Q2 4?? l ln b a

C?

2?? l b ln a
Q2 2C

介质中的总能量为

W?

7、 半径为 a 的长直导线,外面套有共轴的导体圆筒,筒的内半径为 b,导线与圆筒间充 满介电常数为ε 的均匀介质,沿轴线单位长度上导线带电量为λ ,圆筒带电为-λ 。 略去边缘效应,求沿轴线单位长度的电场能量。 解:介质中的电场强度为

? ? ? E? er 2?? r
W ??
b 0

介质中单位长度的电场能量为

1 2 ?2 ?2 b ?E dV ? ? 2?rdr ? ln 2 2 V 8? ?r 2 a 4?? l

8、 圆柱电容器由一长直导线和套在它外面的共轴导体圆筒构成,设导线的半径为 a,圆 筒的内半径为 b.证明: 这电容器所储藏的能量有一半是在半径为 r ? 解:电容器储存的总能量为
W? Q2 4?? l b a

ab 的圆柱体内。

ln

r 1 Q 2 1 1 W ? ? W ? ? wdV ? ? ? ( ) 2?rldr V a 2 2 2 2?? rl

?

Q2 Q2 r 1 Q2 b Q2 b 1 ab ln ? ln ? ln( ) 2 ? ln 4?? l a 2 4?? l a 4?? l a 4?? l a

即:能量有一半是在半径为 r ?

ab 的圆柱体内。

第二章





第三章 稳恒电流
§3.1
思考题: 1、 电流是电荷的流动,在电流密度 j≠0 的地方,电荷的体密度ρ 是否可能等于 0? 答:可能。在导体中,电流密度 j≠0 的地方虽然有电荷流动,但只要能保证该处单位体积 内的正、负电荷数值相等(即无净余电荷) ,就保证了电荷的体密度ρ =0。在稳恒电 流情况下,可以做到这一点,条件是导体要均匀,即电导率为一恒量。 2、 关系式 U=IR 是否适用于非线性电阻? 答:对于非线性电阻,当加在它两端的电位差U改变时,它的电阻R要随着U的改变 而变化,不是一个常量,其U-I曲线不是直线,欧姆定律不适用。但是仍可 以定义导体的电阻为R=U/I。由此,对非线性电阻来说,仍可得到U=I R的关系,这里R不是常量,所以它不是欧姆定律表达式的形式的变换。对于 非线性电阻,U、I、R三个量是瞬时对应关系。 3、 焦耳定律可写成 P=I2R 和 P=U2/R 两种形式,从前者看热功率 P 正比于 R,从后式看热 功率反比于 R,究竟哪种说法对? 答:两种说法都对,只是各自的条件不同。前式是在I一定的条件下成立,如串联电路中各 电阻上的热功率与阻值R成正比;后式是在电压U一定的条件下成立,如并联电路中 各电阻上的热功率与R成反比。因此两式并不矛盾。

电流的稳恒条件和导电规律

4、 两个电炉,其标称功率分别为 W1、W2,已知 W1>W2,哪个电炉的电阻大? 答:设电炉的额定电压相同,在U一定时,W与R成反比。已知 W1>W2,所以R1<R2, 5、 电流从铜球顶上一点流进去,从相对的一点流出来,铜球各部分产生的焦耳热的情况是 否相同? 答:沿电流方向,铜球的截面积不同,因此铜球内电流分布是不均匀的。 各点的热功率密度 p=j2/σ 不相等。 6、 在电学实验室中为了避免通过某仪器的电流过大,常在电路中串接一 个限流的保护电阻。附图中保护电阻的接法是否正确?是否应把仪器 和保护电阻的位置对调? 答:可以用图示的方法联接。当调节保护电阻R时可以改变回路 的电流,保护仪器免受大电流的冲击。R的作用与其在串 联电路中的位置无关,因此不必将仪器和保护电阻的位置 对调。 7、 将电压 U 加在一根导线的两端,设导线截面的直径为 d,长度为 l。试分别讨论下列情 况对自由电子漂移速度的影响: (1)U 增至 2 倍; (2)l 增至 2 倍; (3)d 增至 2 倍。 答:导体中自由电子的漂移速率是
仪器 保护电阻

u?

I neS

(1) 当 l、 S不变, U增至2倍时, 由U=IR可知, I也增至2倍, u 增至2倍; 故 (2) 当S、U不变,l 增至2倍时,由电阻定律 R ? ?

l 可知R增至2倍;再由U S

=IR可知,I减小到原来的1/2。故 u 减小到原来的1/2; (3) 当U、l 不变,d 增至 2 倍, S ?

1 2 ?d 增至4倍时,由电阻定律可知,R减小 4

到原来的1/4,I将增至4倍,结果 u 保持不变。 8、 在真空中电子运动的轨迹并不总是逆着电力线, 为什么在金属导体内电流线永远与电力 线重合? 答:在真空中,电子的运动轨迹一般说来不是逆着电力线,只在电子的初速度为零,电力线 是直线的情况下,电子才逆着电力线运动。在金属导体中,电流密度与电场强度的关 系遵从欧姆定律 j ? ?E ,即在金属导体中任一点,j 的方向与E的方向一致,而某点 j 的方向就是该点电流线的方向,E的方向就是该点电力线的方向。所以金属导体内电 流与电力线永远重合。

?

?

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题: 1、 一导线载有 10A 直流电流,在 20s 内有多少电子流过它的横截面? 解: n ?

Q Is ? ? 1.25 ? 10 21 (个) e e

2、 技术上为了安全,铜线内电流密度不得超过 6A/mm2,某车间需用电 20A,导线的直径 不得小于多少? 解: I ? jS ? j?r 2 ? j?

d2 4

d?

4I ? 2.06 mm j?

3、 试根据电流的连续方程证明: 在稳恒条件下通过一个电流管任意两个截面的电流强度相等。 证明:以电流管侧壁及两个任意截面S1、S2构成一个闭合面。对此闭合面, 由电流连续方程 j S2 S1

?

S

? ? j ? dS ? ?? jdS ? ? jdS ? 0
S1 S2



?

S2

jdS ? ? jdS
S1

即I2=I1
-8

4、 有一种康铜丝的横截面积为 0.10mm2,电阻率为ρ =49×10 Ω ·m。用它绕制一个 6.0 Ω 的电阻,需要多长? 解: R ? ?

l S

l?

RS

?

? 1.22 m

5、 在某一电路中,原准备用横截面积为 10mm2 的铜导线作输电线,为了节约用铜,改用 相同电阻,相同长度的铝线代替,问应选用多大横截面积的铝导线? 解: R ? ?1 l ? ? 2 l ? S 2 ? 15.6mm 2 S1 S2 6、 附图中两边为电导率很大的导体,中间两层是电导率分别为σ 1、σ 2 的均匀导电介质, 其厚度分别为 d1、d2,导体的截面积为 S,通过导体的稳恒电流为 I,求: (1) 两层导电介质中的场强E1 和E2; (2) 电位差UAB和UBC。 A I σ B
1

C σ
2

U IR I d I 解: (1) E ? ? ? ? ? d d d S ?S I I E1 ? E ? ? 1S 2 ? 2 S
Id 2 Id (2) U 1 ? E1 d1 ? 1 ? IR1 U 2 ? E 2 d 2 ? ? IR2 ? 2S ? 1S

I

d1

d2

7、一个铜圆柱体半径为 a,长为 l,外面套有一个与它共轴且等长的圆筒,筒的内半径。 在柱与筒之间充满电导率为σ 的均匀导电物质。如附图所示。求柱与筒之间的电阻。 解:在柱与筒之间,沿半径方向,横截面积是变化的量

dS ? 2?rl
b dr dr 1 b R ? ?? ?? ? ? ln a dS 2?rl 2?? l a

a b

l

8、把大地可看成均匀的导电介质,其电阻率为ρ 。用一半径为 a 的球形电极与大地表面 相接,半个球体埋在地面下,电极本身的电阻可以忽略。试证明此电极的接地电阻为

R?

? 2?a
a

解:取与球心相距为 r,厚度为 dr 的半球壳

dR ?

? ?dr ?dr ? ?R?? ? 2 a 2?r 2 2?a 2?r

9、一铂电阻温度计在0 C时的阻值为 200.0Ω 。当浸入正在熔解的三氯化锑中时,阻值 变为 257.6Ω 。求三氯化锑的熔点。已知铂电阻的温度系数α =0.00392 度 解: R ? R0 (1 ? ?t ) ? t ? 73.5 0 C 10、电动机未运转时,在20 C时它的铜绕组的电阻是50Ω 。运转几小时后,电阻上 升到58Ω 。问这时铜绕组的温度为多高? 解:
0 -1





R1 ? R0 (1 ? ? t1 ) R2 ? R0 (1 ? ? t 2 ) ? t 2 ? 60 .9 0 C

11、求220V15W和220V25W灯泡的灯丝电阻和工作电流。 解:灯丝电阻和工作电流分别为

? R1 ? 3.2k?(15W ) ? ?R2 ? 1.94 k?(25W ) U ? I ? 68mA(15W ) I? ? 1 R ? I 2 ? 114 mA(25W ) R? U2 P
12、在220V电路上,接有30A允许电流的保险丝,问在此电路上可接多少个40 W的灯泡? 解:nP=IU n=165 个

13、有一个标明1kΩ 40W的电位器,问:

(1) 允许通过这个电位器的最大电流是多少安培? (2) 允许加在这个电位器上的最大电压是多少伏特? (3) 在这个电位器上加10V的电压时,电功率是多少? 解: (1)P=UI=I2R (2)P=U /R


Imax=0.2A Umax=200V


(3)U=10V时, P=U /R=0.1W 14、室内装有40W电灯两盏,50W收音机一台,平均每日用电五小时。问: (1) 总闸处应装允许多大电流通过的保险丝? (2) 每月(以30日计算)共用电多少度? 答: (1)P=UI I=0.6A

(2)A=IUt=19.5 度 15、某工厂与配电所相距1000m,其间有两条输电线,每条线的电阻是 0.2Ω /km。工 厂用电为55kW。入厂时两输电线间的电压U=220V,求配电所所输出的功率。 答: 线路中的电流为 I=P/U=250A 线路上消耗的功率 P′=I R=25KW 配电所输出的功率 P0=P+P′=80KW 16、实验室常用的电阻箱中每一电阻的额定功率规定为 0.25W。试求其中 100Ω 和10 Ω 电阻的额定电流。 解:P=I R
2 2

I1=50mA

I2=158mA

17、推导焦耳定律的微分形式。 解:取一小电流管 消耗功率为 I=j△S
2

R??

?l ?S

P ? I 2 R ? ? j?S ? ?

?l ? j 2 ? ??S?l ? ?S

单位体积消耗功率(功率密度)为

(?E ) 2 P 2 p? ? j ?? ? ?E 2 ?V ?

18、一铜导线的直径为 1.0cm,载有200A电流,已知铜内自由电子的数密度为 n=8.5×10 /cm ,求其中电子的漂移速率。
22 3

解: u ?

j I ? ? 1.87 ? 10 ?4 m / s ne neS
3

19、已知铜的原子量为 63.75,密度为 8.9g/cm ,在铜导线里,每一个铜原子都有一个自 由电子,电子电荷大小为 e,阿伏伽德罗常数为N0。 (1) 技术上为了安全,铜线内电流密度不能超过 jM=6A/mm ,求电流密度为 jM 时, 铜内电子的漂移速度。 (2) 按下列公式求T=300K时铜内电子热运动的平均速率: v ?
2

8k T 。式中 ?m

m 是电子的质量,k 是玻耳兹曼常数,T是绝对温度。平均速率是 u 的多少倍? 解: (1) u ? (2) v ?

j ? 4.5 ? 10 ?2 cm / s ne
8kT ? 10.8 ? 10 6 cm / s ?m

二者比值为 2.4× 8 10 20、一铜棒的横截面积为 20×80mm ,长为 2.0m,两端电位差为50mV。已知铜的电导率 σ =5.7×10 西门子/米,铜内自由电子的电荷密度为 1.36×10 C/m 。求: (1) 它的电阻R; (2) 电流I; (3) 电流密度的大小; (4) 棒内电场强度的大小; (5) 消耗的功率P; (6)一小时所消耗的能量W; (7)棒内电子的漂移速率 u。
7 10 3 2

解: (1)电阻为 (2)电流为

R??

l ? 2.2 ? 10 ?5 ? S

I=U/R=2300A j=I/S=1.4A/mm2

(3)电流密度的大小为

(4)电场强度的大小为 E=j/σ =25mV/m (5)消耗的功率为 P=IU=115W W=Pt=4.1× 5J 10 u=j/ne=1.05× -2c/s 10

(6)一小时消耗的能量为 (7)电子的漂移速率为

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.2
思考题:

电源及其电动势
ε ,r a ε ,r 图a R R b

1、

有两个相同的电源和两个相同的电阻如图 a 所示电路联接起来,电路中是否有电

流?a、 两点是否有电压?若将它们按图 b 所示电路联接起来, b 电路中是否有电流?a、 b 两点是否有电压?解释所有的结论。 答:在图 a 中, I ? ? ? ?
2?r ? R ? ? 0 ,电路中无电流;由于回路中无电流,

ε ,r a ε ,r 图b

R b R

每个电阻两端的电压为零,电池负极与 b 点等电位,正极与 a 点 等电位,电池两端的电位差即是 a、b 两点间的电压。Uab=ε 。 在图 b 中, I ? ? ? ? 零,则 a 点电位为 2、 势? 答:当R=0时,电流为最大,I=ε /r .r 一定时,电池内的电流不会超过短路电流。 当电池充电时,电池的路端电压可以超过电动势。U=ε +Ir 3、 试想出一个方法来测量电池的电动势和内阻。
2?r ? R ? ?

