当前位置:首页 >> 数学 >>

2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5.2圆锥曲线的综合应用课件理


第十章

圆锥曲线与方程

第 5讲

圆锥曲线的综合应用

考点二

圆锥曲线的综合应用

撬点· 基础点 重难点

1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题: 2a(长轴长). ①椭圆上两点间最大距离为 ②双曲线上不同支的两点间最小距离为 距离与最大距离. ④抛物线上的点中 顶点 与抛物线的准线距离最近. (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值 问题解决,有时也用圆锥曲线的参数方程,化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边 的不等关系求解.

2a(实轴长).
,a-c 与 a+c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小

③椭圆焦半径的取值范围为 [a-c,a+c]

(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法. (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下,求相关式子(目标函数)的取值范围问题,常用参数方 程代入转化为三角函数的最值问题, 或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理. (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题,常把所求 参数作为函数,另一个元作为自变量求解. (6)实际应用问题,解这类题目时,首先要解决以下两个问题:①选择适当的坐标系;②将实际问题中 的条件借助坐标系用数学语言表达出来.其次,根据需要将最值问题化为一个函数的最值问题.

2 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型,运算量较大,解题思维性较强. (1)解决定点问题的关键就是建立直线系或者曲线系方程,要注意选用合适的参数表达直线系或者曲线 系方程,如果是双参数,要注意这两个参数之间的相互关系. (2)解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确, 即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量, 那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,其不受变化的量所影响的一个值就 是要求的定值.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成 立、数式变换等寻找不受参数影响的量.

3

探索性问题是指结论或者条件不完备的试题,这类试题不给出确定的结论,让考生根据题目的条

件进行分析判断作出确定的结论.这类试题对考生分析问题、解决问题的能力有较高要求,是高考压轴的 一类热点题型. 有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般是先假设存在满足题意的元素,经过推理论证,如 果得到可以成立的结果,就可作出存在的结论;若得到与已知条件、定义、公理、定理、性质相矛盾的量, 则说明假设不存在. 注意点 圆锥曲线问题中判别式的重要性 (1)在圆锥曲线求最值或取值范围时,我们常常利用判别式构造不等关系确定某些参数的取值. (2)在圆锥曲线的存在性、探索性问题中,当得出结论后,往往需要代入判别式进行检验.

1.思维辨析 (1)双曲线上的点到焦距点的距离的取值范围是[c-a,+∞).( √ ) (2)椭圆上一定存在点 P,使∠F1PF2=90° .( × ) (3)过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦长为 2p.( √ ) (4)以抛物线上一点 P 为圆心,以|PF|为半径的圆与抛物线的准线必相切.( √)

y 2 x2 2 5 3 2.已知 F1、F2 是双曲线 M: - 2=1 的焦点,y= x 是双曲线 M 的一条渐近线,离心率等于 的 4 m 5 4 椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同,P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点,设|PF1|· |PF2|=n,则( A.n=12 C.n=36 B.n=24 D.n≠12 且 n≠24 且 n≠36 )

y 2 x2 x2 y2 解析 由题意易得,双曲线 M 的方程为 4 - 5 =1,椭圆的方程为 7 +16=1,不妨设|PF1|>|PF2|,从而
?|PF1|+|PF2|=8, ?|PF1|=6, 可知? ?? ?|PF1|· |PF2|=12,∴n=12. | PF | - | PF | = 4 | PF | = 2 ? ? 1 2 2

x 2 y2 3.设椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦点为 F1、F2,若椭圆上存在一点 P,使 PF1⊥PF2,则椭圆离心率的最 2 小值为________ . 2
1 由于椭圆上存在点 P,使 PF1⊥PF2,则 c≥b,即 c2≥a2-c2,∴2c2≥a2,∴e2≥2, 2 2 ,则椭圆离心率的最小值为 . 2 2

解析 得 e≥

撬法· 命题法 解题法

[考法综述] 与圆锥曲线有关的最值与取值范围问题是历年高考的一个热点,由于所涉及的知识面 广,题目多变,一般需要通过数形结合或利用函数方程的思想来求解,试题难度较大. 存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件和结论不完备,要求学生结合已有的 条件进行观察、分析、比较和概括,它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求, 尤其对定点、定值、定直线问题的探索是高考的热点,试题难度较大.

