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2016-2017年数学·人教A版必修4练习:2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义


第二章 2.4 2.4.1 平面向量 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及 其含义 A级 基础巩固 一、选择题 2 1.已知|b|=3,a 在 b 方向上的投影是 ,则 a· b为 ( 3 1 A. 3 4 B. 3 C.3 D.2 ) 2 解析:由数量积的几何意义知所以 a· b= ×3=2. 3 答案:D 2.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 B.2 C.3 D.5 ) 解析:因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a· b=10,|a-b|2=(a-b)2 =a2+b2-2a· b=6,两式相减得:4a· b=4,所以 a· b=1. 答案:A 3.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a· b=1,则向量 a 与 a-b 的夹角为( π A. 6 ) π B. 3 5π C. 6 (a-b)2= 2π D. 3 a2+b2-2a· b= 3,设向量 a 与 解析:|a-b|= a-b 的夹角为 θ,则 a· (a-b) 22-1 3 cos θ= = = , |a||a-b| 2× 3 2 π 又 θ∈[0,π],所以 θ= . 6 答案:A 4.(2015· 陕西卷)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是 ( ) A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)· (a-b)=a2-b2 解析:根据 a· b=|a||b|cos θ,又 cos θ ≤1,知|a· b|≤|a||b|,A 恒 成立.当向量 a 和 b 方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,B 不恒成立.根 据|a+b|2=a2+2a· b+b2=(a+b)2,C 恒成立.根据向量的运算性质 得(a+b)· (a-b)=a2-b2,D 恒成立. 答案:B 5.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,且(a+2b)· (a-3b)=- 72,则 a 的模为( A.2 ) B.4 C.6 D.12 解析:因为(a+2b)· (a-3b)=a2-a· b=6b2= |a|2-|a|· |b|cos 60°-6|b|2= |a|2-2|a|-96=-72, 所以|a|2-2|a|-24=0,所以|a|=6. 答案:C 二、填空题 6.已知 e 为一单位向量,a 与 e 之间的夹角是 120°,而 a 在 e 方向上的投影为-2,则|a|=________. 解析:因为|a|· cos 120°=-2, ? 1? ?- ?=-2,所以|a|=4. 所以|a|· 2 ? ? 答案:4 7.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足 3a+m b+7c=0,其中 a 与 b 的夹角为 60°,则实数 m=________. 解析:因为 3a+m b+7c=0,所以 3a+m b=-7c, 所以(3a+m b)2=(-7c)2,化简得 9+m2+6m a· b=49. 1 又 a· b=|a| |b|cos 60°= , 2 所以 m2+3m-40=0,解得 m=5 或 m=-8. 答案:-8 或 5 8.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=1,且 3a+2b 与 λa-b 垂直,则 λ 等于________. 解析:因为(3a+2b)⊥(λ a-b) 所以(λ a-b)· (3a+2b)=0, 所以 3λ a2+(2λ-3)a· b-2b2=0. 又因为|a|=2,|b|=1,a⊥b, 所以 12λ+(2λ

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