?
r?R

,电路中有电流。若设 b 点电位为

Ua ? ? ?

?
r?R

(r ? R) ? 0 ,Uab=0。

一个电池内的电流是否会超过其短路电流?电池的路端电压是否可以超过电动

答:将待测电池与安培计、电阻箱、电键串联在一个闭合回路中。 取R=R1时,测得电流I1,ε -I1(r+R1)=0 取R=R2时,测得电流I2,ε -I2(r+R1)=0 联立解得

? ? I1 ? ?

? I 1 R1 ? I 2 R2 ? ? R1 ? ? I 2 ? I1 ? ?

r?

I 1 R1 ? I 2 R2 I 2 ? I1

(也可将待测电池与伏特计并联, 再与电阻箱和电键串联在一个闭合回路中, 测得外电阻不 同时的两组路端电压,求得电源电动势和内阻) 4、 当一盏 25W100V的电灯泡联接在一个电源上时,发出正常明亮的光。而一盏

500W110V的电灯泡接在同一电源上时,只发出暗淡的光。这可能吗?说明原因。 答:阻抗不匹配时可能出现以上情况。如果电源的电动势一定,电源内电阻与R比较不可 忽略。当灯泡接上电源时—— 25W 的灯泡 U 2 ?

?
1 ? r / R2

正常发光,说明恰好在额定电压100V下工作。

500W 的灯泡 U 1 ?

?
1 ? r / R1

,实际电压小于其额定电压,所以暗淡。

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题: 1、 电动势为12V的汽车电池的内阻为 0.05Ω ,问:

(1) 它的短路电流多大? (2) 若启动电流为100A,则启动马达的内阻多大? 解: (1)短路电流为 Imax=ε /r=240A (2)I=100A时,R=(ε /I)-r=0.07Ω 2、 如附图所示,在电动势为ε ,内阻为 r 的电池上联接一个R1=10.0Ω 的电阻时,测

出R1的端电压为 8.0V。若将R1 换成R2=5.0Ω 的电阻时,其端电压为 6.0V。求此电 池的ε 和 r。 解:应用欧姆定律可得 ε r

U 1 ? ? ? I 1 r1 U 2 ? ? ? I 2 r2
3、

——→

I 1 ? 0.8 A I 2 ? 1.2 A

——→

? ? 12v
r ? 5.0?


在附图中,ε =6.0V,r=2.0Ω ,R=10.0Ω ,当开关闭合时UAB、UAC和UBC分别是

多少?当K断开时,又各为多少? 解: (1)K闭合时,I=0.5A UAB=IR=5V=UAC (2)K断开时,I=0 UAB=0 4、 UAC=UBC==6v UBC=0 ε ,r C A R B B K

在上题中,K闭合时,电源的输出功率为多少?

解:K闭合时,电源对外供电,输出功率为 P=IUAB=2.5W (或者P输出=Iε -I r) 5、 如图所示, 若两电源都是化学电池, 电动势ε ′=6V, =4V, ε 内阻 r′=0.1


Ω , r=0.1Ω .求: (1) 充电电流; (2) 每秒内电源ε ′消耗的化学能; ε ′r′

ε ,r

(3) 每秒内电源ε 获得的化学能。 解: (1)充电电流为

I?

????
r ? r?

? 10 A

(2)每秒内电源ε ′消耗的化学能为 (3)每秒内电源ε 获得的化学能为

P? ? I ?? ? 60 J P ? I? ? 40 J

(消耗在两电源内电阻上的能量为P=20J) 6、 求图示中A、B、C三界面上的面电荷密度。 A I σ B
1

解:电流均匀分布在横截面上,设A、B、C三界面上的面电荷 密度分别为σ A、σ B和σ


C σ
2

I

I ? jS ? ?E?S ? ?

?e S ?0

d1

d2

?e ? j

?0 I ?0 ? ? S ?

? eA ?

I ?0 S ?1

? eC ? ?

I ?0 S ?2

? eB ?

I? 0 S

? 1 1 ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? ? 2

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.3
思考题: 1、

简单电路

在两层楼道之间安装一盏电灯,试设计一个线路,使得在楼上和楼下都能开关这

盏电灯。 答:可以选用两只单刀双掷开关。 电路图如图所示。 2、 K

×



附图中R0为高电阻元件,R为可变电阻, (R<<R0) ,试论证,当R改变时,B

C间的电压几乎与R成正比。 答:设电源电动势为ε ,内电阻可以忽略,
U BC ?

A R0
R?R

B R



?
R0 ? R

R ? R ?? R0 ?

?
R0

3、

试论证在附图所示的电路中,当数量级为几百欧姆的负载电阻R变化时,通过R2 a

的电流I及负载两端的电压Uab 几乎不变。 答:设电源电动势为ε ,内电阻为 r,总电流为I总, 10k R1 R 1Ω R2 I b

R2与R并联, IR2 ? ( I 总 ? I ) R
I? R R I总 ? R ? R2 R ? R2

?
( R1 ? r ? RR2 ) R ? R2

U ab ? IR2
R>>R2, 可见当R变化时,I及Uab 几乎不变。当R2与R相比小到可以忽略时,

I?
4、

?
( R1 ? r ? R2 )

U ab ? IR 2 ?

?R2
( R1 ? r ? R2 )

与R无关

(1)在附图中由于接触电阻不稳定,使得AB间的电压不稳定。为什么对于一

定的电源电动势, 在大电流的情况下这种不稳定性更为严重? (2) 由于电池电阻 r 不 稳定,也会使得AB间的电压不稳定。如果这时我们并联一个相同的电池,是否能将情 况改善?为什么? 答: (1)设由于接触电阻不稳定而产生的附加电阻为R′ A B

U AB ? IR ? IR?

I越大,UAB受到的影响越大。

(2)电池并联时, U AB ? ? ? 情况能够得到改善。

r ?R ,当 r 变化时,对UAB影响较小, ? R?r/2 2 R?r/2
负载

?

5、

附图所示的这种变阻器接法有什么不妥之处? A

变阻器

B C

答:在图示电路中,如果滑动变阻器的触点滑到A点时, 易造成电源短路,损坏电源。 6、 实验室或仪器中常用可变电阻(电位器)作为调节 R1 1 R1 1 R2 b R2 a
负载

电阻串在电路中构成制流电路,用以调节电路的电流。 有时用一个可变电阻调节不便,须用两个阻值不同的可 变电阻,一个作粗调(改变电流大) ,一个作细调(改 变电流小) 这两个变阻器可以如图 a 串联起来或如图 b , 并联起来,再串入电路。已知R1较大,R2较小,问在 这两种联接中哪一个电阻是粗调,哪一个是细调?

负载

答: (1)在串联电路中,R1较大,对电路中电流影响较大,R1是粗调,R2是细调。 (2)在并联电路中,R1较大,对电路中电流分流作用较小,R1是细调,R2是粗调。 7、 为了测量电路两点之间的电压,必须把伏特计并联在电路上所要测量的两点,如

图所示,伏特计有内阻,问: (1) 将伏特计并入电路后,是否会改变原来电路中的电流和电压分配? (2) 这样读出的电压值是不是原来要测量的值? (3) 在什么条件下测量较为准确?

解:未并伏特计时,通过R2的电流为

I2 ?

?
R1 ? R2 ? r

R1 A R2 B V

A、B两点间的电压为

U AB ? I 2 R2 ?

?R2
R1 ? R2 ? r

并入伏特计后,通过R2的电流为 A、B两点间的电压为

? I2 ?

?
(r ? R1 ) ? R2 RV /(RV ? R2 )

? U ? ? I 2 R2 ? AB

?R2
(r ? R1 ) ? R 2 RV /(RV ? R 2 )

?

?

1

? 1 1 ? R2 ? 1 (r ? R1 ) ? ? ? R ? R ? RV ? 2 ? ? V

可见并入伏特计后对原电路的电流和电压都有一定的影响。 读出的电压值并不等于原来要测量的值。 只有当RV>>R2时,所测值较为准确。 8、 为了测量电路中的电流强度,必须把电路断开,将安培计接入,如图所示,安培

计有一定的内阻,问: (1) 将安培计接入电路后,是否会改变原来电路中的电流? (2) 这样读出的电流值是不是原来要测量的值? (3) 在什么条件下测量较为准确? 答:未接入安培计时,电路中的电流为 安培计接入电路后, 电路中的电流为 读出的电流值不是原来要测量的值。 只有当RA<<R1+R2+r 时,才能较准确地测量电路中的电流。 9、 测量电阻的一种方法是在电阻上加上一定的电压,用伏特计测出电阻两端的电压 A R1 R2

I?

?
R1 ? R2 ? r

I? ?

?
R1 ? R2 ? R A ? r

, 改变原来电路中的电流。

Ux,同时用安培计测出通过电阻的电流强度Ix, 由公式R=Ux/Ix 算出待测电阻的阻值。

这种测量方法叫做伏安法。 用伏安法测量电阻时, 电路的连接方法有两种, 如附图 a 、 b 所示。由于安培计、伏特计都有一定的内阻,这样测出的值是准确的吗?如果安培计 的内阻RA=5.0Ω ,伏特计的内阻RV=2.0kΩ ,采用哪一种联接方法测量误差较小? 若R大约为10Ω ,采用哪种联接较好?

图b
U 答: (1)在图 a 中, R x ? U ? I A R A ,在图 b 中, R x ? 。可见Rx 并不等于 IA I A ? U / RV

U/IA, 因此用Rx=U/IA来计算Rx 并不准确。 (2)当Rx>>RA 时,用图 a 的联接方法测量误差较小。

U ? I A ?R x ? R A ? ? I A R x ? R x ?

U IA

当Rx<<RV 时,用图 b 的联接方法测量误差较小。

IA ? Ix ?

U 1 1 U U ?U( ? )? ? Rx ? RV R x RV Rx IA

(3)R=10Ω 时,采用图 b 方法较好。 10、 测量一个灯泡(标称220V50W)在220V电压下所消耗的功率。已知伏 特计的灵敏度为1000Ω /V,安培计的内阻为 0.1Ω ,问安培计和伏特计应按图 a 还是按图 b 联接,可使测量的误差较小? A V a


×

× V A b

答:灯泡电阻为R=U /P=968Ω ,RA=0.1Ω ,选用伏特计量程为0~250V,则RV =25000Ω 。 接 a 电路时,电流表有分压作用, ?P ? I AU A ? I A R A ? 0.005W
2
2 接 b 电路时,电压表有分流作用, ?P ? U A / RV ? 0.0002W

误差较小。

11、 把一个表头改装成安培计,其量程和内阻是加大还是减小?能不能改装出量程比 原来的表头更小的安培计?

答: 把表头改装成安培计, 采用分路分流的办法。 用一个比表头电阻低的电阻与表头并联, 从而得到一个内阻减小,量程扩大的安培计。由于表头的设计是按通过表头的额定电 流值来确定的,将电阻与表头串联或并联都不能改变其内部结构,故不改变其额定电 流,因此不能改装出量程比原来更小的安培计。 12、 要把一个表头G改装成多个量程的安培计,有两种方式: (1) 如图 a 所示, 表头通过波段开关和不同的分流电阻Rs1、 Rs2…并联。这种电路叫做开路转换式。 (2) 如图 b 所示, 电阻R1、 2…与表头联成一个闭合回路, R 从不同的地方引出抽头。 选择联接表头的两个抽头 之一为公共端,它和其他任何一个抽头配合,得到 一种量程的安培计。这种电路叫做闭路抽头式。 试比较这两种电路的优缺点。 答:开路转换式的优点是,各量程的分流电阻是独立的,各量 程之间互不影响,便于调整。但电路的误差和阻尼时间随 各量程分流电阻阻值改变而变化;同时由于各转换装置的
公共端

G Ig Rs1 Rs2 Rs3 I1 I2 I3

a G

R1

R2

R3

I1 b

I2

I3

接触电阻包括在测量电路之内,所以仪表误差不稳定。最大缺点是当转换开关 K 接触 不良,或者造成分流电阻断路时,将会有很大的电流通过表头而将表头烧毁。使用时不 够安全。 闭路抽头式电路的最大优点是使用安全。 当转换开关接触不良时, 表头仅有极小的电流 通过。若转换开关造成分流电阻断路,表头没有电流通过;与仪表测量机构形成闭合回 路的电阻值不随量程改变而变化。 因此仪表的阻尼时间是不变化的。 由于量程转换开关 方式引起的接触电阻与分流电阻的阻值无关,只串联在电路中,所以引起的误差极小。 闭路抽头式电路的缺点主要是分流电阻中某一电阻阻值的变化, 不同程度的影响各量程, 因此调整误差有一定的困难。一般要经过几次反复才能将各量程的阻值调整好。 13、附图中所示是一个由表头G改装成的多量程伏特计的电路。每个抽头与公共端组成 一种量程。U1、U2、U3三个量程中哪个最大?哪个最小?各档的满度电流是否相同? 使用各档时,表头上的电压降是否一样? G 答: (1)伏特计的电压扩程 Rm1 Rm2 Rm3