命题法 1 与圆锥曲线有关的最值范围问题 典例 1 x2 y2 1 如图,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10,不过原 a b 2

点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.

[解] (1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得
2 ? 2 + c ? +1= 10, ? ? c = 1, ? 得? ?c 1 ?a=2. ? ?a=2,

x2 y 2 所以椭圆方程为 4 + 3 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线 AB 的
?y=kx+m, 方程为 y=kx+m(m≠0),由? 2 消去 y,整理得 2 3 x + 4 y = 12 ?

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,(*) 则 Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

?x1+x2=- 8km 2, ? 3+4k ? 4m2-12 ?x1x2= . 3+4k2 ?
? 4km 3m ? 所以线段 AB 的中点 M?-3+4k2,3+4k2?. ? ?

-2km 3m 因为 M 在直线 OP 上,所以 = , 3+4k2 3+4k2 3 得 m=0(舍去)或 k=- . 2 此时方程(*)为 3x2-3mx+m2-3=0,则

x1+x2=m, ? ? Δ=3(12-m2)>0,? m2-3 ? ?x1x2= 3 . 39 所以|AB|= 1+k · |x1-x2|= 6 · 12-m2.
2

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= 1 3 则 S=2|AB|· d= 6 · ?m-4?2?12-m2?. 其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2 3),

|8-2m| 2|m-4| .设△ABP 的面积为 S, 2 2= 13 3 +2

令 u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2 3,2 3]. u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7). 所以当且仅当 m=1- 7时,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7时,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 的方程为 3x+2y+2 7-2=0.

【解题法】 圆锥曲线中的最值与范围问题解法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函 数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: ①利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围. ②利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系. ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. ④利用基本不等式求出参数的取值范围. ⑤利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.

命题法 2 与圆锥曲线有关的定点定值问题 典例 2 x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0), a b
? ?

F2(c,0).已知(1,e)和?e,

3? ?都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2?

(1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P. 6 ①若|AF1|-|BF2|= 2 ,求直线 AF1 的斜率; ②求证:|PF1|+|PF2|是定值.
c 1 c2 [解] (1)由题设知 a =b +c ,e= .由点(1,e)在椭圆上,得 2+ 2 2=1,解得 b2=1,于是 c2=a2- a a ab
2 2 2

? a2-1 3 e2 3 x2 2 3? 2 1.又点?e, ?在椭圆上,所以a2+4b2=1,即 a4 +4=1,解得 a =2.因此所求椭圆的方程是 2 +y =1. 2? ?

(2)由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0).又直线 AF1 与 BF2 平行,所以可设直线 AF1 的方程为 x+1=my,直线 BF2 的方程为 x-1=my.设 A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.

2 x ? ? 21+y2 m+ 2m2+2 1=1, 2 2 由? 得(m +2)y1 -2my1-1=0,解得 y1= ,故|AF1|= ?x1+1?2+?y1-0?2= 2 m +2 ? ?x1+1=my1 2 2 2 ? m + 1 ? + m m +1 2 2 ?my1? +y1= . (*) m2+2

2?m2+1?-m m2+1 同理,|BF2|= . m2+2

(* *)

2m m2+1 2m m2+1 6 ①由(*)(* *)求得|AF1|-|BF2|= ,解 = 得 m2=2,注意到 m>0,故 m= 2.所以直 2 2 2 m +2 m +2 1 2 线 AF1 的斜率为m= 2 .

|PB|+|PF1| |BF2|+|AF1| |PB| |BF2| ② 证明 :因 为直 线 AF1 与 BF2 平 行 ,所 以 = ,于是 = . 故 |PF1| = |PF1| |AF1| |PF1| |AF1| |AF1| |AF1| · |BF1|.由 B 点在椭圆上知|BF1|+ |BF2|=2 2,从而|PF1|= (2 2 -|BF2|).同理|PF2|= |AF1|+|BF2| |AF1|+|BF2| |BF2| |AF1| |BF2| · (2 2 - |AF1|) .因此 |PF1| + |PF2| = (2 2 - |BF2|) + · (2 2 - |AF1|) = 2 2 - |AF1|+|BF2| |AF1|+|BF2| |AF1|+|BF2| 2 2?m2+1? m2+1 2|AF1|· |BF2| 2 3 2 .又由(*)(**)知|AF1|+|BF2|= ,|AF1|· |BF2|= 2 ,所以|PF1|+|PF2|=2 2- 2 = 2 . |AF1|+|BF2| m2+2 m +2 因此|PF1|+|PF2|是定值.

