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2016-2017年数学·人教A版必修4练习:2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

第二章 2.4 2.4.1 平面向量 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及 其含义 A级 基础巩固 一、选择题 2 1.已知|b|=3,a 在 b 方向上的投影是 ,则 a· b为 ( 3 1 A. 3 4 B. 3 C.3 D.2 ) 2 解析:由数量积的几何意义知所以 a· b= ×3=2. 3 答案:D 2.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 B.2 C.3 D.5 ) 解析:因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a· b=10,|a-b|2=(a-b)2 =a2+b2-2a· b=6,两式相减得:4a· b=4,所以 a· b=1. 答案:A 3.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,a· b=1,则向量 a 与 a-b 的夹角为( π A. 6 ) π B. 3 5π C. 6 (a-b)2= 2π D. 3 a2+b2-2a· b= 3,设向量 a 与 解析:|a-b|= a-b 的夹角为 θ,则 a· (a-b) 22-1 3 cos θ= = = , |a||a-b| 2× 3 2 π 又 θ∈[0,π],所以 θ= . 6 答案:A 4.(2015· 陕西卷)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是 ( ) A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)· (a-b)=a2-b2 解析:根据 a· b=|a||b|cos θ,又 cos θ ≤1,知|a· b|≤|a||b|,A 恒 成立.当向量 a 和 b 方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,B 不恒成立.根 据|a+b|2=a2+2a· b+b2=(a+b)2,C 恒成立.根据向量的运算性质 得(a+b)· (a-b)=a2-b2,D 恒成立. 答案:B 5.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,且(a+2b)· (a-3b)=- 72,则 a 的模为( A.2 ) B.4 C.6 D.12 解析:因为(a+2b)· (a-3b)=a2-a· b=6b2= |a|2-|a|· |b|cos 60°-6|b|2= |a|2-2|a|-96=-72, 所以|a|2-2|a|-24=0,所以|a|=6. 答案:C 二、填空题 6.已知 e 为一单位向量,a 与 e 之间的夹角是 120°,而 a 在 e 方向上的投影为-2,则|a|=________. 解析:因为|a|· cos 120°=-2, ? 1? ?- ?=-2,所以|a|=4. 所以|a|· 2 ? ? 答案:4 7.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足 3a+m b+7c=0,其中 a 与 b 的夹角为 60°,则实数 m=________. 解析:因为 3a+m b+7c=0,所以 3a+m b=-7c, 所以(3a+m b)2=(-7c)2,化简得 9+m2+6m a· b=49. 1 又 a· b=|a| |b|cos 60°= , 2 所以 m2+3m-40=0,解得 m=5 或 m=-8. 答案:-8 或 5 8.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=1,且 3a+2b 与 λa-b 垂直,则 λ 等于________. 解析:因为(3a+2b)⊥(λ a-b) 所以(λ a-b)· (3a+2b)=0, 所以 3λ a2+(2λ-3)a· b-2b2=0. 又因为|a|=2,|b|=1,a⊥b, 所以 12λ+(2λ-3)×2×1×cos 90°-2=0, 1 所以 12λ-2=0,所以 λ= . 6 答案: 1 6 三、解答题 9.已知|a|=1,|b|= 2, (1)若 a∥b 且同向,求 a· b; (2)若向量 a· b 的夹角为 135°,求|a+b|. 解: (1)若 a∥b 且同向则 a 与 b 夹角为 0°, 此时 a· b=|a||b|= 2. (2)|a+b|= (a+b)2= a2+b2+2a· b= 1+2+2 2cos 135°=1. 10.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,|3a-b|= 5. (1)求|a+3b|的值; (2)求 3a-b 与 a+3b 夹角的正弦值. 解:(1)由|3a-b|= 5,得(3a-b)2=5, 所以 9a2-6a· b+b2=5. 因为 a2=|a|2=1,b2=|b2|=1, 所以 9-6a· b+1=5. 5 所以 a· b= . 6 所以(a+3b)2=a2+6a· b+9b2= 5 1+6× +9×1=15. 6 所以|a+3b|= 15. (2)设 3a-b 与 a+3b 的夹角为 θ. 因为(3a-b)· (a+3b)=3a2+8a· b-3b2= 5 20 3×1+8× -3×1= . 6 3 20 (3a-b)· (a+3b) 3 4 3 所以 cos θ= = = . 9 |3a-b||a+3b| 5× 15 因为 0°≤θ ≤180°, 所以 sin θ= 1-cos2θ= ?4 3?2 33 ? = 1-? . 9 ? 9 ? 所以 3a-b 与 a+3b 夹角的正弦值为 B级 33 . 9 能力提升 → → → → 1. 点 O 是△ABC 所在平面上一点, 且满足OA· OB=OB· OC= → → OA·OC,则点 O 是△ABC 的( A.重心 C.内心 ) B.垂心 D.外心 → → → → 解析:因为OA·OB=OB·OC, → → → 所以OB·(OA-OC)=0, → → → → 即OB·CA=0, 则OB⊥CA. → → → → 同理OA⊥BC,OC⊥AB. 所以 O 是△ABC 的垂心. 答案:B → 2. 如图所示, △ABC 中∠C=90°且 AC=BC=4, 点 M 满足BM → → → =3MA,则CM·CB=________. → → ?

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