U ? I g ( Rm ? R g )
公共端

各量程的大小取决于扩程电阻阻值的大小。 U3>U2>U1 U1 U2 U3

(2)表头内阻与各量程的扩程电阻串联,各档的满度电流Ig 相同。

(3)使用各档时,Ig 及Rg 一定,Ug=IgRg 相同 D 14、 (1)若在附图中所示的电桥电路中分别在 a、b、c、d 处断 了, 当滑动头C在AB上滑动时, 检流计的指针各有何表现? a (2)若当滑动头C在AB上无论如何滑动,检流计都不偏 转,这时用一伏特计联在CD间,发现伏特计有偏转,能否 判断是哪根导线断了? 答: (1)若 a 处断开,UD>UC,C从A→B时,电流从大→小; 若 b 处断开,UD<UC,C从A→B时,电流从小→大; 若 c、d 处断开,检流计中无电流,指针不动。 (2) CD间有电压而无电流, 可知是CD间某处断开。 15、在电位差计电路中,若电源ε 和待测电源ε x 的电动 势相等,滑动头C在AB上能否找到平衡点? 答:设C点为平衡点。按照平衡条件 A C G 若ε x=ε ε x B ε ,r c A C B d b



? x ? R AC

?
R AB ? R ? r

R AC ? 1 这是不可能的。所以此时AB上不能找到平衡点。 R AB ? R ? r
16、在上题中,若ε 和ε x 的电动势分别为 2.0V 和 1.5V,RAB=10Ω .为了找到平衡点,对 R的数值有什么限制? 答:UAB=IRAB≥ε x 由全电路欧姆定律得 即I≥ε x/RAB=0.15A I=ε /(R+RAB) R≤3.3Ω ε ,r R

17、在附图中,T是平衡点,若将滑动头C分别与D或S点 接触,通过检流计的电流方向如何? 答:C在平衡点T时检流计中无电流。UAT=ε x 当C与D接触时, AD<ε x, U 通过检流计的电流从左→右; 当C与S接触时, AS>ε x, U 通过检流计的电流从右→左。 18、若在附图中 a 处的导线断了,当滑动头C在AB间滑动 时,将会观察到检流指针有何表现?若在 b 处的导线断 A

DTS C G ε x ε ,r R





a

A C


B b

G ε x

了,情况如何? 答:若在 a 处断开,有电流通过检流计,当C从A→时, 通过检流计的电流由小→大,方向为左→右; 若在 b 处断开,检流计中无电流通过。 19、用电位差计测量电路中两点之间的电压应如何进行? 答: (1)联接电路。按标记将供电电源、标准电池、检流计、待测电路接好。注意正负标 记,供电电源的电动势应大于标准电池的电动势和待测电路的电压值。 (2)校准。将转换开关拨到“标准” ,把标准电池接入补偿回路,调整制流电阻,使 检流计指针没有偏转,此时工作电流即为标准值。 (3) 测量。固定制流电阻,将开关拨到“未知” ,把待测电路接入补偿电路,找到平 衡位置,即可从仪器上直接读出待测电路两点间的电压。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题: 1、 6V、2Ω 的灯泡用12V的直流电源,后者的内阻为 0.5Ω ,问应串联多大的电

阻?

解:设串联电阻为R。由全电路的欧姆定律

I?

U U ? 0 R0 ? R ? r R0

R=1.5Ω

2、

四个电阻均为 6.0Ω 的灯泡,工作电压为12V,把它们并联起来接到一个电动势

为12V,内阻为 0.20Ω 的电源上,问: (1) 开一盏灯时,此灯两端的电压多大? (2) 四盏灯全开时,灯两端的电压多大? 解: (1)开一盏灯时, I ?

?
R?r

? 1.93 A

U ? IR ? 11.6V U ? ? I ?R ? 10.6V 电压下降

(2)开四盏灯时, I ? ?

?

R ?r 4

? 7.06 A

3、

附图中伏特计的内阻为300Ω ,在开关K未合上时,其电压读数为 1.49V,开关 300Ω V 合上时其读数为 1.46V,求电源的电动势和内阻。
I1 ?

解:K断开时

?
RV ? r

U 1 ? I 1 RV ?

?
RV ? r


RV

100Ω ε ,r

K闭合时

I2 ?

?
RV R ?r RV ? R

U2 ? I2

RV R RV R? ? RV ? R ( RV ? R)r ? RV R
RV ?? ? U 1 ? ? 2.07 ? U1

解得

??

RV U 1U 2 ? 1.5V ( RV ? R)U 2 ? RU 1

r?

4、 为使一圆柱形长导体棒的电阻不随温度变化,可将两相同截面的碳棒和铁棒串联 起来。问两棒长度之比应为若干? 解:若使整个导体电阻不随温度变化,应有

? 0 Fe? Fe t ? ? 0? c t

? 0 Fe ? c l ? 1 l 40 ? ? ? R ? ? ? Fe ? 0 ? ? 0 ? Fe 40 S lc ? 0 Fe 1
5、 变阻器可用作分压器,用法如附图所示。U是输入电压,R是变阻器的全电阻,r

是负载电阻,c 是R上的滑动接头。滑动 c,可以在负载上得到从0到U之间的任何电 压Ur。设R的长度 ab=l,R上各处单位长度的电阻都相同,a、c 之间的长度 ac=x,求 加到 r 上的电压Ur 与 x 的关系。用方格纸画出当 r=0.1R 和 r=10R 时的Ur—x 曲线。 解:设总电流为I,流过 r 的电流为 i,则由欧姆定律得

U ac ? ( I ? i ) U r ? ir U ?I

R x l

b U R c a 只有当 r 很大时,Ur 才近似与 x 成正比。 Ur/U0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 C (3)RAB。 A 20Ω D 10Ω 100Ω 10Ω 5Ω B x/l r=10R r=0.1R r

R R (l ? x) ? ( I ? i ) x l l

整理得

Ur ?

lrUx R(l ? x) x ? l 2 r

当 r=0.1R 时,

x 0.1 U l Ur ? x x (1 ? ) ? 0.1 l l x 10 U l Ur ? x x (1 ? ) ? 10 l l

当 r=10R 时,

6、

在附图所示的电路中,求: (2)RBC;

(1)RCD; 解:

(1) 1 ? 1 ? 1 ? 1 RCD=9.09Ω RCD 100 15 30

(2) 1
R BC

?

1 ? 5

RBC=4.3Ω 1 100 (10 ? 20 ) 10 ? 100 ? 30
R AB 1 1 ? 10 ? 5 20 ? 10

(3)100Ω 电阻被短路, 1 ? 7、

RAB=10Ω

判断一下,在附图中所示的各电路中哪些可以化为串、并联电路的组合,哪些不

能。如果可以,就利用串、并联公式写出它们总的等效电阻。 R1 R3 R2 R3 R1 R4 R2 R5 R3 R4 R1 R2 R4 R4 R3 R5 R1 R2 R3 R5 R4 R4 R3

R1

R2 R5 R4 R2 R3

R1

R2

R1

R2

R3 R1

R5

R4

a 可以 R ? R1 ? R2 ? R3 ?R4 ? R5 ? R3 ? R4 ? R5 b 可以 R ? c 可以 R ?

?R1 ? R2 ??R3 ? R4 ?
R1 ? R2 ? R3 ? R4
R4 ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ? R2 R4 ? R3 R4
R3 ? ?R 2 ? R4 R5 / ?R 4 ? R5 ??

e 可以 R ? R1 ? R3 ?R2 ? R4 R5 / ?R4 ? R5 ?? g 可以 R ?

R4 ?R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ? R1 R2 ? R2 R3 ? R1 R3 ? R2 R4 ? R3 R4

其余 d、f、h 不能化为电阻的简单串并联。 8、 无轨电车速度的调节,是依靠在直流电动机的回路中串入不同数值的电阻,从而 例如,可以在回路中串接四个

改变通过电动机的电流,使电动机的转速发生变化。

电阻R1、R2、R3和R4,再利用一些开关K1、K2、K3、K4和K5,使电阻分别串 联或并联,以改变总电阻的数值。如附图中所示。设R1=R2=R3=R4=1.0Ω ,求下 列四种情况下的等效电阻Rab: (1) (2) (3) (4) K1、K5合上,K2、K3、K4断开; K2、K3、K5合上,K1、K4断开; K1、K3、K4合上,K2、K5断开; K1、K2、K3、K4合上,K5断开。 K4 R1 R2 K2 R3 R4

K3

K1

解: (1) R ? R1 ? R2 ? R3 ? 3.0?

(2) R ? R1 ? (

1 1 1 ? ? ) ?1 ? 1.3? R2 R3 R4

(3) R ? 9、

R1 R4 ? 0.5? R1 ? R4

(4) R ? (

1 1 1 1 ? ? ? ) ?1 ? 0.25? R1 R2 R3 R4

如附图所示的电路中,a、b 两端电压为 9.0V,试求:

(1) 通过每个电阻的电流强度; (2) 每个电阻两端的电压。 解: (1) I 1 ? I 5 ? 1.5mA (2) 1 ? 1.5V U

I 2 ? I 10 ? 0.75mA
U 2 ? 15V
U 10 ? 7.5V
R1R3 U R2R4

U 5 ? 7.5V

10、 如图所示,电路中 R1=10kΩ ,R 2 =5.0kΩ , R3=2.0kΩ , R3=1.0kΩ ,U=6V,求通过R3的电流。 解:

R1 R3 ,中间联线无电流通过 I 2 ? U ? ? 2.0mA R2 R4 R3 ? R4

11、 有两个电阻,并联时总电阻为 2.4Ω ,串联时总电阻是10Ω 。问这两个电阻的阻 值是多少? 解:R1=6Ω R2=4Ω

12、 有两个电阻 R1=3.6kΩ ,R2=6.0kΩ , (1) 它们串联接入电路中时, 测得 R1 两端的电压为U1=50V, R2两端的电压U2; 求 (2) 当它们并联接入电路中时, 测得通过 R1的电流强度I1=6.0A,求通过 R2的电 流I2。

解: (1) U 2 ?

R2 U 1 ? 60V R1

(2) I 2 ? a

R1 I 1 ? 5.0 A R2
2Ω 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω c e 6Ω 6Ω 4Ω f 2Ωd 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω 2Ω h g

13、 电阻的分布如附图所示。 (1) 求Rab;

b (2) 若4Ω 电阻中的电流为1A,求Uab. 解: (1)Rab=8Ω

(2) U ef ? 12V I ef 6 ? 2 A I ce ? 3 A U cd ? 36V I cd 6 ? 6 A I ac ? 9 A Uab=72V 14、 在附图所示的四个电路中,求出所标文字的数值:

(1) 求I,I1;

(2)求I、U;

(3)求R; (4)求I1、I2、I3 R

1k 10V 1mA I 5k I1 I 5k (2) 1k U 3Ω 12V (3)

4Ω 2A

I1 I2 I3 (4)

1.0k 2.0k 3.0k

(1) 解: (1) I 1 ? 0.2mA (2) U ? 20V (3)R=6Ω (4)R=6k/11

I ? I 1 ? 1mA ? 1.2mA
I ? 2mA

U=6V/11

I 1 ? 0.54mA I 2 ? 0.27 mA I 3 ? 0.18mA
R1=R2. 试求下列情况下 a 、b 两点的电压。 R1

15、 附图所示的电路中,已知U=3.0V, (1) R3=R4; 解: (1)Uab=0

(2)R3=2R4;

(3)R3=R4/2
aaaaaaaaa

a a R3 b + aaaaaaaa a U (2)Ua=U/2 Ub=U/3 Uab=U/6=0.5V R a 2 R4 a (3)Ua=U/2 Ub=2U/3 Uab=-U/6=-0.5V a a 16、 附图所示电路中,当开关K断开时,通过 R1、R2 的电流各为多少?当开关K接通 a 时,通过 R1、R2 的电流又各为多少? a R2 R1 a 解: (1)K断开时, I ? I 1 ? I 2 ? 1.5 A 2Ω 2Ω R3 a K 2Ω a 6V (2)K接通时, I ? 2 A I 1 ? I ? 2 A a a

I 2 ? I 3 ? I / 2 ? 1A
17、 附图所示电路,在开关K断开和接通两种情况下,a 、b 两点之间的等效电阻Rab 和 c、d 之间电压Ucd 各为多少? 解: (1)K断开时, Rab ? R1 ? R2 ? 10? (2)K接通时, Rab ? 5?
U cd ? 0 U cd ? U / 2 ? 5V

a 5Ω 5Ω b K 5Ω c d

18、 在附图所示的电路中,U=12V, R1=30kΩ ,R2=6.0kΩ , R3=100kΩ , R3=10kΩ , R5=100kΩ , R6=1.0kΩ , R7=2.0kΩ 。求电压 Uab、Uac 和 Uad

解: U ab ? ?U R ? ? R1 U ? ?10V 1 R1 ? R2
U ac ? ?U R2 ? R2 U ? 2V R1 ? R2

R1
? ? ?U ? ?6V ? ? ?