【解题法】 与圆锥曲线有关的定点、定值问题的解法 (1)求定值问题常见的方法 ①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)定点问题的常见解法 ①假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到 一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点. ②从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.

命题法 3 圆锥曲线中的存在性、探索性问题 典例 3 x2 y2 3 如图,椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,x 轴被曲线 C2:y=x2-b 截得的线段长等

于 C1 的长半轴长.

(1)求 C1,C2 的方程; (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相 交于点 D,E. ①证明:MD⊥ME; S1 17 ②记△MAB,△MDE 的面积分别为 S1,S2.问:是否存在直线 l,使得S =32?请说明理由. 2 c 3 [解] (1)由题意知 e=a= 2 ,从而 a=2b,又 2 b=a,解得 a=2,b=1. x2 2 故 C1,C2 的方程分别为 4 +y =1,y=x2-1.
(2)①证明:由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx.
?y=kx, 由? 得 x2-kx-1=0. 2 ?y=x -1

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,于是 x1+x2=k,x1x2=-1. 又点 M 的坐标为(0,-1),所以 y1+1 y2+1 ?kx1+1??kx2+1? kMA· kMB= · = x1 x2 x 1x 2 k2x1x2+k?x1+x2?+1 -k2+k2+1 = = =-1. x1x2 -1 故 MA⊥MB,即 MD⊥ME. ②设直线 MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为 y=k1x-1.
?y=k1x-1, ?x=0, ?x=k1, ? ? 由 解得 或? 2 2 ?y=x -1, ?y=-1 ?y=k1-1.

则点 A 的坐标为(k1,k2 1-1).

? 1 1 ? 1 ? 又直线 MB 的斜率为- ,同理可得点 B 的坐标为 -k ,k2-1?. k1 ? ? 1 1
2 1 1 1 ? 1 ? 1+k1 2 ?- ?= 于是 S1=2|MA|· |MB|= 2 1+k1· |k1|· 1+k2· k1? 2|k1| . 1?

?y=k1x-1, 2 由? 2 得(1+4k2 1)x -8k1x=0, 2 ?x +4y -4=0

?x= 8k1 2, ? 1+4k1 ?x=0, 解得? 或? 4k2 y =- 1 ? ?y= 1-1 , ? 1+4k2 1
? 8k1 4k2 1-1? 则点 D 的坐标为? 2, 2?. 1 + 4 k 1 + 4 k 1 1? ? ? 8k1 4-k2 1 1? 又直线 ME 的斜率为- ,同理可得点 E 的坐标为?- 2, 2?. k1 ? 4+k1 4+k1?

32?1+k2 |k1| 1 1? · 于是 S2=2|MD|· |ME|= . 2 ?1+4k2 1??k1+4?
? S1 1 ? 2 4 因此S =64?4k1+k2+17?. ? ? 1 2

4 ? 17 1? ?= . + + 17 由题意知,64?4k2 2 1 k1 ? ? 32 1 2 2 解得 k1=4 或 k1=4. 1 又由点 A,B 的坐标可知,k= = k - 1 1 k1, k1+ k1 3 所以 k=± 2. 故满足条件的直线 l 存在,且有两条, 3 3 其方程分别为 y= x 和 y=- x. 2 2 1 2 k1- 2 k1

【解题法】 存在性问题的求解方法 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”, 将不确定性问题明朗化. 其步骤为: 假设满足条件的元素(点、 直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、 直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.

? 3? 1 ? 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 M 1,2?. 2 ? ?

(1)求椭圆 C 的方程. → → →2 (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A,B,满足PA· PB=PM ?若存在,求出 直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.

