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【龙门亮剑】高三数学一轮课时提能精练第二章 第七节 函数图象及其变换(全国版)

(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2010 年江西南昌)已知 ab=1,函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是(

)

【解析】 因为 ab=1,所以

?a>1,0<b<1,ax为增函数,-logbx为增函数, ? ? x ? ?0<a<1,b>1,a 为减函数,-logbx为减函数,
故选 B. 【答案】 B
2 ?x +bx+c(x≤0) ? 2.设函数 f(x)=? ,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x) ?2 (x>0) ? =x 的解的个数为( ) A.1 B.2 C .3 D.4

3.函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=log0.2f(x)的图象大致是下图中的(

)

【解析】 ∵0<0.2<1,∴y=log0.2x 是减函数, 而 f(x)在(0,1]上是减函数,在[1,2)上是增函数, ∴y=log0.2f(x)在(0,1]上是增函数,在[1,2]上是减函数. 【答案】 C 1?x 4.方程? ) ?3? =|log3x|的解的个数是( A.0 B.1

D.3 1 ?x 【解析】 如图画出函数 y=? ?3? 与 y=|log3x|的图象,两图象的交点个数为 2. 【答案】 C 5.若函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈(-1,1]时,f(x)=|x|,则函数 y=f(x)的图 象与函数 y=log3|x|的图象的交点个数是( ) A.2 B.3 C .4 D.多于 4

C .2

【解析】 y=f(x)的周期 T=2,y=log3|x|是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,则画出图象(如 图)可知,两图象共有 4 个交点. 【答案】 C 6.如果某点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为 1 2, ?中,好点有( “好点”.在五个点 M(1,1),N(1,-2),P(2,1),Q(2,2),G? ) ? 2? A.0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 【解析】 设指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1), M(1,1),N(1,-2),P(2,1)不在 y=ax 上, 1 2, ?即可. 则只需验证 Q(2,2),G? ? 2? Q(2,2)是 y=( 2)x 上的点,也是 y=log
2x

上的点,所以是好点.

1 2 G(2, )在 y=? ?x 上,也在 y=log4x 上,所以也是好点. 2 2 ? ? 综上,好点有 2 个. 【答案】 C 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是________. 【解析】 分别作出函数 y=log2(-x)和 y=x+1 的图象如下图所示,数形结合即可,有 x∈(-1,0).

【答案】 (-1,0) 8.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点,则 a 的取值范围 是________. 【解析】 作 y1=|ax-1|,y2=2a 的图象如图

由图可知: (1)当 a>1 时,2a>2,不成立; (2)当 0<a<1 时,0<2a<1?0<a< . 【答案】 0<a< 9.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),m,n(m<n)是方程 f(x)=0 的两个根, 则实数 a, b,m,n 的大小关系是________.

【解析】 如图所示,设函数 g(x)=(x-a)(x-b)(a<b),那么函数 g(x)=(x-a)(x-b)的图 象与 x 轴的交点的横坐标分别为 a,b(a<b),而 f(x)=(x-a)(x-b)-2 的图象是由函数 g(x)= (x-a)(x-b)的图象向下平移 2 个单位得到的,由于 m,n(m<n)是方程 f(x)=0 的两个根,所以 函数 f(x)=(x-a)(x-b)-2 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为 m,n(m<n), 结合图形可知 m <a<b<n. 【答案】 m<a<b<n 三、解答题(10,11 每题 15 分,12 题 16 分,共 46 分) 10.作出下列函数的图象: (1)y=|x-2|· (x+1); 1 ?|x| (2)y=? ?2? .

【解析】

? ?? ?x-2? -4 (1)y=? 1? 9 ?-? ?x-2?+4
2

1

9

(x≥2) . (x<2)

??1?x ? (x≥0) (2)y=??2? , ? ?2x (x<0)
图象如下图所示.

1 0, ?时恒成立,求实数 a 的取值范围. 11.若不等式 2x-logax<0 在 x∈? ? 2? 1? ? 1? 【解析】 要使不等式 2x<logax 在 x∈? ?0,2?时恒成立,即函数 y=logax 的图象在?0,2? 1 ? 内恒在函数 y=2x 的图象的上方,则只须 y=2x 的图象过点? ?2, 2?.

12.已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与 直线 y=x 的两个交点间的距离为 8,f(x)=f1(x)+f2(x). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求证:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)=f(a)有三个实根. 【解析】 (1)∵二次函数 y=f(x)的图象以原点为顶点, ∴f1(x)=ax2, 又∵其过点(1,1),∴a=1,从而得 f1(x)=x2. k ? ?y=x, k 设反比例函数 f2(x)= ,由? x ? ?y=x 依题意得 2 2· k=8,∴k=8, 得两个交点为( k, k),(- k,- k),

8 ∴f2(x)= . x 8 ∴f(x)=x2+ . x 8 8 (2)证明:由 f(x)=f(a)得 x2+ =a2+ , x a 8 2 2 8 即 =-x +a + . x a 8 8 令 f2(x)= ,f3(x)=-x2+a2+ ,并分别作出 f2(x)与 f3(x)的图象,如图所示. x a

∴f2(x)与 f3(x)在第一象限内有两个交点,在第三象限内有一个交点,故 f(x)=f(a)有两个正 根和一个负根,即有三个实根.