R3

R5 R6 U R7

U ad

? ? R7 R2 ?? ? ?R ?R R R 2 R7 ? 5 6 ? 1 R5 ? R6 ?

R2

b a d c R4

19、 有一适用于电压为110V的电烙铁,允许通过的电流为 0.7A,今准备接入电压 为220V的电路中,问应串联多大的电阻? 解: R x ?

Ux ? 157 ? U 1 / R1

20、 一简单串联电路中的电流为5A。当把另外一个2Ω 的电阻插入时,电流减小为 4A。问原来电路中的电阻是多少? 解:R=8Ω 21、 在附图中,ε


=24V,r1=2.0Ω ,ε 2=6.0V,r2=1.0Ω ,R1=2.0Ω ,R2=1.0Ω , R3=3.0Ω (2)a、b、c 和 d 各点的电位; (4)若把 6.0V的电池反转相接,重复以上计算。 ε


(1) 求电路中的电流; (3)两个电池的路端电压;

解: (1) I ?

?1 ? ? 2
R1 ? R2 ? R3 ? r1 ? r2

r1 b

R3 c

ε 2r2 d

? 2A

a

(2)Ua =4VUb =-16VUc =-10VUd=-2V (3)U1 =20V (4) I ? U2=8V

R1

R2

?1 ? ? 2
R1 ? R2 ? R3 ? r1 ? r2

? 3.3 A

Ua =6.6VUb =-10.8VUc =-0.6VUd=-3.3V

U1 =17.4V

U2=2.7V


22、 在附图的电路中已知ε

=12.0V,ε 2=ε 3=6.0V,R1=R2= R3=3.0Ω ,电源的内阻都 ε 3 R3 a b ε

可忽略不计。求: (1)Uab; (2)Uac; (3)Ubc. 解: (1) I R ? 2

?1 ? ? 2
R1 ? R 2

? 1.0 A

Uab=-30V

R2



(2)Uac=-12V (3)Ubc=-9V 23、 一电路如附图所示,求: (1)Uab; (2)Ucd. 2Ω 2Ω ε


R1

12V,1Ω 2Ω 10V,1Ω 3Ω 8V,1Ω 2Ω 2Ω

解: I ?

?1 ? ? 2
R1 ? R2 ? R3 ? R4 ? r1 ? r2

? 0.4 A

(1) U ab ? I ?R2 ? R3 ? ? ? 2 ? 10V (2) U cd ? I ?R2 ? R3 ? ? ? 2 ? ? 1 ? 0V 24、 一个电阻为 Rg=25Ω 的电流计, 当其指针正好到头时, 通过的电流 Ig=100mA。 问: (1) 把它改装成最多能测到 1.00A 的安培计时,应并联多大的电阻? (2) 把它改装成最多能测到 1.000V的伏特计时,应串联多大的电阻? 解: (1)应并联电阻 R ? I g R g ? 0.025 ? S
I ? Ig

(2)应串联电阻 R ? U ? U g ? 975 ? S
Ig

25、 闭路抽头式多量程安培计的电路如图所示, 设各接头分别与公共端组成的安培计的 量程为I1、I2、I3。它们之中哪个量程最大?哪个最小?试证明,R1、R2、R3 的数值可以用下式计算: R1 ? R2 ? R3 ?

Ig I3

?

, R1 ? R2 ?

Ig I2

?

, R1 ?

Ig I1

?

。其中

?? R

1

? R2 ? R3 ? R g . R g 为表头内阻, I g 是满度电流。各
R1



档的满度电压是否相同? 解:各档量程比较 I1>I2>I3

R2

R3

I g Rg ? ( I 3 ? I g )( R1 ? R2 ? R3 )

R1 ? R2 ? R3 ?
R1 ? R2 ? Ig I2

Ig I3

?
公共端

I1 b

I2

I3

I g ( Rg ? R3 ) ? ( I 2 ? I g )( R1 ? R2 )

?

I g ( R2 ? R3 ? Rg ) ? ( I 1 ? I g ) R1

R1 ?

Ig I1

?

满度时U=IgRg 相同,电压U3=IgRg,U2=Ig(Rg+R3),U1 =Ig(Rg+R2+R3) 26、 MF—15型万用电表的电流档为闭路抽头式。如附图所 示表头的内阻Rg=2333Ω ,满度电流Ig=150μ A,将其改装成 量程是 500μ A、 10mA、 100mA 的多量程安培计。 试计算出R1、 R2、R3的阻值,并标出三个接头的量程。
解:利用上题结果

G G R1 100mA R2 R3 10mA 500μ A

R1 ? R2 ? R3 ?

Ig I3

?

, R1 ? R2 ?

Ig I2

?

, R1 ?

Ig I1

?

, ? ? R1 ? R2 ? R3 ? R g

解得

Ig ? R1 ? ? ? 5.00? ? I1 ? ? Ig ? Ig Ig I ?I ? ? ? ?1 ? I ? I ?Rg ? ?R2 ? ( I ? I )? ? 1I I 2 I g ? ? 45.0? ? ? 3 g ? 2 1 1 2 ? ? Ig Ig I2 ? I3 ? ? R3 ? ( I ? I )? ? I I I g ? ?950 ? 3 2 2 3 ?

27、 多量程安培计为闭路抽头式, 表头的满度电流Ig=1.00mA ,内阻Rg=100Ω ,改装为安 培计量程为 2.0mA、10mA 和100mA .计算出其中的电阻,画出线路图,并指明各接头 的量程。 解:与上题同理。电路图如图所示。
R1 ? R2 ? ( Ig ? Ig Ig I1

G

? ? 80?

R1 100mA

R2

I1 ? I 2 I g ? ? 18? I 2 I1 I1 I 2 Ig Ig I ? I3 R3 ? ( ? )? ? 2 I g ? ? 2? I3 I2 I2I3 )? ?

R3 10mA 2mA

28、 多量程伏特计电路如图所示。试证明:各档的内阻与量程的关系都是:内阻=量程/ Ig。例如对于量程为U1、U2、U3各档的内阻分别为:

R g ? Rm1 , R g ? Rm1 ? Rm 2 , R g ? Rm1 ? Rm 2 ? Rm3
则 R g ? Rm1 ? U 1 / I g , G Rm1 Rm2 Rm3

Rg ? Rm1 ? Rm 2 ? U 2 / I g , Rg ? Rm1 ? Rm 2 ? Rm3 ? U 3 / I g
公共端

U1

U2

U3

(由此可见,只要已知 1/Ig,就可算出所需要的各个扩程电阻。 ) 解: U 1 ? I g ( R g ? Rm1 )

U 2 ? I g ( Rg ? Rm1 ? Rm 2 ) U 3 ? I g ( Rg ? Rm1 ? Rm 2 ? Rm3 )

——→各档均有 内阻=量程/Ig。

29、 MF-15型万用电表的电压档如附图所示, 表头满度电流Ig=0.50mA, 内阻Rg=700 Ω ,改装为多量程伏特计的量程分别为U1=10V,U2=50V,U3=250V。求各档的降压电 阻R1、R2、R3。若再增加两个量程U4=500V,U5=1000V,又该如何?
解: Rm1 ? U 1 / I g ? R g ? 19.3k?



Rm1

Rm2 U2 U1 U3

Rm3

U3

Rm 2 ? U 2 / I g ? ( Rg ? Rm1 ) ? 80 k? Rm3 ? U 3 / I g ? ( Rg ? Rm1 ? Rm 2 ) ? 400 k? Rm 4 ? U 4 / I g ? ( Rg ? Rm1 ? Rm 2 ? Rm3 ) ? 500 k? Rm5 ? U 5 / I g ? ( Rg ? Rm1 ? Rm 2 ? Rm3 ? Rm 4 ) ? 1M?
30、 一伏特计共有四个接头如图所示,量程U1=3.0V,U2=15V,U3=150V。电流计的 U1 U2 U3 满度电流Ig=3.0mA,内阻为 100Ω .问: U3 (1) 该伏特计的灵敏度(即每伏欧姆数)多大? R1 R2 R 3 G

(2) 当用不同接头时,伏特计的降压电阻R1、R2、R3各为多大? 解: (1)1/Ig=383Ω /V (2)R1=900Ω , R2=4000Ω , R3=4500Ω

31、 一个量程为150V的伏特计,它的内阻为20kΩ .当它与一个高电阻R串联后接到 110伏电路上时,它的读数为 5.0V.求R。 解:R=420KΩ , 32、 用伏安法测电阻R,由U/I=R′计算的阻值是近似值。证明:当已知伏特计的内 阻RV,安培计的内阻RA时,对于安培计内接,电阻的精确值为Rx=R′-RA;对于安 UA Ux 培计外接,电阻的精确值为

1 1 1 ? ? 。 R x R ? RV

A V

R x

解: (1)当RA<<R 时,安培计内接,

? I A R A ? I A Rx ? I A R ? U
(2)当 R<<RV 时,安培计外接,

? Rx ? R ? R A
Ix IV R x V

U U U I? ? ? R ? R x RV

1 1 1 ? ? R x R ? RV



33、 甲乙两站相距50Km, 其间有两条相同的电话线, 有一条因在某地触地而发生故障。 甲站的检修人员用附图所示的办法找出触地到甲站的距离 x,让乙站把两条电话线短路, 调节 r,使通过检流计G的电流为0。已知电话线的电阻为 6.0Ω /Km,测得 r=360Ω .求 x. 50km 乙站 x r 甲站 G R R

解:通过检流计的电流为零时,A、B两点等电位。 由电桥平衡条件得

(r ? Ri x) I ? ?50 ? (50 ? x)?Ri I
x=20km

34、 为了找出电缆在某处由于损坏而通地的地方,也可以用附图所示的装置。AB是一条 长为 100cm 的均匀电阻线,接触点S可在它上面滑动。已知电缆长 7.8km。设当S滑到 SB=41cm 时,通过电流计G的电流为零。求电缆损坏处到B的距离 x。 A 7.8km S G x B 解:通过检流计的电流为零,电桥平衡。 K

SB(2 ? 7.8 ? x) ? (100 ? SB) x ? 59 x

x=6.4km

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.4
1、

复杂电路

考虑一个具体的电路,例如电桥电路,验算 n 个节点列出的基尔霍夫第一方程组 3 I1 1 任取其中的三个方程,可得到 另外一个方程。即只有三个方 程是独立的 I I2 GI5 4 I4 I3 2

中只有 n-1 个是独立的。 答:四个节点,根据基尔霍夫第一方程可列出四个方程
? I ? I1 ? I 2 ? 0 I ? I2 ? I4 ? 0 ? I1 ? I 3 ? I 5 ? 0 I4 ? I5 ? I2 ? 0

2、 UB

已知复杂电路中一段电路的几种情况如图所示,分别写出这段电路的UAB=UA- A R R R1 I ε r I ε r B B B

解: (1) U AB ? ? ? I ?R ? r ? (2) U AB ? ? ? I ?R ? r ?

A A

I1 ε r I2 R2

(3) U AB ? ? ? ?I 1 ? I 2 ?R ? I 1 ?R1 ? r ? 3、 考虑一个具体的电路,例如电桥电路,验算对 m 个独立回路列出的基尔霍夫第二

方程是相对独立的,而沿其他回路列出的方程可以由这 m 个方程组合得到。 答:根据基尔霍夫第二方程可得 ACDA CBDC ADBA R1 I1 A I R3 I2 ε C R2 I3 B

I1 R1 ? I 5 R5 ? I 2 R2 ? 0 I 3 R3 ? I 4 R4 ? I 5 R5 ? 0

GI5 R4 D r I4

I 2 R2 ? I 4 R4 ? Ir ? ? ? 0

三个方程彼此独立, 其中任何一个方程不能由其余两个方程组合而得到。 但另一闭 合回路ACBε a不是独立回路,其回路方程可由前三式相加得到。 4、 理想的电压源内阻是多大?理想的电流源内阻是多大?理想电压源和理想电流源 可以等效吗? 答:理想电压源是外电路所提供的电压为一定值,因此其内阻应为零。理想电流源为外电路 所提供的电流为一恒定值, 因此理论上理想电流源的内阻为无穷大。 实际上只要把一个 电池串联一个很大的电阻,就近似组成了一个理想电流源。因为在电流源的I0等于电 压源的短路电流, 电压源的内阻等于电流源的内阻时两电源等效, 这在理想电流源和理 想电压源的情况下是不可能的,故理想电压源和理想电流源不可能等效。 5、 叠加定理可以理解得更广泛一些,包括电路中有电流源情形,即电路中有多个电

源时,电路中任一支路的电流等于各个电源单独存在、而其他电源为零值时所产生的 电流之和。因此应用叠加定理时,对于“其他电源为零值”的确切理解是重要的。在 等效电源定理中要计算除源电路的电阻。 “除源”也就是使电源为零值。零值电压源的 端点间电压为零,这相当于短路情况。零值电流源相当于什么情况? 答:零值电流源即对外电路提供的电流为零。相当于电路断路。 6、 基尔霍夫方程组对于电流是线性的。叠加定理正是由方程组的线性导出的。考虑


在例题1中若ε 答:在例题1中,ε

增为2倍,ε



增为3倍,电流I3为多少?



增为2倍,ε



增为3倍时,由叠加原理可得

I 1? ? 0.36 A
习题: 1、

? I 3 ? 0.24 A

? I 2? ? 0.12 A

? I 3? ? 0.06 A

? ? I ? I 3 ? I 3? ? 0.3 A

一电路如图所示,已知ε



=1.5V,ε 2=1.0V,R1=50Ω ,R2=80Ω , R=10Ω ,电池

的内阻都可忽略不计。求通过R的电流。 ε R1


R2 I3

I2 ε 2

I1

解:设各支路电流如图所示。根据基尔霍夫方程

I1 ? I 2 ? I 3 ? 0 R1 I 1 ? RI 3 ? ? 1 R2 I 2 ? RI 3 ? ? 2
2、


R 解得 I3=32mA

一电路如图所示,已知ε



=3.0V,ε 2=1.5V, ε 3=2.2V,R1=1.5Ω ,R2=2.0Ω , R

=1.4Ω ,电池的内阻都已分别算在 R1、R2、R3内。求Uab. ε ε I1 ε I2 R3
3

解:设各支路电流如图所示。根据基尔霍夫方程

? ? 1 ? ?I 1 ? I 2 ?R1 ? I 1 R2 ? ? 2 ? 0 R2 I 2 ? RI 3 ? ?? 2 ? I 1 R2 ? ? 3 ? I 2 R3 ? 0

1



R1

R2

I1+I2 得

I1 ? I 2 ? 1.57 A

I 1 ? ?0.43 A I2 ? 2A

Uab=-0.6V 3、 一电路如图所示,已知ε


=12V,ε 2=9V, ε 3=8V,r1= r2= r3= r4=1Ω ,R1= R3= ε R1 ε
2 2 1 1

R4= R5=2Ω ,R2=3.0Ω ,求: (1) a、b 断开时的Uab; (2) a、b 短路时通过ε 解: (1)a、b 断开时,
2 的电流大小和方向。

r

R5 r R2

R3

ε

3 3

r

R4

I?

?1 ? ? 3
r1 ? r3 ? R1 ? R3 ? R4 ? R5

? 0.4 A

U ab ? I ?r3 ? R3 ? R4 ? ? ? 3 ? ? 2 ? 1V
(2)a、b 短路时,

I 1 ?R3 ? r3 ? R4 ? ? ? 3 ? ?I 1 ? I 2 ??r1 ? R5 ? R1 ? ? ? 1 ? 0 I 1 ?R3 ? r3 ? R4 ? ? ? 3 ? I 2 (r2 ? R2 )? 2 ? 0
解得

I2 ?

2 A 13
Uab=0V


如果题中 ε 2=10V,则(1)I=0.4A

此时若(2)a、b 再联接上,因两点之间电压为零,故短路后无电流,所以通过ε ε




的电流仍保持不变。 一电路如图所示,已知ε


4、

=1.0V,ε 2=2.0V, ε 3=3.0V,r1= r2= r3= r4=1.0 ε 1r1 R1 ε 3r3

Ω ,R1=1.0Ω , R2=3.0Ω ,求: (1) 通过电源3的电流;

ε 2r2 R2

(2) R2消耗的功率; (3) 电源3对外供给的功率。

解: (1)

? 2 ? I 2 ?R1 ? r1 ? ? I 1 r2 ? ? 1 ? 0 ?I 1 ? I 2 ?R2 ? ? 3 ? ? 2 ? I 1r2 ? 0
2

解得

?I1 ? I 2 ? =0.29A

(2) P2 ? I R2 ? 0.24W (3) P ? ?I 1 ? I 2 ?? 3 ? ?I 1 ? I 2 ? r3 ? 0.78W
2

5、

一电路如图所示,已知ε



=12V,ε 2=6.0V,r1= r2= R1= R2= 1.0Ω ,通过R3的 ε 1r1 R2 R1 ε 2r2

电流I3=3.0A,方向如图所示。求: (1) 通过R1和R2的电流; (2) R3的大小。 解: (1)根据基尔霍夫方程

I1 ? I 2 ? I 3 ? 0

I3

R3

I 1 ?R1 ? r1 ? ? I 3 R3 ? ? 1
(2)R3=2Ω

解得 I1=3A, I2=0A

I 2 ?R2 ? r2 ? ? I 3 R3 ? ?? 2
20V1Ω 6、 一电路如图所示,求各支路电流及Uab。 a 4Ω 18V1Ω b 6Ω

解:设各支路电流方向如图所示。根据基尔霍夫方程

I1 ? I 2 ? I 3 ? 0

I 1 ?R1 ? r1 ? ? I 3 R3 ? ? 1

I 1 ? 1A
解得

I 2 ?R2 ? r2 ? ? I 3 R3 ? ?? 2
7、

I 2 ? ?1 A I3 ? 2A
r

Uab=13V

7V1Ω



分别求出下列图中 a、b 间电阻。 r r r r r r r r r r r r r r

r (3)电桥平衡R=r

解: (1)电桥平衡R=r 8、

(2)不平衡电桥 R=1.4r

将附图中的电压源变换成等效的电流源。

2Ω 10v

3Ω 6v

2Ω 10v 3Ω v 5v 7Ω

解: (1) I 0 ? ? / r ? 5 A

r0 ? 2? r0 ? 2?

(2) I 0 ? ? / r ? 2 A

r0 ? 3?

(3) I 0 ? ? / r2 ? 2.5 A 9、

(4)不可能变换成等效的电流源。

将附图中的电流源转换成等效的电压源。

5A



5A 3Ω

3Ω 2Ω 6A

9A 2Ω

解:

(1) ? ? 10V (3) ? ? 12V

r0 ? 2? r0 ? 2?

(2) ? ? 15V

r0 ? 3?

(4)不可能变换成等效的电压源

10、 用等效电源定理解习题1。 解: 电流源1 电流源2

I 01 ? ? 1 / R1 ? 0.03 A I 02 ? ? 2 / R2 ? 0.0125 A

r01 ? 50? r02 ? 80?

R1 ε 1R

R2 ε


两个电流源并联

I 0 ? I 01 ? I 02 ? 0.0425 A

r0 ? 30.77 ?
I?

变换成等效电压源

? ? 1.31V

r0 ? 30.77 ?

?
R ? r0
ε

? 32 mA
1 1

11、 用等效电源定理解习题3中的(2) 。 R1 解:

r

R5 ε
2 2

I 01 ? ? 1 /(R1 ? R5 ? r1 ) ? 2.4 A I 02 ? ? 3 /(R3 ? R4 ? r3 ) ? 1.6 A
两个电流源并联

r01 ? 5? r01 ? 5? r0 ? 2.5?
R3

r

R4 ε
3 3

r

I 0 ? I 01 ? I 02 ? 4.0 A

变换成等效电压源

? ? 1.0V

r0 ? 2.5?

I?

?2 ??
R ? r0 ? r2
ε 1r1

?

2 A 13

R1 ε 3r3

12、 用等效电源定理解习题4。 解:电压源
5 ? ? ?2 ? r2 ? V R1 ? r1 ? r2 3

? 2 ? ?1

2 r0 ? ? 3

ε 2r2 R2

通过电源3的电流为

I?

?3 ? ?
R2 ? r0 ? r3

?

2 A ? 0.29 A 7

A R1 R3 G
? I1 ? I 2

13、 用等效电源定理求图3-34中电桥电路的Ig。 解:将电流计两端断开。
I?

?
( R1 ? R3 )( R2 ? R4 ) R1 ? R2 ? R3 ? R4

?

? ?R1 ? R2 ? R3 ? R4 ?
( R1 ? R3 )( R2 ? R4 )

R2

B

R4

等效电源的电动势为 U AB ? I1R1 ? I 2 R2 ? ? ?R1R4 ? R2 R3 ?

( R1 ? R3 )( R2 ? R4 )

内电阻 r0 ?

R1 R3 R2 R4 ? R1 ? R3 R2 ? R4

Ig ?

? ? ?R1 R 4 ? R 2 R3 ? U AB ? r0 ? R g R1 R 2 R3 ? R 2 R3 R 4 ? R3 R 4 R1 ? R 4 R1 R 2 ? R g ( R1 ? R3 )( R 2 ? R 4 )

14、 电路中某点两端开路时测得的电压为 10V,而此两端短接时,通过短路线上的电 流 IS=2.0A.(1)等效电压源或电流源的内阻为多少?(2)在此两端接上 5.0Ω 的电 阻时,通过此电阻的电流应为多少? 解: (1)I0=2A r0=5Ω (2)I=1A

15、 附图 a 的电路中每个支路上的电阻均为 1.0Ω ,所有电源的电动势未知,但其内阻 为0。已知在某一支路上的电流大小及方向如附图中所示。问: (1) 图 b。在此支路上再串联一个2.0Ω 的电阻,则此支路上电流的大小及方向如 何? (2) 图 c。在此支路上再并联一个2.0Ω 的电阻,则通过2.0Ω 电阻上电流的大小及 方向如何? A 5A 1Ω 1Ω 2Ω 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω B 1 Ω 1Ω 图b 图a 解: (1)AB支路断开,设其余部分为等效电压源,设其电动势为ε r0=1Ω 为电桥电路的电阻, 2Ω

图c 0,内电阻为 r0.

由闭合电路的欧姆定律可得

?0 ? ? ? ? 5? r0 ? 1 ? ? ? ?? ?I ? 0 ? r0 ? 2 ? 1 ?

解得I=2.5A,方向由下至上。

?0 ? ? 5 ? r ?1 0 (2) ? ? ?0 ?I ? ? r0 ? 2 / 3 ?

支路的总电流I=6A,流过 2Ω 电阻的电流为 2A,方向由下至上。

16、 试求附图中 ab 支路中的电流。 解: 6V 25 Ω 35 Ω 17、 用叠加定理解习题1。 解:电源 1 单独存在时 I ? 1

10Ω

20Ω 15Ω

30Ω 25Ω

40Ω 35Ω



?1
RR2 R1 ? R ? R2

?

? 1 ?R ? R 2 ?
R1 R ? R1 R2 ? RR2
ε 1R

R1

R2 ε


流经 R 的电流为 I 1 0 ? I 电源 2 单独存在时 I ? 2

R2 ? 1 ?R ? R 2 ? R ? R2 R1 R ? R1 R2 ? RR2

?2
RR1 R2 ? R ? R1

?

? 2 ?R ? R1 ?
R1 R ? R1 R2 ? RR2

流经 R 的电流为 I 2 0 ? I

R1 ? 2 ?R ? R1 ? R ? R2 R1 R ? R1 R2 ? RR2

电阻 R 上的总电流为两电流的叠加 I ? I 01 ? I 02 ? 32 mA 18、 用叠加定理解习题4。 ε 1r1 R1 ε 3r3

解: ,

I1 ?

?1

?R1 ? r1 ? ?

r2 ?R 2 r3 ? r2 ? R 2 ? r3

I 10 ?

r2 I1 r2 ? R2 ? r3

ε 2r2 R2

I2 ?

r2 ?

?R1 ? r1 ??r2 ? R2 ?
R1 ? r1 ? r2 ? R2

?2

I 20 ?

r1 ? R1 I2 r1 ? r2 ? R1 ? R2

两电源同时存在时,总电流为 I ? I 01 ? I 02 ? 0.29 A 19、 推导电阻的Y形联接和△形联接的代数公式时,可以 用两种联接中任意两对应点之间的总电阻都分别相等作为 条件。试推导之。 解:等效变换的条件是,在两种接法中,对应端流入或流出的 电流一一相等,对应端间的电压也一一相等。即经过变换 后,不影响电路其他部分的电压和电流。当满足上述等效 条件后,在两种接法中,对应的任意两端间的等效电阻也 必然相等。 设三个端纽的电位分别为 U1、U2、U3,流过的电流分 别为 I1、I2、I3。当某一对应端(如 C 端)开路时,其他两 对应端(a 和 b)之间的等效电阻为 I2 I1 U a
1

a U1 I1 I3 U3 c I2

b U2

b U2

I3 c

U3

R a ? Rb ? Rb ? R c ? Rc ? R a ?

Rab ( Rbc ? Rca ) Rab ? Rbc ? Rca Rbc ( Rca ? Rab ) 联立三式,可得到两种等效变换的公式为 Rbc ? Rca ? Rab Rca ( Rab ? Rbc ) Rca ? Rab ? Rbc

Y—△△—Y

R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R31 R12 R1 ? R3 R12 ? R23 ? R31 R R ? R2 R3 ? R3 R1 R32 R23 R23 ? 1 2 R2 ? R1 R12 ? R23 ? R31 R12 ? R31 ? R1 R2 ? R2 R3 ? R3 R1 R23 R31 R3 ? R2 R12 ? R23 ? R31

20、 将附图中所示电阻的Y形联接变换为△形联接。



4Ω 4Ω

4Ω 1Ω



1/2Ω

1/4Ω 1/3Ω 19Ω

12Ω 解: 12Ω 19Ω 9/8Ω

12Ω

12Ω

19/3Ω

19/4Ω

2/3Ω

3/4Ω

21、 将附图中所示电阻的△形联接变换为Y形联接。 6Ω 3Ω 1/2 Ω 1Ω 1/3Ω 1Ω







解: 2Ω 2Ω 2Ω 1Ω 1/2Ω 1/3Ω 1/11Ω 3/11Ω 2/11Ω

22、 用Y—△代换求习题7中图 b 的等效电阻。 解: r r r r r r r r 2r r 2r r r/2 r r/2 r/4 2r R=1.4r

23、 求附图中所示电路中的电流I。 解:将图中的△形联接变换成Y形联接 4V 变换后的电路为平衡电桥 中间支路的两个电阻不起作用 电路的等效电阻为 R=4/3Ω 电路中的总电流为 I=3A 24、 求附图中所示双T桥电路的等效电阻。 解:双T桥分别变换成两个△形并联,两个△形及最右 端的2Ω 并联,等效电路如图所示 40/21Ω 20/9Ω 20/19Ω 4V

I I 1Ω 1Ω 1Ω I I 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω

6Ω 6Ω

6Ω

2Ω 2Ω 2Ω 1Ω

2Ω 1Ω

2Ω 2Ω 2Ω

8Ω 4Ω 4Ω 5Ω

5/2Ω 5Ω

整个电路的等效电阻为 R=118/93Ω

――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.5
思考题: 1、

温差电现象

如附图所示的温差电偶中,T2>T1,试根据热力学第二定律分析一下, 除了导体上产

生的焦耳热外,在哪儿吸收热,在哪儿放出热?若 nA>nB,试分析电偶中温差电流的方 向。 答:温差电偶中,两种不同金属 A 和 B 的两个接触头的温 放热 度不同, 温差电动势作用下在闭合回路中产生温差电流。 T1 在此过程中,热端 T2 的温度下降,冷端 T1 的的温度升 高。 由热力学第二定律可知, 热端的一部分内能转化为 电磁能(产生温差电流) ,另一部分则在冷端放热,因此在高温热源处吸收热,在低温 热源处放热。 若 nA>nB,两种不同金属 A 和 B 两个接头处有帕尔帖电动势,金属 A 和 B 中产生两个汤姆 逊电动势,整个回路的温差电动势是四个电动势的代数和。由此可知,电偶中温差电流 的方向是从高温接触点 T2 经过金属 A 的内部,通过低温接触点 T1,经过金属 B 的内部 回到高温接触点,如此循环往复,温差电流的方向如图所示。 T1 2、 试论证: 如图所示, 在A、 B两种金属之间插入任何一种金属C, A C B 只要维持它和A、B的联接点在同一温度T2,其中的温差电动势与 仅由A、B两种金属组成的温差电动势一样。 答:A、B 两种金属之间插入第三种金属 C 时,组成一闭合回路。回路的 总电动势是三个珀尔帖电动势与三个汤姆逊电动势的代数和。 T2 T2 A 吸热 T2 B

T2

? ABC ?T1,T2 ? ? ? AB ?T1 ? ? ? BC ?T2 ? ? ? CA ?T2, ? ? ? ? A ?T ?dT ? ? ? B ?T ?dT ? ? ? C ?T ?dT
T1 T1 T1 T2 T2 T2

? ? BC ?T2 ? ? ? CA ?T2, ? ?

kT2 nB nc kT2 nB ln ? ln ? ? BA ?T2, ? ? ?? AB ?T2, ? e nC nA e nA

?

T1

T2

? C ?T ?dT ? 0
T1 T2

? ? ABC ?T1,T2 ? ? ? AB ?T1 ? ? ? AB ?T2 ? ? ? ?? A ?T ? ? ? B ?T ??dT ? ? AC ?T1,T2 ?

即中间导体两端温度相同时,不影响总的温差电动势。 3、 实际的温差电偶测量电路如图所示。 右边两导线 T B A C C 接 电 位 差 计

C接电位差计。 电位差计中的导线和电阻可能由其他 金属材料制成。试论证:只要接到电位差计的两根导 线材料相同, 并且电位差计中各接触点维持同一温度

T0

(例如室温) ,则温差电偶整个回路中的温差电动势仅由金属A、B和T、T0决定。 答:设电位差计中导线和电阻由金属 D 制成。电位差计中各接触点维持同一温度 T0,整个 回路 ABCD 的总温差电动势为
? ABDC ?T , T0 , Tn ? ? ? AB ?T ? ? ? BC ?T0 ? ? ? CD ?Tn, ? ? ? Dc ?Tn, ? ? ? CA ?T0, ?

? ? ? A ?T ?dT ? ? ? B ?T ?dT ? ? ? C ?T ?dT ? ? ? D ?T ?dT
Tn T0 Tn Tn T0 T T0 Tn





? CD ?Tn, ? ? ? Dc ?Tn, ? ? 0



? BC ?T0 ? ? ? CA ?T0, ? ?

kT nB nC kT nB ln ? ln ? ? BA ?T0 ? ? ?? AB ?T0 ? e nC nA e nA

?

Tn

Tn

? D ?T ?dT ? 0

即: ? ABDC?T ,T0 ,Tn ? ? ? AB ?T ? ? ? AB ?T0 ? ?
Tn

?

Tn

T0

? A ?T ?dT ? ? ? B ?T ?dT
T0 T

? ? AB ?T ? ? ? AB ?T0 ? ? ? ?? A ?T ? ? ? B ?T ??dT ? ? AB ?T , T0 ?
T0

结果表明:只要接到电位差计的两根导线材料相同,并且电位差计中各接触点保持同 一温度,则联接导线和电位差计的插入并不影响总的温差电动势。 4、 试论证:如图所示,温差电堆的电动势是各温差电偶的电动势

之和。 答:与上题同理 ? ABAB ?AB ? ? AB ?T2 ? ? ? BA ?T1 ? ? ? ? ? AB ?T2 ? ? ? BA ?T1 ?
? ? ? A ?T ?dT ? ? ? B ?T ?dT ? ?? ? A ?T ?dT ? ? ? B ?T ?dT
T2 T2 T2 T2 T1 T1 T1 T1

T1

T2

? ? AB ?T2,T1 ? ? ? AB ?T2,T1 ?? ? ? AB ?T2,T1 ?
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§3.6
习题: 1、

电子发射与气体导电

试推导当气体中有正负两种离子参与导电时,电流密度的公式为:

? ? ? j ? n? q ? u ? ? n? q ? u ? 。其中 n、q、u 分别为离子的数密度、所带电量和漂移速度。
解:在导体中取面积元△S,在单位时间内通过△S 的正离子所带的电量为 n? q ? u ? ? ?S , 同时通过的负离子所带电量为 n? q ? u ? ? ?S ,即通过△S 的电流强度为

?

?

?

?

? ? ? ? ? I ? ?n? q ? u ? ? n? q ? u ? ? ? ?S ? j ? ?S

? ? ? j ? n? q ? u ? ? n? q ? u ?
2、 若有一个真空二极管,其中阴极和阳极是一对平行导体片,面积都是 2.0cm2,它们

之间的电流 I 完全由电子从阴极飞向阳极形成。若电流 I=50mA,电子到达阳极时的速 率是 1.2× 7m/s,求阳极表面外每立方毫米内的电子数。 10 解:电子的数密度为

n?

j I ? ? 1.3 ? 1014 个 / m 3 eu eu S
用 X 射线使空气电离时,在平衡情况下,每立方厘米有 108 对离子,已知每个正

3、

负离子的电量都是 1.6× -19C,正离子的漂移速率为 1.27cm/s,负离子的平均定向速率为 10 1.84cm/s,求这时空气中电流密度的大小。 解: j ? ne(u ? ? u ? ) ? 5.0 ? 10 4、

?

?

?

?8

A / m2

空气中有一对平行放着的极板,相距为 2.00cm,面积都是 300cm2。在两极板上加

150V 电压,这个值远小于使电流达到饱和所需的电压。今用 X 射线照射板间的空气, 使其电离,于是两板间便有 4.00μ A 的电流通过。设正负离子的电量都是 1.6× -19C, 10 已知其中正离子的迁移率(即单位电场强度所产生的漂移速率)为 1.37× -4 m2/s· 10 V,负 离子的迁移率为 1.91× -4 m2/s· 10 V,求这时板间离子的浓度(即单位体积内的离子数) 。 解:因单位体积内正负离子数相等

n? ? n? ?
5、

j I ? 3.39 ? 1014 个 / m 3 ? ? ? ? ? e(u ? ? u ? ) e(u ? ? u ? ) S

在地面附近的大气里,由于土壤的放射性和宇宙线的作用,平均每 1cm3 的大气里

约有 5 对离子, 已知其中正离子的迁移率为 1.37× -4 m2/s· 10 V,负离子的迁移率为 1.91× -4 10 m2/s· V,正负离子的电量都是 1.6× -19C。求地面大气的电导率。 10 解:由 j ? ?E ? ne(u ? ? u ? ) 得

?

?

?

?

? ? ne?

? ? ? u? u? ? E ?E

? ?16 ? ? 3 ? 10 S / m) ?

―――――――――――――――――――――――――――――――――――

第三章





第四章
§ 4.1
思考题:

稳恒磁场

磁的基本现象和基本规律

1、 地磁场的主要分量是从南到北的,还是从北到南的? 答:地磁场的北极(N极)位于地理南极附近,南极(S极)位于地理北极附近,所 以地磁场的主要分量是从地理南极到地理北极。 2、 如图取直角坐标系,电流元 I1dl1 放在 x 轴上指向原点 O,电流元 I2dl2 放在原点 O 处指 向 Z 轴。试根据安培定律回答,在下列各情形里电流元 1 给电流元的力 dF12、以及电 流元 2 给电流元 1 的力 dF21,大小和方向各有什么变化? (1) 电流元2在 zx 平面内转过角度θ ; (2) 电流元2在 yz 平面内转过角度θ ; I2dl2 (3) 电流元1在 xy 平面内转过角度θ ; (4) 电流元 1 在 zx 平面内转过角度θ . 答:根据安培定律 x I1dl1 O y z

? ? ? ? ? ? ? ? ? I 1 d ?1 ? r12 ? dF12 ? I 2 d ? 2 ? dB?r12 ? ? I 2 d ? 2 ? 其中r12电流元I 1 d ?1到I 2 d ? 2的矢径 3 r 12 ? ? ? ? ? ? ? I d?2 ? r ? ? ? dF21 ? I 1 d ?1 ? dB?r21 ? ? I 1 d ?1 ? 2 3 21 其中r21电流元I 2 d ? 2 到I 1 d ?1的矢径 r 21

在图示情况下,dF12=0,

dF21 ? I 1 d? 1

I 2 d? 2 r2 I 2 d? 2 sin ? r2 I 2 d? 2

方向沿Z轴负向。 大小变小, 且随θ 不同而变化, 最小值为0。

(1) 12=0, dF21 ? I 1 d? 1 dF

方向与θ 有关,可沿Z轴正向或沿Z轴负向。

dF (2)dF12=0, 21 ? I 1 d? 1

大小不变,方向始终与 I2dl2 方向相反。 r2 I d? sin ? (3)dF12=0,dF21 ? I 1 d? 1 2 22 大小变小,且随θ 不同而变化,最小值为0。 r 方向与θ 有关,可沿Z轴正向或沿Z轴负向。 (4) dF12 ? I 2 d? 2

I 1 d? 1 sin ? r2

大小变小,且随θ 不同而变化,最小值为0。

方向沿 x 轴正向或负向。

dF21 ? I 1 d? 1

I 2 d? 2 r2

大小始终不变,方向是在 xz 平面内,垂直于 dl1

3、 根据安培定律证明: 任意两个闭合载流回路 L1 和 L2 之间的相互作用力满足牛顿第三定律。 证明:由安培定律可知,

? ? ? ? ? ? ? ? 0 I 1 d ?1 ? r12 dF12 ? I 2 d ? 2 ? B ?r12 ? ? I 2 d ? 2 ? 4? ?L r 312 ? ? ? ? ? ? 0 I1 I 2 d ? 2 ? d ?1 ? r12 F12 ? ? dF12 ? 4? ?L1 ?L2 r 312 ? ? ? ? ? ? ? ? r12 ? r12 ? ? 0 I1 I 2 ? d ?1 ? d ? 2 ? 3 ? ? 3 d ?1 ? d ? 2 ? ? 4? ?L1 ?L2 ? ? r 12 ? r 12 ? ? ? ? 0 I1 I 2 r12 ? ?? d ?1 ? d ? 2 4? ?L1 ?L2 r 312 ? ? ? r12 r12 ? (其中? d ? 2 ? 3 ? ? ? ? 3 ds ? 0) L2 S r 12 r 12

?

?

?

?

?

?

同理

? ? ? I I F21 ? ? dF21 ? 0 1 2 4?

? ?

? ? ? d ?1 ? d ? 2 ? r21 r
3 21

?

L1 L2

??? ?

0 1 2

I I 4?

? ?

? r21 r
3 21

L1 L2

?d ?
?

1

? ? d? 2

?

? ? r12 ? ?r21 ? ? ? F12 ? ? F21
(利用矢量分析公式

? ? ? ? ? ? ? ? ? A? B ? C ? A?C B ? A? B C

?

? ?

? ?

?



即:两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律,但任意两个闭合载流回路 L1 和 L2 之间的相互作用力满足牛顿第三定律。 4、 试探电流元Idl 在磁场中某处沿直角坐标系的 x 轴方向放置时不受力, 把这电流元转到 +y 轴方向时受到的力沿—z 方向,此处的磁感应强度B指向何方? 答:由安培定律判断,B沿 x 轴正向。 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§ 4.2 载流回路的磁场
思考题: 1、 试根据毕奥—萨伐尔定律证明:一对镜像对称的电流元在对称面上产生的合磁场

B必与此面垂直。 答:

习题: 1、 一条长的直输电线,载有 100A 的电流,在离它半米远的地方,它产生的磁感应强 度 B 有多大? 解:

B?

?0 I ? 0.4 ? 10 ?4 T ? 0.4高斯 2?r

2、 一条很长的直载流导线,在离它 1cm 处产生的磁感应强度是 1 高斯,它所载的电 流有多大? 解: 3、

B?

?0 I 2?r

I=5A

如图所示,一条无穷长载流直导线在一处折成直角,P 点在折线的延长线上,到折

点的距离为 a. (1) 设所载电流为I,求P点的B; (2) 当I=20A,a=2.0cm 时,B=? 解: (1) B ? I a P

?0 I ? I (cos? 1 ? cos? 2 ) ? 0 4?r 4?a

?1 ?
(2) B ? 0.4高斯 4、

?
2

,? 2 ? ?

如图所示,一条无穷长直导线在一处弯成半径为 R 的半圆形,已知导线中的电流

为 I,求圆心处的磁感应强度 B。 解:圆心处的磁感强度为三部分的叠加,但长直导线 部分产生的磁感强度为零。因此只有半圆形载流 导线在圆心处产生磁场 R I

B?
5、

1 ?0 I ?0 I ? 2 2R 4R

如图所示, 一条无穷长直导线在一处弯折成 1/4 圆弧,

圆弧的半径为R,圆心在O,直线的延长线都通过圆心。 已知导线中的电流为I,求O点的磁感应强度。 解:与上题同理,只有1/4圆弧在O点产生磁场 I R

B?

1 ?0 I ?0 I ? 4 2R 8R

6、

一条无穷长的导线载有电流I, 这导线弯成一抛物线形状, 焦点到顶点的距离为 a,

求焦点的磁感强度B。 解:抛物线在 x-y 坐标系中的标准方程为
y ? 2 px ? 4ax .
2

y θ r υ a F x

线上各电流元在焦点F产生的磁场方向都是垂直纸面向外。 大小为

dB ?

? 0 Idl sin? 4? r2

将坐标原点移到F, x ? x? ? a ,则 y 2 ? 4ax ? ? 4a 2 用极坐标表示

? x ? ? r cos? ,抛物线方程变为 ? ? y ? r sin ?

r 2 ? 4a

cos? 1 r ? 4a 2 ?0 sin ? sin 2 ?

解得

r?

2a 。由图示可知, dl sin ? ? rd? , 1 ? c o?s

dB ?

? 0 Id? ? 0 I ? (1 ? cos? )d? 4? r 8?a ? I ? ? I B ? 0 2? (1 ? cos? )d? ? 0 0 8?a 4a
B?

(半支抛物线在F点产生的磁感强度为 7、

?0 I
8a



如图所示,两条无穷长的平行直导线相距为2a,分别载有方向相同的电流I1和

I2。空间任一点P到I1的垂直距离为 x1,到I2的距离为 x2,求P点的磁感强度B。 解: B ? B1 ? B2 ? 2 B1 B2 cos?
2 2 2

I1

? I 其中 B1 ? ? 0 I 1 B 2 ? 0 2 2?x 2 2?x1

2 x 2 ? x 2 ? 4a 2 cos? ? 1 2 x1 x 2



B x1 B2 B1

2a I2⊙ x2

?0 B? 2?x1 x 2
8、

?I1 ? I 2 ??I1 x22 ? I 2 x12 ? ? 4a 2 I1 I 2

如图所示,两条无穷长的平行直导线相距为2a,载有大小相等而方向相反的电流

I。空间任一点P到两导线的垂直距离分别为 x1 和 x2,求P点的磁感强度B。 解:与上题同理,但
2 x 2 ? x 2 ? 4a 2 cos? ? cos 180 ? ? ? ? cos? ? ? 1 2 x1 x 2

?

0

?

I



x1 α x2

B1 B B2

2a I⊙ ×

B?

a? 0 I ?x1 x 2

9、

四条平行的载流无限长直导线,垂直地通过一边长为 a 的正方形顶点,每条导线 I

中的电流都是I,方向如图所示, (1) 求正方形中心的磁感应强度B; (2) 当 a=20cm,I=20A 时,B=?

⊙⊙
a

I × a

解: (1)B=B1+B2+B3+B4 B ? 4 B cos? ? 4 1 (2)B=0.80 高斯

?0 I 2 2? 0 I ? ?a 2 2a? / 2 2

I

⊙⊙

× I

10、 如图所示,两条无限长直载流导线垂直而不相交,其间 最近距离为 d=2.0cm, 电流分别为I1=4.0A ,I2=6.0A, P点 到两导线的距离都是 d,求P点的磁感强度B。 解: B1 ? I1

d



I2

d

? 0 I1 ? I 方向向里 B 2 ? 0 2 2?d 2?d

方向向右

d

P

B?

2 B12 ? B2 ? 0.72高斯 方向为 B1 和 B2 的合矢量方向。

11、 载流圆线圈半径R=11cm, 电流I=14A, 求它轴线上距圆心 r0=0 和 r0=10cm 处的磁感应强度B等于多少高斯。 解: (1) B ?

?0 I
2R

? 0.8高斯 (2) B ?

?0 R2 I
2 R 2 ? r02

?

?

3

? 0.33高斯
2

12、 载流正方形线圈边长为2a,电流为I。 α (1) 求轴线上距中心为 r0 处的磁感应强度; (2) 当 a=1.0cm,I=5.0A, r0=0 和 r0=10cm 时,B等 于多少高斯? 解: (1)载流正方形的四边在P点产生的B大小 相同,水平分量互相抵消,竖直方向叠 加。 ? I Bt ? 0 (cos? 1 ? cos? 2 ) cos? 4?R 其中
R ? r02 ? a 2
c o?s ? 1

dB r0 I 2a O a R α θ
1

θ

2

?r

a ? 2a
2

2 0

?

1

? ? c o?s 2
2

cos? ? a / r02 ? a 2

B ? 4 Bt ?

? ?r02 ? a 2 ??r02 ? 2a 2 ?

2? 0 Ia 2

方向沿轴线
1 2

(2)B1=2.8 高斯

B2=3.9× -3 高斯 10

13、 载流矩形线圈边长分别为 2a 和 2b,电流为I,求轴线上距中心为 r0 处的磁感强 度。 解:利用上题结果,两对边产生的磁感分别叠加,再求总磁感强度
2 B1 ?

? ?r02 ? a 2 ?
? ?r ? b
2 0

? 0 Ia
1 2

?r

2 0

? a2 ? b2

? ?r
1 2

b ? a2
a ? b2

2 0

?
?

1

2

2B2 ?

2

? ?r
1 2

? 0 Ib
2 0

?a ?b
2

2

? ?r
1 2

2 0

1

2

B ? 2 B1 ? 2 B2 ?

? ?r02 ? a 2 ? b 2 ?

? 0 Iab

1

2

? ? 1 1 ? 2 ? 2 2 2 ? r0 ? b ? ? r0 ? a

?

? ?

?

B 的方向沿矩形线圈的轴线 14、 载流三角形线圈的边长为 2a,电流为I,求轴线上距中心为 r0 处的磁感强度。 解: B1 ?

?0 I ?0 I (cos? 1 ? cos? 2 ) ? (cos? 1 ? cos? 2 ) 1 4?R 4? ?a 2 / 3 ? r02 ? 2
dB

?

4? a / 3 ? r
2

?

2 ? 0 Ia
2 0 1 2

? ?4a
?

2

/ 3 ? r02

?

1

2

r0 θ
2

B ? 2 B1 cos? ?

9? 0 Ia 2

1

2a I θ
2

2? a 2 ? 3r02

? ?4a

? 3r02

?

1

2

B 的方向沿三角形线圈的轴线 15、 一个载流线圈的磁距定义为 m=IS。试证明,对于习题11-14中各种形状的线 圈,当到中心的距离 r0 远大于线圈线度时,轴线上的磁感应强度都具有如下形式:
B?

?0m 2?r03

解:圆形线圈 B ?

?0 R2 I
2 R 2 ? r02

?

?

3

r0>>R
2

B ?

? 0?R 2 I
2? R 2 ? r02
B?

?

?
?

3

?
2

? 0 IS
2?r
3 0

?

?0m 2?r03
?0m 2?r03

正方形线圈 B ?

? ?r02 ? a 2 ??r02 ? 2a 2 ?

2? 0 Ia 2

r0>>R
1 2

? 0 I ?2a ?2

2? r02 ? a 2 r02 ? 2a 2

??

?

1

?
2

矩形线圈 B ?

? ?r02 ? a 2 ? b 2 ?

? 0 Iab

1

2

? ? ? 0 I 2a 2b ? 0 m 1 1 ? 2 ? ? ? 2 2 2 ? r0 ? b ? 2?r03 2?r03 ? r0 ? a

?

? ?

?

三角形线圈 B ?

2? a 2 ? 3r02 4a 2 ? 3r02

?

9? 0 Ia 2

??

?

1

?
2

? 0 I 2a ? 3a / 3 / 2 ? 0 m ? 2?r03 2?r03

?

?

16、 如图所示,两圆线圈共轴,半径分别为R 1和R2,电流分别为I1和I2,电流方 向相同,两圆心相距为 2b,联线的中点为O。求轴线上距O为 x 处P点的磁感应强度。 解:两线圈在 P 点产生的磁感强度方向一致。 R1 应用叠加原理 I1
B1 ? 2 R12 ? ?b ? x ?
?

x O P
B2 ?
2

R2 I2

?

?0 R I

2 1 1 2

?

3

2 2 R2 ? ?b ? x ?

?

?0 R I

2 2 2 2

?

3

2

2b
? ? P 点处 B 的方向向左 2? ?

B ? B1 ? B2 ?

?0 ?

2 ? R 2 ? ?b ? x ?2 ? 1

?

I1R12

?

3

?
2

?R

2 I 2 R2

2 2

? ?b ? x ?

2

?

3

17、 上题中如果电流方向相反,情形如何? 解:当电流方向相反时,
?0 ?
? I1R12
2 I 2 R2

B ? B1 ? B2 ?

2 ? R 2 ? ?b ? x ?2 ? 1

?

?

3

?
2

?R

2 2

? ?b ? x ?

2

?

? ? 3 2? ?

18、 电流均匀流过宽为 2a 的无穷长平面导体薄板,电流强度为I,通过板的中线并与 板面垂直的平面上有一点P,P到板的垂直距离为 x。设板的厚度可略去不计,求P点 的磁感应强度。 解:在 Z 轴两侧对称地取宽为 dy 的两直长导线, 利用无限长载流直导线的磁场公式可得
dB? ? dB? ?

z y

? 0 idy
2? x 2 ? y 2

O

P x

由对称性可知,x 方向分量互相抵消,总场沿 y 方向
B ? ? dB cos? ? ?
0 ? a a

? 0 idy
2? x 2 ? y 2

x x2 ? y2

y dB+ O

dB dBx

0

?i a ? I a ? 0 arctg ? 0 arctg ? x 2a? x

19、 求上题当 a→∞,但维持 i=I/2a, (单位宽度上的电流强度,叫做面电流密度)为一 常数时P点的磁感应强度。

解: B ?

?0i a ? I a arctg ? 0 arctg ? x 2a? x

B ? lim

?0i a ? i ? ?0i arctg ? 0 ? a ?? ? x ? 2 2

20、 如图所示,两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流,面电流密度分别为 i1 和 i2,两电流平行,求: (1) 两面之间的磁感应强度; (2) 两面之外的磁感应强度; (3) i1=i2=i 时,结果如何? i1 i2

解:利用上题结果,一块电流均匀分布,面电流密度为 i 的无限大平面,在空间产生的磁感 ? i 强度的大小为 0 ,其方向与电流方向垂直且成右手螺旋关系。若以 n 为面法线方向, 2 ? ?0 ? ? 可以表示为 B ? i ?n 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1)两平面之间 B ? B1 ? B2 ? 0 i1 ? n1 ? 0 i2 ? n 2 ? 0 i1 ? i 2 ? n1 2 2 2 ? ? ? ?0 ? ? ?0 ? ? ?0 ? ? ? (2)两平面之外 B ? B1 ? B2 ? i1 ? n1 ? i2 ? n 2 ? i1 ? i2 ? n1 2 2 2 (3)i1=i2=i 时, B 内=0 B外=μ 0i

?

?

?

?

21、 上题中若 i1 和 i2 反平行,情形如何? 解:i1 和 i2 反平行时, (1)两平面之间 (2)两平面之外

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B ? B1 ? B2 ? 0 i1 ? n1 ? 0 i2 ? n 2 ? 0 ?i1 ? i2 ?? n1 2 2 2 ? ? ? ? ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? B ? B1 ? B2 ? 0 i1 ? n1 ? i2 ? n 2 ? 0 ?i1 ? i2 ?? n1 2 2 2
B外=0

(3)i1=i2=i 时, B 内=μ 0i

22、 习题20中若 i1 和 i2 方向垂直,情形如何? 解:i1 和 i2 方向垂直时 (1)两平面之间 (2)两平面之外
? ? ? B ? B1 ? B2 ? ? ? B ? B1 ? B2

B?

1 2 ? 0 i12 ? i2 2
1 2 ? 0 i12 ? i2 2

B?

i1

i2

(3)i1=i2=i 时, B 内=B外=0.707μ 0i 23、 习题20中若 i1 和 i2 之间成任意夹角,情形如何? 解:设 i1 和 i2 夹角为θ ,B1和B2的夹角为θ 或π -θ 。 (1)两平面之间
B? 1 2 ? 0 i12 ? i2 ? 2i1i2 c o?s 2

i1

i2 i2

(2)两平面之外

B?

1 2 ? 0 i12 ? i2 ? 2i1i2 c o?s 2
B qh ? 2 ? 0 i 1 ? cos? 2

(3)i1=i2=i 时, B内 ? 2 ? 0 i 1 ? cos? 2

24、 半径为R的无限长直圆筒上有一层均匀分布的面电流,电流都绕着轴线流动并与 轴线垂直,面电流密度为 i,求轴线上的磁感应强度。 解: 半径为R的圆电流I在轴线上离圆心为 r 处产生的 磁感应强度 B 的方向为I的右旋进方向。其大小 为
B??

R

?0 Idl sin 90 0 ? I ? 2?R R ?0 IR 2 sin ? ? 0 2 ? 2 2 2 4? ?r ? R ? 4? ?r ? R ? r 2 ? R 2 2?r 2 ? R 2 ?3 2

将载流螺线管看成是共轴圆电流的集合,由叠加原理得
B?

?0nIR2
2

?

2 ?l 2

l

??r ? x? ? R ?
2 2

dx

3

?
2

?0nI ?
? 2 ? ?

r ?l/2

?r ? l / 2?2 ? R2

?

? ? ?r ? l / 2?2 ? R 2 ? ? r ?l/2

当 l>>R 时,是无限长螺线管

B?

?0nI

? lim ? 2 l ?? ? ?

r ?l/2

?r ? l / 2?2 ? R 2

?

? ? ? ?0 nI ? ?0i ?r ? l / 2?2 ? R 2 ? ? r ?l/2

25、 半径为R的无限长直圆筒上有一层均匀分布的面电流,电流都绕着轴线流动并与 轴线方向成一角度α ,即电流在筒面上沿螺旋线向前流动。设面电流密度为 i,求轴线 上的磁感应强度。 解:将 i 分解成沿圆周和沿轴线两个分量。前者在轴线上 产生磁场,后者因均匀分布在整个圆柱面上,在轴线 上产生的场为零。 因此轴线上的场仅由沿圆周的电流 分量产生。 利用上题结果, B ? ?0i sin? 26、 一很长的螺线管,由外皮绝缘的细导线密绕而成,每厘米有 35 匝。当导线中通过 的电流为 2.0A 时,求这螺线管轴线上中心和端点的磁感应强度是多少高斯? 解:螺线管中心处 螺线管端点处
B0 ? ?0nI ? 8.8 ? 10 ?3T ? 88高斯 B ? ?0nI / 2 ? 4.4 ? 10 ?3T ? 44高斯

α

(不考虑边缘效应时,B端=B0/2)

27、 一螺线管长 1.0m,平均直径为 3.0cm,它有五层绕组,每层有 850 匝,通过的电 流是 5.0A ,求管中心处的磁感强度为多少高斯? 解: B ?
?0 nI
1 ? (2 R / l )
2

? 2.7 ? 10 ? 2 T

28、 用直径 0.163cm 的铜线绕在 6cm 直径的圆筒上, 做成一个单层螺线管。 管长 30cm, 每厘米绕 5 匝。铜线在 750C 时每米电阻 0.010Ω (假设通电后导线将达此温度)。将此螺 线管接在 2.0V 的蓄电池上,其中磁感强度和功率消耗各多少? 解: B ?

1 1 L/2 ? 0 nI (cos ? 1 ? cos ? 2 ) ? ? 0 nI ? 2 ? 43高斯 2 2 2 R ? ( L / 2) 2
P=I R=14W


电流I=E/R,

29、球形线圈是由表面绝缘的细导线在半径为 R 的球面上密绕而成,线圈的中心都在同 一直径上,沿这直径单位长度的匝数为 n,并且各处的 n 都相同。设该直径上一点 P 到球心的距离为 x,求下列各处的磁感强度 B。 (设电流强度为I) 。 (1) x=0 (球心) ; (2) x=R (该直径与球面的交点) ; (3) x<R (球内该直径上任一点) ; (4) x>R (球外该直径延长线上任一点) 。 解:利用圆电流在轴线上离圆心为 x 处产生的磁感强度公式
B ?

?0 R2 I
2 R 2 ? r02

?

?

3

2

(1)

x=0处
dB0 ?

R α O x
? 0 nI
2

? 0 (nIdx)( R sin ? ) 2
2 x ? ( R sin ? )
2

?

2

?

x

3

2

B0 ?

? 0 nI
2

?

R

?R

?x

( R sin? ) 2 dx
2

? ( R sin? )

2

?

3

?
2

? sin
?1

1

2

? d cos? ?

2 ? 0 nI 3

(2)

x=R 处
dBA ?

2 ? x ? R ? ? ( R sin ? ) 2
2

?

?0 (nIdx)( R sin? ) 2

?

3

?
2

?0 nI ( R sin ? ) 2 dx 2 ? x ? R ?2 ? ( R sin? ) 2

2Rcosβ

?

?

R α x x

3

2

其中

? ? 2?

x ? R cos? ? R cos 2?



β O

?x ? R ?2 ? ( R sin? )2 ? (2R cos ? )2
BA ?

?0 nI
2

?

R

?R

??x ? R ? ? ( R sin ? ) ?
2 2

( R sin ? ) 2 dx

3

?
2

?0 nI
2

??

0

sin 2 2 ?d (cos 2 ? ) /2 8 cos3 ?

? ? ?0 nI ?
(3) x<R 处
dBP ?

0

? /2

sin3 ?d? ?

2 ?0nI 3
? 0 nI ( R sin ? ) 2 dx 2 ? x ? r ?2 ? ( R sin? ) 2

2 ? x ? r ? ? ( R sin? ) 2
2

?

? 0 (nIdx)( R sin? ) 2

?

3

?
2

?

?

3


2



P r O

α x x

BA ?

? 0 nI
2

?

R

?R

??x ? r ?

( R sin? ) 2 dx
2

? ( R sin ? ) 2

?

因为
2

x ? R cos?

3

BA ?

? 0 nIR 2
2

?

1

?1

?r

sin 2 ? d cos?
2

? R 2 ? 2rR cos?

?

3

2

? nIR 2 1 ? 0 ? 3 3 2 4r R
?

? 2 2 ?2 r ? R ? ?

?

?

1 r ? R ? 2rR cos? ? r 2 ? R 2 ? 2rR cos? 3
2 2

?

?

3/ 2

? ? ? r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ? ? ?? ?
2

?R

? r2

?

2

? ?0

?R2 ? r 2 ?2 ? 2?r 2 ? R2 ??R ? r ? ? 1 ?R ? r ?3 ? ?R2 ? r 2 ?2 ? ?0nI ? 2 1 3 2 ?2?r ? R ??R ? r ? ? ?R ? r ? ? ? ?R ? r ? ?R ? r ? ? 8r 3 ? 3 3 ? ?
2 ?0 nI 可见B与 r 无关,球内轴线上各点的B都相同。 3

?

(4)

x>R 处
dBP ? 2 ? x ? r ? ? ( R sin? )
2
R

?

? 0 (nIdx)( R sin? ) 2
2

?

3

?
2

? 0 nI ( R sin ? ) 2 dx 2 ? x ? r ?2 ? ( R sin? ) 2

?

?


2

3

α P A r O x x

BA ?

? 0 nI
2

?

?R

??x ? r ?
1

( R sin ? ) dx
2 2

? ( R sin ? )

2

?

形式上与(3)相同
2

3

利用
BA ?

x ? R cos?
sin 2 ? d cos?
2

? 0 nIR
2

2

?

?1

?r

? R 2 ? 2rR cos?

?

3

2

? nIR 2 1 ? 0 ? 3 3 2 4r R
?

? 2 2 ?2 r ? R ? ?

?

?

1 r ? R ? 2rR cos? ? r 2 ? R 2 ? 2rR cos? 3
2 2

?

?

3/ 2

? ? ? 2 2 r ? R ? 2rR cos? ? ? ?? ?
2

?R

? r2

?

2

? ?0

?R2 ? r 2 ?2 ? 2?r 2 ? R2 ??r ? R? ? 1 ?r ? R?3 ? ?R2 ? r 2 ?2 ? ?0nI ? 2 1 3 2?r ? R 2 ??R ? r ? ? ?R ? r ? ? ? ? ?R ? r ? ?r ? R? ? 8r 3 ? 3 3 ? ?
2 ?R? ? 0 nI ? ? 3 ?r?
3

?

球外轴线上的B与P到球心距离的三次方成反比。

? R ? r (r ? R) 注: (1) r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ? 0? ? ? r 2 ? R 2 ? 2rR ? ? ?r ? R ( r ? R )

(2)

?

1

?1

?r

sin 2 ? d cos?
2

? R 2 ? 2rR cos?

?

3

?
2

? ?a ? bx?
?1

1

(1 ? x 2 ) dx
3 2

?2 ? 3 b 2 x 2 ? 3 ? 4ax ? 8a 2 3b a ? bx

? ?

?

?

x ?1 x ? ?1

? 4 ? 3 (r ? R) ? ? 3R 4 ? 3 (r ? R) ? 3r

30、半径为 R 的球面上均匀分布着电荷,面密度为σ ,当这球面以角速度ω 绕它的直径 旋转时,求转轴上球内和球外任一点(该点到球心的距离为 x)的磁感强度B。 解:球面上θ 处宽为 Rdθ 的环带上的电荷量为

dQ ? ? ? 2?R sin? ? Rd? ? 2?? R 2 sin?d?
dQ 随球面旋转,形成圆电流
dI ? dQ ?dQ ? ? ?? R 2 sin ?d? T 2?

R A P r O α x ω

圆电流 dI 在轴线上离圆心为 r 处产生的磁感强度 B 沿 I 的右旋进方向,大小为
dBP ?

2 ?r ? R cos? ? ? ( R sin? )
2

?

? 0 ( R sin? ) 2 dI

2 3/ 2

?

?

?0?? R 2
2

??r ? R cos? ?

sin3 ?d?
2

? ( R sin? ) 2

?

3/ 2

(1) 球内一点
? 0?? R 2
2

BP ?

? ??r ? R cos? ?
0

?

sin3 ?d?
2

? ( R sin? ) 2

?

3/ 2

3/ 2 ?R2 ? r 2 ?2 ? ? ?? R 2 1 ?1 ? 0 ? 3 3 ? ?r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ? ? 2?r 2 ? R 2 ? r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ? ? 2 4r R ? 3 r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ?? ?? ? ?

? ?0

?

?0?? R 4 1 16 3 2 ?Q ? 3 3 r ? ?0?? R ? 0 ? 2 4r R 3 3 6?R
上式表明,P点的B与 r 无关,即球面内轴线上任一点的B都相等。 (2) 球外一点

BP ?

? 0?? R 2
2

? ??r ? R cos? ?
0

?

sin3 ?d?
2

? ( R sin? ) 2

?

3/ 2

3/ 2 ?R2 ? r 2 ?2 ? ? ?? R 2 1 ?1 ? 0 ? 3 3 ? ?r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ? ? 2?r 2 ? R 2 ? r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ? ? 2 4r R ? 3 r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ?? ?? ? ?

? ?0

?

?0?? R 4 1 16 2 ? R? ? Q? R? ? 3 3 R 3 ? ?0?? R? ? ? 0 ? ? ? 2 4r R 3 3 ? r ? 6?R ? r ?
3 3

注: (1) r 2 ? R 2 ? 2rR cos? ? 0? ? ? r 2 ? R 2 ? 2rR ? ? R ? r (r ? R) ? (2)磁矩

?r ? R ( r ? R ) ? ? ? ? 1 2? dm ? dIS ? ?? R 2 sin?d? ? ? ?R sin? ? ? QR 2? sin3 ?d? ? 4

1 ? 1 ? ? ? m ? QR 2? ? sin3 ?d? ? QR 2? 0 4 3

31、半径为R的圆片上均匀带电,面密度为σ ,令该片以匀角速度ω 绕它的轴旋转,求 轴线上距圆片中心O为 x 处的磁场。 解:在圆片上取半径为 x,宽为 dx 的环带, 环带所带的电荷量为 dq ? ? ? 2?xdx ? 2?? xdx
? dBP ?

R ω O r P

?0 x 2?dq
4? r 2 ? x 2

?

?

?

3/ 2

?

?0 x 2? ?2?? xdx?
4? r 2 ? x 2

?


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