[正解] (1)同上. (2)假设存在直线 l1 且由题意得斜率存在,设满足条件的直线方程为 y=k1(x-2)+1,
2 2 代入椭圆 C 的方程得,(3+4k2 1)x -8k1(2k1-1)x+16k1-16k1-8=0.因为直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的

两点 A,B, 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 所 以 Δ = [ - 8k1(2k1 - 1)]
2

- 4(3 + 4k 2 (16k 2 1 )· 1 - 16k1 - 8) = 32(6k1 + 3)>0 ,所 以

1 k1> - 2 . 又 x1 + x2 =

→ → →2 8k1?2k1-1? 16k2 1-16k1-8 ,x1x2= ,因为PA· PB=PM , 3+4k2 3+4k2 1 1 5 即(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=4,

5 所以(x1-2)(x2-2)(1+k2 ) = 1 4. 5 即[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2 ) = 1 4.
?16k2 8k1?2k1-1? ? 4+4k2 5 1 1 1 1-16k1-8 1 2 ? - 2· + 4 所以? · (1 + k ) = = ,解得 k = ± . 因为 k > - ,所以 k = .于是 2 2 2 1 1 1 1 4 2 2 2 3 + 4 k 3 + 4 k 3 + 4 k 1 1 ? ? 1

1 存在直线 l1 满足条件,其方程为 y=2x.

[错解]

[错因分析] 本题条件中直线 l1 与椭圆相交于不同的两点 A、B 易被忽略,从而导致结果产生增解. [心得体会]


相关文章:
全国通用2017届高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.5....ppt
全国通用2017高考数学一轮总复习第十章圆锥曲线10.5曲线与方程课件理 - 高考理数 §10.5 曲线与方程 知识清单 1.“曲线的方程”与“方程的曲线” 在直角...
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5圆锥曲线的....doc
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5圆锥曲线的综合应用课时练理082901120 2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5 圆锥曲线的 综合应用课时...
2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与....doc
2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课时
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10_5曲线与方程课件.ppt
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10_5曲线与方程课件_高考_高中教育_教育...? 曲线与方程 x2 1.(2017课标全国Ⅱ理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在...
2018高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.5.2....ppt
2018高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.5.2圆锥曲线的综合应用课件文_数学_高中教育_教育专区。第十章 圆锥曲线与方程 第 5讲 圆锥曲线的综合应用 ...
2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与....doc
2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.4 直线与圆锥 曲线的位置关系课时练 理时间:90 分钟 基础组 1.[2016?衡水二中预测]抛物线 y =4x 的焦点...
2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.1椭圆及....doc
2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及其性 质课时
...2018年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲....ppt
高考数学 (浙江专用) 第十章 圆锥曲线与方程 §10.5 曲线与方程 五年高考 考点 ? ? 曲线与方程 x2 1.(2017课标全国Ⅱ理,20,12分)设O为坐标原点,动点M...
2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.3抛物线....doc
2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3 抛物线及其 性质课
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其....doc
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其性质课时练理082901112 2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.2 双曲线及其 性质课时练 理 ...
专用2018年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2....ppt
高考数学 (浙江专用) 第十章 圆锥曲线与方程 §10.2 双曲线及其性质 五年高考 考点一 双曲线的定义和标准方程 x2 y 2 1.(2017天津文,5,5分)已知双曲线?...
2018高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.5.2....doc
2018 高考数学异构异模复习考案 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.2 圆锥曲线的综合应用撬题 理→→ x2 1. 已知 M(x0, y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一...
...19版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲....ppt
(浙江专版)19版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其性质课件 - 高考数学 §10.2 双曲线及其性质 知识清单 考点一 双曲线的定义和标准方程 1....
2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线....ppt
2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线与方程课件_高考_高中教育...例1 (2017浙江杭州质检,19)在平面直角坐标系内,已知点A(0,1),B(0,BP =...
...19版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线....ppt
(浙江专版)19版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线与方程课件_高考...例1 (2017浙江杭州质检,19)在平面直角坐标系内,已知点A(0,1),B(0,BP =...
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程..轨迹与轨迹方....doc
2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.1 轨迹与轨 迹方
...2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲....doc
浙江专版2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5曲线与方程学案 - §10.5 考纲解读 考点 考纲内容 要求 2013 了解方程的曲线与曲线的 曲线与方程 方程...
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程.椭圆及其性质课....doc
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程.椭圆及其性质课时练理 - 2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.1 椭圆及其性 质课时练 理 时间:60 分钟 ...
浙江专版版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程106圆....doc
浙江专版版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程106圆锥曲线的综合问题学案(数学...(2),7 分 19(2)(文 ), 9分 2017 19,15 分 19(文),1 5分 21(2)...
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥....doc
高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系课时练理082901119 2017 高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.4 直线与圆锥 曲线的...
更多相关标签: